सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय साहचर्य में, सममित कार्यों की अंगूठी 'n' अनिश्चित में सममित बहुपद की अंगूठी (गणित) की विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'n' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र विधियों से व्यक्त किया जा सकता है (किन्तु इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अतिरिक्त, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को सह-उत्पाद और द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे सकारात्मक स्वसम्मिलित श्रेणीबद्ध बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद

Main article: सममित बहुपद

सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में बहुपद वलय में, बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी प्रकार से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह S_n के अंगूठी स्वत:आकारिता द्वारा समूह क्रिया होती है n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक अनिश्चित को साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित X₁, ..., X_n,हैं, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं

$X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n},\,$

$X_{1}^{3}+X_{2}^{3}+\cdots +X_{n}^{3},\,$

और

$X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.\,$

कुछ और जटिल उदाहरण हैX₁³X₂X₃ + X₁X₂³X₃ + X₁X₂X₃³ + X₁³X₂X₄ + X₁X₂³X₄ + X₁X₂X₄³ + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को सम्मलित करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, एकपद सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी

सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, अतिरिक्त इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए अधिक बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक तीसरी घात योग बहुपद p₃ के लिए न्यूटन की तत्समक ओर जाता है

$p_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n})=e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})^{3}-3e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})+3e_{3}(X_{1},\ldots ,X_{n}),$

जहां $e_{i}$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि e_k(X₁,...,X_n) = 0 जब भी n < k. कोई इसे पहचान के रूप में लिखना चाहेगा

$p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व e_k होते हैं सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और अंगूठी के किसी भी तत्व को तत्वों e_k में बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता है।

परिभाषाएँ

सममित कार्यों की अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी R पर परिभाषित किया जा सकता है और इसे Λ_R के रूप में दर्शाया जाएगा; मूल अवस्था R = 'Z' के लिए है। अंगूठी Λ_R वास्तव में वलय के ऊपर वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के रूप में

सबसे सरल (चूंकि कुछ सीमा तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला की अंगूठी से प्रारंभ होता है $R[[X_{1},X_{2},...]]$ R पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस शक्ति श्रृंखला अंगूठी के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एकपद द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक एकपद अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। Λ_R को परिभाषित करता है इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं

1. S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और
2. S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, अतिरिक्त सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि तत्व जिसमें उदाहरण के लिए X₁ शब्द होता है X_i शब्द भी होना चाहिए सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला अंगूठी के विपरीत, उपअंगूठी Λ_R एकपदीयों की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ_R का प्रत्येक तत्व Λ_R के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग है (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व e_k∈ Λ_R k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में

Λ_R का एक और निर्माण वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, किन्तु अंगूठी R[X₁,...,X_n]^S_n के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है। अनिश्चित में सममित बहुपदों का प्रत्येक n के लिए विशेषण वलय समरूपता ρ_n है समरूप वलय R[X₁,...,X_n+1]^S_n+1 पर और अनिश्चित के साथ R[X₁,...,X_n]^S_n, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके X_n+1से 0 परिभाषित किया गया है । चूंकि ρ_n गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है $n+1$ (वे X के गुणक हैं X₁X₂...X_n+1) । इसका मतलब है कि ρ_n का प्रतिबंध अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρ_n(e_k(X₁,...,X_n+1)) = e_k(X₁,...,X_n) for all k ≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से अंगूठी समरूपता φ_n तक बढ़ाया जा सकता है R[X₁,...,X_n]^S_n से R[X₁,...,X_n+1]^S_n+1, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φ_n(e_k(X₁,...,X_n)) = e_k(X₁,...,X_n+1) , k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ_n पर अन्तःक्षेपण बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैं और इसे अंगूठी के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ_n लागू करना से पहले उपस्तिथ एकपद से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी एकपद को जोड़ने के लिए बहुपद राशि। अंगूठी Λ_R तब इन समावेशन के अधीन इन सभी अंगूठियो का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φ_n सम्मलित अंगूठी की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, Λ_R वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ_n का उपयोग करता है अन्तःक्षेपण रूपवाद φ_n का उल्लेख किए बिना। यह Λ_R के सजातीय घटकों का निर्माण करता है अलग से, एक और ρ_n का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को अंगूठी संरचना से तैयार करता है। यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत अंगूठियो की श्रेणी (गणित) में व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। चूंकि यह विवरण कुछ सीमा तक इंजेक्शन आकारिता की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में eमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां अंगूठी R[X₁,...,X_d]^S_d यह d के लिए सममित फलन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस अंगूठी के डिग्री d में भाग को समरूप रूप से मैप किया जाता है, जो कि φn द्वारा अधिक अनिश्चित होता है। सभी के लिए n≥ d। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना

