फ्रोबेनियस समूह

गणित में, एक फ्रोबेनियस समूह एक परिमित सेट पर एक सकर्मक क्रमचय समूह है,जैसे कि कोई भी गैर-तुच्छ तत्व एक से अधिक बिंदु को ठीक नहीं करता है और कुछ गैर-तुच्छ तत्व एक बिंदु को ठीक करता है। उनका नाम फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस एफ के नाम पर रखा गया है

संरचना

मान लीजिए G एक फ्रोबेनियस समूह है जिसमें एक सेट X के क्रम परिवर्तन में सम्मिलित हैं। G के एक उपसमूह H को X के एक बिंदु को ठीक करने के लिए 'फ्रोबेनियस पूरक' कहा जाता है। पहचान तत्व सभी तत्वों के साथ मिलकर H के किसी भी संयुग्म में एक सामान्य उपसमूह नहीं बनाता है जिसे 'फ्रोबेनियस कर्नेल' K कहा जाता है। (यह फ्रोबेनियस (1901) के कारण एक प्रमेय है इस प्रमेय का अभी भी कोई प्रमाण नहीं है जो चरित्र सिद्धांत का उपयोग नहीं करता है, यद्यपि देखें ।) फ्रोबेनियस समूह G, K और H का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है:

$G=K\rtimes H$.

फ्रोबेनियस कर्नेल और फ्रोबेनियस पूरक दोनों में बहुत ही सीमित संरचनाएं हैं। जे जी थॉम्पसन (1960) ने सिद्ध किया कि फ्रोबेनियस कर्नेल K एक निलपोटेंट समूह है। यदि H की कोटि सम है तो K आबेली है। फ्रोबेनियस पूरक H में यह गुण है कि प्रत्येक उपसमूह जिसका क्रम 2 अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, चक्रीय है; इसका तात्पर्य है कि इसके साइलो उपसमूह चक्रीय या सामान्यीकृत चतुर्धातुक समूह हैं। कोई भी समूह जैसे कि सभी साइलो उपसमूह चक्रीय होते हैं उन्हें जेड-समूह कहा जाता है और विशेष रूप से एक मेटासाइक्लिक समूह होना चाहिए: इसका तात्पर्य यह है कि यह दो चक्रीय समूहों का विस्तार है। यदि एक फ्रोबेनियस पूरक H हल करने योग्य नहीं है तो ज़ैसेनहॉस ने दर्शाया कि यह एक उपसमूह 1 या 2 के सूचकांक का एक सामान्य उपसमूह है जो एसएल (2,5) का उत्पाद है और 30 के क्रम कोप्राइम के एक मेटासाइक्लिक समूह है। विशेष रूप से, यदि एक फ्रोबेनियस पूरक इसके व्युत्पन्न उपसमूह के साथ मेल खाता है, तो यह एसएल (2,5) के साथ तुल्याकारी है। यदि एक फ्रोबेनियस पूरक H हल करने योग्य है तो इसका एक सामान्य मेटासाइक्लिक उपसमूह होता है जैसे भागफल 4 बिंदुओं पर सममित समूह का एक उपसमूह होता है। एक परिमित समूह एक फ्रोबेनियस पूरक है अगर और केवल अगर यह एक परिमित क्षेत्र पर एक विश्वासयोग्य, परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है जिसमें गैर-पहचान समूह तत्व बिना शून्य निश्चित बिंदुओं के रैखिक परिवर्तनों के अनुरूप होते हैं।

फ्रोबेनियस कर्नेल के विशिष्ट रूप से G द्वारा निर्धारित किया जाता है क्योंकि यह फिटिंग उपसमूह है, और फ्रोबेनियस पूरक विशिष्ट रूप से शूर-ज़ासेनहॉस प्रमेय द्वारा संयुग्मन तक निर्धारित किया जाता है। विशेष रूप से एक परिमित समूह G एक तरह से एक फ्रोबेनियस समूह है।

