BRST परिमाणीकरण

सैद्धांतिक भौतिकी में, बीआरएसटी औपचारिकता, या बीआरएसटी परिमाणीकरण (जहां बीआरएसटी कार्लो बेचेची, एलेन रूएट, रेमंड स्टोरा और इगोर ट्यूटिन के अंतिम नामों को संदर्भित करता है) एक माप समरूपता के साथ एक क्षेत्र सिद्धांत को परिमाणित करने के लिए एक अपेक्षाकृत कठिन गणितीय दृष्टिकोण को दर्शाता है। पहले के परिमाण क्षेत्र सिद्धांत (QFT) रूपरेखा में परिमाणीकरण के नियम प्रमाणों से अधिक "निर्दिष्ट" या "अनुमानिकी" के समान थे, विशेष रूप से गैर-अबेलियन क्यूएफटी में, जहां सतही विचित्र गुणों वाले "घोस्ट क्षेत्र" का उपयोग पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति निरस्तीकरण से संबंधित प्राविधिक कारणों से लगभग अपरिहार्य है।

1970 के दशक के मध्य में प्रारंभ की गई बीआरएसटी वैश्विक सुपरसिमेट्री को क्यूएफटी गणना करते समय इन फदीव-पोपोव घोस्टो की प्रारम्भिक और भौतिक स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं से उनके बहिष्करण को युक्तिसंगत बनाने के लिए समझा गया था। महत्वपूर्ण रूप से, पथ समाकल की यह समरूपता पाश क्रम में संरक्षित है और इस प्रकार प्रतिवादों के प्रारम्भ को रोकता है जो माप सिद्धांतों की पुनर्सामान्यता को नष्ट कर सकता है। कुछ वर्षों पश्चात अन्य लेखकों द्वारा किए गए कार्य ने बीआरएसटी प्रचालक को एक माप सिद्धांत को परिमाणित करते समय पथ समाकल के लिए एक कठिन विकल्प के अस्तित्व से संबंधित किया है।

केवल 1980 के दशक के उत्तरार्ध में, जब निम्न-आयामी बहुविध (सांस्थितिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत) की सांस्थितिकी में समस्याओं के लिए अनुप्रयोगो के लिए तन्तु पूलिका भाषा में क्यूएफटी का सुधार किया गया था, क्या यह स्पष्ट हो गया था कि बीआरएसटी परिवर्तन मूल रूप से व्यवहार में ज्यामितीय है। इस प्रकाश में, विसंगति-निरस्तीकरण करने वाले घोस्टो तक पहुंचने के लिए बीआरएसटी परिमाणीकरण एक वैकल्पिक तरीके से अधिक हो जाता है। घोस्ट क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने पर यह एक भिन्न परिप्रेक्ष्य है, फदीव-पोपोव पद्धति क्यों कार्य करती है और यह कैसे हैमिल्टनी यांत्रिकी के उपयोग से संबंधित है जो एक विक्षुब्ध रूपरेखा का निर्माण करता है। माप अप्रसरण और बीआरएसटी अप्रसरण के मध्य का संबंध एक हैमिल्टनी प्रणाली के चयन को बाध्य करता है, जिसकी अवस्था "कणों" से बने होते हैं, जो विहित परिमाणीकरण औपचारिकता से परिचित नियमों के अनुसार होते हैं। यह गुह्य स्थिरता की स्थिति यह समझाने के काफी निकट आती है कि भौतिकी में परिमाण और फर्मिऑन कैसे प्रारंभ होते हैं।

कुछ स्थितियों में, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण और अतिगुरुत्वाकर्षण, बीआरएसटी को एक अधिक सामान्य औपचारिकता, बटालिन-विलकविस्की औपचारिकता द्वारा स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

प्राविधिक सारांश

बीआरएसटी परिमाणीकरण एक गैर-अबेलियन माप सिद्धांत में सुसंगत, विसंगति - मुक्त प्रक्षोभ वाली गणना करने के लिए एक विभेदक ज्यामितीय दृष्टिकोण है। बीआरएसटी "रूपांतरण" का विश्लेषणात्मक रूप और पुनर्सामान्यीकरण और विसंगति निरस्तीकरण के लिए इसकी प्रासंगिकता का वर्णन कार्लो बेचेची, एलेन रूट और रेमंड स्टोरा द्वारा 1976 में माप सिद्धांतों के पुनर्सामान्यीकरण में समाप्त होने वाले पत्रों की एक श्रृंखला में किया गया था। समतुल्य परिवर्तन और इसके कई गुण स्वतंत्र रूप से इगोर ट्यूटिन द्वारा खोजे गए थे। यांग-मिल्स सिद्धांत के कठिन विहित परिमाणीकरण के लिए इसका महत्व और तात्क्षणिक क्षेत्र विन्यास के फॉक समष्टि के लिए इसके सही अनुप्रयोग को ताइचिरो कुगो और इज़ुमी ओजिमा द्वारा स्पष्ट किया गया था। बाद में कई लेखकों, विशेष रूप से थॉमस शूकर और एडवर्ड विटन ने बीआरएसटी प्रचालक और संबंधित क्षेत्रों के ज्यामितीय महत्व को स्पष्ट किया है और सांस्थितिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत के महत्व पर बल दिया है।

बीआरएसटी दृष्टिकोण में, माप पूलिका के अंतर ज्यामिति का उपयोग करके माप सिद्धांत के क्रिया सिद्धांत के लिए प्रक्षोभ-अनुकूल माप स्थिरीकरण प्रक्रिया का चयन किया जाता है, जिस पर क्षेत्र सिद्धांत रहता है। एक तो इस तरह से अन्तःक्रिया चित्र में हैमिल्टनी प्रणाली प्राप्त करने के लिए सिद्धांत को मापता है कि माप स्थिरीकरण प्रक्रिया द्वारा प्रस्तुत किए गए "अभौतिक" क्षेत्र सिद्धांत के उपगामी अवस्थाओं में प्रकट हुए बिना माप विसंगतियों को हल करते हैं। परिणाम एस मैट्रिक्स के डायसन श्रृंखला प्रक्षोभ विस्तार में उपयोग के लिए फेनमैन नियमों का एक समुच्चय है जो प्रत्याभुति देता है कि यह प्रत्येक एक-पाश क्रम पर एकात्मक और असामान्य है - संक्षेप में, प्रकीर्णी के परिणामों के विषय में भौतिक पूर्वाकलन करने के लिए एक सुसंगत सन्निकटन प्रविधि प्रयोग है।

शास्त्रीय बीआरएसटी

यह एक सुपरसिंपलेक्टिक बहुविध से संबंधित है जहां शुद्ध प्रचालकों को समाकल घोस्ट संख्याओं द्वारा वर्गीकृत किया जाता है और हमारे पास एक बीआरएसटी सह-समरूपता है।

क्यूएफटी में माप परिवर्तन

व्यावहारिक दृष्टिकोण से, एक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत में एक क्रिया सिद्धांत और प्रक्षोभ सिद्धांत की गणना करने के लिए प्रक्रियाओं का एक समुच्चय होता है। अन्य प्रकार की स्वस्थचित्तता जाँचें हैं जो परिमाण क्षेत्र सिद्धांत पर यह निर्धारित करने के लिए की जा सकती हैं कि यह क्वार्क परिरोधन और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता जैसी गुणात्मक घटनाओं के लिए उपयुक्त है। हालाँकि, परिमाण क्षेत्र सिद्धांत की अधिकांश भविष्यवाणिय सफलताएँ, परिमाण विद्युत् गतिकी से लेकर आज तक, प्रकीर्णी वाले प्रयोगों के परिणामों के विरुद्ध एस-आव्यूह गणनाओं का मिलान करके निर्धारित की गई हैं।

