अनिर्धारित गुणांक की विधि: Difference between revisions

Revision as of 17:20, 30 May 2023

गणित में, अनिर्धारित गुणांकों की विधि कुछ गैर-समान सामान्य अंतर समीकरणों और पुनरावृत्ति संबंध के लिए एक विशेष समाधान खोजने का एक दृष्टिकोण है। यह सर्वनाश विधि से निकटता से संबंधित है, लेकिन विशेष समाधान का सर्वोत्तम संभव रूप खोजने के लिए एक विशेष प्रकार के विभेदक ऑपरेटर (विनाशक) का उपयोग करने के अतिरिक्त, एक ansatz या 'अनुमान' उपयुक्त रूप के रूप में किया जाता है, जिसके बाद परिणामी समीकरण को अवकलित करके परीक्षण किया जाता है। जटिल समीकरणों के लिए, एनीहिलेटर विधि या मापदंडों की भिन्नता प्रदर्शन करने में कम समय लेती है।

अनिर्धारित गुणांक पैरामीटर की भिन्नता के रूप में सामान्य विधि नहीं है, क्योंकि यह केवल कुछ रूपों का पालन करने वाले अंतर समीकरणों के लिए काम करता है।^[1]

विधि का विवरण

रूप के एक रेखीय असमघात साधारण अवकल समीकरण पर विचार करें

\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=g(x)

जहाँ

y^{(i)}

के i-वें व्युत्पन्न को दर्शाता है

y

, और

c_{i}

के कार्य को दर्शाता है

x

.

अनिर्धारित गुणांक की विधि इस ओडीई के समाधान को प्राप्त करने का एक सीधा तरीका प्रदान करती है जब दो मानदंड पूरे होते हैं:^[2]

$c_{i}$ स्थिरांक हैं।
g(x) एक अचर, एक बहुपद फलन, चरघातांकी फलन है $e^{\alpha x}$ , ज्या या कोसाइन कार्य करता है $\sin {\beta x}$ या $\cos {\beta x}$ , या परिमित योग और इन कार्यों के उत्पाद ( ${\alpha }$ , ${\beta }$ स्थिरांक)।

विधि में सामान्य सजातीय अंतर समीकरण समाधान खोजना सम्मिलित है $y_{c}$ पूरक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए

\sum _{i=0}^{n}c_{i}y^{(i)}+y^{(n+1)}=0,

और एक विशेष अभिन्न $y_{p}$ रैखिक गैर-सजातीय साधारण अंतर समीकरण के आधार पर $g(x)$ . फिर सामान्य समाधान $y$ रैखिक गैर-सजातीय साधारण अंतर समीकरण होगा

y=y_{c}+y_{p}.

^[3]

यदि $g(x)$ दो कार्यों के योग से मिलकर बनता है $h(x)+w(x)$ और हम कहते हैं $y_{p_{1}}$ पर आधारित समाधान है $h(x)$ और $y_{p_{2}}$ समाधान पर आधारित है $w(x)$ . फिर, एक सुपरपोज़िशन सिद्धांत का उपयोग करके, हम कह सकते हैं कि विशेष अभिन्न $y_{p}$ है^[3]

y_{p}=y_{p_{1}}+y_{p_{2}}.

विशेष अभिन्न के विशिष्ट रूप

विशेष समाकल ज्ञात करने के लिए, हमें इसके रूप का 'अनुमान' लगाने की आवश्यकता है, जिसमें कुछ गुणांकों को हल करने के लिए चरों के रूप में छोड़ दिया गया है। यह पूरक कार्य के पहले व्युत्पन्न का रूप लेता है। नीचे कुछ विशिष्ट कार्यों की तालिका और उनके लिए अनुमान लगाने का समाधान दिया गया है।

Function of x	Form for y
$ke^{ax}\!$	$Ce^{ax}\!$
$kx^{n},\;n=0,1,2,\ldots \!$	$\sum _{i=0}^{n}K_{i}x^{i}\!$
$k\cos(ax){\text{ or }}k\sin(ax)\!$	$K\cos(ax)+M\sin(ax)\!$
$ke^{ax}\cos(bx){\text{ or }}ke^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}(K\cos(bx)+M\sin(bx))\!$
$\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\cos(bx){\text{ or }}\ \left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\!$	$\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)$
$\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\cos(bx){\text{ or }}\left(\sum _{i=0}^{n}k_{i}x^{i}\right)e^{ax}\sin(bx)\!$	$e^{ax}\left(\left(\sum _{i=0}^{n}Q_{i}x^{i}\right)\cos(bx)+\left(\sum _{i=0}^{n}R_{i}x^{i}\right)\sin(bx)\right)$

