तंत्रिका जटिल: Difference between revisions

Revision as of 11:15, 11 May 2023

प्लेन में 3 समुच्चय वाले ओपन गुड आच्छादन की नर्व का निर्माण।

सांस्थिति में, एक समुच्चय वर्ग के तंत्रिका परिसर एक सार सरल जटिल है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करता है। इसका प्रारम्भ पावेल अलेक्जेंड्रोव ने किया था^[1] और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में अति आच्छादन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एक एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।^[2]

मूल परिभाषा

$I$ को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और $C$ समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ का एक वर्ग हो। $C$ की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय $I$ के परिमित उपसमुच्चय का एक समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय $J\subseteq I$ शामिल हैं जैसे कि $U_{i}$ का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक $J$ में है गैर-रिक्त है:^[3]^: 81

N(C):={\bigg \{}J\subseteq I:\bigcap _{j\in J}U_{j}\neq \varnothing ,J{\text{ finite set}}{\bigg \}}.

अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय $(U_{i})_{i\in I}$ कुछ सांस्थितिक समष्टि $X$ के विवृत समुच्चय हैं ।

समुच्चय $N(C)$ में एकल हो सकते हैं (अवयव $i\in I$ जैसे कि $U_{i}$ गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म $i,j\in I$ जैसे कि $U_{i}\cap U_{j}\neq \emptyset$ ), तीनो इत्यादि। यदि $J\in N(C)$ है, तो $J$ का कोई भी उपसमुच्चय भी $N(C)$ में है, जिससे $N(C)$ एक सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए $N(C)$ को प्रायः $C$ का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

उदाहरण

X को वृत्त $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2}\}$ होने दें, जहां $U_{1}$ एक चाप है जो $S^{1}$ के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करता है और $U_{2}$ एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करता है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी $S^{1}$ को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$ , जो एक सार 1-एकदिश है।
माना X वृत्त है $S^{1}$ और $C=\{U_{1},U_{2},U_{3}\}$ , जहां प्रत्येक $U_{i}$ एक तिहाई को आच्छादित करने वाला एक चाप है $S^{1}$ , आसन्न के साथ कुछ अधिव्यापन के साथ $U_{i}$ । तब $N(C)=\{\{1\},\{2\},\{3\},\{1,2\},\{2,3\},\{3,1\}\}$ । ध्यान दें कि {1,2,3} अंदर नहीं है $N(C)$ चूँकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; इसलिए $N(C)$ एक अधूरा त्रिकोण है।

सीच तंत्रिका

विवृत ढक्कन दिया $C=\{U_{i}:i\in I\}$ एक सांस्थितिक समष्टि का $X$ , या अधिक आम तौर पर ग्रोथेंडिक सांस्थिति में एक आच्छादन , हम जोड़ीवार पुलबैक_(श्रेणी_सिद्धांत) पर विचार कर सकते हैं। $U_{ij}=U_{i}\times _{X}U_{j}$ , जो एक सांस्थितिक समष्टि के मामले में बिल्कुल प्रतिच्छेदन हैं $U_{i}\cap U_{j}$ । ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को कहा जा सकता है $C\times _{X}C$ और ट्रिपल प्रतिच्छेदन के रूप में $C\times _{X}C\times _{X}C$ ।

प्राकृतिक मानचित्रों पर विचार करके $U_{ij}\to U_{i}$ और $U_{i}\to U_{ii}$ , हम एक साधारण वस्तु का निर्माण कर सकते हैं $S(C)_{\bullet }$ द्वारा परिभाषित $S(C)_{n}=C\times _{X}\cdots \times _{X}C$ , एन-गुना फाइबर उत्पाद। यह सीच तंत्रिका है।^[4] जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से महसूस कर सकते हैं: $|S(\pi _{0}(C))|$ ।

तंत्रिका प्रमेय

तंत्रिका परिसर $N(C)$ एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि (समुच्चय में समुच्चय का संघ) की तुलना में बहुत सरल होता है $C$ )। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या सांस्थिति है $N(C)$ की सांस्थिति के बराबर है $\bigcup C$ ।

सामान्य तौर पर, यह मामला नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी किसी भी N-sphere|n-sphere को दो अनुबंधित समुच्चयों के साथ आच्छादित कर सकता है $U_{1}$ और $U_{2}$ जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस मामले में, $N(C)$ एक अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है लेकिन एक गोले के समान नहीं है।