क्यूएफटी के प्रारम्भिक दिनों में, किसी को यह कहना होगा कि परिमाणीकरण और पुनर्सामान्यीकरण निर्दिष्ट प्रतिरूप का उतना ही भाग थे जितना लग्रांजी घनत्व, विशेषतः जब वे प्रभावशाली परन्तु गणितीय रूप से अनुचित परिभाषित पथ समाकल सूत्रीकरण पर निर्भर थे। यह शीघ्रता से स्पष्ट हो गया कि क्यूईडी अपने सापेक्ष सुवाह्यता में लगभग मायिक था और यह कि जिन तरीकों से इसे विस्तारित करने की कल्पना की जा सकती है उनमें से अधिकांश तर्कसंगत गणना नहीं करेंगे। हालांकि, क्षेत्र सिद्धांतों का एक वर्ग आशाजनक बना रहा: माप सिद्धांत, जिसमें सिद्धांत में वस्तुएं भौतिक रूप से अप्रभेद्य क्षेत्र विन्यास के समतुल्य वर्गों का प्रतिनिधित्व करती हैं, जिनमें से कोई भी दो माप परिवर्तन से संबंधित हैं। यह एक अधिक जटिल लाइ-समूह के चरण के स्थानीय परिवर्तन के क्यूईडी विचार को सामान्यीकृत करता है।

क्यूईडी अपने आप में एक माप सिद्धांत है, जैसा कि सामान्य सापेक्षता है, हालांकि बाद वाले ने अब तक परिमाणीकरण के लिए प्रतिरोधी सिद्ध कर दिया है, जो कि पुनर्संरचना से संबंधित कारणों के लिए है। गैर-एबेलियन माप समूह के साथ माप सिद्धांतों का एक अन्य वर्ग, जो यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ प्रारंभ हुआ, 1960 के दशक के अंत और 1970 के दशक की प्रारंभ में परिमाणीकरण के लिए उत्तरदायी हो गया, बड़े पैमाने पर लुडविग डी. फदीदेव, विक्टर पोपोव, ब्रायस डेविट और जेरार्डस टी हूफ्ट के कार्य के कारण हैं। हालांकि, बीआरएसटी पद्धति की प्रारम्भ तक उनके साथ कार्य करना बहुत कठिन रहा। बीआरएसटी पद्धति ने अखंड यांग-मिल्स सिद्धांतों और उन दोनों से सटीक परिणाम निकालने के लिए आवश्यक गणना प्रविधि और पुनर्सामान्यता प्रमाण प्रदान किए जिनमें हिग्स क्रियाविधि सहज समरूपता को खंडन की ओर ले जाता है। इन दो प्रकार के यांग-मिल्स प्रणाली के प्रतिनिधि-परिमाण क्रोमोडायनामिक्स और विद्युत सिद्धांत-कण भौतिकी के मानक प्रतिरूप में दिखाई देते हैं।

अर्ध-हेयूरिस्टिक गणना योजनाओं का उपयोग करके सटीक पूर्वाकलन प्राप्त करने की तुलना में कठिन अर्थों में गैर-एबेलियन परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के अस्तित्व को सिद्ध करना अधिक कठिन सिद्ध हुआ है। ऐसा इसलिए है क्योंकि परिमाण क्षेत्र सिद्धांत का विश्लेषण करने के लिए दो गणितीय रूप से अंतःबंधन किए गए दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है: क्रिया कार्यात्मक पर आधारित लग्रांजी प्रणाली, समष्टि काल में प्रत्येक बिंदु पर अलग-अलग मानों वाले क्षेत्र से बना होता है और स्थानीय प्रचालक जो उन पर कार्य करते हैं और डिरैक चित्र में हैमिल्टनी प्रणाली, उन अवस्थाओं से बना है जो एक निश्चित समय में संपूर्ण प्रणाली की विशेषता बताते हैं और क्षेत्र प्रचालक जो उन पर कार्य करते हैं। माप सिद्धांत में यह इतना कठिन क्यों है कि सिद्धांत की वस्तुएं वास्तव में समष्टि काल पर स्थानीय क्षेत्र नहीं हैं; वे प्रमुख माप पूलिका पर सही-अपरिवर्तनीय स्थानीय क्षेत्र हैं, और माप पूलिका के एक भाग के माध्यम से विभिन्न स्थानीय खंड और वैश्विक खंड निष्क्रिय परिवर्तनों से संबंधित हैं, विभिन्न डिरैक चित्रों का उत्पादन करते हैं।

क्या अधिक है, क्षेत्रों के एक समूह के संदर्भ में संपूर्ण प्रणाली के विवरण में स्वतंत्रता की कई अनावश्यक डिग्री सम्मिलित हैं; सिद्धांत के विशिष्ट विन्यास क्षेत्र विन्यास के तुल्यता वर्ग हैं, ताकि दो विवरण जो माप परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित हैं, वास्तव में एक ही भौतिक विन्यास हैं। परिमाणित माप सिद्धांत का समाधान समष्टि काल में प्रत्येक बिंदु पर मानो के साथ क्षेत्र के सीधे स्थान में उपस्थित नहीं है, परन्तु एक भागफल स्थान (या सह समरूपता) में है, जिसके तत्व क्षेत्र विन्यास समतुल्य वर्ग हैं। बीआरएसटी औपचारिकता में प्रच्छादन सभी संभावित सक्रिय माप परिवर्तनों से जुड़े विविधताओं को मापदण्ड करने के लिए एक प्रणाली है और लग्रांजी प्रणाली को हैमिल्टनी प्रणाली में रूपांतरण के पर्यन्त उनकी भौतिक अप्रासंगिकता के लिए सही ढंग से लेखांकन करता है।

माप स्थिरीकरण और प्रक्षोभ सिद्धांत

व्यावहारिक परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण के लिए माप अप्रसरण का सिद्धांत आवश्यक है। परन्तु सामान्यतः पहले माप को ठीक किए बिना माप सिद्धांत में एक प्रक्षोभ गणना करने के लिए संभव नहीं है - क्रिया सिद्धांत के लग्रांजी घनत्व के शब्दों को जोड़ते हुए जो स्वतंत्रता के इन अभौतिक डिग्री को दबाने के लिए माप समरूपता को तोड़ते हैं। माप स्थिरीकरण का विचार विद्युत् चुंबकत्व के लोरेंस माप दृष्टिकोण पर वापस जाता है, जो प्रकट लोरेंस अप्रसरण को बनाए रखते हुए चार-क्षमता में स्वतंत्रता की अधिकांश अतिरिक्त डिग्री को दबा देता है। लॉरेंज माप शास्त्रीय विद्युत् गतिकी के लिए मैक्सवेल के क्षेत्र-शक्ति दृष्टिकोण के सापेक्ष एक स्थूल सरलीकरण है और यह दर्शाता है कि लग्रांजी परिवर्तन के माध्यम से हैमिल्टनी यांत्रिकी के पास जाने से पूर्व लग्रांजी चरण में एक सिद्धांत में वस्तुओं के प्रतिनिधित्व में स्वतंत्रता की अतिरिक्त डिग्री से व्यवहार करना क्यों उपयोगी है।

