संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति: Difference between revisions

Revision as of 10:56, 15 May 2023

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति संगणनात्मक गणित का एक क्षेत्र है, विशेष रूप से संगणनात्मक बीजगणितीय ज्यामिति, जो बहुपद समीकरणों की प्रणाली के समाधान का अध्ययन और क्रमभंग करने के लिए संख्यात्मक विश्लेषण से विधियों का उपयोग करता है।^[1]^[2]^[3]

समस्थेयता अनुवर्ती

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली प्राथमिक संगणनात्मक विधि समस्थेयता अनुवर्ती है, जिसमें दो बहुपद प्रणालियों के बीच एक समस्थेयता बनती है, और एक के पृथक समाधान (अंक) दूसरे के लिए जारी रहते हैं। यह संख्यात्मक अनुवर्ती की अधिक सामान्य पद्धति का एक विशेषज्ञता है।

मान लीजिये $z$ प्रणाली के चर का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंकन के दुरुपयोग से, और परिवेश रिक्त स्थान के वर्णक्रम को सुविधाजनक बनाने के लिए जिस पर कोई प्रणाली को हल कर सकता है, हम सदिश $z$ संकेतन का उपयोग नहीं करते हैं। इसी तरह बहुपद प्रणालियों के लिए $f$ और $g$ है।

वर्तमान विहित संकेत पद्धति प्रारंभ स्थल प्रणाली $g$ का आवाहन करता है, और लक्ष्य प्रणाली, अर्थात, $f$ हल करने की प्रणाली। ^[4]^[5] एक बहुत ही सामान्य समरूपता, सीधी-रेखा समरूपता, के बीच $f$ और $g$ है

H(z,t)=(1-t)f(z)+tg(z).

उपरोक्त होमोटॉपी में, व्यक्ति

t_{\text{start}}=1

पर पथ चर प्रारंभ करता है और

t_{\text{end}}=0

की ओर जारी रहता है। एक और सामान्य विकल्प 0 से 1 तक पारित होना है। सिद्धांत में, चुनाव पूरी तरह से स्वेच्छाचारी है। व्यवहार में, समस्थेयता अनुवर्ती का उपयोग करके एकवचन समाधान की गणना के लिए एंडगेम विधियों के संबंध में, लक्षित समय 0 होने से विश्लेषण में काफी आसानी हो सकती है, इसलिए यह परिप्रेक्ष्य यहाँ लिया गया है। ^[6]

प्रारंभ और लक्ष्य समय की पसंद पर ध्यान दिए बिना, $H$ इस प्रकार तैयार किया जाना चाहिए कि $H(z,t_{\text{start}})=g(z)$ , और $H(z,t_{\text{end}})=f(z)$ ।

$g(z)$ में एक का विकल्प है, जिसमें निम्नलिखित सम्मिलित हैं

कुल घात
बहुफलकीय
बहु-सजातीय

और इनके अतिरिक्त, विशिष्ट प्रारंभ प्रणालियाँ जो $f$ की संरचना को घनिष्ठ रूप से दर्शाती हैं और विशेष प्रणालियों के लिए बनाई जा सकती हैं। प्रारंभ प्रणाली का चुनाव इसे हल करने में लगने वाले संगणनात्मक समय $f$ को प्रभावित करता है, इसमें जिन्हें बनाना आसान है (जैसे कि कुल घात) पथानुसरण करने के लिए पथों की संख्या अधिक होती है, और जो महत्वपूर्ण प्रयास करते हैं (जैसे कि बहुफलकीय विधि) बहुत तीव्र होते हैं। वर्तमान में भविष्यवाणी करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है जिससे हल करने में सबसे कम समय लगेगा।^{[citation needed]}

वास्तविक अनुवर्ती सामान्यतः भविष्यवक्ता-सुधारक विधियों का उपयोग करके कार्यान्वित की गई अतिरिक्त सुविधाओं के साथ की जाती है। भविष्यवाणी एक मानक सामान्य अंतर समीकरण पूर्वसूचक पद्धति का उपयोग करके की जाती है, जैसे कि रनगे-कुट्टा, और सुधार प्रायः न्यूटन-रफसन पुनरावृत्ति का उपयोग करता है।

