गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति

गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति गणित की एक शाखा है, और अधिक विशेष रूप से गैर-अनुसूचित ज्यामिति में एक दिशा है, जो गैर-अविनिमेय बीजगणित जैसे अंगूठी (गणित) के साथ-साथ उनसे प्राप्त ज्यामितीय वस्तुओं के औपचारिक दोहरे के ज्यामितीय गुणों का अध्ययन करती है (उदाहरण के लिए ग्लूइंग द्वारा) स्थानीयकरण या गैर-अनुवर्ती स्टैक भागफल लेना)।

उदाहरण के लिए, गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति को गैर-अनुसूचित रिंगों के स्पेक्ट्रा के उपयुक्त ग्लूइंग द्वारा एक योजना (गणित) की धारणा का विस्तार करना चाहिए; इस उद्देश्य (और स्पेक्ट्रम की एक धारणा) को गैर-अनुवर्ती सेटिंग में कैसे शाब्दिक रूप से और कैसे सामान्यतः समझा जाता है, इस पर निर्भर करता है, यह सफलता के विभिन्न स्तरों में हासिल किया गया है। गैर अनुमेय वलय यहाँ एक योजना (गणित) पर नियमित कार्यों के क्रमविनिमेय वलय का सामान्यीकरण करता है। पारंपरिक (कम्यूटेटिव) बीजगणितीय ज्यामिति में सामान्य रिक्त स्थान पर फ़ंक्शंस में बिंदुवार गुणन द्वारा परिभाषित उत्पाद होता है; इन कार्यों के मूल्यों के रूप में कम्यूटेटिव संपत्ति, कार्य भी कम्यूट करते हैं: ए गुणा बी बराबर बी गुना ए। यह उल्लेखनीय है कि गैर-अनुमेय साहचर्य बीजगणित को गैर-अनुमेय स्थान पर कार्यों के बीजगणित के रूप में देखना एक दूरगामी ज्यामितीय अंतर्ज्ञान है, यद्यपि यह औपचारिक रूप से एक भ्रम की तरह दिखता है।

अक्रमानुपाती ज्यामिति के लिए और विशेष रूप से अक्रमानुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति के लिए अधिकांश प्रेरणा भौतिकी से है; विशेष रूप से क्वांटम भौतिकी से, जहां वेधशालाओं को वास्तव में कार्यों के गैर-अनुवर्ती एनालॉग के रूप में देखा जाता है, इसलिए उनके ज्यामितीय पहलुओं को देखने की क्षमता वांछनीय है।

क्षेत्र के मूल्यों में से एक यह है कि यह ब्राउर समूहों जैसे कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति में वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए नई तकनीकें भी प्रदान करता है।

क्रमविनिमेय बीजगणितीय ज्यामिति की विधियाँ क्रमविनिमेय बीजगणितीय ज्यामिति की विधियों के अनुरूप हैं, लेकिन अधिकांशतः आधार भिन्न होते हैं। क्रमविनिमेय बीजगणितीय ज्यामिति में स्थानीय व्यवहार क्रमविनिमेय बीजगणित और विशेष रूप से स्थानीय छल्लों के अध्ययन द्वारा ग्रहण किया जाता है। गैर-अनुवर्ती सेटिंग में इनका रिंग-सैद्धांतिक एनालॉग नहीं है; यद्यपि एक स्पष्ट सेटअप में गैर-अनुवर्ती स्पेक्ट्रा पर क्वासिकोहेरेंट शीफ की स्थानीय श्रेणियों के ढेर (गणित) के बारे में बात कर सकते हैं। वैश्विक गुण जैसे कि होमोलॉजिकल बीजगणित और के-सिद्धांत से उत्पन्न होने वाले अधिकांशतः गैर-अनुसूचित सेटिंग में ले जाते हैं।

