माध्य वर्ग विस्थापन

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, माध्य वर्ग विस्थापन (एमएसडी, जिसका अर्थ वर्ग विस्थापन, औसत वर्ग विस्थापन, या औसत वर्ग उतार-चढ़ाव भी है) समय के साथ संदर्भ स्थिति के संबंध में एक कण की स्थिति के विचलन (सांख्यिकी) का एक उपाय है। यह यादृच्छिक गति की स्थानिक सीमा का सबसे साधारण उपाय है, और इसे यादृच्छिक वॉकर द्वारा "खोजे" गए सिस्टम के हिस्से को मापने के रूप में माना जा सकता है। जीव पदाथ-विद्य और पर्यावरण इंजीनियरिंग के दायरे में, मीन स्क्वेर्ड विस्थापन को समय के साथ यह निर्धारित करने के लिए मापा जाता है कि क्या कोई कण प्रसार के कारण धीरे-धीरे फैल रहा है, या यदि एक संवहन बल भी योगदान दे रहा है। एक अन्य प्रासंगिक अवधारणा, विचरण-संबंधी व्यास (वीआरडी, जो एमएसडी के वर्गमूल का दोगुना है), का उपयोग पर्यावरण इंजीनियरिंग के क्षेत्र में परिवहन और मिश्रण की घटनाओं के अध्ययन में भी किया जाता है। यह मुख्य रूप से डेबी-वॉलर कारक (ठोस अवस्था के भीतर कंपन का वर्णन) और लैंगविन समीकरण (एक प्रकार कि गति के प्रसार का वर्णन) में प्रकट होता है।

समय पर एमएसडी $t$ एक पहनावा औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:

${\text{MSD}}\equiv \langle |\mathbf {x} (t)-\mathbf {x_{0}} |^{2}\rangle ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|\mathbf {x^{(i)}} (t)-\mathbf {x^{(i)}} (0)|^{2}$

जहां N कणों की औसत संख्या है, सदिश $\mathbf {x^{(i)}} (0)=\mathbf {x_{0}^{(i)}}$ की संदर्भ स्थिति है $i$-वें कण, और सदिश $\mathbf {x^{(i)}} (t)$ की स्थिति है समय t पर $i$-वें कण।

1D में ब्राउनियन कण के लिए एमएसडी की व्युत्पत्ति

एक आयामी प्रसार समीकरण को हल करके एक आयाम में एक कण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) पाया जाता है। (यह समीकरण बताता है कि समय के साथ स्थिति संभाव्यता घनत्व अलग हो जाता है - यह ब्राउनियन कण का वर्णन करने के लिए आइंस्टीन द्वारा उपयोग की जाने वाली विधि है। ब्राउनियन कण की गति का वर्णन करने के लिए एक अन्य विधि लैंगविन द्वारा वर्णित की गई थी, जिसे अब लैंगविन समीकरण के नाम से जाना जाता है।)

${\frac {\partial p(x,t\mid x_{0})}{\partial t}}=D{\frac {\partial ^{2}p(x,t\mid x_{0})}{\partial x^{2}}},$

प्रारंभिक स्थिति दी $p(x,t=0\mid x_{0})=\delta (x-x_{0})$; जहाँ $x(t)$ किसी दिए गए समय पर कण की स्थिति है, $x_{0}$ टैग किए गए कण की प्रारंभिक स्थिति है, और $D$ एस.आई. इकाइयों के साथ प्रसार स्थिरांक है $m^{2}s^{-1}$ (कण की गति का एक अप्रत्यक्ष माप)। तात्कालिक संभाव्यता के तर्क में बार सशर्त संभाव्यता को संदर्भित करता है। प्रसार समीकरण बताता है कि गति जिस पर कण को ​​​​खोजने की संभावना है $x(t)$ पद पर निर्भर है।

उपरोक्त अवकल समीकरण 1D ऊष्मा समीकरण मूलभूत हल का रूप लेता है। नीचे एक- आयामी पीडीएफ ऊष्मा समीकरण का ग्रीन का कार्य है (गणित में गिरी गरम करें के रूप में भी जाना जाता है):

$P(x,t)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right).$

यह बताता है कि कण को ​​​​खोजने की संभावना $x(t)$ गॉसियन है, और गॉसियन की चौड़ाई समय पर निर्भर है। अधिक विशेष रूप से आधी अधिकतम (एफडब्ल्यूएचएम) पर पूर्ण चौड़ाई (तकनीकी रूप से/सिद्धांत की दृष्टि से, यह वास्तव में पूर्ण अवधि आधी अधिकतम है क्योंकि स्वतंत्र चर समय है) जैसे पैमाने

