एर्लांगेन कार्यक्रम: Difference between revisions
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गणित में, एर्लांगेन कार्यक्रम [[समूह सिद्धांत]] और प्रक्षेपी [[ज्यामिति]] के आधार पर ज्यामिति को चिह्नित करने की एक विधि है। इसे 1872 में [[फेलिक्स क्लेन]] द्वारा | गणित में, एर्लांगेन कार्यक्रम [[समूह सिद्धांत]] और प्रक्षेपी [[ज्यामिति]] के आधार पर ज्यामिति को चिह्नित करने की एक विधि है। इसे 1872 में [[फेलिक्स क्लेन]] द्वारा वर्ग्लिचेंडे बेट्राचुंगेन उबेर न्यूरे जियोमेट्रिशे फोर्सचुंगेन के रूप में प्रकाशित किया गया था। इसका नाम एर्लांगेन-नूर्नबर्ग विश्वविद्यालय के नाम पर रखा गया है। | ||
1872 तक, | 1872 तक, गैर-[[यूक्लिडियन ज्यामिति]] | गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति उभरी थी, किंतु उनके पदानुक्रम और संबंधों को निर्धारित करने के विधि के बिना क्लेन की पद्धति मौलिक रूप से तीन विधि से नवीन थी: | ||
:* [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] पर उनके द्वारा विचार की गई अन्य सभी ज्यामितियों के लिए एकीकृत फ्रेम के रूप में जोर दिया गया था। विशेष रूप से, यूक्लिडियन ज्यामिति एफाइन ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक थी, जो बदले में प्रक्षेपी ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक है। | :* [[प्रक्षेपी ज्यामिति]] पर उनके द्वारा विचार की गई अन्य सभी ज्यामितियों के लिए एकीकृत फ्रेम के रूप में जोर दिया गया था। विशेष रूप से, यूक्लिडियन ज्यामिति एफाइन ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक थी, जो बदले में प्रक्षेपी ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक है। | ||
:* क्लेन ने प्रस्तावित किया कि समूह सिद्धांत, गणित की एक शाखा जो [[समरूपता]] के विचार को अमूर्त करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग करती है, ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित करने का सबसे उपयोगी | :* क्लेन ने प्रस्तावित किया कि समूह सिद्धांत, गणित की एक शाखा जो [[समरूपता]] के विचार को अमूर्त करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग करती है, ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित करने का सबसे उपयोगी विधि था; उस समय इसे गैल्वा सिद्धांत के रूप में समीकरणों के सिद्धांत में पहले ही प्रस्तुत किया जा चुका था। | ||
: * क्लेन ने इस विचार को और अधिक स्पष्ट किया कि प्रत्येक ज्यामितीय भाषा की अपनी, उपयुक्त अवधारणाएँ होती हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए प्रक्षेपी ज्यामिति ने शंकु वर्गों के बारे में सही बात की, | : * क्लेन ने इस विचार को और अधिक स्पष्ट किया कि प्रत्येक ज्यामितीय भाषा की अपनी, उपयुक्त अवधारणाएँ होती हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए प्रक्षेपी ज्यामिति ने शंकु वर्गों के बारे में सही बात की, किंतु मंडलियों या [[कोण]] के बारे में नहीं क्योंकि वे धारणाएँ प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं थीं (कुछ परिचित) [[ज्यामितीय दृष्टिकोण]])। जिस तरह से ज्यामिति की कई भाषाएँ एक साथ वापस आईं, उन्हें एक दूसरे से संबंधित [[समरूपता समूह]] के [[उपसमूह]] द्वारा समझाया जा सकता है। | ||
बाद में, एली कार्टन ने कुछ [[प्रमुख बंडल]] | बाद में, एली कार्टन ने कुछ [[प्रमुख बंडल]] पर [[कार्टन कनेक्शन|कार्टन संबंध]] के लिए क्लेन के सजातीय मॉडल रिक्त स्थान को सामान्यीकृत किया, जिसने रीमैनियन ज्यामिति को सामान्यीकृत किया था । | ||
==उन्नीसवीं सदी की ज्यामिति की समस्याएं== | ==उन्नीसवीं सदी की ज्यामिति की समस्याएं == | ||
[[यूक्लिड]] के बाद से, ज्यामिति का | [[यूक्लिड]] के बाद से, ज्यामिति का अर्थ दो आयामों (यूक्लिडियन विमान ज्यामिति) या तीन आयामों (ठोस ज्यामिति) के [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] की ज्यामिति था। उन्नीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में छवि को जटिल बनाने वाले कई विकास हुए थे। गणितीय अनुप्रयोगों के लिए [[उच्च आयाम]] की ज्यामिति की आवश्यकता होती है; पारंपरिक यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव की ध्यान से छानबीन ने दूसरों से समानांतर सिद्धांत की स्वतंत्रता का खुलासा किया था, और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का जन्म हुआ था। क्लेन ने एक विचार प्रस्तावित किया कि ये सभी नई ज्यामिति प्रक्षेपी ज्यामिति के केवल विशेष स्थिति हैं, जैसा कि पहले से ही [[ जीन-विक्टर पोंसेलेट ]], अगस्त फर्डिनेंड मोबियस , [[आर्थर केली]] और अन्य द्वारा विकसित किया गया है। क्लेन ने गणितीय भौतिकविदों को दृढ़ता से सुझाव दिया कि प्रक्षेपी दायरे की एक सामान्य साधना भी उनके लिए पर्याप्त लाभ ला सकती है। | ||
