प्रतिबंधित आंशिक भागफल

गणित में, और विशेष रूप से निरंतर अंशों के विश्लेषणात्मक सिद्धांत में, एक अनंत नियमित निरंतर भिन्न x को प्रतिबंधित, या 'प्रतिबंधित आंशिक भागफलों' से बना कहा जाता है, यदि इसके आंशिक अंशों के भाजक का क्रम परिबद्ध है; वह है

$x=[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ]=a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+{\cfrac {1}{a_{4}+\ddots }}}}}}}}=a_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{K}}}{\frac {1}{a_{i}}},\,$

और कुछ धनात्मक पूर्णांक M है जैसे कि सभी (पूर्णांक) आंशिक भाजक a_i M से कम या उसके बराबर हैं।

आवधिक निरंतर भिन्न

एक नियमित आवधिक निरंतर अंश में आंशिक भाजक का एक परिमित प्रारंभिक ब्लॉक होता है जिसके बाद एक दोहराव वाला ब्लॉक होता है; यदि

$\zeta =[a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{k},{\overline {a_{k+1},a_{k+2},\dots ,a_{k+m}}}],\,$

तब ζ एक द्विघात अपरिमेय संख्या है, और एक नियमित निरंतर अंश के रूप में इसका प्रतिनिधित्व आवधिक है। स्पष्ट रूप से किसी भी नियमित आवधिक अंश में प्रतिबंधित आंशिक भागफल होते हैं, क्योंकि कोई भी आंशिक भाजक a₀ से लेकर a_k+m सबसे बड़े अंश से अधिक नहीं हो सकता है। ऐतिहासिक रूप से, गणितज्ञों ने प्रतिबंधित आंशिक उद्धरणों की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करने से पहले आवधिक निरंतर अंशों का अध्ययन किया।

प्रतिबंधित सीएफ और कैंटर समुच्चय

कैंटर समुच्चय माप शून्य का एक समुच्चय C है जिसमें से वास्तविक संख्याओं का एक पूर्ण अंतराल (गणित) सरल योग द्वारा बनाया जा सकता है - अर्थात, अंतराल से किसी भी वास्तविक संख्या को समुच्चय के ठीक दो तत्वों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। सी। कैंटर समुच्चय के अस्तित्व का सामान्य प्रमाण एक अंतराल के बीच में छेद करने के विचार पर आधारित है, फिर शेष उप-अंतरालों में छेदों को छिद्रित करता है, और इस प्रक्रिया को अंतहीन रूप से दोहराता है।

परिमित निरंतर अंश में एक और आंशिक भागफल जोड़ने की प्रक्रिया कई विधियों में वास्तविक संख्याओं के अंतराल में छेद करने की इस प्रक्रिया के अनुरूप है। छेद का आकार अगले आंशिक भाजक के व्युत्क्रमानुपाती होता है - यदि अगला आंशिक भाजक 1 है, तो क्रमिक अभिसरण (निरंतर अंश) के बीच का अंतर अधिकतम हो जाता है।

निम्नलिखित प्रमेयों को सटीक बनाने के लिए हम CF(M) पर विचार करेंगे, प्रतिबंधित निरंतर अंशों का समुच्चय जिसका मान खुले अंतराल (0, 1) में है और जिसका आंशिक हर एक धनात्मक पूर्णांक M से घिरा है - अर्थात,

$\mathrm {CF} (M)=\{[0;a_{1},a_{2},a_{3},\dots ]:1\leq a_{i}\leq M\}.\,$

कैंटर समुच्चय के निर्माण के लिए उपयोग किए गए तर्क के समानांतर एक तर्क बनाकर दो रोचक परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।

• यदि M ≥ 4, तो अंतराल में किसी वास्तविक संख्या को CF(M) से दो तत्वों के योग के रूप में बनाया जा सकता है, जहां अंतराल द्वारा दिया जाता है

$(2\times [0;{\overline {M,1}}],2\times [0;{\overline {1,M}}])=\left({\frac {1}{M}}\left[{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right],{\sqrt {M^{2}+4M}}-M\right).$

• एक सरल तर्क से पता चलता है कि जब M ≥ 4 होता है तो ${\scriptstyle [0;{\overline {1,M}}]-[0;{\overline {M,1}}]\geq {\frac {1}{2}}}$ धारण करता है, और बदले में यह दर्शाता है कि यदि M ≥ 4 है, तो प्रत्येक वास्तविक संख्या को n + CF₁ + CF₂ के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां n एक पूर्णांक है, और CF₁ और CF₂ CF(M) के अवयव हैं।

ज़रेम्बा का अनुमान

ज़रेम्बा ने एक निरपेक्ष स्थिरांक A के अस्तित्व का अनुमान लगाया है, जैसे कि A द्वारा प्रतिबंधित आंशिक भागफल वाले परिमेय में प्रत्येक (धनात्मक पूर्णांक) भाजक के लिए कम से कम एक होता है। विकल्प A = 5 संख्यात्मक साक्ष्य के साथ संगत है। आगे के अनुमान सभी पर्याप्त बड़े भाजक के स्थिति में उस मान को कम करते हैं। जॉन बौर्गेन और एलेक्स कोंटोरोविच ने दिखाया है कि A को चुना जा सकता है जिससे निष्कर्ष घनत्व 1 के हर के समुच्चय के लिए हो।

यह भी देखें

• मार्कोव स्पेक्ट्रम