हैमिल्टनी घनत्व माप पूलिका पर एक इकाई घटनाक्रम क्षैतिज सदिश क्षेत्र के संबंध में लग्रांजी घनत्व के लाइ संजात से संबंधित है। परिमाण यांत्रिक संदर्भ में इसे पारंपरिक रूप से एक कारक $i\hbar$ द्वारा पुनर्विक्रय किया जाता है। स्पेसलाइक अनुप्रस्थ काट पर भागों द्वारा इसे एकीकृत करने से विहित परिमाणीकरण से परिचित समाकलित का रूप ठीक हो जाता है। क्योंकि हैमिल्टनी की परिभाषा में आधार समष्टि पर एक इकाई समय सदिश क्षेत्र, पूलिका समष्टि के लिए एक क्षैतिज उत्थापन और आधार बहुविध पर प्रत्येक बिंदु पर इकाई समय सदिश क्षेत्र के लिए "सामान्य" (मिन्कोव्स्की मात्रिक में) एक समष्टि जैसी सतह सम्मिलित है। कई गुना, यह संयोजन और संदर्भ के लोरेंस प्रधार की विकल्प दोनों पर निर्भर है और विश्व स्तर पर परिभाषित होने से बहुत दूर है। परन्तु यह परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के प्रक्षोभ प्राधार में एक आवश्यक घटक है, जिसमें डायसन श्रृंखला के माध्यम से मात्रात्मक हैमिल्टनी प्रवेश करता है।

प्रक्षोभ उद्देश्यों के लिए, हम अपने सिद्धांत के सभी क्षेत्रों के विन्यास को पी के संपूर्ण त्रि-आयामी क्षैतिज समष्टि जैसे अनुप्रस्थ काट पर एक वस्तु (एक फॉक समष्टि) में एकत्र करते हैं और फिर अंतःक्रियात्मक चित्र का उपयोग करके समय के साथ इस समष्टि के विकास का वर्णन करते हैं। फॉक समष्टि को अप्रतिबंधित या गैर-अंतःक्रिया ${\mathcal {H}}_{0}$ वाले भाग के हैमिल्टनी प्रणाली का ${\mathcal {H}}$ बहु-कण आइजेनस्टेट द्वारा फैलाया जाता है इसलिए किसी भी फॉक समष्टि का तात्कालिक विवरण एक जटिल-आयाम-भारित योग है जो आइजेनस्टेट ${\mathcal {H}}_{0}$का है। अंतःक्रिया चित्र में, हम अलग-अलग समय पर फॉक समष्टि से संबंधित हैं, जिसमें कहा गया है कि अपरंपरागत हैमिल्टन के प्रत्येक आइजनस्टेट को अपनी ऊर्जा के समानुपाती चरण आवर्तन की निरंतर दर (अपरिवर्तित हैमिल्टनी के संबंधित आइजनवैल्यू) का अनुभव होता है।

इसलिए, शून्य-क्रम सन्निकटन में, फॉक समष्टि की विशेषता वाले भार का समुच्चय समय के साथ परिवर्तित नहीं होता है, परन्तु संबंधित क्षेत्र विन्यास करता है। उच्च सन्निकटन में, भार भी परिवर्तित होते हैं; उच्च-ऊर्जा भौतिकी में कोलाइडर प्रयोग इन भारों में परिवर्तन की दर के मापन के समान होते हैं (या बल्कि प्रकीर्णी की घटना की प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करने वाले वितरणों पर उनके समाकल)। डायसन श्रृंखला के मध्य ${\mathcal {H}}_{0}$ और वास्तविक हैमिल्टनी ${\mathcal {H}}$ विसंगति के प्रभाव को दर्शाता है, युग्मन निरंतर g में एक शक्ति श्रृंखला के रूप में; यह परिमाण क्षेत्र सिद्धांत से मात्रात्मक पूर्वाकलन करने का सिद्धांत उपकरण है।

किसी भी गणना करने के लिए डायसन श्रृंखला का उपयोग करने के लिए, किसी को माप-अचर लग्रांजी घनत्व से अधिक की आवश्यकता होती है; सिद्धांत के फेनमैन नियमों में प्रवेश करने वाले परिमाणीकरण और माप स्थिरीकरण निर्दिष्ट की भी आवश्यकता होती है। किसी विशेष क्यूएफटी के हैमिल्टनी पर अनुप्रयुक्त होने पर डायसन श्रृंखला विभिन्न प्रकार के अनंत समाकल उत्पन्न करती है। यह आंशिक रूप से इसलिए है क्योंकि आज तक के सभी प्रयोग करने योग्य परिमाण क्षेत्र सिद्धांतों को प्रभावी क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में माना जाना चाहिए, जो केवल ऊर्जा पैमानों की एक निश्चित सीमा पर अंतःक्रिया का वर्णन करते हैं जिनकी हम प्रायोगिक रूप से जांच कर सकते हैं और इसलिए पराबैंगनी अपसरण के प्रति संवेदनशील हैं। ये तब तक सहनीय हैं जब तक इन्हें पुनर्सामान्यीकरण की मानक प्रविधि के माध्यम से नियंत्रित किया जा सकता है; वे इतने सहनीय नहीं होते हैं जब वे अनंत पुनर्सामान्यीकरण की एक अनंत श्रृंखला में परिणत होते हैं, या इससे भी निकृष्टतर, एक स्पष्ट रूप से अभौतिक पूर्वकथन जैसे कि एक निरस्त माप विसंगति। पुनर्सामान्यीकरण और माप अप्रसरण के मध्य एक गहन संबंध है, जो माप को ठीक करके सरल फेनमैन नियम प्राप्त करने के प्रयासों के पर्यन्त सरलता से लुप्त जाता है।

माप स्थिरीकरण के लिए प्री-बीआरएसटी दृष्टिकोण

सातत्य विद्युत् गतिकी के पारंपरिक माप स्थिरीकरण निर्दिष्ट लोरेंज माप $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ जैसे व्यवरोधक समीकरण का उपयोग करके प्रत्येक माप-रूपांतरण-संबंधित समकक्ष वर्ग से एक अद्वितीय प्रतिनिधि का चयन करते हैं। इस तरह के निर्दिष्ट को परिमाण क्यूईडी जैसे एबेलियन माप सिद्धांत पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है, हालांकि यह समझाने में कुछ कठिनाई होती है कि शास्त्रीय सिद्धांत की प्रतिपाल्य पहचान परिमाण सिद्धांत पर क्यों चलती है - दूसरे शब्दों में, आंतरिक अनुदैर्ध्य वाले फेनमैन आरेख रूप से ध्रुवीकृत आभासी फोटोन वाले फेनमैन आरेख एस-आव्यूह गणनाओं में योगदान क्यों नहीं करते हैं। यह दृष्टिकोण गैर-एबेलियन माप समूहों जैसे यांग-मिल्स विद्युत सिद्धांत के SU(2)xU(1) और परिमाण क्रोमोडायनामिक के SU(3) के लिए भी सामान्य नहीं है। यह ग्रिबोव अस्पष्टता से ग्रस्त है और एक माप स्थिरीकरण व्यवरोध को परिभाषित करने में कठिनाई से है जोकि कुछ अर्थों में लांबिक है जोकि क्षेत्र विन्यास में शारीरिक रूप से महत्वपूर्ण परिवर्तनों के लिए है।

अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण स्वतंत्रता की माप परिवर्तन डिग्री के लिए डेल्टा फलन व्यवरोध को अनुप्रयुक्त करने का प्रयास नहीं करते हैं। विन्यास स्थान में एक विशेष व्यवरोध सतह पर माप को ठीक करने के बजाय, एक अतिरिक्त गैर-माप-अचर शब्द के साथ लग्रांजी घनत्व में जोड़ा गया माप स्वतंत्रता को तोड़ सकता है। माप स्थिरीकरण की सफलताओं को पुन: उत्पन्न करने के लिए, इस शब्द को माप की विकल्प के लिए न्यूनतम चयन गया है जो वांछित व्यवरोध के अनुरूप है और व्यवरोध सतह से माप के विचलन पर द्विघाती रूप से निर्भर करता है। स्थिर चरण सन्निकटन द्वारा, जिस पर फेनमैन पथ समाकल आधारित है, व्यवरोध गणनाओं में सिद्धांत योगदान व्यवरोध सतह के प्रतिवैस में क्षेत्र विन्यास से आएगा।

कार्यात्मक परिमाणीकरण की विधि का उपयोग करते हुए, इस लग्रांजी से जुड़े प्रक्षोभ विस्तार को सामान्यतः R_ξ माप के रूप में जाना जाता है। यह एक एबेलियन U(1) माप की स्थिति में फेनमैन नियमों के उसी समुच्चय को कम कर देता है जोकि विहित परिमाणीकरण की विधि में प्राप्त होता है। परन्तु एक महत्वपूर्ण अंतर है: विघटित माप स्वतंत्रता कार्यात्मक समाकल में समग्र सामान्यीकरण में एक अतिरिक्त कारक के रूप में दिखाई देती है। इस कारक को केवल प्रक्षोभ विस्तार (और अवहेलना) से बाहर निकाला जा सकता है जब स्वतंत्रता की माप डिग्री के साथ प्रक्षोभ के लग्रांजी में योगदान विशेष भौतिक क्षेत्र विन्यास से स्वतंत्र होता है। यह वह स्थिति है जो गैर-एबेलियन माप समूहों के लिए धारण करने में विफल रहती है। यदि कोई समस्या को अवहेलना करता है और सरल कार्यात्मक परिमाणीकरण से प्राप्त फेनमैन नियमों का उपयोग करने का प्रयास करता है, तो वह पाता है कि किसी की गणना में अपरिवर्तनीय विसंगतियाँ हैं।

क्यूसीडी में प्रक्षोभ गणनाओं की समस्या को फदीदेव-पोपोव घोस्ट के रूप में जाना जाने वाले अतिरिक्त क्षेत्रों को प्रारंभ करके हल किया गया था, जिसका माप क्षेत्र लैग्रेंगियन अंतलंब में योगदान भौतिक और गैर-एबेलियन क्षेत्र माप के अभौतिक प्रक्षोभ के युग्मन द्वारा प्रारंभ की गई विसंगति को अंतलंब करता है। कार्यात्मक परिमाणीकरण परिप्रेक्ष्य से, क्षेत्र विन्यास (माप रूपांतरण) के अभौतिक प्रक्षोभ सभी (अनंत) प्रक्षोभ के स्थान का एक उप-स्थान बनाते हैं; गैर-एबेलियन स्थितियों में, बड़े स्थान में इस उप-स्थान का अंतःस्थापन उस विन्यास पर निर्भर करता है जिसके चारों ओर प्रक्षोभ होती है। लग्रांजी में घोस्ट शब्द इस अंतःस्थापन के जैकबियन के कार्यात्मक निर्धारक का प्रतिनिधित्व करता है और शेष भौतिक प्रक्षोभ अक्षों पर कार्यात्मक माप को सही करने के लिए घोस्ट क्षेत्र के गुणों को निर्धारक पर वांछित प्रतिपादक द्वारा निर्धारित किया जाता है।

बीआरएसटी के लिए गणितीय दृष्टिकोण

बीआरएसटी रचना तब अनुप्रयुक्त होता है जब किसी के पास सुसंहत, संबंधित लाइ समूह $G$ एक चरण स्थान पर $M$ की हैमिल्टनी क्रिया होती है मान लीजिये ${\mathfrak {g}}$ का लाइ बीजगणित $G$ हो(लाइ समूह-लाइ बीजगणित पत्राचार के माध्यम से) और $0\in {\mathfrak {g}}^{*}$ (दोहरी सदिश समष्टि ${\mathfrak {g}})$ क्षण मानचित्र $\Phi :M\to {\mathfrak {g}}^{*}$का एक नियमित मान है। माना $M_{0}=\Phi ^{-1}(0)$ है। मान लीजिए $G$-क्रिया $M_{0}$ पर स्वतंत्र और उचित है और स्थान ${\widetilde {M}}=M_{0}/G$ पर विचार करें। $M_{0}$ का $G$-कक्षाएं चालू हैं जिसे सहानुभूतिपूर्ण कमी भागफल ${\widetilde {M}}=M//G$ के रूप में भी जाना जाता है

सबसे पहले, परिभाषित $M_{0}$ अभ्यन्तर $M$ कार्यों के नियमित अनुक्रम का उपयोग करना, कोज़ुल परिसर का निर्माण करें

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$

अवकलन $\delta$, इस परिसर पर एक विषम $C^{\infty }(M)$ श्रेणीबद्ध की रैखिक व्युत्पत्ति $C^{\infty }(M)$-बीजगणित $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ है। इस विषम व्युत्पत्ति को लाइ बीजगणित समरूपता${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ हैमिल्टनी क्रिया का विस्तार करके परिभाषित किया गया है। परिणामी कोज़ुल परिसर का कोज़ुल परिसर $S({\mathfrak {g}})$-मापांक $C^{\infty }(M)$ है, जहाँ $S({\mathfrak {g}})$ का सममित बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ है और मापांक संरचना एक वलय $S({\mathfrak {g}})\to C^{\infty }(M)$ हैमिल्टनी क्रिया से प्रेरित ${\mathfrak {g}}\to C^{\infty }(M)$ समरूपता से आती है।

यह कोज़ुल परिसर का एक संकल्प $S({\mathfrak {g}})$-मापांक $C^{\infty }(M_{0})$ है, अर्थात

$H^{j}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M),\delta )={\begin{cases}C^{\infty }(M_{0})&j=0\\0&j\neq 0\end{cases}}$

फिर, कोज़ुल परिसर के लिए शेवेलली-एलेनबर्ग परिसर $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$ पर विचार करें। लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ पर एक dg-मापांक के रूप में माना जाता है:

$K^{\bullet ,\bullet }=C^{\bullet }\left({\mathfrak {g}},\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)\right)=\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M).$

क्षैतिज अवकलन $d:K^{i,\bullet }\to K^{i+1,\bullet }$ गुणांकों पर परिभाषित है

$\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(M)$

${\mathfrak {g}}$ की क्रिया से और $\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}$ लाइ समूह $G$ पर दाएं-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के बाह्य व्युत्पन्न के रूप में, जिसका लाइ बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ है