प्रत्येक ज्यामिति के साथ, क्लेन एक अंतर्निहित समरूपता समूह से जुड़ा हुआ है। ज्यामिति के पदानुक्रम को इस प्रकार गणितीय रूप से इन समूहों (गणित) के पदानुक्रम और उनके [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] के पदानुक्रम के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, लंबाई, कोण और क्षेत्र समरूपता के [[यूक्लिडियन समूह]] के संबंध में संरक्षित हैं, जबकि केवल [[घटना संरचना]] और क्रॉस-अनुपात सबसे सामान्य प्रक्षेपी ज्यामिति के तहत संरक्षित हैं। समांतर (ज्यामिति) वाद की एक अवधारणा, जो एफ़ाइन ज्यामिति में संरक्षित है, प्रक्षेपी ज्यामिति में अर्थपूर्ण नहीं है। फिर, ज्यामिति से समरूपता के अंतर्निहित [[समूह (गणित)]] को अमूर्त करके, उनके बीच के संबंधों को समूह स्तर पर फिर से स्थापित किया जा सकता है। चूंकि एफाइन ज्योमेट्री का समूह | प्रत्येक ज्यामिति के साथ, क्लेन एक अंतर्निहित समरूपता समूह से जुड़ा हुआ है। ज्यामिति के पदानुक्रम को इस प्रकार गणितीय रूप से इन समूहों (गणित) के पदानुक्रम और उनके [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] के पदानुक्रम के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, लंबाई, कोण और क्षेत्र समरूपता के [[यूक्लिडियन समूह]] के संबंध में संरक्षित हैं, जबकि केवल [[घटना संरचना]] और क्रॉस-अनुपात सबसे सामान्य प्रक्षेपी ज्यामिति के तहत संरक्षित हैं। समांतर (ज्यामिति) वाद की एक अवधारणा, जो एफ़ाइन ज्यामिति में संरक्षित है, प्रक्षेपी ज्यामिति में अर्थपूर्ण नहीं है। फिर, ज्यामिति से समरूपता के अंतर्निहित [[समूह (गणित)]] को अमूर्त करके, उनके बीच के संबंधों को समूह स्तर पर फिर से स्थापित किया जा सकता है। चूंकि एफाइन ज्योमेट्री का समूह प्रक्षेपी ज्योमेट्री के समूह का एक उपसमूह है, प्रक्षेपी ज्योमेट्री में कोई भी धारणा अपरिवर्तनीय है, जो एफाइन ज्योमेट्री में एक प्राथमिक सार्थक है; किंतु दूसरी तरफ नहीं यदि आप आवश्यक समरूपता को हटा देते हैं, तो आपके पास अधिक शक्तिशाली सिद्धांत है किंतु कम अवधारणाएं और प्रमेय (जो अधिक गहरा और अधिक सामान्य होगा) है । | ||
== सजातीय रिक्त स्थान == | == सजातीय रिक्त स्थान == | ||
दूसरे शब्दों में, पारंपरिक स्थान [[सजातीय स्थान]] हैं; | दूसरे शब्दों में, पारंपरिक स्थान [[सजातीय स्थान]] हैं; किंतु विशिष्ट रूप से निर्धारित समूह के लिए नहीं। समूह बदलने से उपयुक्त ज्यामितीय भाषा बदल जाती है। | ||
आज की भाषा में | आज की भाषा में मौलिक ज्यामिति से संबंधित सभी समूहों को लाई समूह के रूप में जाना जाता है: [[शास्त्रीय समूह|मौलिक समूह]] विधि भाषा का उपयोग करते हुए विशिष्ट संबंधों को अधिक सरलता से वर्णित किया गया है। | ||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
उदाहरण के लिए, n वास्तविक-मूल्यवान आयामों में प्रक्षेपी ज्यामिति का समूह n-आयामी वास्तविक प्रक्षेपी स्थान का समरूपता समूह है (डिग्री का [[सामान्य रैखिक समूह]] {{nowrap|''n'' + 1}}, [[स्केलर मैट्रिक्स]] द्वारा उद्धृत)। एफ़िन समूह अनंत पर चुने गए हाइपरप्लेन का सम्मान करने वाला उपसमूह होगा (स्वयं मानचित्रण, बिंदुवार | उदाहरण के लिए, n वास्तविक-मूल्यवान आयामों में प्रक्षेपी ज्यामिति का समूह n-आयामी वास्तविक प्रक्षेपी स्थान का समरूपता समूह है (डिग्री का [[सामान्य रैखिक समूह]] {{nowrap|''n'' + 1}}, [[स्केलर मैट्रिक्स]] द्वारा उद्धृत)। एफ़िन समूह अनंत पर चुने गए हाइपरप्लेन का सम्मान करने वाला उपसमूह होगा (स्वयं मानचित्रण, बिंदुवार स्थिरीकरण नहीं)। इस उपसमूह की एक ज्ञात संरचना है ([[अनुवाद (ज्यामिति)]] के उपसमूह के साथ डिग्री n के सामान्य रैखिक समूह का [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]])। यह विवरण तब हमें बताता है कि कौन से गुण 'एफ़ाइन' हैं। यूक्लिडियन समतल ज्यामिति के शब्दों में, एक समांतर चतुर्भुज होने के कारण संबंध होता है क्योंकि परिशोधन परिवर्तन सदैव एक समांतर चतुर्भुज को दूसरे में ले जाता है। एक व्रत होने के नाते एफ़िन नहीं है क्योंकि एक एफ़िन अपरुपण एक व्रत को दीर्घवृत्त में ले जाएगी। | ||
एफाइन और यूक्लिडियन ज्यामिति के बीच के संबंध को | एफाइन और यूक्लिडियन ज्यामिति के बीच के संबंध को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, अब हमें एफाइन समूह के अंदर यूक्लिडियन ज्यामिति के समूह को पिन करने की आवश्यकता है। यूक्लिडियन समूह वास्तव में (एफ़िन समूह के पिछले विवरण का उपयोग करके) अनुवाद के साथ ऑर्थोगोनल (घूर्णन और परावर्तन) समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद (अधिक विवरण के लिए [[क्लेन ज्यामिति]] देखें।) है। | ||
==बाद के काम पर प्रभाव== | ==बाद के काम पर प्रभाव== | ||