Λ_R के तत्वों के लिए नाम सममित कार्य मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए e₁ सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। चूँकि नाम पारंपरिक और अच्छी प्रकार से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट)

Λ के तत्व (Λ_n के तत्वों के विपरीत) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।

(यहाँ Λ_n एन अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

सममित फलन को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत विधियों से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n अनिश्चित में सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है

$e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,$

प्राथमिक सममित फलन की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि अनिश्चित की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ_n के साथ संगत होना चाहिए (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, जिससे शेष अनिश्चितताओं में किसी भी एकपद के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के परिवार का उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है $\textstyle \prod _{i=1}^{n}X_{i}$; परिवार $\textstyle \prod _{i=1}^{n}(X_{i}+1)$ केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n अनिश्चित में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता का उपयोग करके ρ_i i < n अनिश्चित की संख्या कम करने के लिए, और φ_i i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से उपस्तिथ एकपदीयों से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी एकपदीयों को जोड़ने के बराबर है)।

निम्नलिखित सममित कार्यों के मूलभूत उदाहरण हैं।

• 'एकपद सममित फलन ' m_α. मान लीजिए α = (α₁,α₂,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का अनुक्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α: X द्वारा परिभाषित एकपद पर विचार कर सकते हैंα: X^α = X₁^α₁X₂^α₂X₃^α₃.... फिर m_α X^α द्वारा निर्धारित सममित कार्य है, अर्थात X^α से प्राप्त सभी एकपदीयों का योग समरूपता द्वारा। औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है

$m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.$

यह सममित कार्य एकपद सममित बहुपद m_α(X₁,...,X_n) से मेल खाता है किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X^α रखने के लिए पर्याप्त है। अलग-अलग एकपद सममित कार्यों को पूर्णांक विभाजन द्वारा पैरामीटर किया जाता है (प्रत्येक m_α अद्वितीय प्रतिनिधि एकपदी X^λ है भागों के साथ λ_i कमजोर घटते क्रम में)। चूंकि किसी भी सममित फलन में कुछ m_α के एकपद सम्मलित हैं एक ही गुणांक के साथ उन सभी को सम्मलित करना चाहिए, प्रत्येक सममित फलन को एकपद सममित कार्यों के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और विशिष्ट एकपद सममित फलन इसलिए Λ_R का आधार बनाते हैं आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में।

• 'प्राथमिक सममित कार्य' e_k, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; के पास e_k = m_α जहां $\textstyle X^{\alpha }=\prod _{i=1}^{k}X_{i}$ है। शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह k विशिष्ट अनिश्चित के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। यह सममित कार्य प्राथमिक सममित बहुपद किसी भी n ≥ k के लिए e_k(X₁,...,X_n) से मेल खाता है ।
• 'शक्ति योग सममित कार्य' p_k, किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए; p_k = m_(k) है, एकपदी X के लिए एकपदी सममित फलन₁ यह सममित कार्य शक्ति योग सममित बहुपद p p_k(X₁,...,X_n) = X₁^k + ... + X_n^k से मेल खाता है किसी भी n ≥ 1 के लिए।
• 'पूर्ण सजातीय सममित कार्य' h_k, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; h_k सभी एकपदी सममितीय फलन m_α का योग है जहां α k का पूर्णांक विभाजन है। शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह डिग्री k के सभी एकपदीयों का योग है, जो इसके नाम को प्रेरित करता है। यह सममित कार्य पूर्ण सजातीय सममित बहुपद h_k(X₁,...,X_n) से मेल खाता है किसी भी n ≥ k के लिए।
• 'शूर फलन ' S_λ किसी भी विभाजन λ के लिए, जो शूर बहुपद s_λ(X₁,...,X_n) के संगत है किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X^λ रखने के लिए पर्याप्त है।