मान लीजिए कि Tot(K) एक ऐसा परिसर है

$\operatorname {Tot} (K)^{n}=\bigoplus \nolimits _{i-j=n}K^{i,j}$

एक अवकलन D = d + δ के साथ Tot(K) के सह समरूपता समूहों की गणना दोहरे परिसर $(K^{\bullet ,\bullet },d,\delta )$से जुड़े वर्णक्रमीय अनुक्रम का उपयोग करके की जाती है।

वर्णक्रमीय अनुक्रम का पहला शब्द ऊर्ध्वाधर अंतर के सह समरूपता $\delta$ की गणना करता है:

$E_{1}^{i,j}=H^{j}(K^{i,\bullet },\delta )=\Lambda ^{i}{\mathfrak {g}}^{*}\otimes C^{\infty }(M_{0})$, यदि j = 0 और शून्य अन्यथा

वर्णक्रमीय अनुक्रम की पहली अवधि को लंबवत अंतर रूपों के परिसर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है

$(\Omega ^{\bullet }{\operatorname {vert} }(M_{0}),d_{\operatorname {vert} })$

तन्तु पूलिका $M_{0}\to {\widetilde {M}}$ के लिए

वर्णक्रमीय अनुक्रम का दूसरा पद क्षैतिज अंतर $d$ पर $E_{1}^{\bullet ,\bullet }$के सह समरूपता की गणना करता है:

$E_{2}^{i,j}\cong H^{i}(E_{1}^{\bullet ,j},d)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, यदि $i=j=0$ और शून्य अन्यथा।

वर्णक्रमीय क्रम दूसरे अवधि में संचय जाता है, इसलिए $E_{\infty }^{i,j}=E_{2}^{i,j}$, जो डिग्री शून्य में केंद्रित है।

इसलिए,

$H^{p}(\operatorname {Tot} (K),D)=C^{\infty }(M_{0})^{g}=C^{\infty }({\widetilde {M}})$, यदि p = 0 और 0 अन्यथा।

बीआरएसटी प्रचालक और उपगामी फॉक समष्टि

बीआरएसटी प्रचालक के विषय में दो महत्वपूर्ण टिप्पणियां देय हैं। सर्वप्रथम, माप समूह G के साथ कार्य करने के बजाय केवल माप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ पर क्षेत्रों (चरण स्थान पर कार्य करता है) की क्रिया का उपयोग कर सकते हैं ।

दूसरा, किसी स्थानीय माप परिवर्तन dλ के संबंध में किसी भी बीआरएसटी सटीक रूप s_BX की भिन्नता है

$\left[i_{\delta \lambda },s_{B}\right]s_{B}X=i_{\delta \lambda }(s_{B}s_{B}X)+s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right)=s_{B}\left(i_{\delta \lambda }(s_{B}X)\right),$

जो स्वयं एक सटीक रूप है।

अधिक महत्वपूर्ण रूप से हैमिल्टनी प्रक्षोभ औपचारिकता के लिए (जो तन्तु पूलिका पर नहीं बल्कि एक स्थानीय खंड पर किया जाता है), एक बीआरएसटी सटीक शब्द को एक माप अचर लग्रांजी घनत्व में जोड़कर संबंध s_BX = 0 को संरक्षित करता है। जैसा कि हम देखेंगे, अर्थात, $[Q_{B},{\mathcal {H}}]=0$ के लिए अवस्था स्थान पर एक संबंधित प्रचालक Q_B है। फॉक अवस्थाओं पर बीआरएसटी प्रचालक हैमिल्टन प्रणाली का एक प्रभार है। इसका तात्पर्य यह है कि डायसन श्रृंखला की गणना में समय विकास प्रचालक एक क्षेत्र विन्यास $Q_{B}|\Psi _{i}\rangle =0$ बाद के विन्यास में $Q_{B}|\Psi _{f}\rangle \neq 0$ (या विपरीत) का पालन नहीं करेगा।

बीआरएसटी प्रचालक की शून्यता को देखने का एक अन्य तरीका यह कहना है कि इसकी छवि (बीआरएसटी सटीक रूपों का स्थान) पूर्णतया से इसके कर्नेल (बीआरएसटी संवृत रूपों का स्थान) के भीतर है। (वास्तविक लग्रांजी, स्थानीय माप परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय माना जाता है, बीआरएसटी प्रचालक के कर्नेल में है, परन्तु इसकी छवि में नहीं है।) पूर्ववर्ती तर्क कहता है कि हम प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के अपने ब्रह्मांड को स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं तक सीमित कर सकते हैं - सामयिकता अनन्तता पर क्षेत्र विन्यास, जहाँ अंतःक्रिया लग्रांजी को बंद कर दिया जाता है - जो Q_B के कर्नेल में स्थित होता है और अभी भी एकात्मक प्रकीर्णी आव्यूह प्राप्त करता हैं। (बीआरएसटी संवृत और सटीक अवस्थाओं को बीआरएसटी संवृतऔर सटीक क्षेत्रों के समान परिभाषित किया गया है; संवृत अवस्थाओं को Q_B द्वारा नष्ट कर दिया जाता है, जबकि सटीक अवस्थाएँ वे हैं जो Q_B को कुछ स्वैच्छिक क्षेत्र विन्यास पर अनुप्रयुक्त करके प्राप्त किए जा सकते हैं)।

हम उन अवस्थाओं को भी दबा सकते हैं जो हमारे सिद्धांत की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं को परिभाषित करते समय Q_B की छवि के भीतर हैं- परन्तु तर्क थोड़ा सूक्ष्म है। चूँकि हमने मान लिया है कि हमारे सिद्धांत का वास्तविक लग्रांजी माप अपरिवर्तनीय है, हमारे हैमिल्टनी प्रणाली की वास्तविक अवस्थाएँ स्थानीय माप परिवर्तन के अंतर्गत तुल्यता वर्ग हैं; दूसरे शब्दों में, हैमिल्टनी चित्र में दो प्रारंभिक या अंतिम अवस्थाएँ जो केवल एक बीआरएसटी सटीक स्थिति से भिन्न होती हैं, भौतिक रूप से समतुल्य होती हैं। हालांकि, बीआरएसटी सटीक माप अवखंडन निर्दिष्ट का उपयोग इस तथ्य की प्रत्याभुति नहीं देता है कि अंतःक्रिया हैमिल्टन संवृत क्षेत्र विन्यास के किसी विशेष उप-स्थान को संरक्षित करेगा जिसे हम सटीक विन्यास के स्थान पर लांबिक कह सकते हैं। (यह एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जिसे प्रायः क्यूएफटी पाठ्यपुस्तकों में अनुचित तरीके से संभाला जाता है। क्रिया सिद्धांत में निर्मित क्षेत्र विन्यास पर कोई प्राथमिक आंतरिक उत्पाद नहीं है; हम अपने हैमिल्टनी प्रक्षोभ प्रणाली के भाग के रूप में इस तरह के एक आंतरिक उत्पाद का निर्माण करते हैं)।