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एर्लांगेन कार्यक्रम के दीर्घकालिक प्रभाव पूरे शुद्ध गणित में देखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] पर मौन प्रयोग देखें); और [[समरूपता (भौतिकी)]] के समूहों का उपयोग करके रूपांतरण और संश्लेषण का विचार भौतिकी में मानक बन गया है। | एर्लांगेन कार्यक्रम के दीर्घकालिक प्रभाव पूरे शुद्ध गणित में देखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए [[सर्वांगसमता (ज्यामिति)]] पर मौन प्रयोग देखें); और [[समरूपता (भौतिकी)]] के समूहों का उपयोग करके रूपांतरण और संश्लेषण का विचार भौतिकी में मानक बन गया है। | ||
जब [[टोपोलॉजी]] को [[होमियोमोर्फिज्म]] के तहत गुण अपरिवर्तनीय (गणित) के संदर्भ में नियमित रूप से वर्णित किया जाता है, तो कोई | जब [[टोपोलॉजी]] को [[होमियोमोर्फिज्म]] के तहत गुण अपरिवर्तनीय (गणित) के संदर्भ में नियमित रूप से वर्णित किया जाता है, तो कोई संचालक में अंतर्निहित विचार देख सकता है। सम्मिलित समूह लगभग सभी स्थितियों में अनंत-आयामी होंगे - और झूठ समूह नहीं - किंतु दर्शन समान है। अवश्य ही यह ज्यादातर क्लेन के शैक्षणिक प्रभाव की बात करता है। किताबें जैसे कि एच.एस.एम. कॉक्सेटर नियमित रूप से 'ज्यामिति' को 'जगह' देने में सहायता करने के लिए अरलैंगेन प्रोग्राम दृष्टिकोण का उपयोग करता है। शैक्षणिक दृष्टि से, कार्यक्रम [[रूपांतरण ज्यामिति]] बन गया, इस अर्थ में एक मिश्रित आशीर्वाद कि यह यूक्लिड की शैली की तुलना में शसक्त अंतर्ज्ञान पर बनाता है, किंतु कम आसानी से एक [[तार्किक प्रणाली]] में परिवर्तित हो जाता है। | ||
अपनी पुस्तक | अपनी पुस्तक स्ट्रक्चरलिज्म (1970) में जीन पियागेट कहते हैं, "बोरबाकी जैसे समकालीन संरचनावादी गणितज्ञों की नज़र में, एर्लांगेन कार्यक्रम संरचनावाद के लिए केवल एक आंशिक जीत है, क्योंकि वे संरचना के विचार के लिए न केवल ज्यामिति किंतु सभी गणित को अधीनस्थ करना चाहते हैं। " | ||
एक ज्यामिति और उसके समूह के लिए, समूह के एक तत्व को कभी-कभी ज्यामिति की [[गति (ज्यामिति)]] कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[अतिशयोक्तिपूर्ण गति]]यों के आधार पर एक विकास के माध्यम से [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] के पोंकारे अर्ध-विमान मॉडल के बारे में सीख सकते हैं। इस तरह के विकास से क्रमिक गतियों द्वारा [[अति समानांतर प्रमेय]] को व्यवस्थित रूप से सिद्ध करने में | एक ज्यामिति और उसके समूह के लिए, समूह के एक तत्व को कभी-कभी ज्यामिति की [[गति (ज्यामिति)]] कहा जाता है। उदाहरण के लिए, [[अतिशयोक्तिपूर्ण गति]]यों के आधार पर एक विकास के माध्यम से [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] के पोंकारे अर्ध-विमान मॉडल के बारे में सीख सकते हैं। इस तरह के विकास से क्रमिक गतियों द्वारा [[अति समानांतर प्रमेय]] को व्यवस्थित रूप से सिद्ध करने में सहायता मिलती है। | ||
== एर्लांगेन कार्यक्रम से सार रिटर्न == | == एर्लांगेन कार्यक्रम से सार रिटर्न == | ||
अधिकांशतः , ऐसा प्रतीत होता है कि समरूप [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] के साथ दो या दो से अधिक विशिष्ट ज्यामिति हैं। अमूर्त समूह से ज्यामिति तक एर्लांगेन कार्यक्रम को पढ़ने का प्रश्न उठता है। | |||
एक उदाहरण: उन्मुख (अर्थात, परावर्तन (गणित) | एक उदाहरण: उन्मुख (अर्थात, परावर्तन (गणित) सम्मिलित नहीं है) दीर्घवृत्तीय ज्यामिति (अर्थात, एक n-क्षेत्र की सतह n-गोले की पहचान की गई विपरीत बिंदुओं के साथ) और उन्मुख [[गोलाकार ज्यामिति]] (समान गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति|गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, किंतु विपरीत बिंदुओं की पहचान नहीं की गई) समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n+1) भी n के लिए है। ये अलग प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि , यह पता चला है कि ज्यामिति बहुत निकट से संबंधित हैं, एक तरह से जिसे स्पष्ट बनाया जा सकता है। | ||
एक और उदाहरण लेने के लिए, वक्रता (गणित) के विभिन्न त्रिज्या वाले [[अण्डाकार ज्यामिति]] में | एक और उदाहरण लेने के लिए, वक्रता (गणित) के विभिन्न त्रिज्या वाले [[अण्डाकार ज्यामिति|दीर्घवृताकार ज्यामिति]] में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं। यह वास्तव में समालोचना के रूप में नहीं गिना जाता है क्योंकि ऐसी सभी ज्यामिति [[समरूप]] हैं। जनरल रीमैनियन ज्यामिति कार्यक्रम की सीमाओं के बाहर आती है। | ||
समूह SL2(R)|SL(2,'R') के लिए [[जटिल आंकड़े]], [[दोहरी संख्या]] और [[ विभाजित-जटिल संख्या ]] | समूह SL2(R)|SL(2,'R') के लिए [[जटिल आंकड़े]], [[दोहरी संख्या]] और [[ विभाजित-जटिल संख्या ]] डबल (स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स के रूप में भी जाना जाता है) संख्या सजातीय रिक्त स्थान SL(2,'R')/H के रूप में दिखाई देते हैं। ) और इसके उपसमूह H=A, N, K.<ref name="raw">{{cite book |last=Kisil |first=Vladimir V. |year=2012 |title=Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R) | location=London |publisher=Imperial College Press|page=xiv+192 |isbn=978-1-84816-858-9 | doi=10.1142/p835}}</ref> समूह SL(2,R) [[रैखिक आंशिक परिवर्तन]] द्वारा इन सजातीय स्थानों पर कार्य करता है और संबंधित ज्यामिति का एक बड़ा भगा अरलैंगेन कार्यक्रम से एक समान विधि से प्राप्त किया जा सकता है। | ||