उदाहरण

फानो विमान

*सबसे छोटा उदाहरण 6 तत्वों के साथ 3 बिंदुओं पर सममित समूह है। फ्रोबेनियस कर्नेल K का क्रम 3 है, और पूरक H का क्रम 2 है।

• प्रत्येक परिमित क्षेत्र के लिए F_qq (> 2) तत्वों के साथ, व्युत्क्रमणीय affine परिवर्तनों का समूह $x\mapsto ax+b$, $a\neq 0$ F पर स्वाभाविक रूप से कार्य करना_qफ्रोबेनियस समूह है। पिछला उदाहरण केस एफ से मेल खाता है₃, तीन तत्वों वाला क्षेत्र।
• एक अन्य उदाहरण 3-गुना समरूपता σ फिक्सिंग बिंदु और सभी 7 बिंदुओं के चक्रीय क्रमपरिवर्तन τ द्वारा उत्पन्न फ़ानो विमान के समतलीकरण के क्रम 21 के उपसमूह द्वारा प्रदान किया गया है, जो στ = τ को संतुष्ट करता है²σ. एफ की पहचान₈^× Fano तल के साथ, σ को फ्रोबेनियस automorphism σ(x) = x के प्रतिबंध के रूप में लिया जा सकता है² F₈ और τ को 0 या 1 नहीं (अर्थात् परिमित क्षेत्र का एक जनरेटर #F के अनुप्रयोग) किसी भी तत्व द्वारा गुणा किया जाना है₈). यह फ्रोबेनियस समूह फैनो विमान में 21 ध्वज (ज्यामिति) पर समूह क्रिया (गणित) # प्रकार की क्रियाओं का कार्य करता है, अर्थात चिह्नित बिंदुओं वाली रेखाएँ।
• एन ऑड के साथ ऑर्डर 2n का डायहेड्रल समूह ऑर्डर 2 के पूरक के साथ एक फ्रोबेनियस समूह है। अधिक आम तौर पर यदि K विषम क्रम का कोई एबेलियन समूह है और H का ऑर्डर 2 है और K पर व्युत्क्रम द्वारा कार्य करता है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद K.H एक है फ्रोबेनियस समूह।
• निम्नलिखित रचनाओं से और भी कई उदाहरण तैयार किए जा सकते हैं। यदि हम एक गैर-तुच्छ उपसमूह द्वारा फ्रोबेनियस समूह के फ्रोबेनियस पूरक को प्रतिस्थापित करते हैं तो हमें एक और फ्रोबेनियस समूह मिलता है। यदि हमारे पास दो फ्रोबेनियस समूह K₁H और के₂H तब (के₁× के₂.H भी एक फ्रोबेनियस समूह है।
• यदि K क्रम 7 का गैर-अबेलियन समूह है³ घातांक 7 के साथ, और H क्रम 3 का चक्रीय समूह है, तो एक फ्रोबेनियस समूह G है जो K द्वारा H का विस्तार K.H है। यह गैर-एबेलियन कर्नेल वाले फ्रोबेनियस समूह का उदाहरण देता है। यह नॉनबेलियन कर्नेल के साथ फ्रोबेनियस समूह का पहला उदाहरण था (यह ओटो श्मिट द्वारा निर्मित किया गया था)।
• यदि H समूह SL है₂(एफ₅) क्रम 120 का, यह 11 तत्वों वाले क्षेत्र के ऊपर द्वि-आयामी सदिश स्थान K पर मुक्त रूप से निश्चित बिंदु पर कार्य करता है। विस्तार K.H अघुलनशील समूह फ्रोबेनियस group का सबसे छोटा उदाहरण है।
• एक बिंदु तय करने वाले ज़सेनहॉस समूह का उपसमूह एक फ्रोबेनियस समूह है।
• फ्रोबेनियस समूह जिनके फिटिंग उपसमूह में मनमाने ढंग से बड़े निलपोटेंसी वर्ग हैं, Ito द्वारा निर्मित किए गए थे: मान लीजिए कि q एक प्रमुख शक्ति है, d एक धनात्मक पूर्णांक है, और d ≤ p के साथ q -1 का एक प्रधान भाजक है। कोटि q का कुछ क्षेत्र F और कोटि p वाले इस क्षेत्र का कुछ अवयव z नियत कीजिए। फ्रोबेनियस पूरक H विकर्ण मैट्रिक्स द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह है जिसकी i,i'वीं प्रविष्टि z है^{मैं । फ्रोबेनियस कर्नेल K, GL(d,q) का साइलो q-उपसमूह है, जिसमें तिरछे वाले ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह होते हैं। कर्नेल K में निलपोटेंसी क्लास d -1 है, और सेमीडायरेक्ट उत्पाद KH एक फ्रोबेनियस समूह है।}

