टिट्स समूह

समूह सिद्धांत में, स्तन समूह ²एफ₄(2)', जैक्स स्तन के नाम पर (French: [tits]), आदेश का एक परिमित सरल समूह है (समूह सिद्धांत)

   2¹¹ · 3³ · 5² · 13 = 17,971,200।

इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।

इतिहास और गुण

री समूह ²एफ₄(2²ⁿ⁺¹) द्वारा निर्मित किया गया था Ree (1961), जिन्होंने दिखाया कि वे सरल हैं यदि n ≥ 1। इस श्रृंखला के पहले सदस्य ²एफ₄(2) सरल नहीं है। द्वारा इसका अध्ययन किया गया Jacques Tits (1964) जिन्होंने दिखाया कि यह लगभग सरल समूह है, इसका व्युत्पन्न उपसमूह है ²एफ₄(2)' सूचकांक 2 का एक नया सरल समूह है, जिसे अब स्तन समूह कहा जाता है। समूह ²एफ₄(2) झूठ प्रकार का एक समूह है और इसमें बीएन जोड़ी है, लेकिन स्तन समूह में बीएन जोड़ी नहीं है। स्तन समूह अनंत परिवार का सदस्य है ²एफ₄(2²ⁿ⁺¹)' री समूहों के कम्यूटेटर समूहों का, और इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं है। लेकिन क्योंकि यह पूरी तरह से झूठ प्रकार का समूह नहीं है, इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है। स्तन समूह का शूर गुणक तुच्छ है और इसके बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का क्रम 2 है, जिसमें पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह समूह है²एफ₄(2)।

स्तन समूह फिशर समूह Fi22 | फिशर समूह Fi के अधिकतम उपसमूह के रूप में होता है₂₂. समूह ²एफ₄(2) रुडवालिस समूह के एक अधिकतम उपसमूह के रूप में भी होता है, 4060=1+1755+2304 बिंदुओं पर रैंक-3 क्रमचय क्रिया के बिंदु स्टेबलाइजर के रूप में।

स्तन समूह एन-समूह (परिमित समूह सिद्धांत) में से एक है | सरल एन-समूह, और जॉन जी थॉम्पसन की सरल एन-समूहों के वर्गीकरण की पहली घोषणा में इसे अनदेखा कर दिया गया था, क्योंकि यह उस समय खोजा नहीं गया था। यह भी पतले परिमित समूहों में से एक है।

स्तन समूह की विभिन्न तरीकों से विशेषता थी Parrott (1972, 1973) और Stroth (1980).

अधिकतम उपसमूह

Wilson (1984) और Tchakerian (1986) स्वतंत्र रूप से स्तन समूह के अधिकतम उपसमूहों के 8 वर्गों को निम्नानुसार पाया गया:

एल₃(3):2 दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए। ये उपसमूह रैंक 4 क्रमचय अभ्यावेदन के बिंदु तय करते हैं।

2. [2⁸].5.4 एक समावेशन का केंद्रीकरण।

एल_{2</उप>(25)}

2²। [2⁸].एस_3</उप>

ए_{6</उप>.2² (दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए)}

5²:4ए_4</उप>

प्रस्तुति

स्तन समूह को जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

$a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,$

जहां [ए, बी] कम्यूटेटर ए है^-1बी^{-1</सुप>अब. इसमें (a, b) को (a, b(ba)) भेजकर प्राप्त किया गया एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है5बी(बीए)5).}

संदर्भ

• Parrott, David (1972), "A characterization of the Tits' simple group", Canadian Journal of Mathematics, 24 (4): 672–685, doi:10.4153/cjm-1972-063-0, ISSN 0008-414X, MR 0325757
• Parrott, David (1973), "A characterization of the Ree groups ²F₄(q)", Journal of Algebra, 27 (2): 341–357, doi:10.1016/0021-8693(73)90109-9, ISSN 0021-8693, MR 0347965
• Ree, Rimhak (1961), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄)", Bulletin of the American Mathematical Society, 67: 115–116, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Stroth, Gernot (1980), "A general characterization of the Tits simple group", Journal of Algebra, 64 (1): 140–147, doi:10.1016/0021-8693(80)90138-6, ISSN 0021-8693, MR 0575787
• Tchakerian, Kerope B. (1986), "The maximal subgroups of the Tits simple group", Pliska Studia Mathematica Bulgarica, 8: 85–93, ISSN 0204-9805, MR 0866648
• Tits, Jacques (1964), "Algebraic and abstract simple groups", Annals of Mathematics, Second Series, 80 (2): 313–329, doi:10.2307/1970394, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970394, MR 0164968
• Wilson, Robert A. (1984), "The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 48 (3): 533–563, doi:10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN 0024-6115, MR 0735227

बाहरी संबंध

• ATLAS of Group Representations — The Tits Group