${\text{FWHM}}\sim {\sqrt {t}}.$

पीडीएफ का उपयोग करके किसी दिए गए फलन के औसत को प्राप्त करने में सक्षम होता है, $L$, समय पर $t$:

$\langle L(t)\rangle \equiv \int _{-\infty }^{\infty }L(x,t)P(x,t)\,dx,$

जहां सभी जगहों (या किसी भी लागू चर) पर औसत लिया जाता है।

माध्य वर्ग विस्थापन को इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\text{MSD}}\equiv \langle (x(t)-x_{0})^{2}\rangle ,$

पहनावा औसत का विस्तार

$\langle (x-x_{0})^{2}\rangle =\langle x^{2}\rangle +x_{0}^{2}-2x_{0}\langle x\rangle ,$

स्पष्टता के लिए स्पष्ट समय निर्भरता संकेतन को छोड़ना। एमएसडी को खोजने के लिए, कोई दो रास्तों में से एक ले सकता है: कोई स्पष्ट रूप से गणना कर सकता है $\langle x^{2}\rangle$ और $\langle x\rangle$, फिर परिणाम को वापस एमएसडी की परिभाषा में डालें; या संभाव्यता घनत्व के साथ व्यवहार करते समय कोई क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य, एक अत्यंत उपयोगी और सामान्य कार्य पा सकता है। क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य वर्णन करता है $k^{\textrm {th}}$ पीडीएफ का क्षण है। ऊपर दिखाए गए विस्थापन पीडीएफ का पहला क्षण केवल माध्य है: $\langle x\rangle$. दूसरा क्षण दिया गया है $\langle x^{2}\rangle$.

तो फिर, क्षण-उत्पन्न करने वाले कार्य को खोजने के लिए विशेषता कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) | विशेषता कार्य को पेश करना सुविधाजनक है:

$G(k)=\langle e^{ikx}\rangle \equiv \int _{I}e^{ikx}P(x,t\mid x_{0})\,dx,$

देने के लिए उपरोक्त समीकरण में घातांक का विस्तार किया जा सकता है

$G(k)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\mu _{m}.$

अभिलाक्षणिक फलन का प्राकृतिक लघुगणक लेकर, एक नया फलन उत्पन्न होता है, संचयी जनन फलन,

$\ln(G(k))=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {(ik)^{m}}{m!}}\kappa _{m},$

जहाँ $\kappa _{m}$ है $m{\textrm {th}}$ का संचयी $x$. पहले दो संचयन पहले दो क्षणों से संबंधित हैं, $\mu$, के जरिए$\kappa _{1}=\mu _{1};$ और $\kappa _{2}=\mu _{2}-\mu _{1}^{2},$ जहां दूसरा संचयी तथाकथित प्रसरण है, $\sigma ^{2}$. इन परिभाषाओं के हिसाब से कोई भी ब्राउनियन कण पीडीएफ के क्षणों की जांच कर सकता है,

$G(k)={\frac {1}{\sqrt {4\pi Dt}}}\int _{I}\exp(ikx)\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{4Dt}}\right)\,dx;$

वर्ग को पूरा करके और गॉसियन के तहत कुल क्षेत्रफल जानने के बाद एक आता है

$G(k)=\exp(ikx_{0}-k^{2}Dt).$

प्राकृतिक लॉग लेना, और की शक्तियों की तुलना करना $ik$ क्यूम्यलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए, पहला क्यूम्यलेंट है

$\kappa _{1}=x_{0},$

जो अपेक्षा के अनुरूप है, अर्थात् औसत स्थिति गाऊसी केंद्र है। दूसरा संचयक है

$\kappa _{2}=2Dt,\,$

गुणन खंड 2 क्यूम्यलेंट जनरेटिंग फंक्शन के डिनोमिनेटर में फैक्टोरियल फैक्टर से आता है। इससे दूसरे क्षण की गणना की जाती है,

$\mu _{2}=\kappa _{2}+\mu _{1}^{2}=2Dt+x_{0}^{2}.$

पहले और दूसरे क्षण के लिए परिणामों को प्लग इन करते हुए, एमएसडी पाता लग जाता है,

$\langle (x(t)-x_{0})^{2}\rangle =2Dt.$

n आयामों के लिए व्युत्पत्ति

उच्च-आयाम यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ब्राउनियन कण के लिए, इसकी स्थिति एक सदिश द्वारा दर्शायी जाती है $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$, जहां कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ स्वतंत्रत (संभावना सिद्धांत) हैं।

n-वैरिएबल प्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन प्रत्येक वेरिएबल में मौलिक समाधान का उत्पाद है; अर्थात।,