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

एक फ्रोबेनियस समूह G के अलघुकरणीय जटिल अभ्यावेदन को H और K से पढ़ा जा सकता है। G के दो प्रकार के अलघुकरणीय निरूपण हैं:

• H का कोई भी अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व R, G से H तक भागफल मानचित्र का उपयोग करके G का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व देता है (जो कि एक प्रतिबंधित प्रतिनिधित्व के रूप में है)। ये अपने कर्नेल में K के साथ G का अलघुकरणीय निरूपण देते हैं।
• यदि S, K का कोई गैर-तुच्छ अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व है, तो G का संबंधित प्रेरित प्रतिनिधित्व भी अप्रासंगिक है। ये K के साथ G का अप्रासंगिक निरूपण देते हैं जो उनके कर्नेल में नहीं है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ

ऐसे कई समूह सैद्धांतिक गुण हैं जो अपने आप में दिलचस्प हैं, परंतु जो क्रमचय प्रतिनिधित्व वाले समूह के समतुल्य होते हैं जो इसे फ्रोबेनियस समूह बनाता है।

• G एक फ्रोबेनियस समूह है अगर और केवल अगर G के पास उचित, गैर-पहचान उपसमूह H है जैसे कि H ∩ H^g प्रत्येक g ∈ G - H के लिए पहचान उपसमूह है, अर्थात H, G का असामान्य उपसमूह है।

इस परिभाषा को तब तुच्छ प्रतिच्छेदन सेटों के अध्ययन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, जिसने सीए समूहों के वर्गीकरण में उपयोग किए जाने वाले फ्रोबेनियस समूहों के परिणामों को सीएन समूहों के परिणामों तक विस्तारित करने की अनुमति दी और अंत में विषम क्रम प्रमेय के परिणामों तक विस्तारित करने की अनुमति दी।

ये मानते हुए $G=K\rtimes H$ सामान्य उपसमूह K और H के पूरक का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है, तो केंद्रीकरण पर निम्नलिखित प्रतिबंध G के समान हैं जो फ्रोबेनियस पूरक H के साथ एक फ्रोबेनियस समूह है:

• केंद्रीय C_G(k) K में प्रत्येक गैर-समरूपता k के लिए K का एक उपसमूह है।
• C_H(k) = k में प्रत्येक गैर पहचान के लिए 1।
• C_G(H) ≤ H H में प्रत्येक गैर-पहचान H के लिए।

संदर्भ

• Frobenius, G. (1901), "Über auflösbare Gruppen. IV.", Berl. Ber. (in German): 1216–1230, doi:10.3931/e-rara-18836, JFM 32.0137.01{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
• B. Huppert, Endliche Gruppen I, Springer 1967
• I. M. Isaacs, Character theory of finite groups, AMS Chelsea 1976
• D. S. Passman, Permutation groups, Benjamin 1968
• Thompson, John G. (1960), "Normal p-complements for finite groups", Mathematische Zeitschrift, 72: 332–354, doi:10.1007/BF01162958, ISSN 0025-5874, MR 0117289