प्रतिबंधित आंशिक भागफल: Difference between revisions
From Vigyanwiki
(Created page with "गणित में, और विशेष रूप से निरंतर अंश के विश्लेषणात्मक सिद्धांत मे...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
गणित में, और विशेष रूप से [[निरंतर अंश]] के विश्लेषणात्मक सिद्धांत में, एक अनंत नियमित निरंतर भिन्न x को प्रतिबंधित, या 'प्रतिबंधित आंशिक | गणित में, और विशेष रूप से [[निरंतर अंश|निरंतर अंशों]] के विश्लेषणात्मक सिद्धांत में, एक अनंत नियमित निरंतर भिन्न x को प्रतिबंधित, या ''''प्रतिबंधित आंशिक भागफलों'''<nowiki/>' से बना कहा जाता है, यदि इसके आंशिक अंशों के भाजक का क्रम परिबद्ध है; वह है | ||
:<math>x = [a_0;a_1,a_2,\dots] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{a_4 + \ddots}}}} = a_0 + \underset{i=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{1}{a_i},\,</math> | :<math>x = [a_0;a_1,a_2,\dots] = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cfrac{1}{a_4 + \ddots}}}} = a_0 + \underset{i=1}{\overset{\infty}{K}} \frac{1}{a_i},\,</math> | ||
और कुछ | और कुछ धनात्मक [[पूर्णांक]] M है जैसे कि सभी (पूर्णांक) आंशिक भाजक a<sub>i</sub> M से कम या उसके बराबर हैं।<ref>{{cite book|last = Rockett|first = Andrew M.|author2=Szüsz, Peter|title = निरंतर अंश|url = https://archive.org/details/continuedfractio0000rock|url-access = registration|publisher = World Scientific|date = 1992|isbn = 981-02-1052-3}}</ref><ref>For a fuller explanation of the K notation used here, please see [[Generalized continued fraction#Notation|this article]].</ref> | ||
| Line 17: | Line 17: | ||
परिमित निरंतर अंश में एक और आंशिक भागफल जोड़ने की प्रक्रिया कई मायनों में वास्तविक संख्याओं के अंतराल में छेद करने की इस प्रक्रिया के अनुरूप है। छेद का आकार अगले आंशिक भाजक के व्युत्क्रमानुपाती होता है - यदि अगला आंशिक भाजक 1 है, तो क्रमिक [[अभिसरण (निरंतर अंश)]] के बीच का अंतर अधिकतम हो जाता है। | परिमित निरंतर अंश में एक और आंशिक भागफल जोड़ने की प्रक्रिया कई मायनों में वास्तविक संख्याओं के अंतराल में छेद करने की इस प्रक्रिया के अनुरूप है। छेद का आकार अगले आंशिक भाजक के व्युत्क्रमानुपाती होता है - यदि अगला आंशिक भाजक 1 है, तो क्रमिक [[अभिसरण (निरंतर अंश)]] के बीच का अंतर अधिकतम हो जाता है। | ||
निम्नलिखित प्रमेयों को सटीक बनाने के लिए हम CF(M) पर विचार करेंगे, प्रतिबंधित निरंतर अंशों का सेट जिसका मान खुले अंतराल (0, 1) में है और जिसका आंशिक हर एक | निम्नलिखित प्रमेयों को सटीक बनाने के लिए हम CF(M) पर विचार करेंगे, प्रतिबंधित निरंतर अंशों का सेट जिसका मान खुले अंतराल (0, 1) में है और जिसका आंशिक हर एक धनात्मक पूर्णांक M से घिरा है - अर्थात, | ||
:<math> | :<math> | ||
| Line 33: | Line 33: | ||
== ज़रेम्बा का अनुमान == | == ज़रेम्बा का अनुमान == | ||
: de: Stanislaw Krystyn Zaremba ने एक निरपेक्ष स्थिरांक A के अस्तित्व का अनुमान लगाया है, जैसे कि A द्वारा प्रतिबंधित आंशिक भागफल वाले परिमेय में प्रत्येक ( | : de: Stanislaw Krystyn Zaremba ने एक निरपेक्ष स्थिरांक A के अस्तित्व का अनुमान लगाया है, जैसे कि A द्वारा प्रतिबंधित आंशिक भागफल वाले परिमेय में प्रत्येक (धनात्मक पूर्णांक) भाजक के लिए कम से कम एक होता है। पसंद ए = 5 संख्यात्मक साक्ष्य के साथ संगत है।<ref>{{cite book|author1=Cristian S. Calude|author2=Elena Calude|author3=M. J. Dinneen|title=Developments in Language Theory: 8th International Conference, DLT 2004, Auckland, New Zealand, December 13-17, Proceedings|url=https://books.google.com/books?id=z_-SzxRaZ4sC&pg=PA180|date=29 November 2004|publisher=Springer|isbn=978-3-540-24014-3|page=180}}</ref> आगे के अनुमान सभी पर्याप्त बड़े भाजक के मामले में उस मान को कम करते हैं।<ref>{{cite book|author1=Hee Oh|author2=Emmanuel Breuillard|title=पतले समूह और सुपरस्ट्रॉन्ग सन्निकटन|url=https://books.google.com/books?id=XsKfAgAAQBAJ&pg=PA15|date=17 February 2014|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-1-107-03685-7|page=15}}</ref> [[जॉन बौर्गेन]] और एलेक्स कोंटोरोविच ने दिखाया है कि ए को चुना जा सकता है ताकि निष्कर्ष घनत्व 1 के हर के सेट के लिए हो।<ref>{{cite journal|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Kontorovich|first2=Alex|title=ज़रेम्बा के अनुमान पर|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=180|year=2014|issue=1|pages=137–196|doi=10.4007/annals.2014.180.1.3|mr=3194813|arxiv=1107.3776}}</ref> | ||
