छेदक घन का समाकलन

छेदक घन का समाकल लगातार और चुनौतीपूर्ण होता प्रारंभिक कलन का अनिश्चितकालीन समाकल है:

${\textstyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+{\tfrac {1}{2}}\int \sec x\,dx+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\operatorname {gd} ^{-1}x)+C,\qquad |x|<{\tfrac {1}{2}}\pi \end{aligned}}}$

कहाँ ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ प्रतिलोम गुडरमैनियन समारोह है, जो छेदक फलन का समाकलन है।

ऐसे कई कारण हैं कि क्यों यह विशेष प्रतिपक्षी विशेष ध्यान देने योग्य है:

• उच्च समता (गणित) के समाकलों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक, सेकेंट की निम्नतर शक्तियों को कम करने के लिए इस सबसे सरल मामले में पूरी तरह से मौजूद है। अन्य मामले भी इसी तरह से किए जाते हैं।
• एकीकरण में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की उपयोगिता को छेदक की विषम शक्तियों के मामलों में प्रदर्शित किया जा सकता है (स्पर्शरेखा समारोह की शक्तियों को भी शामिल किया जा सकता है)।
• यह आमतौर पर प्रथम वर्ष के कैलकुलस कोर्स में किए जाने वाले कई इंटीग्रल में से एक है जिसमें आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक तरीका भागों द्वारा एकीकृत करना और उसी इंटीग्रल पर लौटना शामिल है जो एक के साथ शुरू हुआ (दूसरा एक घातांक प्रकार्य के उत्पाद का इंटीग्रल है) उन लोगों के या कोज्या फ़ंक्शन; फिर भी साइन या कोसाइन फ़ंक्शन की शक्ति का एक और अभिन्न)।
• इस समाकल का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल के मूल्यांकन में किया जाता है

$\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx,$ कहाँ $a$ एक स्थिरांक है। विशेष रूप से, यह की समस्याओं में प्रकट होता है

• चाप की लंबाई परवलय और आर्किमिडीयन सर्पिल
• घुमावदार का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना।

व्युत्पत्ति

भागों द्वारा एकीकरण

इस प्रतिपक्षी को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है, इस प्रकार है:

$\int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du$

कहाँ

$u=\sec x,\quad dv=\sec ^{2}x\,dx,\quad v=\tan x,\quad du=\sec x\tan x\,dx.$

तब

${\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}$

अगला जोड़ें ${\textstyle \int \sec ^{3}x\,dx}$ दोनों पक्षों के लिए:

${\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&=\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C,\end{aligned}}$

सिकेंट फ़ंक्शन के इंटीग्रल का उपयोग करके, ${\textstyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C.}$

अंत में, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

$\int \sec ^{3}x\,dx={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C,$

जिसे निकाला जाना था।

किसी परिमेय फलन के समाकल अंग में कमी

$\int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}$

कहाँ $u=\sin x$, ताकि $du=\cos x\,dx$. यह आंशिक अंशों द्वारा अपघटन को स्वीकार करता है:

${\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}={\frac {1}{4(1+u)}}+{\frac {1}{4(1+u)^{2}}}+{\frac {1}{4(1-u)}}+{\frac {1}{4(1-u)^{2}}}.$

टर्म-दर-टर्म एंटीडिफरेंशिएटिंग, एक को मिलता है

$\int \sec ^{n}x\tan ^{m}x\,dx$