कोई घात योग सममित फलन p₀ नहीं है: चूंकि परिभाषित करना संभव है (और कुछ संदर्भों में प्राकृतिक)। $\textstyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n$ n चरों में सममित बहुपद के रूप में, ये मान आकारिकी ρ_n के साथ संगत नहीं हैं। भेद करनेवाला $\textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}$ सभी n के लिए सममित बहुपद देने वाली अभिव्यक्ति का और उदाहरण है, किन्तु किसी भी सममित कार्य को परिभाषित नहीं करता है। प्रत्यावर्ती बहुपदों के भागफल के रूप में शूर बहुपदों को परिभाषित करने वाले भाव कुछ सीमा तक विवेचक के समान हैं, किन्तु बहुपद s_λ(X₁,...,X_n) अलग-अलग n के लिए संगत हो जाते हैं और इसलिए सममित कार्य को परिभाषित करते हैं।

सममित बहुपदों और सममित कार्यों से संबंधित सिद्धांत

किसी भी सममित फलन P के लिए, n में संबंधित सममित बहुपद किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए अनिश्चित होते हैं, जिन्हें P(X₁,...,X_n) द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। सममित कार्यों के वलय की दूसरी परिभाषा का तात्पर्य निम्नलिखित मूलभूत सिद्धांत से है।

यदि P और Q डिग्री d के सममित कार्य हैं, तो की पहचान है $P=Q$ सममित कार्यों की यदि और केवल यदि किसी की पहचान है P(X₁,...,X_d) = Q(X₁,...,X_d) अनिश्चित में सममित बहुपदों की। इस मामले में वास्तव में P(X₁,...,X_n) = Q(X₁,...,X_n) किसी भी संख्या n के लिए अनिश्चित हैं।

ऐसा इसलिए है क्योंकि कुछ चरों के लिए शून्य को प्रतिस्थापित करके चरों की संख्या को सदैव कम किया जा सकता है और समाकारिता φ_n को लागू करके चरों की संख्या में वृद्धि की जा सकती है। उन समरूपताओं की परिभाषा आश्वस्त करती है कि φ_n(P(X₁,...,X_n)) = P(X₁,...,X_n+1) (और इसी प्रकार Q के लिए) जब भी n ≥ d. इस सिद्धांत के प्रभावी अनुप्रयोग के लिए न्यूटन की पहचान की व्युत्पत्ति न्यूटन की पहचान का प्रमाण देखें।

सममित कार्यों की अंगूठी के गुण

पहचान

सममितीय फलनों का वलय सममित बहुपदों के बीच सर्वसमिकाओं को लिखने के लिए सुविधाजनक उपकरण है, जो कि निर्धारकों की संख्या से स्वतंत्र होते हैं: Λ_R में ऐसी कोई संख्या नहीं है, फिर भी उपरोक्त सिद्धांत द्वारा Λ_R में कोई पहचान है स्वचालित रूप से किसी भी संख्या में अनिश्चितताओं में R पर सममित बहुपदों के छल्ले की पहचान देता है। कुछ मौलिक पहचान हैं

$\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k>0,$

जो प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता दिखाता है, इन संबंधों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपद के अनुसार समझाया गया है।

$ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,$

न्यूटन की पहचान, जिसमें पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के लिए संस्करण भी है।

$kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0.$

Λ_R के संरचनात्मक गुण

Λ_R के महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित को सम्मलित कीजिए।

1. विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड एकपद सममित कार्यों का सेट Λ_R का आधार बनता है श्रेणीबद्ध आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, d के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फलन के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)।
2. Λ_R बहुपद वलय R[Y₁,Y₂, ...] के लिए श्रेणीबद्ध R-बीजगणित के रूप में समरूपी है, अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Y_i सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, समरूपता वह है जो Y_i भेजता है तब _i∈ Λ_R प्रत्येक i के लिए।
3. Λ_R का इनवॉल्यूशन (गणित) automorphism ω है जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है e_i और पूर्ण सजातीय सममित फलन h_i सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फलन p_i भी भेजता है p_i से (−1)ⁱ⁻¹p_i, और यह S_λ को बदलाव करते हुए दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता है और S_λ^t जहां Λ^t λ का स्थानान्तरण विभाजन है।

संपत्ति 2 सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का सार है। इसका तात्पर्य तुरंत कुछ अन्य गुणों से है:

