सिद्धांत (गणितीय तर्क)

"Logical theory" redirects here. For John Dewey's "Studies in Logical Theory", see John Dewey.

गणितीय तर्क में, एक सिद्धांत (जिसे एक औपचारिक सिद्धांत भी कहा जाता है) एक औपचारिक भाषा में वाक्यों (गणितीय तर्क) का एक सेट है। अधिकांश परिदृश्यों में एक कटौती प्रणाली को पहले संदर्भ से समझा जाता है, उसके बाद एक तत्व $\phi \in T$ एक कटौतीत्मक रूप से बंद सिद्धांत $T$ तब सिद्धांत का प्रमेय कहा जाता है। कई डिडक्टिव सिस्टम में आमतौर पर एक सबसेट होता है $\Sigma \subseteq T$ जिसे Axiom के सिद्धांत का Axiom का समुच्चय कहा जाता है|$T$, इस मामले में कटौतीत्मक प्रणाली को स्वयंसिद्ध प्रणाली भी कहा जाता है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अभिगृहीत स्वतः ही एक प्रमेय है। एक प्रथम-क्रम सिद्धांत प्रथम-क्रम तर्क का एक सेट है | प्रथम-क्रम वाक्य (प्रमेय) पुनरावर्तन नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो स्वयंसिद्धों के सेट पर लागू प्रणाली के अनुमान के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है।

सामान्य सिद्धांत (जैसा कि औपचारिक भाषा में व्यक्त किया गया है)

मूलभूत उद्देश्यों के लिए सिद्धांतों को परिभाषित करते समय, अतिरिक्त सावधानी बरतनी चाहिए, क्योंकि सामान्य सेट-सैद्धांतिक भाषा उपयुक्त नहीं हो सकती है।

एक सिद्धांत का निर्माण एक निश्चित गैर-खाली वैचारिक वर्ग को निर्दिष्ट करके शुरू होता है ${\mathcal {E}}$, जिसके तत्व कथन कहलाते हैं। इन प्रारंभिक कथनों को अक्सर आदिम तत्व या सिद्धांत के प्राथमिक कथन कहा जाता है - उन्हें अन्य कथनों से अलग करने के लिए जो उनसे प्राप्त हो सकते हैं।

एक सिद्धांत ${\mathcal {T}}$ इनमें से कुछ प्रारंभिक कथनों से युक्त एक वैचारिक वर्ग है। प्रारंभिक बयान जो संबंधित हैं ${\mathcal {T}}$ के प्रारंभिक प्रमेय कहलाते हैं ${\mathcal {T}}$ और सत्य कहे जाते हैं। इस तरह, एक सिद्धांत को एक सबसेट को निर्दिष्ट करने के तरीके के रूप में देखा जा सकता है ${\mathcal {E}}$ जिसमें केवल ऐसे कथन हों जो सत्य हों।

एक सिद्धांत को नामित करने का यह सामान्य तरीका यह निर्धारित करता है कि इसके किसी भी प्राथमिक कथन की सत्यता बिना संदर्भ के ज्ञात नहीं है। ${\mathcal {T}}$. इस प्रकार एक ही प्रारंभिक कथन एक सिद्धांत के संबंध में सत्य हो सकता है लेकिन दूसरे के संबंध में गलत हो सकता है। यह सामान्य भाषा में उस मामले की याद दिलाता है जहां वह एक ईमानदार व्यक्ति है जैसे बयानों को सही या गलत नहीं समझा जा सकता है कि वह कौन है, और इस बात के लिए, इस सिद्धांत के तहत एक ईमानदार व्यक्ति क्या है।

उपसिद्धांत और विस्तार

एक सिद्धांत${\mathcal {S}}$एक सिद्धांत का 'उपसिद्धांत' है${\mathcal {T}}$अगर${\mathcal {S}}$का उपसमुच्चय है${\mathcal {T}}$. अगर${\mathcal {T}}$का उपसमुच्चय है${\mathcal {S}}$तब${\mathcal {S}}$का 'विस्तार' या 'सुपरथ्योरी' कहा जाता है${\mathcal {T}}$