क्योंकि $f$ और $g$ बहुपद हैं, इस संदर्भ में समस्थेयता अनुवर्ती सैद्धांतिक रूप से सभी समाधान $f$ की बर्टिनी के प्रमेय के कारण गणना करने की प्रत्याभुति है। हालाँकि, आधुनिक कंप्यूटर और सबसे अधिक परिमित परिशुद्धता की सीमाओं से उत्पन्न होने वाली स्तिथियों के कारण यह प्रत्याभुति हमेशा व्यवहार में प्राप्त नहीं होती है। अर्थात्, प्रायिकता प्रमाणित अनुवर्तन विधियों का उपयोग किए बिना, इस सिद्धांत के अंतर्निहित प्रायिकता-1 तर्क की ताकत होने पर भी, कुछ पथ विभिन्न कारणों से पूरी तरह से पथानुसरण करने में विफल हो सकते हैं।

प्रमाण सम्मुच्चय

एक प्रमाण सम्मुच्चय $W$ एक ा संरचना है जिसका उपयोग बीजगणितीय विविधता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक समान विविधता के लिए साक्षी सम्मुच्चय में जानकारी के तीन टुकड़े होते हैं। सूचना का पहला भाग समीकरणों की एक $F$ प्रणाली है। ये समीकरण अध्ययन की जा रही बीजगणितीय विविधता ${\mathbf {V} }(F)$ को परिभाषित करते हैं। ${\mathcal {L}}$ का आयाम ${\mathbf {V} }(F)$ का सहआयाम है, और ${\mathbf {V} }(F)$ को अनुप्रस्थतः प्रतिच्छेद करने के लिए चुना गया है। जानकारी का तीसरा भाग प्रतिच्छेदन में बिंदुओं की सूची ${\mathcal {L}}\cap {\mathbf {V} }(F)$ है। इस प्रतिच्छेदन में बहुत से बिंदु हैं और अंकों की संख्या प्रमाणितीय विविधता की घात ${\mathbf {V} }(F)$ है। इस प्रकार, प्रमाण सम्मुच्चय पहले दो प्रश्नों के उत्तर को कूटबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय विविधता के बारे में पूछता है: आयाम क्या है, और घात क्या है? प्रमाण सम्मुच्चय भी एक संख्यात्मक अपघटन योग्य अपघटन, घटक सदस्यता परीक्षण प्रमाण प्रतिदर्शी करने की अनुमति देते हैं। यह प्रमाण सम्मुच्चय को विविधता का एक अच्छा विवरण बनाता है।

प्रमाणन

संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके गणना की गई बहुपद प्रणालियों के समाधान संख्यात्मक प्रमाणन हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि अनुमानित समाधान सही है। यह कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, या तो प्रमाणित अनुपथक का उपयोग करके प्राथमिकता,^[7]^[8] या परवर्ती यह दिखाकर कि बिंदु न्यूटन की विधि के अभिसरण के बेसिन में है।^[9]

सॉफ्टवेयर

कई सॉफ्टवेयर संवेष्टन संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति के सैद्धांतिक निकाय के अंशों को लागू करते हैं। इनमें वर्णानुक्रम में सम्मिलित हैं:

अल्फा प्रमाणित^[9]
बर्टिनी ^[5]
होम4पीएस^[10]^[11]
समस्थेयताअनुवर्ती.जेआई^[12]
मैकाले2 (समस्थेयता ट्रैकिंग का मुख्य कार्यान्वयन और NumericalAlgebraicGeometry^[3] संवेष्टन)
पीएचसीपैक^[13]

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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[1] Hauenstein, Jonathan D.; Sommese, Andrew J. (March 2017). "What is numerical algebraic geometry?". Journal of Symbolic Computation. 79: 499–507. doi:10.1016/j.jsc.2016.07.015.

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[8] Beltrán, Carlos; Leykin, Anton (2013-02-01). "मजबूत प्रमाणित न्यूमेरिकल होमोटॉपी ट्रैकिंग". Foundations of Computational Mathematics (in English). 13 (2): 253–295. arXiv:1105.5992. doi:10.1007/s10208-013-9143-2. ISSN 1615-3375. S2CID 32990257.