हालाँकि, कुछ मामलों में $N(C)$ एक्स की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सर्कल को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा ऊपर उदाहरण 2 में जोड़ों में प्रतिच्छेद करता है, तो $N(C)$ एक 2-सिंप्लेक्स है (इसके आंतरिक भाग के बिना) और यह होमोटॉपी-मूल सर्कल के बराबर है।^[5] एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो गारंटी देने के लिए सी पर पर्याप्त शर्तें देता है $N(C)$ कुछ अर्थों में, की सांस्थिति को दर्शाता है $\bigcup C$ ।

लेरे की तंत्रिका प्रमेय

जॉन लेरे के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि कोई प्रतिच्छेदन समुच्चय होता है $N(C)$ संविदात्मक स्थान है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$ समुच्चय $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या सिकुड़ा जा सकता है; समतुल्य: सी एक अच्छा आच्छादन है), फिर $N(C)$ होमोटॉपी-समतुल्य है $\bigcup C$ ।

बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय

एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय करोल बोरसुक को दिया जाता है।^[6]^[3]^{: 81, Thm.4.4.4} माना के₁,।।।,क_nसार सरल जटिल हो, और K। Let U द्वारा उनके संघ को निरूपित करें_i= ||के_i|| = K का सार सरल जटिल_i, और {यू की तंत्रिका को निरूपित करें₁, ।।। , यू_n} द्वारा एन।

यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$ , प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त या सिकुड़ा जा सकता है, तो N होमोटॉपी-K के बराबर है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था।^[7] यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए $J\subset I$ , प्रतिच्छेदन $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ या तो रिक्त है या एन-कनेक्टेड समष्टि|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें होमोटॉपी समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है यदि और केवल-यदि के के-कनेक्टेड है।

चेक तंत्रिका प्रमेय

एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि $X$ कॉम्पैक्ट है और सी में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर स्थान

 $|S(\pi _{0}(C))|$  होमोटॉपी-समतुल्य है  $X$ ।^[8]

होमोलॉजिकल तंत्रिका प्रमेय

निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है।^[9] प्रत्येक परिमित के लिए $J\subset I$ , निरूपित करें $H_{J,j}:={\tilde {H}}_{j}(\bigcap _{i\in J}U_{i})=$ जे-वें कम समरूपता समूह $\bigcap _{i\in J}U_{i}$ ।

यदि एच_J,jN(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए तुच्छ समूह है और {0, ।।।, k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:

${\tilde {H}}_{j}(N(C))\cong {\tilde {H}}_{j}(X)$ {0, ।।।, k} में सभी j के लिए;
यदि ${\tilde {H}}_{k+1}(N(C))\not \cong 0$ तब ${\tilde {H}}_{k+1}(X)\not \cong 0$ ।

यह भी देखें

हाइपरकवरिंग

संदर्भ

↑ Aleksandroff, P. S. (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007/BF01451612. S2CID 119590045.
↑ Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952-12-31). बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.
↑ ^3.0 ^3.1 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3
↑ "Čech nerve in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-07.
↑ Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). "एटेल होमोटॉपी". Lecture Notes in Mathematics. 100. doi:10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.
↑ Borsuk, Karol (1948). "साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर". Fundamenta Mathematicae. 35 (1): 217–234. doi:10.4064/fm-35-1-217-234. ISSN 0016-2736.
↑ Björner, Anders (2003-04-01). "नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों". Journal of Combinatorial Theory. Series A (in English). 102 (1): 88–93. doi:10.1016/S0097-3165(03)00015-3. ISSN 0097-3165.
↑ Nerve theorem at the nLab
↑ Meshulam, Roy (2001-01-01). "क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान". Combinatorica (in English). 21 (1): 89–94. doi:10.1007/s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

[1] Aleksandroff, P. S. (1928). "Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung". Mathematische Annalen. 98: 617–635. doi:10.1007/BF01451612. S2CID 119590045.

[2] Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952-12-31). बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव. Princeton: Princeton University Press. doi:10.1515/9781400877492. ISBN 978-1-4008-7749-2.