यदि y के लिए उपरोक्त विशेष समाकल में एक शब्द सजातीय समाधान में प्रकट होता है, तो समाधान को स्वतंत्र बनाने के लिए x की पर्याप्त बड़ी शक्ति से गुणा करना आवश्यक है। यदि उपरोक्त तालिका में x का फलन पदों का योग है, तो y के संगत पदों के योग का उपयोग करके विशेष समाकल का अनुमान लगाया जा सकता है।^[1]

उदाहरण

उदाहरण 1

समीकरण का विशेष समाकल ज्ञात कीजिए

y''+y=t\cos t.

दाईं ओर t cos t का रूप है

P_{n}e^{\alpha t}\cos {\beta t}

एन = 2, α = 0, और β = 1 के साथ।

चूँकि α + iβ = i अभिलाक्षणिक समीकरण का सरल मूल है

\lambda ^{2}+1=0

हमें फॉर्म के एक विशेष इंटीग्रल का प्रयास करना चाहिए

{\begin{aligned}y_{p}&=t\left[F_{1}(t)e^{\alpha t}\cos {\beta t}+G_{1}(t)e^{\alpha t}\sin {\beta t}\right]\\&=t\left[F_{1}(t)\cos t+G_{1}(t)\sin t\right]\\&=t\left[\left(A_{0}t+A_{1}\right)\cos t+\left(B_{0}t+B_{1}\right)\sin t\right]\\&=\left(A_{0}t^{2}+A_{1}t\right)\cos t+\left(B_{0}t^{2}+B_{1}t\right)\sin t.\end{aligned}}

वाई को प्रतिस्थापित करना_p अंतर समीकरण में, हमारे पास पहचान है

\begin{aligned} t \cos t & = y_{p}^{″} + y_{p} \\ = {[(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t]}^{″} + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) \sin t] \\ = [2 A_{0} \cos t + 2 (2 A_{0} t + A_{1}) (- \sin t) + (A_{0} t^{2} + A_{1} t) (- \cos t) + 2 B_{0} \sin t + 2 (2 B_{0} t + B_{1}) \cos t + (B_{0} t^{2} + B_{1} t) (- \sin t)] \\ + [(A_{0} t^{2} + A_{1} t) \cos t + (B_{0} t^{2} \end{aligned}

दोनों पक्षों की तुलना करने पर, हमारे पास है

{\begin{cases}1=4B_{0}\\0=2A_{0}+2B_{1}\\0=-4A_{0}\\0=-2A_{1}+2B_{0}\end{cases}}

जिसका समाधान है

A_{0}=0,\quad A_{1}=B_{0}={\frac {1}{4}},\quad B_{1}=0.

हमारे पास तब एक विशेष अभिन्न है

y_{p}={\frac {1}{4}}t\cos t+{\frac {1}{4}}t^{2}\sin t.

उदाहरण 2

निम्नलिखित रैखिक असमघात अवकल समीकरण पर विचार कीजिए:

{\frac {dy}{dx}}=y+e^{x}.

यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, सिवाय इसके कि गैर-समान भाग ( $e^{x}$ ) सजातीय भाग के सामान्य समाधान के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है ( $c_{1}e^{x}$ ); परिणाम स्वरुप, हमें अपने अनुमान को x की पर्याप्त बड़ी शक्ति से गुणा करना होगा जिससे कि इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र बनाया जा सके।

यहाँ हमारा अनुमान बन जाता है:

y_{p}=Axe^{x}.

इस फ़ंक्शन और इसके व्युत्पन्न को अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करके, ए के लिए हल किया जा सकता है:

{\frac {d}{dx}}\left(Axe^{x}\right)=Axe^{x}+e^{x}

Axe^{x}+Ae^{x}=Axe^{x}+e^{x}

A=1.

तो, इस अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है:

y=c_{1}e^{x}+xe^{x}.

उदाहरण 3

समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए:

{\frac {dy}{dt}}=t^{2}-y

$t^{2}$ डिग्री 2 का बहुपद है, इसलिए हम उसी रूप का उपयोग करके एक समाधान की तलाश करते हैं,

y_{p}=At^{2}+Bt+C,

इस विशेष फ़ंक्शन को मूल समीकरण उत्पन्नवार में प्लग करना,

2At+B=t^{2}-(At^{2}+Bt+C),

2At+B=(1-A)t^{2}-Bt-C,

(A-1)t^{2}+(2A+B)t+(B+C)=0.