निगमनात्मक सिद्धांत

एक सिद्धांत को एक कटौतीत्मक सिद्धांत कहा जाता है यदि ${\mathcal {T}}$ एक आगमनात्मक परिवार है, जिसका कहना है कि इसकी सामग्री कुछ औपचारिक प्रणाली पर आधारित है और इसके कुछ प्राथमिक बयानों को स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। निगमनात्मक सिद्धांत में, कोई भी वाक्य जो एक या अधिक स्वयंसिद्धों का तार्किक परिणाम है, वह भी उस सिद्धांत का एक वाक्य है।अधिक औपचारिक रूप से, यदि $\vdash$ एक टार्स्की-शैली का परिणाम संबंध है, फिर ${\mathcal {T}}$ के तहत बंद है $\vdash$ (और इसलिए इसका प्रत्येक प्रमेय इसके स्वयंसिद्धों का एक तार्किक परिणाम है) यदि और केवल यदि, सभी वाक्यों के लिए $\phi$ सिद्धांत की भाषा में ${\mathcal {T}}$, अगर ${\mathcal {T}}\vdash \phi$, तब $\phi \in {\mathcal {T}}$; या, समकक्ष, अगर ${\mathcal {T}}'$ का परिमित उपसमुच्चय है ${\mathcal {T}}$ (संभवतः के स्वयंसिद्धों का सेट ${\mathcal {T}}$ सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के मामले में) और ${\mathcal {T}}'\vdash \phi$, तब $\phi \in {\mathcal {T}}'$, और इसलिए $\phi \in {\mathcal {T}}$.

संगति और पूर्णता

Main articles: Consistency and Completeness (logic)

एक वाक्यात्मक रूप से सुसंगत सिद्धांत एक ऐसा सिद्धांत है जिससे अंतर्निहित भाषा में प्रत्येक वाक्य सिद्ध नहीं किया जा सकता है (कुछ निगमनात्मक प्रणाली के संबंध में, जो आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है)। एक निगमनात्मक प्रणाली में (जैसे प्रथम-क्रम तर्क) जो विस्फोट के सिद्धांत को संतुष्ट करता है, यह आवश्यकता के बराबर है कि कोई वाक्य φ नहीं है, जैसे कि सिद्धांत से φ और इसकी अस्वीकृति दोनों को सिद्ध किया जा सकता है।

एक संतोषजनक सिद्धांत एक सिद्धांत है जिसमें एक मॉडल (मॉडल सिद्धांत) होता है। इसका मतलब है कि एक संरचना 'एम' है जो सिद्धांत में हर वाक्य को संतुष्ट करती है। कोई भी संतोषजनक सिद्धांत वाक्यात्मक रूप से सुसंगत है, क्योंकि सिद्धांत को संतुष्ट करने वाली संरचना प्रत्येक वाक्य φ के लिए φ में से एक और φ के निषेध को संतुष्ट करेगी।

एक सुसंगत सिद्धांत को कभी-कभी वाक्यात्मक रूप से सुसंगत सिद्धांत के रूप में परिभाषित किया जाता है, और कभी-कभी एक संतोषजनक सिद्धांत के रूप में परिभाषित किया जाता है। प्रथम-क्रम तर्क के लिए, सबसे महत्वपूर्ण मामला, यह गोडेल की पूर्णता प्रमेय से अनुसरण करता है कि दो अर्थ मेल खाते हैं। अन्य लॉजिक्स में, जैसे दूसरे क्रम के तर्क में, वाक्यात्मक रूप से सुसंगत सिद्धांत हैं जो संतोषजनक नहीं हैं, जैसे कि ω-असंगत सिद्धांत।

एक पूर्ण सिद्धांत (या सिर्फ एक पूर्ण सिद्धांत) एक सुसंगत सिद्धांत है ${\mathcal {T}}$जैसे कि प्रत्येक वाक्य के लिए φ उसकी भाषा में, या तो φ से सिद्ध किया जा सकता है${\mathcal {T}}$या${\mathcal {T}}$ $\cup$ {φ} असंगत है। तार्किक परिणाम के तहत बंद सिद्धांतों के लिए, इसका मतलब है कि प्रत्येक वाक्य φ के लिए, या तो φ या इसका निषेध सिद्धांत में निहित है। एक अधूरा सिद्धांत एक सुसंगत सिद्धांत है जो पूर्ण नहीं है।