भौतिकी में कुछ और उल्लेखनीय उदाहरण सामने आए हैं। | भौतिकी में कुछ और उल्लेखनीय उदाहरण सामने आए हैं। | ||
सबसे पहले, ''n''- | सबसे पहले, ''n''-आयाम अतिपरवलिक ज्योमेट्री, ''n''-आयाम [[सिटर स्पेस द्वारा|सिटर स्थान द्वारा]] और (''n''−1)-आयाम [[ उलटा ज्यामिति | व्युत्क्रम ज्यामिति]] सभी में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं, | ||
:<math>\mathrm{O}(n,1)/\mathrm{C}_2,\ </math> | :<math>\mathrm{O}(n,1)/\mathrm{C}_2,\ </math> | ||
[[ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ समूह]], के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 3}}. | [[ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ समूह]], के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 3}}. किंतु ये स्पष्ट रूप से अलग ज्यामिति हैं। यहां भौतिकी से कुछ चित्ताकर्षक परिणाम दर्ज होते हैं। यह दिखाया गया है कि तीन ज्यामितीयों में से प्रत्येक में भौतिकी मॉडल कुछ मॉडलों के लिए दोहरे हैं। | ||
फिर से, | फिर से, ''n''-आयाम एंटी-डी [[ट्विस्टर स्पेस|सिटर]] स्थान और (''n''-1) लोरेंट्ज़ियन हस्ताक्षर के साथ आयाम [[अनुरूप स्थान]] (यूक्लिडियन हस्ताक्षर के साथ अनुरूप स्थान के विपरीत, जो तीन आयामों या अधिक के लिए व्युत्क्रम ज्यामिति के समान है) में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह हैं। , किंतु विशिष्ट ज्यामिति हैं। एक बार फिर, भौतिकी में दोनों ज्यामिति के बीच द्वैत वाले मॉडल हैं। अधिक विवरण के लिए एडीएस/सीएफटी देखें। | ||
SU(2,2) का | SU(2,2) का आच्छादन समूह SO(4,2) के आच्छादन समूह के लिए समरूप है, जो कि 4D अनुरूप मिन्कोस्की स्थान और 5D एंटी-डी सिटर स्थान और एक कॉम्प्लेक्स फोर-आयाम ट्विस्टर का समरूपता समूह स्थान है। | ||
भौतिकी में द्वैत के संबंध में | भौतिकी में द्वैत के संबंध में अरलैंगेन कार्यक्रम को अभी भी उर्वर माना जा सकता है। | ||
सेमिनल पेपर में जिसने [[श्रेणी सिद्धांत]] | सेमिनल पेपर में जिसने [[श्रेणी सिद्धांत]] प्रस्तुत किया, [[सॉन्डर्स मैक लेन]] और [[सैमुअल एलेनबर्ग]] ने कहा: इसे क्लेन एर्लांगर कार्यक्रम की निरंतरता के रूप में माना जा सकता है, इस अर्थ में कि इसके परिवर्तनों के समूह के साथ एक ज्यामितीय स्थान अपने बीजगणित के साथ एक श्रेणी के लिए सामान्यीकृत मैपिंग का है। <ref>S. Eilenberg and S. Mac Lane, ''A general theory of natural equivalences'', Trans. Amer. Math. Soc., 58:231–294, 1945. (p. 237); the point is elaborated in Jean-Pierre Marquis (2009), ''From a Geometrical Point of View: A Study of the History of Category Theory'', Springer, {{ISBN|978-1-4020-9383-8}}</ref> | ||
ज्यामिति में [[groupoid|ग्रुपॉयड]] पर [[चार्ल्स एह्रेसमैन]] के काम के साथ एर्लांगेन कार्यक्रम के संबंध नीचे दिए गए लेख में प्रदीन्स द्वारा विचार किए गए हैं।<ref name=":0">Jean Pradines, ''In [[Ehresmann]]'s footsteps: from group geometries to [[groupoid]] geometries'' (English summary) Geometry and topology of manifolds, 87–157, Banach Center Publ., 76, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2007.</ref> | |||
[[गणितीय तर्क]] में, एर्लांगेन कार्यक्रम ने [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के लिए अल्फ्रेड टार्स्की या तार्किक धारणाओं पर काम के अपने विश्लेषण में एक प्रेरणा के रूप में भी काम किया था।<ref name=":1">Luca Belotti, ''Tarski on Logical Notions'', Synthese, 404-413, 2003.</ref> | |||
'''<br />र्लांगेन कार्यक्रम के संबंध नीचे दिए गए लेख में प्रदीन्स द्वारा विचार किए गए हैं।<ref name=":0" />''' | |||
'''[[गणितीय तर्क]] में, एर्लांगेन कार्यक्रम ने [[अल्फ्रेड टार्स्की]] के लिए अल्फ्रेड टार्स्की या तार्किक धारणाओं पर काम के अपने विश्लेषण में एक प्रेरणा के रूप में भी काम किया था।<ref name=":1" />''' | |||
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*Klein, Felix (1872) "A comparative review of recent researches in geometry". Complete English Translation is here https://arxiv.org/abs/0807.3161. | *Klein, Felix (1872) "A comparative review of recent researches in geometry". Complete English Translation is here https://arxiv.org/abs/0807.3161. | ||
*Sharpe, Richard W. (1997) ''Differential geometry: Cartan's generalization of Klein's | *Sharpe, Richard W. (1997) ''Differential geometry: Cartan's generalization of Klein's अरलैंगेन program'' Vol. 166. Springer. | ||