इतिहास

मौलिक दृष्टिकोण: गैर-कम्यूटेटिव स्थानीयकरण का विषय

कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति एक अंगूठी के स्पेक्ट्रम के निर्माण से प्रारंभ होती है। बीजगणितीय विविधता के बिंदु (या अधिक सामान्यतः, योजना (गणित)) अंगूठी के प्रमुख आदर्श हैं, और बीजगणितीय विविधता पर कार्य अंगूठी के तत्व हैं। एक गैर-अनुवर्ती अंगूठी, यद्यपि , कोई उचित गैर-शून्य दो तरफा प्रमुख आदर्श नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह एफ़िन स्पेस पर बहुपद अंतर ऑपरेटरों के वेइल बीजगणित के बारे में सच है: वीइल बीजगणित एक साधारण अंगूठी है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक स्पेक्ट्रम को एक आदिम स्पेक्ट्रम द्वारा प्रतिस्थापित करने का प्रयास किया जा सकता है: गैर-कम्यूटेटिव स्थानीयकरण के सिद्धांत के साथ-साथ मूल सिद्धांत भी हैं। यह कुछ सीमा तक काम करता है: उदाहरण के लिए, Dixmier के लिफाफा बीजगणित को झूठ बीजगणित के एक लिफाफा बीजगणित के आदिम स्पेक्ट्रम के लिए गैर-कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति के रूप में काम करने के बारे में सोचा जा सकता है। इसी तरह की भावना में एक और काम माइकल आर्टिन के नोट्स का शीर्षक है "नॉनकम्यूटेटिव रिंग्स", जो एक गैर-कम्यूटेटिव-ज्यामिति दृष्टिकोण से प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अध्ययन करने का एक प्रयास है। दोनों दृष्टिकोणों के लिए महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि यह है कि अप्रासंगिक अभ्यावेदन, या कम से कम आदिम आदर्शों को "गैर-कम्यूटेटिव पॉइंट्स" के रूप में माना जा सकता है।

शीशों की श्रेणियों का उपयोग करते हुए आधुनिक दृष्टिकोण

जैसा कि यह निकला, आदिम स्पेक्ट्रा से प्रारंभ करना, एक व्यावहारिक शीफ सिद्धांत विकसित करना आसान नहीं था। कोई कल्पना कर सकता है कि यह कठिनाई एक प्रकार की क्वांटम घटना के कारण है: किसी स्थान में बिंदु दूर के बिंदुओं को प्रभावित कर सकते हैं (और वास्तव में, बिंदुओं को अलग-अलग व्यवहार करना और किसी स्थान को केवल बिंदुओं के संग्रह के रूप में देखना उचित नहीं है)।

उपरोक्त के कारण, एक पियरे गेब्रियल की थीसिस में निहित एक प्रतिमान को स्वीकार करता है और आंशिक रूप से गेब्रियल-रोसेनबर्ग पुनर्निर्माण प्रमेय (पियरे गेब्रियल और अलेक्जेंडर एल। रोसेनबर्ग के बाद) द्वारा उचित ठहराया गया है कि एक कम्यूटेटिव योजना का पुनर्निर्माण किया जा सकता है, पूरी तरह से योजनाओं के आइसोमोर्फिज्म तक योजना पर क्वासिकोहेरेंट शीफ की एबेलियन श्रेणी। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने सिखाया कि ज्यामिति करने के लिए किसी स्थान की आवश्यकता नहीं होती है, यह पर्याप्त है कि उस पर ढेरों की एक श्रेणी हो, जो कि स्थान होगा; यह विचार यूरी मैनिन द्वारा गैर-अनुवर्ती बीजगणित में प्रेषित किया गया है। (अर्ध) सुसंगत ढेरों की व्युत्पन्न श्रेणियों से थोड़ा कमजोर, पुनर्निर्माण प्रमेय हैं जो व्युत्पन्न गैर-अनुसूचित बीजगणितीय ज्यामिति को प्रेरित करते हैं (नीचे देखें)।

व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

Main article: Derived algebraic geometry

संभवतः सबसे हालिया दृष्टिकोण विरूपण सिद्धांत के माध्यम से है, गैर-कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति को व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति के दायरे में रखना।

एक प्रेरक उदाहरण के रूप में, सम्मिश्र संख्याओं C पर एक-आयामी वेइल बीजगणित पर विचार करें। यह संबंध द्वारा मुक्त वलय C<x, y> का भागफल है

xy - yx = 1.