(संगतता की एक मजबूत धारणा के लिए ω-सुसंगत सिद्धांत भी देखें।)

एक सिद्धांत की व्याख्या

Main article: Interpretation (logic)

एक सिद्धांत की व्याख्या एक सिद्धांत और कुछ विषय वस्तु के बीच का संबंध है जब सिद्धांत के कुछ प्रारंभिक बयानों और विषय वस्तु से संबंधित कुछ बयानों के बीच कई-से-एक पत्राचार होता है। यदि सिद्धांत में प्रत्येक प्रारंभिक कथन का एक संगत है तो इसे पूर्ण व्याख्या कहा जाता है, अन्यथा इसे आंशिक व्याख्या कहा जाता है।

संरचना से जुड़े सिद्धांत

प्रत्येक संरचना (गणितीय तर्क) में कई संबद्ध सिद्धांत हैं। एक संरचना 'ए' का पूरा सिद्धांत सभी प्रथम-क्रम तर्क का सेट है। 'ए' के ​​हस्ताक्षर (तर्क) पर प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) जो 'ए' से संतुष्ट हैं '। इसे Th(A) से दर्शाया जाता है। अधिक सामान्यतः, K का सिद्धांत, σ-संरचनाओं का एक वर्ग, सभी प्रथम-क्रम σ-वाक्यों का सेट है जो K में सभी संरचनाओं से संतुष्ट हैं, और Th(' द्वारा निरूपित किया जाता है 'क)। स्पष्ट रूप से Th(A) = Th({A}). इन धारणाओं को अन्य लॉजिक्स के संबंध में भी परिभाषित किया जा सकता है।

प्रत्येक σ-संरचना ए के लिए, एक बड़े सिग्नेचर σ' में कई संबद्ध सिद्धांत हैं जो ए के डोमेन के प्रत्येक तत्व के लिए एक नया निरंतर प्रतीक जोड़कर σ का विस्तार करते हैं। (यदि नए निरंतर प्रतीकों को 'ए' के ​​तत्वों के साथ पहचाना जाता है जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं, तो σ' को σ माना जा सकता है $\cup$ ए।) σ' की कार्डिनैलिटी इस प्रकार σ की कार्डिनैलिटी और ए की कार्डिनैलिटी से बड़ी है।

ए के आरेख में सभी परमाणु या अस्वीकृत परमाणु σ'-वाक्य शामिल हैं जो ए से संतुष्ट हैं और इसे डायग द्वारा निरूपित किया जाता है_A. A का धनात्मक आरेख सभी परमाणु σ'-वाक्यों का समुच्चय है जो A को संतुष्ट करता है। इसे डायग द्वारा निरूपित किया जाता है⁺_A. ए का प्राथमिक आरेख समुच्चय एल्डियाग है_A सभी प्रथम-क्रम σ'-वाक्य जो ए या, समकक्ष, हस्ताक्षर σ' के लिए ए के प्राकृतिक विस्तार (मॉडल सिद्धांत) के पूर्ण (प्रथम-क्रम) सिद्धांत से संतुष्ट हैं।

प्रथम-क्रम सिद्धांत

Further information: List of first-order theories

प्रथम कोटि का सिद्धांत ${\mathcal {QS}}$ पहले क्रम की औपचारिक भाषा में वाक्यों का एक समूह है ${\mathcal {Q}}$.