*[[Heinrich Guggenheimer]] (1977) ''Differential Geometry'', Dover, New York, {{ISBN|0-486-63433-7}}. | *[[Heinrich Guggenheimer]] (1977) ''Differential Geometry'', Dover, New York, {{ISBN|0-486-63433-7}}. | ||
:Covers the work of Lie, Klein and Cartan. On p. 139 Guggenheimer sums up the field by noting, "A Klein geometry is the theory of geometric invariants of a transitive transformation group ( | :Covers the work of Lie, Klein and Cartan. On p. 139 Guggenheimer sums up the field by noting, "A Klein geometry is the theory of geometric invariants of a transitive transformation group (अरलैंगेन program, 1872)". | ||
* Thomas Hawkins (1984) "The ''Erlanger Program'' of Felix Klein: Reflections on Its Place In the History of Mathematics", [[Historia Mathematica]] 11:442–70. | * Thomas Hawkins (1984) "The ''Erlanger Program'' of Felix Klein: Reflections on Its Place In the History of Mathematics", [[Historia Mathematica]] 11:442–70. | ||
* {{springer|title=Erlangen program|id=p/e036190}} | * {{springer|title=Erlangen program|id=p/e036190}} | ||
* Lizhen Ji and Athanase Papadopoulos (editors) (2015) ''Sophus Lie and Felix Klein: The | * Lizhen Ji and Athanase Papadopoulos (editors) (2015) ''Sophus Lie and Felix Klein: The अरलैंगेन program and its impact in mathematics and physics'', IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich. | ||
*[[Felix Klein]] (1872) "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ('A comparative review of recent researches in geometry'), Mathematische Annalen, 43 (1893) pp. 63–100 (Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp. 460–497). | *[[Felix Klein]] (1872) "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ('A comparative review of recent researches in geometry'), Mathematische Annalen, 43 (1893) pp. 63–100 (Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp. 460–497). | ||
:An English translation by [[Mellen Haskell]] appeared in ''Bull. N. Y. Math. Soc'' 2 (1892–1893): 215–249. | :An English translation by [[Mellen Haskell]] appeared in ''Bull. N. Y. Math. Soc'' 2 (1892–1893): 215–249. | ||
:The original German text of the | :The original German text of the अरलैंगेन program can be viewed at the University of Michigan online collection at [http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ABN7632], and also at [https://web.archive.org/web/20070704222336/http://www.xs4all.nl/~jemebius/ErlangerProgramm.htm] in HTML format. | ||
:A central information page on the | :A central information page on the अरलैंगेन program maintained by [[John Baez]] is at [http://math.ucr.edu/home/baez/erlangen/]. | ||
*[[Felix Klein]] (2004) ''Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry'', Dover, New York, {{ISBN|0-486-43481-8}} | *[[Felix Klein]] (2004) ''Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry'', Dover, New York, {{ISBN|0-486-43481-8}} | ||
:(translation of ''Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus'', Teil II: Geometrie, pub. 1924 by Springer). Has a section on the | :(translation of ''Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus'', Teil II: Geometrie, pub. 1924 by Springer). Has a section on the अरलैंगेन program. | ||
{{DEFAULTSORT:Erlangen program}}[[Category: शास्त्रीय ज्यामिति]] [[Category: समरूपता]] [[Category: समूह सिद्धांत]] [[Category: सजातीय रिक्त स्थान]] [[Category: पाना]] | {{DEFAULTSORT:Erlangen program}}[[Category: शास्त्रीय ज्यामिति]] [[Category: समरूपता]] [[Category: समूह सिद्धांत]] [[Category: सजातीय रिक्त स्थान]] [[Category: पाना]] | ||
Revision as of 10:06, 27 April 2023
गणित में, एर्लांगेन कार्यक्रम समूह सिद्धांत और प्रक्षेपी ज्यामिति के आधार पर ज्यामिति को चिह्नित करने की एक विधि है। इसे 1872 में फेलिक्स क्लेन द्वारा वर्ग्लिचेंडे बेट्राचुंगेन उबेर न्यूरे जियोमेट्रिशे फोर्सचुंगेन के रूप में प्रकाशित किया गया था। इसका नाम एर्लांगेन-नूर्नबर्ग विश्वविद्यालय के नाम पर रखा गया है।
1872 तक, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति | गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति उभरी थी, किंतु उनके पदानुक्रम और संबंधों को निर्धारित करने के विधि के बिना क्लेन की पद्धति मौलिक रूप से तीन विधि से नवीन थी:
- प्रक्षेपी ज्यामिति पर उनके द्वारा विचार की गई अन्य सभी ज्यामितियों के लिए एकीकृत फ्रेम के रूप में जोर दिया गया था। विशेष रूप से, यूक्लिडियन ज्यामिति एफाइन ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक थी, जो बदले में प्रक्षेपी ज्यामिति की तुलना में अधिक प्रतिबंधात्मक है।
- क्लेन ने प्रस्तावित किया कि समूह सिद्धांत, गणित की एक शाखा जो समरूपता के विचार को अमूर्त करने के लिए बीजगणितीय विधियों का उपयोग करती है, ज्यामितीय ज्ञान को व्यवस्थित करने का सबसे उपयोगी विधि था; उस समय इसे गैल्वा सिद्धांत के रूप में समीकरणों के सिद्धांत में पहले ही प्रस्तुत किया जा चुका था।
- * क्लेन ने इस विचार को और अधिक स्पष्ट किया कि प्रत्येक ज्यामितीय भाषा की अपनी, उपयुक्त अवधारणाएँ होती हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए प्रक्षेपी ज्यामिति ने शंकु वर्गों के बारे में सही बात की, किंतु मंडलियों या कोण के बारे में नहीं क्योंकि वे धारणाएँ प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं थीं (कुछ परिचित) ज्यामितीय दृष्टिकोण)। जिस तरह से ज्यामिति की कई भाषाएँ एक साथ वापस आईं, उन्हें एक दूसरे से संबंधित समरूपता समूह के उपसमूह द्वारा समझाया जा सकता है।
बाद में, एली कार्टन ने कुछ प्रमुख बंडल पर कार्टन संबंध के लिए क्लेन के सजातीय मॉडल रिक्त स्थान को सामान्यीकृत किया, जिसने रीमैनियन ज्यामिति को सामान्यीकृत किया था ।
उन्नीसवीं सदी की ज्यामिति की समस्याएं
यूक्लिड के बाद से, ज्यामिति का अर्थ दो आयामों (यूक्लिडियन विमान ज्यामिति) या तीन आयामों (ठोस ज्यामिति) के यूक्लिडियन अंतरिक्ष की ज्यामिति था। उन्नीसवीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध में छवि को जटिल बनाने वाले कई विकास हुए थे। गणितीय अनुप्रयोगों के लिए उच्च आयाम की ज्यामिति की आवश्यकता होती है; पारंपरिक यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव की ध्यान से छानबीन ने दूसरों से समानांतर सिद्धांत की स्वतंत्रता का खुलासा किया था, और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का जन्म हुआ था। क्लेन ने एक विचार प्रस्तावित किया कि ये सभी नई ज्यामिति प्रक्षेपी ज्यामिति के केवल विशेष स्थिति हैं, जैसा कि पहले से ही जीन-विक्टर पोंसेलेट , अगस्त फर्डिनेंड मोबियस , आर्थर केली और अन्य द्वारा विकसित किया गया है। क्लेन ने गणितीय भौतिकविदों को दृढ़ता से सुझाव दिया कि प्रक्षेपी दायरे की एक सामान्य साधना भी उनके लिए पर्याप्त लाभ ला सकती है।
प्रत्येक ज्यामिति के साथ, क्लेन एक अंतर्निहित समरूपता समूह से जुड़ा हुआ है। ज्यामिति के पदानुक्रम को इस प्रकार गणितीय रूप से इन समूहों (गणित) के पदानुक्रम और उनके अपरिवर्तनीय (गणित) के पदानुक्रम के रूप में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, लंबाई, कोण और क्षेत्र समरूपता के यूक्लिडियन समूह के संबंध में संरक्षित हैं, जबकि केवल घटना संरचना और क्रॉस-अनुपात सबसे सामान्य प्रक्षेपी ज्यामिति के तहत संरक्षित हैं। समांतर (ज्यामिति) वाद की एक अवधारणा, जो एफ़ाइन ज्यामिति में संरक्षित है, प्रक्षेपी ज्यामिति में अर्थपूर्ण नहीं है। फिर, ज्यामिति से समरूपता के अंतर्निहित समूह (गणित) को अमूर्त करके, उनके बीच के संबंधों को समूह स्तर पर फिर से स्थापित किया जा सकता है। चूंकि एफाइन ज्योमेट्री का समूह प्रक्षेपी ज्योमेट्री के समूह का एक उपसमूह है, प्रक्षेपी ज्योमेट्री में कोई भी धारणा अपरिवर्तनीय है, जो एफाइन ज्योमेट्री में एक प्राथमिक सार्थक है; किंतु दूसरी तरफ नहीं यदि आप आवश्यक समरूपता को हटा देते हैं, तो आपके पास अधिक शक्तिशाली सिद्धांत है किंतु कम अवधारणाएं और प्रमेय (जो अधिक गहरा और अधिक सामान्य होगा) है ।
सजातीय रिक्त स्थान
दूसरे शब्दों में, पारंपरिक स्थान सजातीय स्थान हैं; किंतु विशिष्ट रूप से निर्धारित समूह के लिए नहीं। समूह बदलने से उपयुक्त ज्यामितीय भाषा बदल जाती है।
आज की भाषा में मौलिक ज्यामिति से संबंधित सभी समूहों को लाई समूह के रूप में जाना जाता है: मौलिक समूह विधि भाषा का उपयोग करते हुए विशिष्ट संबंधों को अधिक सरलता से वर्णित किया गया है।
उदाहरण
उदाहरण के लिए, n वास्तविक-मूल्यवान आयामों में प्रक्षेपी ज्यामिति का समूह n-आयामी वास्तविक प्रक्षेपी स्थान का समरूपता समूह है (डिग्री का सामान्य रैखिक समूह n + 1, स्केलर मैट्रिक्स द्वारा उद्धृत)। एफ़िन समूह अनंत पर चुने गए हाइपरप्लेन का सम्मान करने वाला उपसमूह होगा (स्वयं मानचित्रण, बिंदुवार स्थिरीकरण नहीं)। इस उपसमूह की एक ज्ञात संरचना है (अनुवाद (ज्यामिति) के उपसमूह के साथ डिग्री n के सामान्य रैखिक समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद)। यह विवरण तब हमें बताता है कि कौन से गुण 'एफ़ाइन' हैं। यूक्लिडियन समतल ज्यामिति के शब्दों में, एक समांतर चतुर्भुज होने के कारण संबंध होता है क्योंकि परिशोधन परिवर्तन सदैव एक समांतर चतुर्भुज को दूसरे में ले जाता है। एक व्रत होने के नाते एफ़िन नहीं है क्योंकि एक एफ़िन अपरुपण एक व्रत को दीर्घवृत्त में ले जाएगी।