यह वलय एकल चर x में बहुपद अवकल संचालकों का प्रतिनिधित्व करता है; y अवकल संकारक ∂ के लिए है_x. यह अंगूठी संबंधों द्वारा दिए गए एक-पैरामीटर परिवार में फिट बैठती है xy - yx = α. जब α शून्य नहीं होता है, तब यह संबंध वेइल बीजगणित के लिए एक रिंग आइसोमोर्फिक निर्धारित करता है। जब α शून्य होता है, तथापि, संबंध x और y के लिए क्रमविनिमेयता संबंध होता है, और परिणामी भागफल वलय दो चर, 'C'[x, y] में बहुपद वलय होता है। ज्यामितीय रूप से, दो चरों में बहुपद वलय द्वि-आयामी संबंध स्थान 'A' का प्रतिनिधित्व करता है², इसलिए इस एक-पैरामीटर परिवार के अस्तित्व का कहना है कि एफाइन स्पेस वेइल बीजगणित द्वारा निर्धारित स्थान में गैर-कम्यूटेटिव विकृतियों को स्वीकार करता है। यह विरूपण एक अंतर संकारक के प्रतीक से संबंधित है और वह 'ए'² एफ़िन लाइन का स्पर्शरेखा बंडल है। (वेइल बीजगणित का अध्ययन करने से एफ़िन स्पेस के बारे में जानकारी मिल सकती है: वेइल बीजगणित के बारे में डिक्समियर अनुमान एफ़िन स्पेस के बारे में जैकोबियन अनुमान के बराबर है।)

दृष्टिकोण की इस पंक्ति में, ओपेराड की धारणा, संचालन का एक सेट या स्थान, प्रमुख हो जाता है: परिचय में (Francis 2008), फ्रांसिस लिखते हैं:

We begin the study of certain less commutative algebraic geometries. … algebraic geometry over ${\mathcal {E}}_{n}$-rings can be thought of as interpolating between some derived theories of noncommutative and commutative algebraic geometries. As n increases, these ${\mathcal {E}}_{n}$-algebras converge to the derived algebraic geometry of Toën-Vezzosi and Lurie.

एक गैर-अनुवर्ती अंगूठी का प्रोज

Main article: Noncommutative projective geometry

कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति में मौलिक निर्माणों में से एक ग्रेडेड कम्यूटेटिव रिंग का प्रोज निर्माण है। यह निर्माण एक बहुत ही पर्याप्त लाइन बंडल के साथ एक अनुमानित बीजगणितीय विविधता बनाता है जिसका सजातीय समन्वय अंगूठी मूल अंगूठी है। विभिन्न प्रकार के अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस के निर्माण के लिए रिंग को स्थानीय बनाने की आवश्यकता होती है, लेकिन उस स्थान पर ढेरों का निर्माण नहीं होता है। जीन पियरे सेरे के एक प्रमेय के अनुसार, एक वर्गीकृत अंगूठी के प्रोज पर अर्ध-सुसंगत ढेरों को परिमित आयामी कारकों तक अंगूठी पर वर्गीकृत मॉड्यूल के समान होता है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रवर्तित टोपोस सिद्धांत के दर्शन का कहना है कि एक स्थान पर ढेरों की श्रेणी अंतरिक्ष के रूप में ही काम कर सकती है। परिणाम स्वरुप , गैर-कम्यूटेटिव बीजगणितीय ज्यामिति में अधिकांशतः प्रोज को निम्नलिखित फैशन में परिभाषित किया जाता है: चलो आर एक ग्रेडेड 'सी'-बीजगणित हो, और मॉड-आर ग्रेडेड सही आर-मॉड्यूल की श्रेणी को दर्शाता है। चलो F परिमित लंबाई के सभी मॉड्यूल से मिलकर मॉड-आर की उपश्रेणी को निरूपित करता है। प्रोज आर को एफ द्वारा एबेलियन श्रेणी मॉड-आर के भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है। समान रूप से, यह मॉड-आर का एक स्थानीयकरण है जिसमें दो मॉड्यूल आइसोमोर्फिक बन जाते हैं, यदि एफ की उचित रूप से चुनी गई वस्तुओं के साथ उनकी सीधी रकम लेने के बाद, वे हैं मॉड-आर में आइसोमॉर्फिक।