इसलिए हम एक विशेष समय में बीआरएसटी संवृत विन्यास के सदिश समष्टि पर ध्यान केंद्रित करते हैं, इसे हैमिल्टनी प्रक्षोभ के लिए उपयुक्त मध्यवर्ती राज्यों के फॉक समष्टि में परिवर्तित करने के इरादे से। इसके लिए, हम इसे प्रत्येक क्षेत्र के ऊर्जा-संवेग eigenconfigurations (कणों) के लिए सीढ़ी प्रचालकों के साथ संपन्न करेंगे, जो उपयुक्त (एंटी-) कम्यूटेशन नियमों के साथ-साथ एक निश्चित निश्चित द्विरेखीय रूप|सकारात्मक अर्ध-निश्चित आंतरिक उत्पाद के साथ पूरा होगा। हमें आवश्यकता है कि आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता विशेष रूप से उन दिशाओं के साथ हो जो बीआरएसटी के सटीक आइजनस्टेट्स के अनुरूप हों। यह सुनिश्चित करता है कि कोई स्वतंत्र रूप से चयन कर सकता है, स्पर्शोन्मुख क्षेत्र विन्यास के दो तुल्यता वर्गों के भीतर से (अखंड) मुक्त-क्षेत्र हैमिल्टन के विशेष प्रारंभिक और अंतिम eigenstates के अनुरूप, बीआरएसटी बंद फॉक राज्यों की कोई भी जोड़ी जो हमें विकल्प है।

वांछित परिमाणीकरण निर्दिष्ट 'बीआरएसटी कोहोलॉजी' के लिए फॉक समष्टि आइसोमोर्फिक भी प्रदान करेंगे, जिसमें मध्यवर्ती राज्यों के प्रत्येक बीआरएसटी बंद समानता वर्ग (केवल एक सटीक राज्य से अलग) को एक राज्य द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें बीआरएसटी का कोई क्वांटा नहीं होता है सटीक क्षेत्र। यह वह फॉक समष्टि है जिसे हम सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं के लिए चाहते हैं; भले ही हम सामान्यतः विशेष अंतिम क्षेत्र विन्यास को चुनने में सफल नहीं होंगे, जिसके लिए माप-फिक्स्ड लग्रांजी डायनेमिक्स उस प्रारंभिक विन्यास को विकसित करेगा, बीआरएसटी के साथ आंतरिक उत्पाद की विलक्षणता स्वतंत्रता की सटीक डिग्री सुनिश्चित करती है कि हमें इसके लिए सही प्रविष्टियाँ मिलेंगी भौतिक प्रकीर्णी मैट्रिक्स।

(दरअसल, हमें शायद बीआरएसटी-बंद इंटरमीडिएट फॉक राज्यों के लिए एक करें समष्टि का निर्माण करना चाहिए, जिसमें टाइम रिवर्सल प्रचालक लोरेंस-अचर और पॉजिटिव सेमी-डेफिनिट अंदरूनी प्रोडक्ट ्स से संबंधित मौलिक समरूपता की भूमिका निभा रहा है। एसिम्प्टोटिक स्टेट समष्टि है। संभवतः हिल्बर्ट स्थान इस केरिन स्थान से बीआरएसटी सटीक राज्यों को उद्धृत करके प्राप्त किया गया है।)

संक्षेप में, बीआरएसटी माप स्थिरीकरण प्रक्रिया के भाग के रूप में प्रस्तुत किया गया कोई क्षेत्र माप-फिक्स्ड सिद्धांत के एसिम्प्टोटिक राज्यों में दिखाई नहीं देगा। हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि हम इन गैर-भौतिक क्षेत्रों के बिना प्रक्षोभ गणना के मध्यवर्ती राज्यों में कर सकते हैं! ऐसा इसलिए है क्योंकि अंतःक्रियात्मक चित्र में अनुत्पादक गणनाएँ की जाती हैं। वे अप्रत्यक्ष रूप से गैर-बातचीत हैमिल्टन के प्रारंभिक और अंतिम राज्यों को सम्मिलित करते हैं ${\mathcal {H}}_{0}$, धीरे-धीरे बातचीत हैमिल्टनी (माप कपलिंग) को चालू करके एडियाबेटिक प्रमेय के अनुसार पूर्ण हैमिल्टन की अवस्थाओं में परिवर्तित हो गया। फेनमैन आरेखों के संदर्भ में डायसन श्रृंखला के विस्तार में ऐसे शिखर सम्मिलित होंगे जो भौतिक कणों (जो मुक्त हैमिल्टनी के स्पर्शोन्मुख राज्यों में प्रकट हो सकते हैं) से अभौतिक कणों (क्षेत्रों के राज्य जो कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) के बाहर रहते हैं) में सम्मिलित होंगे।_Bया एस की छवि के अंदर_B) और शीर्ष जो अभौतिक कणों को एक दूसरे से जोड़ते हैं।

कुगो-ओजीमा एकात्मकता प्रश्नों का उत्तर

टी. कुगो और आई. ओजिमा को सामान्यतः सिद्धांत क्यूसीडी रंग परिरोध कसौटी की खोज का श्रेय दिया जाता है। Lagrangian ढांचे में बीआरएसटी औपचारिकता का एक सही संस्करण प्राप्त करने में उनकी भूमिका की कम व्यापक रूप से सराहना की जाती है। बीआरएसटी परिवर्तन के उनके संस्करण का निरीक्षण करना ज्ञानवर्धक है, जो पूर्णतया से ज्यामितीय कोण से आगे बढ़ने से पहले नए प्रस्तुत किए गए क्षेत्रों के हर्मिटियन प्रचालक गुणों पर जोर देता है। माप तय Lagrangian घनत्व नीचे है; कोष्ठक में दो शब्द माप और भूत क्षेत्रों के मध्य युग्मन बनाते हैं, और अंतिम शब्द सहायक क्षेत्र बी पर कार्यात्मक माप के लिए गॉसियन भार बन जाता है।

${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{\textrm {matter}}(\psi ,\,A_{\mu }^{a})-{\tfrac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\,\mu \nu }-(i(\partial ^{\mu }{\bar {c}}^{a})D_{\mu }^{ab}c^{b}+(\partial ^{\mu }B^{a})A_{\mu }^{a})+{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}B^{a}B^{a}$

बीआरएसटी प्रक्रिया की औपचारिक आवश्यकताओं से परे एक ज्यामितीय अर्थ रखने में हमारे माप-फिक्स्ड सिद्धांत के नए क्षेत्रों में फदीव-पोपोव भूत क्षेत्र सी अद्वितीय है। यह मौरर-कार्टन फॉर्म ऑन का एक संस्करण है $V{\mathfrak {E}}$, जो प्रत्येक सही-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्र से संबंधित है $\delta \lambda \in V{\mathfrak {E}}$ इसके प्रतिनिधित्व के लिए (एक चरण तक) एक के रूप में ${\mathfrak {g}}$-मूल्यवान क्षेत्र। इस क्षेत्र को वस्तुओं पर अतिसूक्ष्म माप परिवर्तनों के सूत्रों में प्रवेश करना चाहिए (जैसे कि फ़र्मियन ψ, माप बोसोन ए_μ, और भूत सी स्वयं) जो माप समूह का एक गैर-तुच्छ प्रतिनिधित्व करते हैं। δλ के संबंध में बीआरएसटी परिवर्तन इसलिए है:

${\begin{aligned}\delta \psi _{i}&=\delta \lambda D_{i}c\\\delta A_{\mu }&=\delta \lambda D_{\mu }c\\\delta c&=-\delta \lambda {\tfrac {g}{2}}[c,c]\\\delta {\bar {c}}&=i\delta \lambda B\\\delta B&=0\end{aligned}}$