जो देता है:

A-1=0,\quad 2A+B=0,\quad B+C=0.

स्थिरांकों को हल करने पर हमें मिलता है:

y_{p}=t^{2}-2t+2

सामान्य समाधान के लिए हल करने के लिए,

y=y_{p}+y_{c}

जहाँ $y_{c}$ सजातीय समाधान है $y_{c}=c_{1}e^{-t}$ इसलिए, सामान्य समाधान है:

y=t^{2}-2t+2+c_{1}e^{-t}

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.
↑ Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). उन्नत इंजीनियरिंग गणित. Jones and Bartlett. p. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ ^3.0 ^3.1 Dennis G. Zill (14 May 2008). डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

Boyce, W. E.; DiPrima, R. C. (1986). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (4th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-83824-1.
Riley, K. F.; Bence, S. J. (2010). Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
Tenenbaum, Morris; Pollard, Harry (1985). Ordinary Differential Equations. Dover. ISBN 978-0-486-64940-5.
de Oliveira, O. R. B. (2013). "A formula substituting the undetermined coefficients and the annihilator methods". Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 44 (3): 462–468. arXiv:1110.4425. Bibcode:2013IJMES..44..462R. doi:10.1080/0020739X.2012.714496. S2CID 55834468.

[Grimaldi-1] 1.0 ^1.1 Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. ISBN 0-8493-0149-1.

[2] Zill, Dennis G., Warren S. Wright (2014). उन्नत इंजीनियरिंग गणित. Jones and Bartlett. p. 125. ISBN 978-1-4496-7977-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Zill2008-3] 3.0 ^3.1 Dennis G. Zill (14 May 2008). डिफरेंशियल इक्वेशन में पहला कोर्स. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.

[1]

[2]

[3]