[:0-3] 3.0 ^3.1 Matoušek, Jiří (2007). Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry (2nd ed.). Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5. Written in cooperation with Anders Björner and Günter M. Ziegler , Section 4.3

[4] "Čech nerve in nLab". ncatlab.org. Retrieved 2020-08-07.

[5] Artin, Michael; Mazur, Barry (1969). "एटेल होमोटॉपी". Lecture Notes in Mathematics. 100. doi:10.1007/bfb0080957. ISBN 978-3-540-04619-6. ISSN 0075-8434.

[6] Borsuk, Karol (1948). "साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर". Fundamenta Mathematicae. 35 (1): 217–234. doi:10.4064/fm-35-1-217-234. ISSN 0016-2736.

[7] Björner, Anders (2003-04-01). "नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों". Journal of Combinatorial Theory. Series A (in English). 102 (1): 88–93. doi:10.1016/S0097-3165(03)00015-3. ISSN 0097-3165.

[8] Nerve theorem at the nLab

[:3-9] Meshulam, Roy (2001-01-01). "क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान". Combinatorica (in English). 21 (1): 89–94. doi:10.1007/s004930170006. ISSN 1439-6912. S2CID 207006642.

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-[[File:Constructing nerve.png|thumb|प्लेन में 3 सेट वाले ओपन गुड कवर की नर्व का निर्माण।]][[टोपोलॉजी]] में, एक [[सेट परिवार]] का तंत्रिका परिसर एक [[सार सरल जटिल]] है जो परिवार में सेट के बीच के चौराहों के पैटर्न को रिकॉर्ड करता है। इसकी शुरुआत [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] ने की थी<ref>{{cite journal |last=Aleksandroff |first=P. S. |author-link=Pavel Alexandrov |year=1928 |title=Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=98 |pages=617–635 |doi=10.1007/BF01451612 |s2cid=119590045}}</ref> और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में [[ hypercovering ]] द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई दिलचस्प टोपोलॉजिकल गुणों को एक एल्गोरिथम या कॉम्बिनेटरियल तरीके से कैप्चर करता है।<ref>{{Cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव|last2=Steenrod |first2=Norman |date=1952-12-31 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7749-2 |location=Princeton |doi=10.1515/9781400877492 |author1-link=Samuel Eilenberg |author2-link=Norman Steenrod}}</ref>
+[[File:Constructing nerve.png|thumb|प्लेन में 3 समुच्चय वाले ओपन गुड आच्छादन की नर्व का निर्माण।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, एक [[सेट परिवार|समुच्चय वर्ग]] के तंत्रिका परिसर एक [[सार सरल जटिल]] है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करता है। इसका प्रारम्भ [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] ने किया था<ref>{{cite journal |last=Aleksandroff |first=P. S. |author-link=Pavel Alexandrov |year=1928 |title=Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=98 |pages=617–635 |doi=10.1007/BF01451612 |s2cid=119590045}}</ref> और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से एक आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में [[ hypercovering |अति आच्छादन]] द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एक एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।<ref>{{Cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव|last2=Steenrod |first2=Norman |date=1952-12-31 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7749-2 |location=Princeton |doi=10.1515/9781400877492 |author1-link=Samuel Eilenberg |author2-link=Norman Steenrod}}</ref>
 == मूल परिभाषा ==
-होने देना <math>I</math> सूचकांकों का एक सेट हो और <math>C</math> सेट का परिवार बनें <math>(U_i)_{i\in I}</math>. की नस <math>C</math> इंडेक्स सेट के परिमित सबसेट का एक सेट है<math>I</math>. इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय शामिल हैं <math>J\subseteq I</math> ऐसा है कि का चौराहा <math>U_i</math> जिनके सबइंडिसिस में हैं <math>J</math> खाली नहीं है:<ref name=":0">{{Cite Matousek 2007}}, Section 4.3</ref>{{Rp|page=81|location=}}