यह दृष्टिकोण गैर-कम्यूटेटिव प्रोजेक्टिव ज्यामिति के सिद्धांत की ओर जाता है। एक गैर-कम्यूटेटिव चिकनी प्रोजेक्टिव वक्र एक चिकनी कम्यूटेटिव वक्र बन जाती है, लेकिन एकवचन वक्र या चिकनी उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए, गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग नई वस्तुओं की अनुमति देती है।

यह भी देखें

• व्युत्पन्न अक्रमानुक्रमिक बीजगणितीय ज्यामिति
• क्यू-श्रेणी
• अर्ध-मुक्त बीजगणित

संदर्भ

• M. Artin, J. J. Zhang, Noncommutative projective schemes, Advances in Mathematics 109 (1994), no. 2, 228–287, doi.
• Yuri I. Manin, Quantum groups and non-commutative geometry, CRM, Montreal 1988.
• Yuri I Manin, Topics in noncommutative geometry, 176 pp. Princeton 1991.
• A. Bondal, M. van den Bergh, Generators and representability of functors in commutative and noncommutative geometry, Moscow Mathematical Journal 3 (2003), no. 1, 1–36.
• A. Bondal, D. Orlov, Reconstruction of a variety from the derived category and groups of autoequivalences, Compositio Mathematica 125 (2001), 327–344 doi
• John Francis, Derived Algebraic Geometry Over ${\mathcal {E}}_{n}$-Rings
• O. A. Laudal, Noncommutative algebraic geometry, Rev. Mat. Iberoamericana 19, n. 2 (2003), 509--580; euclid.
• Fred Van Oystaeyen, Alain Verschoren, Non-commutative algebraic geometry, Springer Lect. Notes in Math. 887, 1981.
• Fred van Oystaeyen, Algebraic geometry for associative algebras, Marcel Dekker 2000. vi+287 pp.
• A. L. Rosenberg, Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras, MIA 330, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xii+315 pp. ISBN 0-7923-3575-9
• M. Kontsevich, A. Rosenberg, Noncommutative smooth spaces, The Gelfand Mathematical Seminars, 1996--1999, 85--108, Gelfand Math. Sem., Birkhäuser, Boston 2000; arXiv:math/9812158
• A. L. Rosenberg, Noncommutative schemes, Compositio Mathematica 112 (1998) 93--125, doi; Underlying spaces of noncommutative schemes, preprint MPIM2003-111, dvi, ps; MSRI lecture Noncommutative schemes and spaces (Feb 2000): video
• Pierre Gabriel, Des catégories abéliennes, Bulletin de la Société Mathématique de France 90 (1962), p. 323-448, numdam
• Zoran Škoda, Some equivariant constructions in noncommutative algebraic geometry, Georgian Mathematical Journal 16 (2009), No. 1, 183--202, arXiv:0811.4770.
• Dmitri Orlov, Quasi-coherent sheaves in commutative and non-commutative geometry, Izv. RAN. Ser. Mat., 2003, vol. 67, issue 3, 119–138 (MPI preprint version dvi, ps)
• M. Kapranov, Noncommutative geometry based on commutator expansions, Journal für die reine und angewandte Mathematik 505 (1998), 73-118, math.AG/9802041.

अग्रिम पठन

• A. Bondal, D. Orlov, Semi-orthogonal decomposition for algebraic varieties_, PreprintMPI/95–15, alg-geom/9506006
• Tomasz Maszczyk, Noncommutative geometry through monoidal categories, math.QA/0611806
• S. Mahanta, On some approaches towards non-commutative algebraic geometry, math.QA/0501166
• Ludmil Katzarkov, Maxim Kontsevich, Tony Pantev, Hodge theoretic aspects of mirror symmetry, arxiv/0806.0107
• Dmitri Kaledin, Tokyo lectures "Homological methods in non-commutative geometry", pdf, TeX; and (similar but different) Seoul lectures

बाहरी संबंध

• MathOverflow, Theories of Noncommutative Geometry
• noncommutative algebraic geometry at the nLab
• equivariant noncommutative algebraic geometry at the nLab
• noncommutative scheme at the nLab
• Kapranov's noncommutative geometry at the nLab