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 {{Differential equations}}
-गणित में, अनिर्धारित गुणांकों की विधि कुछ गैर-समान सामान्य अंतर समीकरणों और [[पुनरावृत्ति संबंध]]ों के लिए एक विशेष समाधान खोजने का एक [[दृष्टिकोण]] है। यह सर्वनाश विधि से निकटता से संबंधित है, लेकिन विशेष समाधान का सर्वोत्तम संभव रूप खोजने के लिए एक विशेष प्रकार के विभेदक ऑपरेटर (विनाशक) का उपयोग करने के बजाय, एक ansatz या 'अनुमान' उपयुक्त रूप के रूप में किया जाता है, जिसके बाद परिणामी समीकरण को अवकलित करके परीक्षण किया जाता है। जटिल समीकरणों के लिए, एनीहिलेटर विधि या [[मापदंडों की भिन्नता]] प्रदर्शन करने में कम समय लेती है।
+गणित में, अनिर्धारित गुणांकों की विधि कुछ गैर-समान सामान्य अंतर समीकरणों और [[पुनरावृत्ति संबंध]] के लिए एक विशेष समाधान खोजने का एक [[दृष्टिकोण]] है। यह सर्वनाश विधि से निकटता से संबंधित है, लेकिन विशेष समाधान का सर्वोत्तम संभव रूप खोजने के लिए एक विशेष प्रकार के विभेदक ऑपरेटर (विनाशक) का उपयोग करने के अतिरिक्त, एक ansatz या 'अनुमान' उपयुक्त रूप के रूप में किया जाता है, जिसके बाद परिणामी समीकरण को अवकलित करके परीक्षण किया जाता है। जटिल समीकरणों के लिए, एनीहिलेटर विधि या [[मापदंडों की भिन्नता]] प्रदर्शन करने में कम समय लेती है।
 अनिर्धारित गुणांक पैरामीटर की भिन्नता के रूप में सामान्य विधि नहीं है, क्योंकि यह केवल कुछ रूपों का पालन करने वाले अंतर समीकरणों के लिए काम करता है।<ref name="Grimaldi">Ralph P. Grimaldi (2000). "Nonhomogeneous Recurrence Relations". Section 3.3.3 of ''Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics''. Kenneth H. Rosen, ed. CRC Press. {{isbn|0-8493-0149-1}}.</ref>
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 :<math> \sum_{i=0}^n c_i y^{(i)} + y^{(n+1)} = g(x)</math>
-:कहाँ <math>y^{(i)}</math> के i-वें व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>y</math>, और <math>c_i</math> के कार्य को दर्शाता है <math>x</math>.
+:जहाँ <math>y^{(i)}</math> के i-वें व्युत्पन्न को दर्शाता है <math>y</math>, और <math>c_i</math> के कार्य को दर्शाता है <math>x</math>.
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 # g(x) एक अचर, एक बहुपद फलन, चरघातांकी फलन है <math>e^{\alpha x}</math>, ज्या या कोसाइन कार्य करता है <math>\sin{\beta x}</math> या <math>\cos{\beta x}</math>, या परिमित योग और इन कार्यों के उत्पाद (<math>{\alpha}</math>, <math>{\beta}</math> स्थिरांक)।
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+विधि में सामान्य [[सजातीय अंतर समीकरण]] समाधान खोजना सम्मिलित है <math>y_c</math> पूरक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के लिए
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-अगर <math>g(x)</math> दो कार्यों के योग से मिलकर बनता है <math>h(x) + w(x)</math> और हम कहते हैं <math>y_{p_1}</math> पर आधारित समाधान है <math>h(x)</math> और <math> y_{p_2}</math> समाधान पर आधारित है <math>w(x)</math>. फिर, एक सुपरपोज़िशन सिद्धांत का उपयोग करके, हम कह सकते हैं कि विशेष अभिन्न <math>y_p</math> है<ref name="Zill2008" />
+यदि <math>g(x)</math> दो कार्यों के योग से मिलकर बनता है <math>h(x) + w(x)</math> और हम कहते हैं <math>y_{p_1}</math> पर आधारित समाधान है <math>h(x)</math> और <math> y_{p_2}</math> समाधान पर आधारित है <math>w(x)</math>. फिर, एक सुपरपोज़िशन सिद्धांत का उपयोग करके, हम कह सकते हैं कि विशेष अभिन्न <math>y_p</math> है<ref name="Zill2008" />
 :<math>y_p = y_{p_1} + y_{p_2}.</math>
+== विशेष अभिन्न के विशिष्ट रूप ==
-== विशेष अभिन्न == के विशिष्ट रूप
 विशेष समाकल ज्ञात करने के लिए, हमें इसके रूप का 'अनुमान' लगाने की आवश्यकता है, जिसमें कुछ गुणांकों को हल करने के लिए चरों के रूप में छोड़ दिया गया है। यह पूरक कार्य के पहले व्युत्पन्न का रूप लेता है। नीचे कुछ विशिष्ट कार्यों की तालिका और उनके लिए अनुमान लगाने का समाधान दिया गया है।
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 : <math>\frac{dy}{dx} = y + e^x.</math>
-यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, सिवाय इसके कि गैर-समान भाग (<math>e^x</math>) सजातीय भाग के सामान्य समाधान के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है (<math>c_1 e^x</math>); नतीजतन, हमें अपने अनुमान को x की पर्याप्त बड़ी शक्ति से गुणा करना होगा ताकि इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र बनाया जा सके।
+यह ऊपर के पहले उदाहरण की तरह है, सिवाय इसके कि गैर-समान भाग (<math>e^x</math>) सजातीय भाग के सामान्य समाधान के लिए रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है (<math>c_1 e^x</math>); परिणाम स्वरुप, हमें अपने अनुमान को x की पर्याप्त बड़ी शक्ति से गुणा करना होगा जिससे कि इसे रैखिक रूप से स्वतंत्र बनाया जा सके।
 यहाँ हमारा अनुमान बन जाता है:
@@ Line 130: / Line 128: @@
 <math>t^2</math> डिग्री 2 का बहुपद है, इसलिए हम उसी रूप का उपयोग करके एक समाधान की तलाश करते हैं,
-:<math>y_p = A t^2 + B t + C,</math> इस विशेष फ़ंक्शन को मूल समीकरण पैदावार में प्लग करना,
+:<math>y_p = A t^2 + B t + C,</math> इस विशेष फ़ंक्शन को मूल समीकरण उत्पन्नवार में प्लग करना,
 :<math>2 A t + B = t^2 - (A t^2 + B t + C),</math>
@@ Line 144: / Line 142: @@
 :<math>y= y_p + y_c</math>
-कहाँ <math>y_c</math> सजातीय समाधान है <math>y_c = c_1 e^{-t}</math>इसलिए, सामान्य समाधान है:
+जहाँ <math>y_c</math> सजातीय समाधान है <math>y_c = c_1 e^{-t}</math>इसलिए, सामान्य समाधान है:
 :<math>y= t^2 - 2 t + 2 + c_1 e^{-t}</math>

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