+<math>I</math> को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और <math>C</math> समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> का एक वर्ग हो। <math>C</math> की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> के परिमित उपसमुच्चय का एक समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय <math>J\subseteq I</math> शामिल हैं जैसे कि <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक <math>J</math> में है गैर-रिक्त है:<ref name=":0">{{Cite Matousek 2007}}, Section 4.3</ref>{{Rp|page=81|location=}}
 :<math>N(C) :=  \bigg\{J\subseteq I: \bigcap_{j\in J}U_j \neq \varnothing, J \text{ finite set} \bigg\}.</math>
-अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, सेट <math>(U_i)_{i\in I}</math> कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के [[ खुला सेट ]] हैं <math>X</math>.
+अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> कुछ सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[ खुला सेट |विवृत समुच्चय]] हैं ।
-सेट <math>N(C)</math> सिंगलटन हो सकते हैं (element <math>i \in I</math> ऐसा है कि <math>U_i</math> खाली नहीं है), जोड़े (तत्वों के जोड़े <math>i,j \in I</math> ऐसा है कि <math>U_i \cap U_j \neq \emptyset</math>), ट्रिपलेट इत्यादि। अगर <math>J \in N(C)</math>, फिर का कोई उपसमुच्चय <math>J</math> में भी है <math>N(C)</math>, बनाना <math>N(C)</math> एक सार सरल जटिल। इसलिए एन (सी) को अक्सर का तंत्रिका परिसर कहा जाता है <math>C</math>.
+समुच्चय <math>N(C)</math> में एकल हो सकते हैं (अवयव <math>i \in I</math> जैसे कि <math>U_i</math> गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म <math>i,j \in I</math> जैसे कि <math>U_i \cap U_j \neq \emptyset</math>), तीनो इत्यादि। यदि <math>J \in N(C)</math> है, तो <math>J</math> का कोई भी उपसमुच्चय भी <math>N(C)</math> में है, जिससे <math>N(C)</math> एक सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए <math>N(C)</math> को प्रायः <math>C</math> का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।
 == उदाहरण ==
-# माना X वृत्त है <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2\}</math>, कहाँ <math>U_1</math> के ऊपरी आधे हिस्से को कवर करने वाला एक चाप है <math>S^1</math> और <math>U_2</math> एक चाप है जो इसके निचले आधे हिस्से को ढकता है, दोनों तरफ कुछ ओवरलैप के साथ (सभी को कवर करने के लिए उन्हें दोनों तरफ ओवरलैप करना चाहिए <math>S^1</math>). तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}</math>, जो एक सार 1-सिम्प्लेक्स है।
+# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2\}</math> होने दें, जहां <math>U_1</math> एक चाप है जो <math>S^1</math> के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करता है और <math>U_2</math> एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करता है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी <math>S^1</math> को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}</math>, जो एक सार 1-एकदिश है।
-# माना X वृत्त है <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2, U_3\}</math>, जहां प्रत्येक <math>U_i</math> एक तिहाई को कवर करने वाला एक चाप है <math>S^1</math>, आसन्न के साथ कुछ ओवरलैप के साथ <math>U_i</math>. तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\} \}</math>. ध्यान दें कि {1,2,3} अंदर नहीं है <math>N(C)</math> चूँकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन खाली है; इसलिए <math>N(C)</math> एक अधूरा त्रिकोण है।
+# माना X वृत्त है <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2, U_3\}</math>, जहां प्रत्येक <math>U_i</math> एक तिहाई को आच्छादित करने वाला एक चाप है <math>S^1</math>, आसन्न के साथ कुछ अधिव्यापन के साथ <math>U_i</math>। तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\} \}</math>। ध्यान दें कि {1,2,3} अंदर नहीं है <math>N(C)</math> चूँकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; इसलिए <math>N(C)</math> एक अधूरा त्रिकोण है।
 == सीच तंत्रिका ==
