टिट्स समूह

समूह सिद्धांत में, टिट्स समूह ²F₄(2)′, जिसे जैक्स टिट्स French: [tits] के नाम पर रखा गया है, क्रम का एक परिमित सरल समूह है

 2¹¹ · 3³ · 5² · 13 = 17,971,200।

इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।

इतिहास और गुण

री समूह ²F₄(2²ⁿ⁺¹) द्वारा निर्मित किया गया था Ree (1961), जिन्होंने दिखाया कि वे सरल हैं | यदि n ≥ 1 इस श्रृंखला के पहले सदस्य ²F₄(2) सरल नहीं है। द्वारा इसका अध्ययन किया गया जैक्स टिट्स (1964) जिन्होंने दिखाया कि यह लगभग सरल समूह है, इसका व्युत्पन्न उपसमूह ²F₄(2)' सूचकांक 2 का एक नया सरल समूह है, जिसे अब टिट्स समूह कहा जाता है। समूह ²F₄(2) लाई प्रकार का एक समूह है और इसमें बीएन जोड़ी है, किंतु टिट्स समूह में बीएन जोड़ी नहीं है। टिट्स समूह अनंत वर्ग ²F₄(2²ⁿ⁺¹)′ का सदस्य है री समूहों के कम्यूटेटर समूहों का और इस प्रकार परिभाषा के अनुसार छिटपुट नहीं है। किंतु क्योंकि यह पूरी तरह से लाई प्रकार का समूह नहीं है, इसे कभी-कभी 27वां छिटपुट समूह माना जाता है।

टिट्स समूह का शूर गुणक तुच्छ है और इसके बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह का क्रम 2 है, जिसमें पूर्ण ऑटोमोर्फिज़्म समूह समूह ²F₄(2) है।

टिट्स समूह फिशर समूह Fi₂₂ के अधिकतम उपसमूह के रूप में होता है। समूह ²F₄(2) 4060 = 1 + 1755 + 2304 बिंदुओं पर पद -3 क्रमपरिवर्तन क्रिया के बिंदु स्टेबलाइजर के रूप में रुडवालिस समूह के अधिकतम उपसमूह के रूप में भी होता है।

टिट्स समूह एन-समूह (परिमित समूह सिद्धांत) में से एक है सरल एन-समूह, और जॉन जी थॉम्पसन की सरल एन-समूहों के वर्गीकरण की पहली घोषणा में इसे अनदेखा कर दिया गया था, क्योंकि यह उस समय खोजा नहीं गया था। यह भी पतले परिमित समूहों में से एक है।

पैरट (1972, 1973) और स्ट्रॉथ (1980) द्वारा टिट्स समूह की विभिन्न विधियों से विशेषता थी

अधिकतम उपसमूह

विल्सन (1984) और चाकरियन (1986) स्वतंत्र रूप से टिट्स समूह के अधिकतम उपसमूहों के 8 वर्गों को निम्नानुसार पाया गया:

L₃(3):2 दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए। ये उपसमूह पद 4 क्रमचय अभ्यावेदन के बिंदु तय करते हैं।

2.[2⁸].5.4 एक समावेशन का केंद्रीकरण।

L₂(25)

2².[2⁸].S₃

A₆.2² (दो वर्ग, एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म द्वारा जुड़े हुए)

5²:4A₄

प्रस्तुति

टिट्स समूह को जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है

$a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}=((ab)^{4}ab^{-1})^{6}=1,\,$

जहां [a, b] कम्यूटेटर a⁻¹b⁻¹ab है। इसमें (a, b) से (a, b(ba)⁵b(ba)⁵).भेजकर प्राप्त किया गया एक बाहरी ऑटोमोर्फिज्म है।

संदर्भ

• Parrott, David (1972), "A characterization of the Tits' simple group", Canadian Journal of Mathematics, 24 (4): 672–685, doi:10.4153/cjm-1972-063-0, ISSN 0008-414X, MR 0325757
• Parrott, David (1973), "A characterization of the Ree groups ²F₄(q)", Journal of Algebra, 27 (2): 341–357, doi:10.1016/0021-8693(73)90109-9, ISSN 0021-8693, MR 0347965
• Ree, Rimhak (1961), "A family of simple groups associated with the simple Lie algebra of type (F₄)", Bulletin of the American Mathematical Society, 67: 115–116, doi:10.1090/S0002-9904-1961-10527-2, ISSN 0002-9904, MR 0125155
• Stroth, Gernot (1980), "A general characterization of the Tits simple group", Journal of Algebra, 64 (1): 140–147, doi:10.1016/0021-8693(80)90138-6, ISSN 0021-8693, MR 0575787
• Tchakerian, Kerope B. (1986), "The maximal subgroups of the Tits simple group", Pliska Studia Mathematica Bulgarica, 8: 85–93, ISSN 0204-9805, MR 0866648
• Tits, Jacques (1964), "Algebraic and abstract simple groups", Annals of Mathematics, Second Series, 80 (2): 313–329, doi:10.2307/1970394, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970394, MR 0164968
• Wilson, Robert A. (1984), "The geometry and maximal subgroups of the simple groups of A. Rudvalis and J. Tits", Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 48 (3): 533–563, doi:10.1112/plms/s3-48.3.533, ISSN 0024-6115, MR 0735227

बाहरी संबंध

• ATLAS of Group Representations — The Tits Group