यहां हमने मैटर क्षेत्रक ψ के विवरण को छोड़ दिया है और उस पर वार्ड प्रचालक के रूप को अनिर्दिष्ट छोड़ दिया है; ये तब तक महत्वहीन हैं जब तक पदार्थ क्षेत्रों पर माप बीजगणित का प्रतिनिधित्व उनके युग्मन के साथ δA के अनुरूप होता है_μ. हमारे द्वारा जोड़े गए अन्य क्षेत्रों के गुण ज्यामितीय के बजाय मौलिक रूप से विश्लेषणात्मक हैं। कनेक्शन के प्रति हमने जो पूर्वाग्रह प्रस्तुत किया है $\partial ^{\mu }A_{\mu }=0$ माप पर निर्भर है और इसका कोई विशेष ज्यामितीय महत्व नहीं है। भूत विरोधी ${\bar {c}}$ माप स्थिरीकरण टर्म के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायर के अलावा और कुछ नहीं है, और स्केलर क्षेत्र बी के गुण पूर्णतया से रिश्ते से तय होते हैं $\delta {\bar {c}}=i\delta \lambda B$. (नए क्षेत्र कूगो-ओजिमा सम्मेलनों में सभी हर्मिटियन हैं, परन्तु पैरामीटर δλ एक एंटी-हर्मिटियन एंटी-कम्यूटिंग सी-नंबर|सी-नंबर है। इसके परिणामस्वरूप चरणों के संबंध में कुछ अनावश्यक अजीबता होती है और प्रचालकों के माध्यम से इन्फिनिटिमल पैरामीटर पास होते हैं; इसे नीचे ज्यामितीय उपचार में परिपाटी में बदलाव के साथ हल किया जाएगा।)

हम पहले से ही जानते हैं, बीआरएसटी प्रचालक के संबंध से बाहरी अवकलज और फैडीव-पोपोव भूत से मौरर-कार्टन फॉर्म तक, कि भूत सी (एक चरण तक) से मेल खाता है ${\mathfrak {g}}$-वैल्यूड 1-फॉर्म ऑन $V{\mathfrak {E}}$. जैसे शब्द के एकीकरण के लिए $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$ सार्थक होने के लिए, भूत-विरोधी ${\bar {c}}$ इन दो लाइे बीजगणितों का प्रतिनिधित्व होना चाहिए - ऊर्ध्वाधर आदर्श $V{\mathfrak {E}}$ और माप बीजगणित ${\mathfrak {g}}$- भूत द्वारा उठाए गए लोगों के लिए। ज्यामितीय शब्दों में, ${\bar {c}}$ से तन्तुवाइज डुअल होना चाहिए ${\mathfrak {g}}$ और एक शीर्ष फॉर्म होने से एक रैंक कम $V{\mathfrak {E}}$. इसी तरह, सहायक क्षेत्र बी में का समान प्रतिनिधित्व होना चाहिए ${\mathfrak {g}}$ (एक चरण तक) के रूप में ${\bar {c}}$, साथ ही का प्रतिनिधित्व $V{\mathfrak {E}}$ ए पर इसके तुच्छ प्रतिनिधित्व के लिए दोहरी_μ-मैं। ई।, बी एक तन्तुवाइज है ${\mathfrak {g}}$-ड्युअल टॉप फॉर्म ऑन $V{\mathfrak {E}}$.

आइए हम सिद्धांत के एक-कण अवस्थाओं पर संक्षिप्त रूप से ध्यान केंद्रित करें, रूद्धोष्म रूप से विघटित सीमा g → 0 में। माप-फिक्स्ड हैमिल्टनी के फॉक समष्टि में दो प्रकार के क्वांटा हैं जिनकी हम पूर्णतया से कोर के बाहर होने की उम्मीद करते हैं। बीआरएसटी प्रचालक: फद्दीव-पोपोव भूत-विरोधी ${\bar {c}}$ और आगे ध्रुवीकृत माप बोसोन। ऐसा इसलिए है क्योंकि युक्त क्षेत्रों का कोई संयोजन नहीं है ${\bar {c}}$ स द्वारा नष्ट कर दिया जाता है_Bऔर हमने Lagrangian में एक माप ब्रेकिंग टर्म जोड़ा है जो डायवर्जेंस के समान है

$s_{B}\left({\bar {c}}\left(i\partial ^{\mu }A_{\mu }-{\tfrac {1}{2}}\alpha _{0}s_{B}{\bar {c}}\right)\right).$

इसी तरह, दो प्रकार के क्वांटा हैं जो पूर्णतया से बीआरएसटी प्रचालक की छवि में निहित होंगे: वे फद्दीव-पोपोव घोस्ट सी और स्केलर क्षेत्र बी, जो पिछड़े ध्रुवीकृत बनने के लिए कार्यात्मक समाकल में वर्ग को पूरा करके खाया जाता है। माप बोसोन। ये चार प्रकार के अभौतिक क्वांटा हैं जो एक अनुत्पादक गणना की स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं में प्रकट नहीं होंगे - यदि हम अपने परिमाणीकरण नियमों को सही पाते हैं।

एंटी-घोस्ट को पोंकारे इनवेरिएंस की खातिर लोरेंस अदिश के रूप में लिया जाता है $-i(\partial ^{\mu }{\bar {c}})D_{\mu }c$. हालाँकि, इसका (एंटी-) कम्यूटेशन कानून c-i के सापेक्ष है। ई।, इसका परिमाणीकरण प्रिस्क्रिप्शन, जो स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय को एक स्पिन-0 कण को ​​फर्मी-डिराक आँकड़े देकर अनदेखा करता है - इस आवश्यकता के अनुसार दिया जाएगा कि हमारे स्पर्शोन्मुख राज्यों के फॉक स्थान पर आंतरिक उत्पाद गणितीय विलक्षणता के साथ-साथ दिशाएँ हों। गैर-बीआरएसटी-बंद और बीआरएसटी-सटीक क्षेत्रों के कुछ संयोजन के ऊपर उठाने और घटाने वाले प्रचालकों के लिए। यह अंतिम कथन केवल बीआरएसटी समरूपता या बीआरएसटी परिवर्तन के विपरीत बीआरएसटी परिमाणीकरण की कुंजी है।

(Needs to be completed in the language of बीआरएसटी cohomology, with reference to the Kugo–Ojima treatment of asymptotic Fock space.)