• Λ_R का उपअंगूठी n चर में R पर सममित बहुपदों की अंगूठी के लिए अधिकतम n में डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न समरूप है;
• Λ_R की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखला है $\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}$, विभाजन (संख्या सिद्धांत) पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है);
• प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ_R के सजातीय भाग द्वारा गठित R-मॉड्यूल डिग्री n की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न उपअंगूठी के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का मुफ्त मॉड्यूल है, और (की छवि) e_n इस R-मॉड्यूल का उत्पादक है;
• सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (F_i)_i>0 जिसमें F_i डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का उत्पादक देता है, R[Y₁,Y₂, ...] से श्रेणीबद्ध आर-अलजेब्रस का वैकल्पिक समरूपता है ऊपर के रूप में Λ_R Y_i भेजता है F_i के लिए; दूसरे शब्दों में, परिवार (f_i)_i>0 Λ_R के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाता है।

यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है पूर्ण सजातीय सममित कार्यों की (h_i)_i>0 ।यदि R में क्षेत्र है (गणित)$\mathbb {Q}$ परिमेय संख्याओं के संबंध में, यह परिवार पर भी लागू होता है (p_i)_i>0 शक्ति योग सममित कार्यों की। यह बताता है कि इन परिवारों में से प्रत्येक के पहले n तत्व सममित बहुपदों के सेट को n चर में परिभाषित करते हैं जो सममित बहुपदों की उस अंगूठी के मुक्त बहुपद उत्पादक हैं।

तथ्य यह है कि पूर्ण सजातीय सममित कार्य Λ_R के मुक्त बहुपद उत्पादक का सेट बनाते हैं पहले से ही स्वत:आकारिता के अस्तित्व को दर्शाता है ω प्राथमिक सममित कार्यों को पूर्ण सजातीय कार्यों में भेज रहा है, जैसा कि संपत्ति 3 में उल्लिखित है। तथ्य यह है कि ω Λ_R का अंतर्वलन है ऊपर दिए गए संबंधों के पहले सेट द्वारा व्यक्त प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता से अनुसरण करता है।

सममित कार्यों की अंगूठी Λ_Z पूर्णांक Z का ऍक्स्प वलय है। यह प्राकृतिक अंदाज में लैम्ब्डा-अंगूठी भी है; वास्तव में यह एक उत्पादक में सार्वभौमिक लैम्ब्डा-अंगूठी है।

निर्माण कार्य

Λ_R की पहली परिभाषा के उपअंगूठी के रूप में $R[[X_{1},X_{2},...]]$ सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ_R के लिए आंतरिक हैं, इन भावों में R[[X₁,X₂,...;t]] में संक्रियाएँ सम्मलित हैं किन्तु इसके उपसमूह Λ_Rt के बाहर, इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित X_i में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता है। हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (X) लिखेंगे।

प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए उत्पादक फलन है

$E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).$

इसी प्रकार किसी के पास पूर्ण सजातीय सममित कार्य हैं

$H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.$

स्पष्ट तथ्य यह है कि $E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)$ प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता की व्याख्या करता है। शक्ति योग सममित कार्यों के लिए उत्पादक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

$P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}$

((मैकडॉनल्ड, 1979) P(T) को Σ_k>0 p_k(X)t^k−1 के रूप में परिभाषित करता है और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में कारक t का अभाव है। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज सम्मलित हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है।

$P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),$

जिसकी मात्रा समान है, किन्तु इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, जिससे निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक (द्वारा $\textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}$ परिभाषित किया जा सके) ।

विशेषज्ञता

होने देना $\Lambda$ सममित कार्यों की अंगूठी बनें और $R$ इकाई तत्व के साथ क्रमविनिमेय बीजगणित है। बीजगणित समरूपता $\varphi :\Lambda \to R,\quad f\mapsto f(\varphi )$ विशेषज्ञता कहा जाता है। उदाहरण:

• कुछ वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं $a_{1},\dots ,a_{k}$ और $f(x_{1},x_{2},\dots ,)\in \Lambda$, फिर प्रतिस्थापन $x_{1}=a_{1},\dots ,x_{k}=a_{k}$ और $x_{j}=0,\forall j>k$ विशेषज्ञता है।
• होने देना $f\in \Lambda$, तब $\operatorname {ps} (f):=f(1,q,q^{2},q^{3},\dots )$ प्रमुख विशेषज्ञता कहा जाता है।

यह भी देखें

• न्यूटन की पहचान
• क्वैसममित फ़ंक्शन

संदर्भ

• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9 MR553598
• Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2 MR1354144
• Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).