एफाइन और यूक्लिडियन ज्यामिति के बीच के संबंध को स्पष्ट रूप से समझाने के लिए, अब हमें एफाइन समूह के अंदर यूक्लिडियन ज्यामिति के समूह को पिन करने की आवश्यकता है। यूक्लिडियन समूह वास्तव में (एफ़िन समूह के पिछले विवरण का उपयोग करके) अनुवाद के साथ ऑर्थोगोनल (घूर्णन और परावर्तन) समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद (अधिक विवरण के लिए क्लेन ज्यामिति देखें।) है।
बाद के काम पर प्रभाव
एर्लांगेन कार्यक्रम के दीर्घकालिक प्रभाव पूरे शुद्ध गणित में देखे जा सकते हैं (उदाहरण के लिए सर्वांगसमता (ज्यामिति) पर मौन प्रयोग देखें); और समरूपता (भौतिकी) के समूहों का उपयोग करके रूपांतरण और संश्लेषण का विचार भौतिकी में मानक बन गया है।
जब टोपोलॉजी को होमियोमोर्फिज्म के तहत गुण अपरिवर्तनीय (गणित) के संदर्भ में नियमित रूप से वर्णित किया जाता है, तो कोई संचालक में अंतर्निहित विचार देख सकता है। सम्मिलित समूह लगभग सभी स्थितियों में अनंत-आयामी होंगे - और झूठ समूह नहीं - किंतु दर्शन समान है। अवश्य ही यह ज्यादातर क्लेन के शैक्षणिक प्रभाव की बात करता है। किताबें जैसे कि एच.एस.एम. कॉक्सेटर नियमित रूप से 'ज्यामिति' को 'जगह' देने में सहायता करने के लिए अरलैंगेन प्रोग्राम दृष्टिकोण का उपयोग करता है। शैक्षणिक दृष्टि से, कार्यक्रम रूपांतरण ज्यामिति बन गया, इस अर्थ में एक मिश्रित आशीर्वाद कि यह यूक्लिड की शैली की तुलना में शसक्त अंतर्ज्ञान पर बनाता है, किंतु कम आसानी से एक तार्किक प्रणाली में परिवर्तित हो जाता है।
अपनी पुस्तक स्ट्रक्चरलिज्म (1970) में जीन पियागेट कहते हैं, "बोरबाकी जैसे समकालीन संरचनावादी गणितज्ञों की नज़र में, एर्लांगेन कार्यक्रम संरचनावाद के लिए केवल एक आंशिक जीत है, क्योंकि वे संरचना के विचार के लिए न केवल ज्यामिति किंतु सभी गणित को अधीनस्थ करना चाहते हैं। "
एक ज्यामिति और उसके समूह के लिए, समूह के एक तत्व को कभी-कभी ज्यामिति की गति (ज्यामिति) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण गतियों के आधार पर एक विकास के माध्यम से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के पोंकारे अर्ध-विमान मॉडल के बारे में सीख सकते हैं। इस तरह के विकास से क्रमिक गतियों द्वारा अति समानांतर प्रमेय को व्यवस्थित रूप से सिद्ध करने में सहायता मिलती है।
एर्लांगेन कार्यक्रम से सार रिटर्न
अधिकांशतः , ऐसा प्रतीत होता है कि समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह के साथ दो या दो से अधिक विशिष्ट ज्यामिति हैं। अमूर्त समूह से ज्यामिति तक एर्लांगेन कार्यक्रम को पढ़ने का प्रश्न उठता है।
एक उदाहरण: उन्मुख (अर्थात, परावर्तन (गणित) सम्मिलित नहीं है) दीर्घवृत्तीय ज्यामिति (अर्थात, एक n-क्षेत्र की सतह n-गोले की पहचान की गई विपरीत बिंदुओं के साथ) और उन्मुख गोलाकार ज्यामिति (समान गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति|गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति, किंतु विपरीत बिंदुओं की पहचान नहीं की गई) समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n+1) भी n के लिए है। ये अलग प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि , यह पता चला है कि ज्यामिति बहुत निकट से संबंधित हैं, एक तरह से जिसे स्पष्ट बनाया जा सकता है।
एक और उदाहरण लेने के लिए, वक्रता (गणित) के विभिन्न त्रिज्या वाले दीर्घवृताकार ज्यामिति में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं। यह वास्तव में समालोचना के रूप में नहीं गिना जाता है क्योंकि ऐसी सभी ज्यामिति समरूप हैं। जनरल रीमैनियन ज्यामिति कार्यक्रम की सीमाओं के बाहर आती है।
समूह SL2(R)|SL(2,'R') के लिए जटिल आंकड़े, दोहरी संख्या और विभाजित-जटिल संख्या डबल (स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स के रूप में भी जाना जाता है) संख्या सजातीय रिक्त स्थान SL(2,'R')/H के रूप में दिखाई देते हैं। ) और इसके उपसमूह H=A, N, K.[1] समूह SL(2,R) रैखिक आंशिक परिवर्तन द्वारा इन सजातीय स्थानों पर कार्य करता है और संबंधित ज्यामिति का एक बड़ा भगा अरलैंगेन कार्यक्रम से एक समान विधि से प्राप्त किया जा सकता है।
भौतिकी में कुछ और उल्लेखनीय उदाहरण सामने आए हैं।
सबसे पहले, n-आयाम अतिपरवलिक ज्योमेट्री, n-आयाम सिटर स्थान द्वारा और (n−1)-आयाम व्युत्क्रम ज्यामिति सभी में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह होते हैं,
ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ समूह, के लिए n ≥ 3. किंतु ये स्पष्ट रूप से अलग ज्यामिति हैं। यहां भौतिकी से कुछ चित्ताकर्षक परिणाम दर्ज होते हैं। यह दिखाया गया है कि तीन ज्यामितीयों में से प्रत्येक में भौतिकी मॉडल कुछ मॉडलों के लिए दोहरे हैं।