-[[खुला ढक्कन]] दिया <math>C=\{U_i: i\in I\}</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math>, या अधिक आम तौर पर [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी]] में एक कवर, हम जोड़ीवार पुलबैक_(श्रेणी_सिद्धांत) पर विचार कर सकते हैं। <math>U_{ij}=U_i\times_XU_j</math>, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के मामले में बिल्कुल चौराहे हैं <math>U_i\cap U_j</math>. ऐसे सभी चौराहों के संग्रह को कहा जा सकता है <math>C\times_X C</math> और ट्रिपल चौराहों के रूप में <math>C\times_X C\times_X C</math>.
+[[खुला ढक्कन|विवृत ढक्कन]] दिया <math>C=\{U_i: i\in I\}</math> एक सांस्थितिक समष्टि का <math>X</math>, या अधिक आम तौर पर [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] में एक आच्छादन , हम जोड़ीवार पुलबैक_(श्रेणी_सिद्धांत) पर विचार कर सकते हैं। <math>U_{ij}=U_i\times_XU_j</math>, जो एक सांस्थितिक समष्टि के मामले में बिल्कुल प्रतिच्छेदन हैं <math>U_i\cap U_j</math>। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को कहा जा सकता है <math>C\times_X C</math> और ट्रिपल प्रतिच्छेदन के रूप में <math>C\times_X C\times_X C</math>।
-प्राकृतिक मानचित्रों पर विचार करके <math>U_{ij}\to U_i</math> और <math>U_i\to U_{ii}</math>, हम एक साधारण वस्तु का निर्माण कर सकते हैं <math>S(C)_\bullet</math> द्वारा परिभाषित <math>S(C)_n=C\times_X\cdots\times_XC</math>, एन-गुना फाइबर उत्पाद। यह सीच तंत्रिका है।<ref>{{Cite web|title=Čech nerve in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/%C4%8Cech+nerve|access-date=2020-08-07|website=ncatlab.org}}</ref> जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण सेट मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से महसूस कर सकते हैं: <math>|S(\pi_0(C))|</math>.
+प्राकृतिक मानचित्रों पर विचार करके <math>U_{ij}\to U_i</math> और <math>U_i\to U_{ii}</math>, हम एक साधारण वस्तु का निर्माण कर सकते हैं <math>S(C)_\bullet</math> द्वारा परिभाषित <math>S(C)_n=C\times_X\cdots\times_XC</math>, एन-गुना फाइबर उत्पाद। यह सीच तंत्रिका है।<ref>{{Cite web|title=Čech nerve in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/%C4%8Cech+nerve|access-date=2020-08-07|website=ncatlab.org}}</ref> जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से महसूस कर सकते हैं: <math>|S(\pi_0(C))|</math>।
 == तंत्रिका प्रमेय ==
-तंत्रिका परिसर <math>N(C)</math> एक साधारण संयोजन वस्तु है। अक्सर, यह अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस (सेट में सेट का संघ) की तुलना में बहुत सरल होता है <math>C</math>). इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या टोपोलॉजी है <math>N(C)</math> की टोपोलॉजी के बराबर है <math>\bigcup C</math>.
+तंत्रिका परिसर <math>N(C)</math> एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि (समुच्चय में समुच्चय का संघ) की तुलना में बहुत सरल होता है <math>C</math>)। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या सांस्थिति है <math>N(C)</math> की सांस्थिति के बराबर है <math>\bigcup C</math>।
-सामान्य तौर पर, यह मामला नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी किसी भी N-sphere|n-sphere को दो अनुबंधित सेटों के साथ कवर कर सकता है <math>U_1</math> और <math>U_2</math> जिसमें एक गैर-खाली चौराहा है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस मामले में, <math>N(C)</math> एक अमूर्त 1-सिम्प्लेक्स है, जो एक रेखा के समान है लेकिन एक गोले के समान नहीं है।
+सामान्य तौर पर, यह मामला नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी किसी भी N-sphere|n-sphere को दो अनुबंधित समुच्चयों के साथ आच्छादित कर सकता है <math>U_1</math> और <math>U_2</math> जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस मामले में, <math>N(C)</math> एक अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है लेकिन एक गोले के समान नहीं है।
-हालाँकि, कुछ मामलों में <math>N(C)</math> एक्स की टोपोलॉजी को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सर्कल को तीन खुले चापों द्वारा कवर किया जाता है, जैसा ऊपर उदाहरण 2 में जोड़ों में प्रतिच्छेद करता है, तो <math>N(C)</math> एक 2-सिंप्लेक्स है (इसके आंतरिक भाग के बिना) और यह होमोटॉपी-मूल सर्कल के बराबर है।<ref>{{Cite journal|last1=Artin|first1=Michael|author1-link=Michael Artin|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=Barry Mazur|date=1969|title=एटेल होमोटॉपी|journal=[[Lecture Notes in Mathematics]]|volume=100| doi=10.1007/bfb0080957|isbn=978-3-540-04619-6|issn=0075-8434}}</ref>