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[11] Hom4PS Team. "विशेष रुप से प्रदर्शित प्रोडक्टस". Hom4PS-3 (in English). Michigan State University. Retrieved 28 April 2020.

[12] Breiding, Paul; Timme, Sascha (May 2018). "HomotopyContinuation.jl: A package for homotopy continuation in Julia". arXiv:1711.10911v2 [cs.MS].

[13] Verschelde, Jan (1 June 1999). "Algorithm 795: PHCpack: a general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation". ACM Transactions on Mathematical Software. 25 (2): 251–276. doi:10.1145/317275.317286. S2CID 15485257.

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-संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति [[कम्प्यूटेशनल गणित]] का एक क्षेत्र है, विशेष रूप से [[कम्प्यूटेशनल बीजगणितीय ज्यामिति]], जो [[बहुपद समीकरणों की प्रणाली]] के समाधान का अध्ययन और हेरफेर करने के लिए [[संख्यात्मक विश्लेषण]] से विधियों का उपयोग करता है।<ref>{{cite journal |last1=Hauenstein |first1=Jonathan D. |last2=Sommese |first2=Andrew J. |title=What is numerical algebraic geometry? |journal=Journal of Symbolic Computation |date=March 2017 |volume=79 |pages=499–507 |doi=10.1016/j.jsc.2016.07.015|doi-access=free }}</ref><ref>{{Cite book |url=https://www3.nd.edu/~cwample1/Preprints/intro2AlgGeom.pdf |last1=Sommese |first1=Andrew J. |last2=Verschelde |first2=Jan |last3=Wampler |first3=Charles W. |chapter=Introduction to Numerical Algebraic Geometry |editor-last1=Bronstein |editor-first1=Manuel |editor-last2=Cohen |editor-first2=Arjeh M. |editor-last3=Cohen |editor-first3=Henri |editor-last4=Eisenbud |editor-first4=David |editor-last5=Sturmfels |editor-first5=Bernd |editor-last6=Dickenstein |editor-first6=Alicia |editor-last7=Emiris |editor-first7=Ioannis Z. |title=Solving polynomial equations : foundations, algorithms, and applications |date=2005 |publisher=Springer-verlag |isbn=978-3-540-24326-7 |doi=10.1007/3-540-27357-3_8}}</ref><ref name=Macaulay2>{{Cite journal|last=Leykin|first=Anton|date=2000-01-01|title=संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति|url=http://msp.org/jsag/2011/3-1/p02.xhtml|journal=Journal of Software for Algebra and Geometry|volume=3|issue=1|pages=5–10|doi=10.2140/jsag.2011.3.5|issn=1948-7916|doi-access=free}}</ref>
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-== होमोटॉपी निरंतरता ==
+== समस्थेयता अनुवर्ती ==
-{{see also|System of polynomial equations#Homotopy continuation method}}
+{{see also|बहुपद समीकरणों की प्रणाली#समस्थेयता निरंतरता विधि}}
-संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली प्राथमिक कम्प्यूटेशनल विधि [[होमोटॉपी]] निरंतरता है, जिसमें दो बहुपद प्रणालियों के बीच एक होमोटोपी बनती है, और एक के पृथक समाधान (अंक) दूसरे के लिए जारी रहते हैं। यह [[संख्यात्मक निरंतरता]] की अधिक सामान्य पद्धति का एक विशेषज्ञता है।
-होने देना <math>z</math> सिस्टम के चर का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंकन के दुरुपयोग से, और परिवेश रिक्त स्थान के स्पेक्ट्रम को सुविधाजनक बनाने के लिए जिस पर कोई प्रणाली को हल कर सकता है, हम सदिश संकेतन का उपयोग नहीं करते हैं <math>z</math>. इसी तरह बहुपद प्रणालियों के लिए <math>f</math> और <math>g</math>.
+संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली प्राथमिक संगणनात्मक विधि [[होमोटॉपी|समस्थेयता]] अनुवर्ती है, जिसमें दो बहुपद प्रणालियों के बीच एक समस्थेयता बनती है, और एक के पृथक समाधान (अंक) दूसरे के लिए जारी रहते हैं। यह [[संख्यात्मक निरंतरता|संख्यात्मक अनुवर्ती]] की अधिक सामान्य पद्धति का एक विशेषज्ञता है।
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+मान लीजिये <math>z</math> प्रणाली के चर का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंकन के दुरुपयोग से, और परिवेश रिक्त स्थान के वर्णक्रम को सुविधाजनक बनाने के लिए जिस पर कोई प्रणाली को हल कर सकता है, हम सदिश <math>z</math> संकेतन का उपयोग नहीं करते हैं। इसी तरह बहुपद प्रणालियों के लिए <math>f</math> और <math>g</math> है।
+वर्तमान विहित संकेत पद्धति प्रारंभ स्थल प्रणाली <math>g</math> का आवाहन करता है, और लक्ष्य प्रणाली, अर्थात, <math>f</math> हल करने की प्रणाली। <ref>{{cite book |last1=Sommese |first1=Andrew J. |last2=Wampler, II |first2=Charles W. |title=इंजीनियरिंग और विज्ञान में उत्पन्न होने वाले बहुपदों की प्रणालियों का संख्यात्मक समाधान|date=2005 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-256-184-8}}</ref><ref name=Bertini>{{cite book |last1=Bates |first1=Daniel J. |last2=Sommese |first2=Andrew J. |last3=Hauenstein |first3=Jonathan D |last4=Wampler |first4=Charles W. |title=बर्टिनी के साथ संख्यात्मक रूप से बहुपद प्रणालियों को हल करना|date=2013 |publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics |isbn=978-1-61197-269-6}}</ref> एक बहुत ही सामान्य समरूपता, सीधी-रेखा समरूपता, के बीच <math>f</math> और <math>g</math> है
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-उपरोक्त होमोटॉपी में, एक पथ चर को शुरू करता है <math>t_{\text{start}} = 1</math> और की ओर जारी है <math>t_{\text{end}} = 0</math>. एक और आम विकल्प से भागना है <math>0</math> को <math>1</math>. सिद्धांत रूप में, चुनाव पूरी तरह से मनमाना है। व्यवहार में, होमोटॉपी निरंतरता का उपयोग करके एकवचन समाधान की गणना के लिए एंडगेम विधियों के संबंध में, लक्ष्य समय है <math>0</math> महत्वपूर्ण रूप से विश्लेषण को आसान बना सकता है, इसलिए यह परिप्रेक्ष्य यहां लिया गया है।<ref>{{Cite journal |last=Chen |first=Tianran |last2=Li |first2=Tien-Yien |date=2015 |title=गैर-रैखिक और बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए होमोटॉपी निरंतरता विधि|url=http://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cis/content/vols/0015/0002/a001/ |journal=Communications in Information and Systems |language=en |volume=15 |issue=2 |pages=276–277 |doi=10.4310/CIS.2015.v15.n2.a1}}</ref>
+उपरोक्त होमोटॉपी में, व्यक्ति <math>t_{\text{start}} = 1</math> पर पथ चर प्रारंभ करता है और <math>t_{\text{end}} = 0</math> की ओर जारी रहता है। एक और सामान्य विकल्प 0 से 1 तक पारित होना है। सिद्धांत में, चुनाव पूरी तरह से स्वेच्छाचारी है। व्यवहार में, समस्थेयता अनुवर्ती का उपयोग करके एकवचन समाधान की गणना के लिए एंडगेम विधियों के संबंध में, लक्षित समय 0 होने से विश्लेषण में काफी आसानी हो सकती है, इसलिए यह परिप्रेक्ष्य यहाँ लिया गया है। <ref>{{Cite journal |last=Chen |first=Tianran |last2=Li |first2=Tien-Yien |date=2015 |title=गैर-रैखिक और बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए होमोटॉपी निरंतरता विधि|url=http://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/cis/content/vols/0015/0002/a001/ |journal=Communications in Information and Systems |language=en |volume=15 |issue=2 |pages=276–277 |doi=10.4310/CIS.2015.v15.n2.a1}}</ref>