फिर से, n-आयाम एंटी-डी सिटर स्थान और (n-1) लोरेंट्ज़ियन हस्ताक्षर के साथ आयाम अनुरूप स्थान (यूक्लिडियन हस्ताक्षर के साथ अनुरूप स्थान के विपरीत, जो तीन आयामों या अधिक के लिए व्युत्क्रम ज्यामिति के समान है) में समरूप ऑटोमोर्फिज्म समूह हैं। , किंतु विशिष्ट ज्यामिति हैं। एक बार फिर, भौतिकी में दोनों ज्यामिति के बीच द्वैत वाले मॉडल हैं। अधिक विवरण के लिए एडीएस/सीएफटी देखें।
SU(2,2) का आच्छादन समूह SO(4,2) के आच्छादन समूह के लिए समरूप है, जो कि 4D अनुरूप मिन्कोस्की स्थान और 5D एंटी-डी सिटर स्थान और एक कॉम्प्लेक्स फोर-आयाम ट्विस्टर का समरूपता समूह स्थान है।
भौतिकी में द्वैत के संबंध में अरलैंगेन कार्यक्रम को अभी भी उर्वर माना जा सकता है।
सेमिनल पेपर में जिसने श्रेणी सिद्धांत प्रस्तुत किया, सॉन्डर्स मैक लेन और सैमुअल एलेनबर्ग ने कहा: इसे क्लेन एर्लांगर कार्यक्रम की निरंतरता के रूप में माना जा सकता है, इस अर्थ में कि इसके परिवर्तनों के समूह के साथ एक ज्यामितीय स्थान अपने बीजगणित के साथ एक श्रेणी के लिए सामान्यीकृत मैपिंग का है। [2]
ज्यामिति में ग्रुपॉयड पर चार्ल्स एह्रेसमैन के काम के साथ एर्लांगेन कार्यक्रम के संबंध नीचे दिए गए लेख में प्रदीन्स द्वारा विचार किए गए हैं।[3]
गणितीय तर्क में, एर्लांगेन कार्यक्रम ने अल्फ्रेड टार्स्की के लिए अल्फ्रेड टार्स्की या तार्किक धारणाओं पर काम के अपने विश्लेषण में एक प्रेरणा के रूप में भी काम किया था।[4]
र्लांगेन कार्यक्रम के संबंध नीचे दिए गए लेख में प्रदीन्स द्वारा विचार किए गए हैं।[3]
गणितीय तर्क में, एर्लांगेन कार्यक्रम ने अल्फ्रेड टार्स्की के लिए अल्फ्रेड टार्स्की या तार्किक धारणाओं पर काम के अपने विश्लेषण में एक प्रेरणा के रूप में भी काम किया था।[4]
संदर्भ
- ↑ Kisil, Vladimir V. (2012). Geometry of Möbius transformations. Elliptic, parabolic and hyperbolic actions of SL(2,R). London: Imperial College Press. p. xiv+192. doi:10.1142/p835. ISBN 978-1-84816-858-9.
- ↑ S. Eilenberg and S. Mac Lane, A general theory of natural equivalences, Trans. Amer. Math. Soc., 58:231–294, 1945. (p. 237); the point is elaborated in Jean-Pierre Marquis (2009), From a Geometrical Point of View: A Study of the History of Category Theory, Springer, ISBN 978-1-4020-9383-8
- ↑ 3.0 3.1 Jean Pradines, In Ehresmann's footsteps: from group geometries to groupoid geometries (English summary) Geometry and topology of manifolds, 87–157, Banach Center Publ., 76, Polish Acad. Sci., Warsaw, 2007.
- ↑ 4.0 4.1 Luca Belotti, Tarski on Logical Notions, Synthese, 404-413, 2003.
- Klein, Felix (1872) "A comparative review of recent researches in geometry". Complete English Translation is here https://arxiv.org/abs/0807.3161.
- Sharpe, Richard W. (1997) Differential geometry: Cartan's generalization of Klein's अरलैंगेन program Vol. 166. Springer.
- Heinrich Guggenheimer (1977) Differential Geometry, Dover, New York, ISBN 0-486-63433-7.
- Covers the work of Lie, Klein and Cartan. On p. 139 Guggenheimer sums up the field by noting, "A Klein geometry is the theory of geometric invariants of a transitive transformation group (अरलैंगेन program, 1872)".
- Thomas Hawkins (1984) "The Erlanger Program of Felix Klein: Reflections on Its Place In the History of Mathematics", Historia Mathematica 11:442–70.
- "Erlangen program", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Lizhen Ji and Athanase Papadopoulos (editors) (2015) Sophus Lie and Felix Klein: The अरलैंगेन program and its impact in mathematics and physics, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics 23, European Mathematical Society Publishing House, Zürich.
- Felix Klein (1872) "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen" ('A comparative review of recent researches in geometry'), Mathematische Annalen, 43 (1893) pp. 63–100 (Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp. 460–497).
- An English translation by Mellen Haskell appeared in Bull. N. Y. Math. Soc 2 (1892–1893): 215–249.
- The original German text of the अरलैंगेन program can be viewed at the University of Michigan online collection at [1], and also at [2] in HTML format.
- A central information page on the अरलैंगेन program maintained by John Baez is at [3].
- Felix Klein (2004) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, Dover, New York, ISBN 0-486-43481-8
- (translation of Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus, Teil II: Geometrie, pub. 1924 by Springer). Has a section on the अरलैंगेन program.
