गॉस-कोडैज़ी समीकरण

रीमैनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड ज्यामिति में, गॉस-कोडैज़ी समीकरण (जिसे गॉस कोडाज़ी वेनगार्टन मेनार्डी समीकरण या गॉस पीटरसन कोडाज़ी सूत्र भी कहा जाता है) मौलिक सूत्र हैं जो एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड या स्यूडो- रीमैनियन कई गुना के सबमैनिफोल्ड (या विसर्जन) के प्रेरित मीट्रिक और दूसरे मौलिक रूप को एक साथ जोड़ते हैं।

समीकरण मूल रूप से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में सतहों के संदर्भ में खोजे गए थे। इस संदर्भ में, पहला समीकरण, जिसे अक्सर गॉस समीकरण कहा जाता है (इसके खोजकर्ता कार्ल फ्रेडरिक गॉस के बाद), कहा जाता है की सतह के गॉस वक्रता, किसी भी बिंदु पर, गॉस मानचित्र के यौगिक द्वारा निर्धारित होती है, जैसा कि इसे दूसरे मौलिक रूप द्वारा एन्कोड किया गया हैं। दूसरा समीकरण, जिसे कोडाज़ी समीकरण या कोडाज़ी मेनर्डी समीकरण कहा जाता है, यह भी कहा जाता है कि दूसरे मौलिक रूप का सहसंयोजक व्युत्पन्न पूरी तरह से सममित है। इसका नाम गैस्पर मेनार्डी (1856) और डेलफिनो कोडाज़ी (1868-1869) के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने स्वतंत्र रूप से परिणाम प्राप्त किया, हालाँकि इसकी खोज पहले कार्ल मिखाइलोविच पीटरसन ने की थी।

औपचारिक बयान

मान लीजिये $i\colon M\subset P$ आयाम के रिमेंनियन मैनिफोल्ड पी के एन-डायमेंशनल एम्बेडेड सबमेनिफोल्ड बनें $n+p$. पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) द्वारा M के स्पर्शरेखा बंडल का P में एक प्राकृतिक समावेश है, और cokernel M का सामान्य बंडल है:

$0\rightarrow T_{x}M\rightarrow T_{x}P|_{M}\rightarrow T_{x}^{\perp }M\rightarrow 0.$

मीट्रिक इस संक्षिप्त सटीक अनुक्रम को विभाजित करता है, और इसी तरह

$TP|_{M}=TM\oplus T^{\perp }M.$

इस बंटवारे के सापेक्ष, लेवी-Civita कनेक्शन $\nabla '$ P का स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों में विघटित होता है। प्रत्येक के लिए $X\in TM$ और M पर सदिश क्षेत्र Y,

$\nabla '_{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right)+\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).$

मान लीजिये

$\nabla _{X}Y=\top \left(\nabla '_{X}Y\right),\quad \alpha (X,Y)=\bot \left(\nabla '_{X}Y\right).$

गॉस सूत्र अब यह दावा करता है $\nabla _{X}$ एम के लिए लेवी-सिविता कनेक्शन है, और $\alpha$ सामान्य बंडल में मूल्यों के साथ एक सममित वेक्टर-मूल्यवान रूप है। इसे अक्सर दूसरे मौलिक रूप के रूप में जाना जाता है।

एक तात्कालिक परिणाम 'वक्रता टेंसर के लिए गॉस समीकरण' है। के लिए $X,Y,Z,W\in TM$,

$\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\langle \alpha (X,Z),\alpha (Y,W)\rangle -\langle \alpha (Y,Z),\alpha (X,W)\rangle$

कहाँ $R'$ P का रीमैन वक्रता टेन्सर है और R, M का है।

वेनगार्टन समीकरण | 'वीनगार्टन समीकरण' सामान्य बंडल में कनेक्शन के लिए गॉस सूत्र का एक एनालॉग है। मान लीजिये $X\in TM$ और $\xi$ सामान्य वेक्टर क्षेत्र। फिर के परिवेश सहसंयोजक व्युत्पन्न को विघटित करें $\xi$ एक्स के साथ स्पर्शरेखा और सामान्य घटकों में:

$\nabla '_{X}\xi =\top \left(\nabla '_{X}\xi \right)+\bot \left(\nabla '_{X}\xi \right)=-A_{\xi }(X)+D_{X}(\xi ).$

तब

1. वेनगार्टन समीकरण: $\langle A_{\xi }X,Y\rangle =\langle \alpha (X,Y),\xi \rangle$
2. डी_X सामान्य बंडल में एक मीट्रिक कनेक्शन है।

इस प्रकार कनेक्शन की एक जोड़ी है: ∇, M के स्पर्शरेखा बंडल पर परिभाषित; और डी, एम के सामान्य बंडल पर परिभाषित। ये टीएम और टी की प्रतियों के किसी भी टेंसर उत्पाद पर एक कनेक्शन बनाने के लिए गठबंधन करते हैं^⊥एम. विशेष रूप से, उन्होंने सहसंयोजक व्युत्पन्न को परिभाषित किया $\alpha$:

$\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)=D_{X}\left(\alpha (Y,Z)\right)-\alpha \left(\nabla _{X}Y,Z\right)-\alpha \left(Y,\nabla _{X}Z\right).$

Codazzi-Mainardi समीकरण है

$\bot \left(R'(X,Y)Z\right)=\left({\tilde {\nabla }}_{X}\alpha \right)(Y,Z)-\left({\tilde {\nabla }}_{Y}\alpha \right)(X,Z).$

चूंकि प्रत्येक विसर्जन (गणित) विशेष रूप से एक स्थानीय एम्बेडिंग है, उपरोक्त सूत्र भी विसर्जन के लिए मान्य हैं।

गॉस-कोडाज़ी समीकरण शास्त्रीय अंतर ज्यामिति में

शास्त्रीय समीकरणों का कथन

सतहों के शास्त्रीय अंतर ज्यामिति में, कोडाज़ी-मेनर्डी समीकरण दूसरे मौलिक रूप (एल, एम, एन) के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं:

$L_{v}-M_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{12}+M\left({\Gamma ^{2}}_{12}-{\Gamma ^{1}}_{11}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{11}$

$M_{v}-N_{u}=L\Gamma ^{1}{}_{22}+M\left({\Gamma ^{2}}_{22}-{\Gamma ^{1}}_{12}\right)-N{\Gamma ^{2}}_{12}$

गॉसियन वक्रता को परिभाषित करने के लिए कोई कैसे चुनता है, इस पर निर्भर करते हुए गॉस सूत्र, एक पुनरुक्ति (तर्क) हो सकता है। इसे इस प्रकार कहा जा सकता है

$K={\frac {LN-M^{2}}{eg-f^{2}}},$

जहां (ई, एफ, जी) पहले मौलिक रूप के घटक हैं।

शास्त्रीय समीकरणों की व्युत्पत्ति

यूक्लिडियन 3-स्पेस में पैरामीट्रिक सतह पर विचार करें,

$\mathbf {r} (u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$

जहां तीन घटक कार्य यूवी-प्लेन में कुछ खुले डोमेन यू में ऑर्डर किए गए जोड़े (यू, वी) पर सुचारू रूप से निर्भर करते हैं। मान लें कि यह सतह 'नियमित' है, जिसका अर्थ है कि सदिश 'r'_u और आर_v रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। सदिश समष्टि के आधार पर इसे पूरा करें {r_u,आर_v,n}, सतह के लिए सामान्य इकाई वेक्टर n का चयन करके। आर के दूसरे आंशिक यौगिक को व्यक्त करना संभव है (के वैक्टर $\mathbb {R^{3}}$) क्रिस्टोफेल प्रतीकों और दूसरे मौलिक रूप के तत्वों के साथ। हम आधार के पहले दो घटकों को चुनते हैं क्योंकि वे सतह के आंतरिक हैं और गॉसियन वक्रता की आंतरिक संपत्ति को साबित करने का इरादा रखते हैं। आधार में अंतिम शब्द बाह्य है।

$\mathbf {r} _{uu}={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n}$

$\mathbf {r} _{uv}={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n}$

$\mathbf {r} _{vv}={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n}$

दूसरे अवकलज की समरूपता Clairaut.27s की प्रमेय कहती है कि आंशिक अवकलज कम्यूट करते हैं:

$\left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_{u}$

अगर हम आर में अंतर करते हैं_uu वी और 'आर' के संबंध में_uv आप के संबंध में, हम प्राप्त करते हैं:

$\left({\Gamma ^{1}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{uv}+\left({\Gamma ^{2}}_{11}\right)_{v}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{vv}+L_{v}\mathbf {n} +L\mathbf {n} _{v}$$=\left({\Gamma ^{1}}_{12}\right)_{u}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{uu}+\left(\Gamma _{12}^{2}\right)_{u}\mathbf {r} _{v}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{uv}+M_{u}\mathbf {n} +M\mathbf {n} _{u}$

अब उपरोक्त अभिव्यक्तियों को दूसरे यौगिक के लिए प्रतिस्थापित करें और n के गुणांकों को समान करें:

$M{\Gamma ^{1}}_{11}+N{\Gamma ^{2}}_{11}+L_{v}=L{\Gamma ^{1}}_{12}+M{\Gamma ^{2}}_{12}+M_{u}$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने से पहला कोडाज़ी-मेनर्डी समीकरण मिलता है।

दूसरा समीकरण इसी तरह निकाला जा सकता है।

औसत वक्रता

एम को (एम + के) -आयामी चिकनी कई गुना पी में विसर्जित एक चिकनी एम-आयामी कई गुना होने दें। चलो $e_{1},e_{2},\ldots ,e_{k}$ एम के लिए सामान्य वेक्टर फ़ील्ड का स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम बनें। फिर हम लिख सकते हैं,

$\alpha (X,Y)=\sum _{j=1}^{k}\alpha _{j}(X,Y)e_{j}.$

अगर, अब, $E_{1},E_{2},\ldots ,E_{m}$ एम के एक ही खुले उपसमुच्चय पर एक स्थानीय ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम (स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्रों का) है, तो हम विसर्जन के माध्य वक्रता को परिभाषित कर सकते हैं

$H_{j}=\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(E_{i},E_{i}).$

विशेष रूप से, यदि M, P की एक अतिसतह है, अर्थात $k=1$, तो बोलने के लिए केवल एक माध्य वक्रता है। विसर्जन को न्यूनतम सतह कहा जाता है यदि सभी $H_{j}$ समान रूप से शून्य हैं।

ध्यान दें कि औसत वक्रता किसी दिए गए घटक के लिए दूसरे मौलिक रूप का निशान या औसत है। कभी-कभी औसत वक्रता को दायीं ओर के योग को गुणा करके परिभाषित किया जाता है $1/m$.