Revision as of 08:03, 26 April 2023
गणित में, और विशेष रूप से निरंतर अंशों के विश्लेषणात्मक सिद्धांत में, एक अनंत नियमित निरंतर भिन्न x को प्रतिबंधित, या 'प्रतिबंधित आंशिक भागफलों' से बना कहा जाता है, यदि इसके आंशिक अंशों के भाजक का क्रम परिबद्ध है; वह है
और कुछ धनात्मक पूर्णांक M है जैसे कि सभी (पूर्णांक) आंशिक भाजक ai M से कम या उसके बराबर हैं।[1][2]
आवधिक निरंतर भिन्न
एक नियमित आवधिक निरंतर अंश में आंशिक भाजक का एक परिमित प्रारंभिक ब्लॉक होता है जिसके बाद एक दोहराव वाला ब्लॉक होता है; अगर
तब ζ एक द्विघात अपरिमेय संख्या है, और एक नियमित निरंतर अंश के रूप में इसका प्रतिनिधित्व आवधिक है। स्पष्ट रूप से किसी भी नियमित आवधिक अंश में प्रतिबंधित आंशिक भागफल होते हैं, क्योंकि कोई भी आंशिक भाजक एक के सबसे बड़े अंश से अधिक नहीं हो सकता है।0 किसी के जरिएk+m. ऐतिहासिक रूप से, गणितज्ञों ने प्रतिबंधित आंशिक उद्धरणों की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करने से पहले आवधिक निरंतर अंशों का अध्ययन किया।
प्रतिबंधित सीएफ और कैंटर सेट
कैंटर सेट माप शून्य का एक सेट सी है जिसमें से वास्तविक संख्याओं का एक पूर्ण अंतराल (गणित) सरल योग द्वारा बनाया जा सकता है - अर्थात, अंतराल से किसी भी वास्तविक संख्या को सेट के ठीक दो तत्वों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सी। कैंटर सेट के अस्तित्व का सामान्य प्रमाण एक अंतराल के बीच में छेद करने के विचार पर आधारित है, फिर शेष उप-अंतरालों में छेदों को छिद्रित करता है, और इस प्रक्रिया को अंतहीन रूप से दोहराता है।
परिमित निरंतर अंश में एक और आंशिक भागफल जोड़ने की प्रक्रिया कई मायनों में वास्तविक संख्याओं के अंतराल में छेद करने की इस प्रक्रिया के अनुरूप है। छेद का आकार अगले आंशिक भाजक के व्युत्क्रमानुपाती होता है - यदि अगला आंशिक भाजक 1 है, तो क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) के बीच का अंतर अधिकतम हो जाता है। निम्नलिखित प्रमेयों को सटीक बनाने के लिए हम CF(M) पर विचार करेंगे, प्रतिबंधित निरंतर अंशों का सेट जिसका मान खुले अंतराल (0, 1) में है और जिसका आंशिक हर एक धनात्मक पूर्णांक M से घिरा है - अर्थात,
कैंटर सेट के निर्माण के लिए इस्तेमाल किए गए तर्क के समानांतर एक तर्क बनाकर दो दिलचस्प परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।
- यदि एम ≥ 4, तो अंतराल में किसी वास्तविक संख्या को सीएफ (एम) से दो तत्वों के योग के रूप में बनाया जा सकता है, जहां अंतराल द्वारा दिया जाता है
- एक साधारण तर्क यह दर्शाता है M ≥ 4 होने पर धारण करता है, और बदले में यह दर्शाता है कि यदि M ≥ 4, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या को n+CF के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है1+ सीएफ2, जहाँ n एक पूर्णांक है, और CF1 और सी.एफ2 सीएफ (एम) के तत्व हैं।[3]
ज़रेम्बा का अनुमान
- de: Stanislaw Krystyn Zaremba ने एक निरपेक्ष स्थिरांक A के अस्तित्व का अनुमान लगाया है, जैसे कि A द्वारा प्रतिबंधित आंशिक भागफल वाले परिमेय में प्रत्येक (धनात्मक पूर्णांक) भाजक के लिए कम से कम एक होता है। पसंद ए = 5 संख्यात्मक साक्ष्य के साथ संगत है।[4] आगे के अनुमान सभी पर्याप्त बड़े भाजक के मामले में उस मान को कम करते हैं।[5] जॉन बौर्गेन और एलेक्स कोंटोरोविच ने दिखाया है कि ए को चुना जा सकता है ताकि निष्कर्ष घनत्व 1 के हर के सेट के लिए हो।[6]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). निरंतर अंश. World Scientific. ISBN 981-02-1052-3.
- ↑ For a fuller explanation of the K notation used here, please see this article.
- ↑ Hall, Marshall (October 1947). "निरंतर अंशों के योग और उत्पाद पर". The Annals of Mathematics. 48 (4): 966–993. doi:10.2307/1969389. JSTOR 1969389.
- ↑ Cristian S. Calude; Elena Calude; M. J. Dinneen (29 November 2004). Developments in Language Theory: 8th International Conference, DLT 2004, Auckland, New Zealand, December 13-17, Proceedings. Springer. p. 180. ISBN 978-3-540-24014-3.
- ↑ Hee Oh; Emmanuel Breuillard (17 February 2014). पतले समूह और सुपरस्ट्रॉन्ग सन्निकटन. Cambridge University Press. p. 15. ISBN 978-1-107-03685-7.
- ↑ Bourgain, Jean; Kontorovich, Alex (2014). "ज़रेम्बा के अनुमान पर". Annals of Mathematics. 180 (1): 137–196. arXiv:1107.3776. doi:10.4007/annals.2014.180.1.3. MR 3194813.