-प्रारंभ और लक्ष्य समय की पसंद के बावजूद, <math>H</math> इस प्रकार तैयार किया जाना चाहिए <math>H(z, t_{\text{start}}) = g(z)</math>, और <math>H(z, t_{\text{end}}) = f(z)</math>.
-एक में एक विकल्प है <math>g(z)</math>, शामिल
+प्रारंभ और लक्ष्य समय की पसंद पर ध्यान दिए बिना, <math>H</math> इस प्रकार तैयार किया जाना चाहिए कि <math>H(z, t_{\text{start}}) = g(z)</math>, और <math>H(z, t_{\text{end}}) = f(z)</math>।
-* एकता की जड़ें
+<math>g(z)</math> में एक का विकल्प है, जिसमें निम्नलिखित सम्मिलित हैं
-* कुल डिग्री
+* कुल घात
 * बहुफलकीय
 * बहु-सजातीय
-और इनसे परे, विशिष्ट प्रारंभ प्रणालियाँ जो की संरचना को बारीकी से दर्शाती हैं <math>f</math> विशेष प्रणालियों के लिए गठित किया जा सकता है। स्टार्ट सिस्टम का चुनाव इसे हल करने में लगने वाले कम्प्यूटेशनल समय को प्रभावित करता है <math>f</math>, इसमें जिन्हें बनाना आसान है (जैसे कि कुल डिग्री) ट्रैक करने के लिए पथों की संख्या अधिक होती है, और जो महत्वपूर्ण प्रयास करते हैं (जैसे कि बहुफलकीय विधि) बहुत तेज होते हैं। वर्तमान में भविष्यवाणी करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है जिससे हल करने में सबसे तेज समय लगेगा।{{Citation needed|reason=need a source indicating this please|date=January 2017}}
+और इनके अतिरिक्त, विशिष्ट प्रारंभ प्रणालियाँ जो <math>f</math> की संरचना को घनिष्ठ रूप से दर्शाती हैं और विशेष प्रणालियों के लिए बनाई जा सकती हैं। प्रारंभ प्रणाली का चुनाव इसे हल करने में लगने वाले संगणनात्मक समय <math>f</math> को प्रभावित करता है, इसमें जिन्हें बनाना आसान है (जैसे कि कुल घात) पथानुसरण करने के लिए पथों की संख्या अधिक होती है, और जो महत्वपूर्ण प्रयास करते हैं (जैसे कि बहुफलकीय विधि) बहुत तीव्र होते हैं। वर्तमान में भविष्यवाणी करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है जिससे हल करने में सबसे कम समय लगेगा।{{Citation needed|reason=need a source indicating this please|date=January 2017}}
-वास्तविक निरंतरता आमतौर पर भविष्यवक्ता-सुधारक विधियों का उपयोग करके कार्यान्वित की गई अतिरिक्त सुविधाओं के साथ की जाती है। भविष्यवाणी एक मानक सामान्य अंतर समीकरण पूर्वसूचक पद्धति का उपयोग करके की जाती है, जैसे कि रनगे-कुट्टा, और सुधार अक्सर न्यूटन-रफसन पुनरावृत्ति का उपयोग करता है।
-क्योंकि <math>f</math> और <math>g</math> बहुपद हैं, इस संदर्भ में होमोटॉपी निरंतरता सैद्धांतिक रूप से सभी समाधानों की गणना करने की गारंटी है <math>f</math>, बर्टिनी के प्रमेय के कारण | बर्टिनी की प्रमेय। हालाँकि, यह गारंटी हमेशा व्यवहार में प्राप्त नहीं होती है, आधुनिक कंप्यूटर की सीमाओं से उत्पन्न होने वाले मुद्दों के कारण, सबसे अधिक परिमित परिशुद्धता। अर्थात्, प्रायिकता प्रमाणित ट्रैकिंग विधियों का उपयोग किए बिना, इस सिद्धांत के अंतर्निहित प्रायिकता-1 तर्क की ताकत के बावजूद, कुछ पथ विभिन्न कारणों से पूरी तरह से ट्रैक करने में विफल हो सकते हैं।