अब हम गॉस-कोडैज़ी समीकरणों को इस रूप में लिख सकते हैं

$\langle R'(X,Y)Z,W\rangle =\langle R(X,Y)Z,W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\alpha _{j}(X,Z)\alpha _{j}(Y,W)-\alpha _{j}(Y,Z)\alpha _{j}(X,W)\right).$

अनुबंध कर रहा है $Y,Z$ घटक हमें देते हैं

$\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\sum _{j=1}^{k}\langle R'(X,e_{j})e_{j},W\rangle +\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{i=1}^{m}\alpha _{j}(X,E_{i})\alpha _{j}(E_{i},W)-H_{j}\alpha _{j}(X,W)\right).$

जब M एक हाइपरसफेस है, तो यह सरल हो जाता है

$\operatorname {Ric} '(X,W)=\operatorname {Ric} (X,W)+\langle R'(X,n)n,W\rangle +\sum _{i=1}^{m}h(X,E_{i})h(E_{i},W)-Hh(X,W)$

कहाँ $n=e_{1},$ $h=\alpha _{1}$ और $H=H_{1}$. उस स्थिति में, एक और संकुचन उत्पन्न होता है,

$R'=R+2\operatorname {Ric} '(n,n)+\|h\|^{2}-H^{2}$

कहाँ $R'$ और $R$ क्रमशः P और M की अदिश वक्रताएँ हैं, और

$\|h\|^{2}=\sum _{i,j=1}^{m}h(E_{i},E_{j})^{2}.$

अगर $k>1$, अदिश वक्रता समीकरण अधिक जटिल हो सकता है।

कुछ निष्कर्ष निकालने के लिए हम पहले से ही इन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कोई न्यूनतम विसर्जन गोल गोले में $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{m+k+1}^{2}=1$ रूप का होना चाहिए

$\Delta x_{j}+\lambda x_{j}=0$

कहाँ $j$ 1 से चलता है $m+k+1$ और

$\Delta =\sum _{i=1}^{m}\nabla _{E_{i}}\nabla _{E_{i}}$

एम पर लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है, और $\lambda >0$ एक सकारात्मक स्थिरांक है।

यह भी देखें

• डार्बौक्स फ्रेम

संदर्भ

Historical references

• Bonnet, Ossian (1867), "Memoire sur la theorie des surfaces applicables sur une surface donnee", Journal de l'École Polytechnique, 25: 31–151
• Codazzi, Delfino (1868–1869), "Sulle coordinate curvilinee d'una superficie dello spazio", Ann. Mat. Pura Appl., 2: 101–19, doi:10.1007/BF02419605, S2CID 177803350
• Gauss, Carl Friedrich (1828), "Disquisitiones Generales circa Superficies Curvas" [General Discussions about Curved Surfaces], Comm. Soc. Gott. (in Latin), 6{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link) ("General Discussions about Curved Surfaces")
• Ivanov, A.B. (2001) [1994], "Peterson–Codazzi equations", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, ISBN 0-19-506137-3
• Mainardi, Gaspare (1856), "Su la teoria generale delle superficie", Giornale Dell' Istituto Lombardo, 9: 385–404
• Peterson, Karl Mikhailovich (1853), Über die Biegung der Flächen, Doctoral thesis, Dorpat University.

Textbooks

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• do Carmo, Manfredo Perdigão. Riemannian geometry. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 pp. ISBN 0-8176-3490-8
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi. Foundations of differential geometry. Vol. II. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 15 Vol. II Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney 1969 xv+470 pp.
• O'Neill, Barrett. Semi-Riemannian geometry. With applications to relativity. Pure and Applied Mathematics, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York, 1983. xiii+468 pp. ISBN 0-12-526740-1
• Toponogov, Victor Andreevich (2006). Differential geometry of curves and surfaces: A concise guide. Boston: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-4384-3.

Articles

• Takahashi, Tsunero (1966), "Minimal immersions of Riemannian manifolds", Journal of the Mathematical Society of Japan, 18 (4), doi:10.2969/jmsj/01840380, S2CID 122849496
• Simons, James. Minimal varieties in riemannian manifolds. Ann. of Math. (2) 88 (1968), 62–105.
• [1]
• [2]
• [3]

बाहरी संबंध

• Peterson–Mainardi–Codazzi Equations – from Wolfram MathWorld
• Peterson–Codazzi Equations