माप पूलिका और ऊर्ध्वाधर आदर्श

बीआरएसटी विधि न्याय करने के लिए, हमें बीजगणित-मूल्यवान क्षेत्रों से मिन्कोव्स्की समष्टि चित्र पर परिमाण क्षेत्र सिद्धांत ग्रंथों (और उपरोक्त प्रदर्शनी) के तन्तु पूलिकाों की भाषा में स्विच करना होगा, जिसमें दो अलग-अलग तरीके हैं एक माप परिवर्तन को देखने के लिए: स्थानीय खंड के परिवर्तन के रूप में (सामान्य सापेक्षता में एक सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है) या मुख्य पूलिका के ऊर्ध्वाधर अंतर के साथ क्षेत्र विन्यास के बाधा (अंतर ज्यामिति) के रूप में। यह बाद का माप परिवर्तन है जो बीआरएसटी पद्धति में प्रवेश करता है। एक निष्क्रिय परिवर्तन के विपरीत, यह विश्व स्तर पर एक सिद्धांत पूलिका पर किसी भी संरचना समूह के साथ मनमाने ढंग से बहुविधअधिक परिभाषित है। (हालांकि, पारंपरिक क्यूएफटी के लिए संक्षिप्तता और प्रासंगिकता के लिए, यह आलेख 4-आयामी मिन्कोवस्की समष्टि पर कॉम्पैक्ट तन्तु के साथ प्रिंसिपल माप पूलिका के मामले में टिकेगा।)

4-बहुविध M पर एक प्रमुख माप पूलिका P स्थानीय रूप से U × F के लिए समरूपीय है, जहां U ⊂ R⁴ और तन्तु F ​​एक लाइ समूह G के लिए समरूपीय है, क्षेत्र प्रमुख का माप समूह (यह बहुविध संरचनाओं का एक समरूपता है, समूह संरचनाओं का नहीं; G में 1 के अनुरूप P में कोई विशेष सतह नहीं है , इसलिए यह कहना अधिक उचित है कि तन्तु F ​​एक G-टोरसर है)। इस प्रकार, (भौतिक) प्रमुख माप पूलिका (गणितीय) सिद्धांत G-पूलिका से संबंधित है परन्तु इसकी संरचना अधिक है। तन्तु पूलिका के रूप में इसकी सबसे मूलभूत विशेस्ता आधार स्थान के लिए प्रक्षेपण π : P → M है, जो P पर ऊर्ध्वाधर दिशाओं को परिभाषित करता है (जो तन्तु π⁻¹(p) के भीतर M में प्रत्येक बिंदु p पर स्थित हैं)। माप पूलिका के रूप में इसमें P पर G की वाम क्रिया होती है जो तन्तु संरचना का सम्मान करती है और एक प्रमुख पूलिका के रूप में P पर G की उचित क्रिया होती है जो तन्तु संरचना का भी सम्मान करती है और वाम क्रिया के साथ चलती है ।

P पर संरचना समूह G की वाम क्रिया एक व्यष्टिगत तन्तु पर समन्वय प्रणाली के मात्र परिवर्तन के अनुरूप है। (वैश्विक) उचित क्रिया R_g: P → P G में एक निश्चित g के लिए प्रत्येक तन्तु के एक वास्तविक स्वसमाकृतिकता और इसलिए P के मानचित्र के अनुरूप है। P के लिए एक सिद्धांत G-पूलिका के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, G में प्रत्येक g की वैश्विक उचित क्रिया g -अर्थात एक सपाट निर्भरता के साथ P की बहुविध संरचना के संबंध में एक स्वसमाकृतिकता P × G → P होना चाहिए।

संरचना समूह की वैश्विक उचित क्रिया का अस्तित्व P पर उचित अपरिवर्तनीय ज्यामितीय वस्तुओं का एक विशेष वर्ग चयन करता है- जो G में g के सभी मानो के लिए R_g के साथ वापस खींचे जाने पर परिवर्तित नहीं होते हैं। सबसे महत्वपूर्ण सही अपरिवर्तनीय वस्तुएं एक सिद्धांत पूलिका पर सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र हैं, जो एक आदर्श ${\mathfrak {E}}$ बनाते हैं। P पर वे सदिश क्षेत्र जो सही अपरिवर्तनीय और लंबवत रूप से एक आदर्श $V{\mathfrak {E}}$ का ${\mathfrak {E}}$ बनाते हैं जिसका लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}$ के समान माप समूह G के व्यक्तिगत G-टोरसर तन्तु F के लिए पूरे पूलिका P से संबंध है।

अभिरूचि के क्षेत्र सिद्धांत को प्रमुख माप पूलिका P पर परिभाषित क्षेत्रों (विभिन्न सदिश रिक्त स्थान में सपाट मानचित्र) के एक समुच्चय के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। अलग-अलग क्षेत्रों में माप समूह G के विभिन्न प्रतिनिधित्व होते हैं और संभवतः अन्य समरूपता के पोंकारे समूह जैसे बहुविध समूह है। कोई इन क्षेत्रों और उनके अवकलज में स्थानीय बहुपदों के स्थान Pl को परिभाषित कर सकता है। यह माना जाता है कि किसी के सिद्धांत का मौलिक लग्रांजी घनत्व बहुपदों के उपस्थान Pl₀ में स्थित है, जो किसी भी अखंड गैर-माप समरूपता समूहों के अंतर्गत वास्तविक-मूल्यवान और अपरिवर्तनीय हैं। यह न केवल वाम क्रिया (निष्क्रिय समन्वय परिवर्तन) और माप समूह की वैश्विक सही क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तनीय माना जाता है, बल्कि स्थानीय माप परिवर्तनों के अंतर्गत भी होता है - दाएं-अपरिवर्तनीय ऊर्ध्वाधर सदिश क्षेत्र $\epsilon \in V{\mathfrak {E}}$ के यादृच्छिक विकल्प के साथ जुड़े अत्यल्प डिफियोमोर्फिज्म के साथ बाधा है।

बहुविध P पर सदिश क्षेत्र के एक विशेष उप-स्थान के साथ स्थानीय माप परिवर्तनों की पहचान करना हमें अनंत-आयामी अत्यल्प से निपटने के लिए एक उन्नत रूपरेखा: अंतरीय ज्यामिति और बाह्य गणना से सज्जित करता है। एक अत्यल्प स्वसमाकृतिकता के साथ बाधा के अंतर्गत एक अदिष्ट क्षेत्र में परिवर्तन लाइ अवकलज में अधिकृत कर लिया गया है और सदिश क्षेत्र के पैमाने में केवल रैखिक शब्द को बनाए रखने की धारणा को आंतरिक अवकलज और बाह्य अवकलज में पृथक करके कार्यान्वित (इस संदर्भ में, रूपों और बाह्य कलन विशेष रूप से स्वतंत्रता की डिग्री को संदर्भित करते हैं जो माप पूलिका पर सदिश क्षेत्रों के लिए दोहरी हैं, आधार बहुविध या (रोमन) आव्यूह सूचकांक पर (ग्रीक) प्रदिश सूचकांक में व्यक्त की गई स्वतंत्रता की डिग्री के लिए नहीं माप बीजगणित पर सूचकांक) किया जाता है।n

बहुविध पर लाइ अवकलज एक विश्व स्तर पर अच्छी तरह से परिभाषित कार्य प्रणाली है, जोकि आंशिक अवकलज नहीं है। P की असतहीय बहुविध संरचना के लिए क्लेरो प्रमेय का उचित सामान्यीकरण सदिश क्षेत्रों के लाइ कोष्ठ और बाह्य अवकलज के शून्यता द्वारा दिया गया है और हम संगणना के लिए एक आवश्यक उपकरण प्राप्त करते हैं: सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय, जो हमें भागों द्वारा एकीकृत करने और सतह की अवधि को छोड़ने की अनुमति देता है, जब तक कि एक मुक्त सीमा होती है, उस दिशा में समाकलित तीव्रता से गिरता है। (यह एक तुच्छ धारणा नहीं है, परन्तु पुनर्सामान्यीकरण प्रविधि से निपटा जा सकता है जैसे कि आयामी नियमितीकरण जब तक कि सतह की अवधि को माप अचर बनाया जा सकता है)।