+वास्तविक अनुवर्ती सामान्यतः भविष्यवक्ता-सुधारक विधियों का उपयोग करके कार्यान्वित की गई अतिरिक्त सुविधाओं के साथ की जाती है। भविष्यवाणी एक मानक सामान्य अंतर समीकरण पूर्वसूचक पद्धति का उपयोग करके की जाती है, जैसे कि रनगे-कुट्टा, और सुधार प्रायः न्यूटन-रफसन पुनरावृत्ति का उपयोग करता है।
-== गवाह सेट ==
+क्योंकि <math>f</math> और <math>g</math> बहुपद हैं, इस संदर्भ में समस्थेयता अनुवर्ती सैद्धांतिक रूप से सभी समाधान <math>f</math> की बर्टिनी के प्रमेय के कारण गणना करने की प्रत्याभुति है। हालाँकि, आधुनिक कंप्यूटर और सबसे अधिक परिमित परिशुद्धता की सीमाओं से उत्पन्न होने वाली स्तिथियों के कारण यह प्रत्याभुति हमेशा व्यवहार में प्राप्त नहीं होती है। अर्थात्, प्रायिकता प्रमाणित अनुवर्तन विधियों का उपयोग किए बिना, इस सिद्धांत के अंतर्निहित प्रायिकता-1 तर्क की ताकत होने पर भी, कुछ पथ विभिन्न कारणों से पूरी तरह से पथानुसरण करने में विफल हो सकते हैं।
-एक गवाह सेट
-<math>W</math> एक डेटा संरचना है जिसका उपयोग बीजगणितीय विविधता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक समान विविधता के लिए साक्षी सेट में जानकारी के तीन टुकड़े होते हैं। सूचना का पहला भाग समीकरणों की एक प्रणाली है <math>F</math>. ये समीकरण बीजगणितीय विविधता को परिभाषित करते हैं <math>{\mathbf V}(F)</math> जिसका अध्ययन किया जा रहा है। सूचना का दूसरा भाग एक रेखीय स्थान है <math>\mathcal{L}</math>. का आयाम <math>\mathcal{L}</math> का विधान है <math>{\mathbf V}(F)</math>, और प्रतिच्छेद करने के लिए चुना गया <math>{\mathbf V}(F)</math> अनुप्रस्थ। जानकारी का तीसरा भाग चौराहे पर बिंदुओं की सूची है <math>\mathcal{L}\cap{\mathbf V}(F)</math>. इस प्रतिच्छेदन में बहुत से बिंदु हैं और अंकों की संख्या बीजगणितीय विविधता की डिग्री है <math>{\mathbf V}(F)</math>. इस प्रकार, गवाह सेट पहले दो प्रश्नों के उत्तर को कूटबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय विविधता के बारे में पूछता है: आयाम क्या है, और डिग्री क्या है? गवाह सेट भी एक संख्यात्मक अपघटन योग्य अपघटन, घटक सदस्यता परीक्षण और घटक नमूनाकरण करने की अनुमति देते हैं। यह गवाह सेट को बीजगणितीय विविधता का एक अच्छा विवरण बनाता है।
+== प्रमाण सम्मुच्चय ==
+एक प्रमाण सम्मुच्चय <math>W</math> एक ा संरचना है जिसका उपयोग बीजगणितीय विविधता का वर्णन करने के लिए किया जाता है। एक समान विविधता के लिए साक्षी सम्मुच्चय में जानकारी के तीन टुकड़े होते हैं। सूचना का पहला भाग समीकरणों की एक <math>F</math>प्रणाली है। ये समीकरण अध्ययन की जा रही बीजगणितीय विविधता <math>{\mathbf V}(F)</math> को परिभाषित करते हैं। <math>\mathcal{L}</math> का आयाम <math>{\mathbf V}(F)</math> का सहआयाम है, और <math>{\mathbf V}(F)</math> को अनुप्रस्थतः प्रतिच्छेद करने के लिए चुना गया है। जानकारी का तीसरा भाग प्रतिच्छेदन में बिंदुओं की सूची <math>\mathcal{L}\cap{\mathbf V}(F)</math> है। इस प्रतिच्छेदन में बहुत से बिंदु हैं और अंकों की संख्या प्रमाणितीय विविधता की घात <math>{\mathbf V}(F)</math> है। इस प्रकार, प्रमाण सम्मुच्चय पहले दो प्रश्नों के उत्तर को कूटबद्ध करता है जो एक बीजगणितीय विविधता के बारे में पूछता है: आयाम क्या है, और घात क्या है? प्रमाण सम्मुच्चय भी एक संख्यात्मक अपघटन योग्य अपघटन, घटक सदस्यता परीक्षण प्रमाण प्रतिदर्शी करने की अनुमति देते हैं। यह प्रमाण सम्मुच्चय को विविधता का एक अच्छा विवरण बनाता है।