पहले क्रम के सिद्धांत में व्युत्पत्ति

Main article: First-order logic § Deductive systems

प्रथम-क्रम तर्क के लिए कई औपचारिक व्युत्पत्ति (प्रमाण) प्रणालियाँ हैं। इनमें हिल्बर्ट-शैली निगमनात्मक प्रणाली शामिल हैं। हिल्बर्ट-स्टाइल डिडक्टिव सिस्टम, प्राकृतिक कटौती , गणना का पालन करें, विश्लेषणात्मक झांकी की विधि एंड संकल्प (तर्क) ।

पहले क्रम के सिद्धांत में वाक्यात्मक परिणाम

Main article: First-order logic § Validity, satisfiability, and logical consequence

एक अच्छी तरह से निर्मित सूत्र A प्रथम-क्रम सिद्धांत का 'वाक्य-विन्यास परिणाम' है ${\mathcal {QS}}$ यदि केवल सूत्रों का उपयोग करके A का औपचारिक प्रमाण है ${\mathcal {QS}}$ गैर-तार्किक सिद्धांतों के रूप में। ऐसे सूत्र A को का प्रमेय भी कहा जाता है ${\mathcal {QS}}$. अंकन${\mathcal {QS}}\vdash A$इंगित करता है कि ए का एक प्रमेय है ${\mathcal {QS}}$.

पहले क्रम के सिद्धांत की व्याख्या

Main article: Structure (mathematical logic)

प्रथम-क्रम सिद्धांत की व्याख्या सिद्धांत के सूत्रों के लिए शब्दार्थ प्रदान करती है। एक व्याख्या को एक सूत्र को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि सूत्र व्याख्या के अनुसार सत्य है। प्रथम-क्रम सिद्धांत का एक मॉडल ${\mathcal {QS}}$ एक व्याख्या है जिसमें का हर सूत्र ${\mathcal {QS}}$ संतुष्ट है।

पहचान के साथ प्रथम क्रम के सिद्धांत

Main article: First-order logic § Equality and its axioms

प्रथम कोटि का सिद्धांत ${\mathcal {QS}}$ पहचान के साथ एक प्रथम-क्रम सिद्धांत है यदि ${\mathcal {QS}}$ इस प्रतीक के लिए पहचान संबंध प्रतीक = और रिफ्लेक्सिविटी और प्रतिस्थापन स्वयंसिद्ध योजनाएं शामिल हैं।

प्रथम-क्रम सिद्धांतों से संबंधित विषय

• सघनता प्रमेय
• लगातार सेट
• कटौती प्रमेय
• गणना प्रमेय
• लिंडनबाम की लेम्मा
• लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय

उदाहरण

एक सिद्धांत को निर्दिष्ट करने का एक तरीका किसी विशेष भाषा में स्वयंसिद्धों के एक सेट को परिभाषित करना है। सिद्धांत को वांछित के रूप में केवल उन सिद्धांतों, या उनके तार्किक या सिद्ध परिणामों को शामिल करने के लिए लिया जा सकता है। इस तरह से प्राप्त सिद्धांतों में ZFC और Peano अंकगणित शामिल हैं।

एक सिद्धांत को निर्दिष्ट करने का दूसरा तरीका एक संरचना (गणितीय तर्क) के साथ शुरू करना है, और सिद्धांत को उन वाक्यों का सेट होने दें जो संरचना से संतुष्ट हों। यह सिमेंटिक मार्ग के माध्यम से पूर्ण सिद्धांतों का निर्माण करने की एक विधि है, उदाहरण के लिए संरचना (एन, +, ×, 0, 1, =) के तहत सच्चे वाक्यों का सेट शामिल है, जहां एन प्राकृतिक संख्याओं का सेट है, और सेट संरचना (R, +, ×, 0, 1, =) के अंतर्गत सही वाक्यों की संख्या, जहाँ R वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। इनमें से पहला, जिसे वास्तविक अंकगणित का सिद्धांत कहा जाता है, को किसी भी गणना योग्य सूक्तियों के तार्किक परिणामों के समुच्चय के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। (आर, +, ×, 0, 1, =) के सिद्धांत को तार्स्की ने निर्णायकता (तर्क) के रूप में दिखाया था; यह वास्तविक बंद क्षेत्रों का सिद्धांत है (अधिक के लिए वास्तविक संख्याओं के पहले क्रम के सिद्धांतों की निर्णायकता देखें)।

यह भी देखें

• स्वयंसिद्ध प्रणाली
• व्याख्यात्मकता
• पहले क्रम के सिद्धांतों की सूची
• गणितीय सिद्धांत

अग्रिम पठन

• Hodges, Wilfrid (1997). A shorter model theory. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58713-1.