+हालाँकि, कुछ मामलों में <math>N(C)</math> एक्स की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सर्कल को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा ऊपर उदाहरण 2 में जोड़ों में प्रतिच्छेद करता है, तो <math>N(C)</math> एक 2-सिंप्लेक्स है (इसके आंतरिक भाग के बिना) और यह होमोटॉपी-मूल सर्कल के बराबर है।<ref>{{Cite journal|last1=Artin|first1=Michael|author1-link=Michael Artin|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=Barry Mazur|date=1969|title=एटेल होमोटॉपी|journal=[[Lecture Notes in Mathematics]]|volume=100| doi=10.1007/bfb0080957|isbn=978-3-540-04619-6|issn=0075-8434}}</ref>
-एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो गारंटी देने के लिए ''सी'' पर पर्याप्त शर्तें देता है <math>N(C)</math> कुछ अर्थों में, की टोपोलॉजी को दर्शाता है<math>\bigcup C</math>.
+एक तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो गारंटी देने के लिए ''सी'' पर पर्याप्त शर्तें देता है <math>N(C)</math> कुछ अर्थों में, की सांस्थिति को दर्शाता है<math>\bigcup C</math>।
 === लेरे की तंत्रिका प्रमेय ===
-[[ जॉन लेरे ]] के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि कोई प्रतिच्छेदन सेट होता है <math>N(C)</math> संविदात्मक स्थान है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित के लिए <math>J\subset I</math> सेट <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो खाली है या सिकुड़ा जा सकता है; समतुल्य: सी एक अच्छा कवर है), फिर <math>N(C)</math> होमोटॉपी-समतुल्य है<math>\bigcup C</math>.
+[[ जॉन लेरे | जॉन लेरे]] के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि कोई प्रतिच्छेदन समुच्चय होता है <math>N(C)</math> संविदात्मक स्थान है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित के लिए <math>J\subset I</math> समुच्चय <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या सिकुड़ा जा सकता है; समतुल्य: सी एक अच्छा आच्छादन है), फिर <math>N(C)</math> होमोटॉपी-समतुल्य है<math>\bigcup C</math>।
 === बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय ===
-एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय [[करोल बोरसुक]] को दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Borsuk |first=Karol |date=1948 |title=साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर|url=https://eudml.org/doc/213158 |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=35 |issue=1 |pages=217–234 |doi=10.4064/fm-35-1-217-234 |issn=0016-2736}}</ref><ref name=":0" />{{Rp|page=81|location=Thm.4.4.4}} माना के<sub>1</sub>,...,क<sub>n</sub>सार सरल जटिल हो, और K. Let U द्वारा उनके संघ को निरूपित करें<sub>i</sub>= ||के<sub>i</sub>|| = K का सार सरल जटिल<sub>i</sub>, और {यू की तंत्रिका को निरूपित करें<sub>1</sub>, ... , यू<sub>n</sub>} द्वारा एन.
+एक असतत संस्करण है, जिसका श्रेय [[करोल बोरसुक]] को दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Borsuk |first=Karol |date=1948 |title=साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर|url=https://eudml.org/doc/213158 |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=35 |issue=1 |pages=217–234 |doi=10.4064/fm-35-1-217-234 |issn=0016-2736}}</ref><ref name=":0" />{{Rp|page=81|location=Thm.4.4.4}} माना के<sub>1</sub>,।।।,क<sub>n</sub>सार सरल जटिल हो, और K। Let U द्वारा उनके संघ को निरूपित करें<sub>i</sub>= ||के<sub>i</sub>|| = K का सार सरल जटिल<sub>i</sub>, और {यू की तंत्रिका को निरूपित करें<sub>1</sub>, ।।। , यू<sub>n</sub>} द्वारा एन।
-यदि, प्रत्येक गैर-खाली के लिए <math>J\subset I</math>, चौराहा <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो खाली या सिकुड़ा जा सकता है, तो N होमोटॉपी-K के बराबर है।
+यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त या सिकुड़ा जा सकता है, तो N होमोटॉपी-K के बराबर है।
-एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था।<ref>{{Cite journal |last=Björner |first=Anders |authorlink=Anders Björner|date=2003-04-01 |title=नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A |language=en |volume=102 |issue=1 |pages=88–93 |doi=10.1016/S0097-3165(03)00015-3 |doi-access=free |issn=0097-3165}}</ref> यदि, प्रत्येक गैर-खाली के लिए <math>J\subset I</math>, चौराहा  <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो खाली है या [[एन-कनेक्टेड स्पेस]]|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें [[होमोटॉपी समूह]] के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है अगर और केवल-अगर के के-कनेक्टेड है।
+एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक मजबूत प्रमेय सिद्ध किया गया था।<ref>{{Cite journal |last=Björner |first=Anders |authorlink=Anders Björner|date=2003-04-01 |title=नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A |language=en |volume=102 |issue=1 |pages=88–93 |doi=10.1016/S0097-3165(03)00015-3 |doi-access=free |issn=0097-3165}}</ref> यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या [[एन-कनेक्टेड स्पेस|एन-कनेक्टेड समष्टि]]|(के-|जे|+1)-कनेक्टेड है, तो प्रत्येक जे ≤ के लिए, एन का जे-वें होमोटोपी समूह के के जे-वें [[होमोटॉपी समूह]] के लिए आइसोमॉर्फिक है। विशेष रूप से , एन के-कनेक्टेड है यदि और केवल-यदि के के-कनेक्टेड है।
 === चेक तंत्रिका प्रमेय ===
-एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि <math>X</math> कॉम्पैक्ट है और सी में सेट के सभी चौराहे अनुबंधित या खाली हैं, फिर स्थान
+एक अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त चेक तंत्रिका से संबंधित है: यदि <math>X</math> कॉम्पैक्ट है और सी में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर स्थान
-  <math>|S(\pi_0(C))|</math> होमोटॉपी-समतुल्य है <math>X</math>.<ref>{{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}</ref>
+  <math>|S(\pi_0(C))|</math> होमोटॉपी-समतुल्य है <math>X</math>।<ref>{{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}</ref>
 === होमोलॉजिकल तंत्रिका प्रमेय ===
-निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय कवर में सेट के चौराहों के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है।<ref name=":3">{{Cite journal|last=Meshulam|first=Roy|date=2001-01-01|title=क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान|journal=[[Combinatorica]]| language=en|volume=21|issue=1|pages=89–94|doi=10.1007/s004930170006|s2cid=207006642|issn=1439-6912}}</ref> प्रत्येक परिमित के लिए <math>J\subset I</math>, निरूपित करें <math>H_{J,j} := \tilde{H}_j(\bigcap_{i\in J} U_i)=</math> जे-वें कम समरूपता समूह <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math>.
+निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के होमोलॉजी समूहों का उपयोग करता है।<ref name=":3">{{Cite journal|last=Meshulam|first=Roy|date=2001-01-01|title=क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान|journal=[[Combinatorica]]| language=en|volume=21|issue=1|pages=89–94|doi=10.1007/s004930170006|s2cid=207006642|issn=1439-6912}}</ref> प्रत्येक परिमित के लिए <math>J\subset I</math>, निरूपित करें <math>H_{J,j} := \tilde{H}_j(\bigcap_{i\in J} U_i)=</math> जे-वें कम समरूपता समूह <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math>।
-अगर एच<sub>J,j</sub>N(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए [[तुच्छ समूह]] है और {0, ..., k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:
+यदि एच<sub>J,j</sub>N(C) के k-कंकाल में सभी J के लिए [[तुच्छ समूह]] है और {0, ।।।, k-dim(J)} में सभी j के लिए है, तो N(C) समरूपता-समरूपता में X के बराबर है निम्नलिखित अर्थ:
-* <math>\tilde{H}_j(N(C)) \cong \tilde{H}_j(X)</math> {0, ..., k} में सभी j के लिए;
+* <math>\tilde{H}_j(N(C)) \cong \tilde{H}_j(X)</math> {0, ।।।, k} में सभी j के लिए;
-* अगर <math>\tilde{H}_{k+1}(N(C))\not\cong 0</math> तब <math>\tilde{H}_{k+1}(X)\not\cong 0</math> .
+* यदि <math>\tilde{H}_{k+1}(N(C))\not\cong 0</math> तब <math>\tilde{H}_{k+1}(X)\not\cong 0</math> ।
 == यह भी देखें ==

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सीच तंत्रिका