 == प्रमाणन ==
-संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके गणना की गई बहुपद प्रणालियों के समाधान संख्यात्मक प्रमाणन हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि अनुमानित समाधान सही है। यह कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, या तो प्रमाणित ट्रैकर का उपयोग करके प्राथमिकता,<ref>{{Cite journal|last1=Beltrán|first1=Carlos|last2=Leykin|first2=Anton|date=2012-03-01|title=प्रमाणित न्यूमेरिकल होमोटॉपी ट्रैकिंग|journal=Experimental Mathematics|volume=21|issue=1|pages=69–83|doi=10.1080/10586458.2011.606184|issn=1058-6458|arxiv=0912.0920|s2cid=2889087}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Beltrán|first1=Carlos|last2=Leykin|first2=Anton|date=2013-02-01|title=मजबूत प्रमाणित न्यूमेरिकल होमोटॉपी ट्रैकिंग|journal=Foundations of Computational Mathematics|language=en|volume=13|issue=2|pages=253–295|doi=10.1007/s10208-013-9143-2|issn=1615-3375|arxiv=1105.5992|s2cid=32990257}}</ref> या पोस्टरियोरी यह दिखाकर कि बिंदु न्यूटन की विधि के अभिसरण के बेसिन में है।<ref name = "alphaCertified">{{cite journal |last1=Hauenstein |first1=Jonathan D. |last2=Sottile |first2=Frank |title=Algorithm 921: alphaCertified: Certifying Solutions to Polynomial Systems |journal=ACM Transactions on Mathematical Software |date=August 2012 |volume=38 |issue=4 |pages=1–20 |doi=10.1145/2331130.2331136|s2cid=13821271 }}</ref>
+संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामितीय विधियों का उपयोग करके गणना की गई बहुपद प्रणालियों के समाधान संख्यात्मक प्रमाणन हो सकते हैं, जिसका अर्थ है कि अनुमानित समाधान सही है। यह कई तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है, या तो प्रमाणित अनुपथक का उपयोग करके प्राथमिकता,<ref>{{Cite journal|last1=Beltrán|first1=Carlos|last2=Leykin|first2=Anton|date=2012-03-01|title=प्रमाणित न्यूमेरिकल होमोटॉपी ट्रैकिंग|journal=Experimental Mathematics|volume=21|issue=1|pages=69–83|doi=10.1080/10586458.2011.606184|issn=1058-6458|arxiv=0912.0920|s2cid=2889087}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Beltrán|first1=Carlos|last2=Leykin|first2=Anton|date=2013-02-01|title=मजबूत प्रमाणित न्यूमेरिकल होमोटॉपी ट्रैकिंग|journal=Foundations of Computational Mathematics|language=en|volume=13|issue=2|pages=253–295|doi=10.1007/s10208-013-9143-2|issn=1615-3375|arxiv=1105.5992|s2cid=32990257}}</ref> या परवर्ती यह दिखाकर कि बिंदु न्यूटन की विधि के अभिसरण के बेसिन में है।<ref name = "alphaCertified">{{cite journal |last1=Hauenstein |first1=Jonathan D. |last2=Sottile |first2=Frank |title=Algorithm 921: alphaCertified: Certifying Solutions to Polynomial Systems |journal=ACM Transactions on Mathematical Software |date=August 2012 |volume=38 |issue=4 |pages=1–20 |doi=10.1145/2331130.2331136|s2cid=13821271 }}</ref>
 == सॉफ्टवेयर ==
-कई सॉफ्टवेयर पैकेज संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति के सैद्धांतिक निकाय के अंशों को लागू करते हैं। इनमें वर्णानुक्रम में शामिल हैं:
+कई सॉफ्टवेयर संवेष्टन संख्यात्मक बीजगणितीय ज्यामिति के सैद्धांतिक निकाय के अंशों को लागू करते हैं। इनमें वर्णानुक्रम में सम्मिलित हैं:
-* अल्फा प्रमाणित<ref name="alphaCertified" />* बर्टिनी <ref name=Bertini/>* होम4पीएस<ref>{{cite book |last1=Chen |first1=T. |last2=Lee |first2=T. L. |last3=Li |first3=T. Y. |chapter=Hom4PS-3: A Parallel Numerical Solver for Systems of Polynomial Equations Based on Polyhedral Homotopy Continuation Methods |pages=183–190 |editor-last1=Hong |editor-first1=H. |editor-last2=Yap |editor-first2=C. |title=Mathematical software -- ICMS 2014 : 4th International Congress, Seoul, South Korea, August 5-9, 2014. Proceedings |date=2014 |doi=10.1007/978-3-662-44199-2_30 |isbn=978-3-662-44199-2 |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-44199-2_30 |accessdate=28 April 2020}}</ref><ref>{{cite web |last1=Hom4PS Team |title=विशेष रुप से प्रदर्शित प्रोडक्टस|url=http://www.hom4ps3.org/store/c1/Featured_Products.html |website=Hom4PS-3 |publisher=Michigan State University |accessdate=28 April 2020 |language=en}}</ref>
+* अल्फा प्रमाणित<ref name="alphaCertified" />
-* HomotopyContinuation.jl<ref>{{cite arXiv |last1=Breiding |first1=Paul |last2= Timme |first2=Sascha |eprint=1711.10911v2 |title=HomotopyContinuation.jl: A package for homotopy continuation in Julia |class=cs.MS |date=May 2018 }}</ref>
+*बर्टिनी <ref name="Bertini" />
-* [[खुश]] (होमोटोपी ट्रैकिंग का मुख्य कार्यान्वयन और <code>NumericalAlgebraicGeometry</code><ref name=Macaulay2/>पैकेट)
+*होम4पीएस<ref>{{cite book |last1=Chen |first1=T. |last2=Lee |first2=T. L. |last3=Li |first3=T. Y. |chapter=Hom4PS-3: A Parallel Numerical Solver for Systems of Polynomial Equations Based on Polyhedral Homotopy Continuation Methods |pages=183–190 |editor-last1=Hong |editor-first1=H. |editor-last2=Yap |editor-first2=C. |title=Mathematical software -- ICMS 2014 : 4th International Congress, Seoul, South Korea, August 5-9, 2014. Proceedings |date=2014 |doi=10.1007/978-3-662-44199-2_30 |isbn=978-3-662-44199-2 |url=https://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-662-44199-2_30 |accessdate=28 April 2020}}</ref><ref>{{cite web |last1=Hom4PS Team |title=विशेष रुप से प्रदर्शित प्रोडक्टस|url=http://www.hom4ps3.org/store/c1/Featured_Products.html |website=Hom4PS-3 |publisher=Michigan State University |accessdate=28 April 2020 |language=en}}</ref>
+* समस्थेयताअनुवर्ती.जेआई<ref>{{cite arXiv |last1=Breiding |first1=Paul |last2= Timme |first2=Sascha |eprint=1711.10911v2 |title=HomotopyContinuation.jl: A package for homotopy continuation in Julia |class=cs.MS |date=May 2018 }}</ref>
+* [[खुश|मैकाले2]] (समस्थेयता ट्रैकिंग का मुख्य कार्यान्वयन और <code>NumericalAlgebraicGeometry</code><ref name="Macaulay2" /> संवेष्टन)
 * पीएचसीपैक<ref>{{cite journal |last1=Verschelde |first1=Jan |title=Algorithm 795: PHCpack: a general-purpose solver for polynomial systems by homotopy continuation |journal=ACM Transactions on Mathematical Software |date=1 June 1999 |volume=25 |issue=2 |pages=251–276 |doi=10.1145/317275.317286|s2cid=15485257 |doi-access=free }}</ref>

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