$P(\mathbf {x} ,t)=P(x_{1},t)P(x_{2},t)\dots P(x_{n},t)={\frac {1}{\sqrt {(4\pi Dt)^{n}}}}\exp \left(-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }{4Dt}}\right).$

माध्य वर्ग विस्थापन को इस रूप में परिभाषित किया गया है

${\rm {MSD}}\equiv \langle |\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} |^{2}\rangle =\langle (x_{1}(t)-x_{1}(0))^{2}+(x_{2}(t)-x_{2}(0))^{2}+\dots +(x_{n}(t)-x_{n}(0))^{2}\rangle$

चूंकि सभी निर्देशांक स्वतंत्र हैं, संदर्भ स्थिति से उनका विचलन भी स्वतंत्र है। इसलिए,

${\text{MSD}}=\langle (x_{1}(t)-x_{1}(0))^{2}\rangle +\langle (x_{2}(t)-x_{2}(0))^{2}\rangle +\dots +\langle (x_{n}(t)-x_{n}(0))^{2}\rangle$

प्रत्येक निर्देशांक के लिए, उपरोक्त 1D परिदृश्य के समान व्युत्पत्ति के बाद, उस आयाम में एमएसडी प्राप्त होता है $2Dt$. इसलिए, n-आयामी ब्राउनियन गति में औसत वर्ग विस्थापन का अंतिम परिणाम है:

${\text{MSD}}=2nDt.$

समय अंतराल के लिए एमएसडी की परिभाषा

एकल कण ट्रैकिंग (एसपीटी) के मापन में, विस्थापन को स्थितियों के बीच अलग-अलग समय अंतरालों के लिए परिभाषित किया जा सकता है (जिसे समय अंतराल या अंतराल समय भी कहा जाता है)। एसपीटी प्रक्षेपवक्र देता है ${\vec {r}}(t)=[x(t),y(t)]$, द्वि-आयामी प्रसार से गुजरने वाले कण का प्रतिनिधित्व करता है।

यह मानते हुए कि एक कण का प्रक्षेपवक्र समय बिंदुओं पर मापा जाता है $1\,\Delta t,2\,\Delta t,\ldots ,N\,\Delta t$, जहाँ $\Delta t$ कोई निश्चित संख्या है, तो वहाँ हैं $N(N-1)/2$ गैर तुच्छ आगे विस्थापन ${\vec {d}}_{ij}={\vec {r}}_{j}-{\vec {r}}_{i}$ ($1\leqslant i<j\leqslant N$, परिस्थिति जब $i=j$ विचार नहीं किया जाता है) जो समय अंतराल (या समय अंतराल) के अनुरूप होते हैं $\,\Delta t_{ij}=(j-i)\,\Delta t$. इसलिए, छोटे समय के अंतराल के लिए कई अलग-अलग विस्था पन होते हैं, और बड़े समय के अंतराल के लिए बहुत कम, ${\rm {MSD}}$ समय अंतराल के साथ औसत मात्रा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

${\overline {\delta ^{2}(n)}}={\frac {1}{N-n}}\sum _{i=1}^{N-n}{({\vec {r}}_{i+n}-{\vec {r}}_{i}})^{2}\qquad n=1,\ldots ,N-1.$

इसी प्रकार, निरंतर समय श्रृंखला के लिए :

${\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}={\frac {1}{T-\Delta }}\int _{0}^{T-\Delta }[r(t+\Delta )-r(t)]^{2}\,dt$

यह स्पष्ट है कि विस्तृत चुनना $T$ और $\Delta \ll T$ सांख्यिकीय प्रदर्शन में सुधार कर सकते हैं। यह तकनीक हमें केवल एक प्रक्षेपवक्र को मापकर पूरे पहनावे के व्यवहार का अनुमान लगाने की अनुमति देती है, लेकिन ध्यान दें कि यह केवल प्राचीन ब्राउनियन गति (बीएम), भिन्नात्मक ब्राउनियन गति (एफबीएम) और निरंतर-समय यादृच्छिक जैसे एर्गोडिसिटी वाले सिस्टम के लिए मान्य है। चलना (सीटीआरडब्ल्यू) प्रतीक्षा समय के सीमित वितरण के साथ, इन परिस्थितियों में, ${\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}=\left\langle [r(t)-r(0)]^{2}\right\rangle$ (ऊपर परिभाषित), यहाँ $\left\langle \cdot \right\rangle$ पहनावा औसत दर्शाता है। हालांकि, गैर-एर्गोडिक प्रणालियों के लिए, जैसे सीटीआरडब्ल्यू असीमित प्रतीक्षा समय के साथ, प्रतीक्षा समय कुछ समय में अनंत तक जा सकता है, इस मामले में, ${\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}$ दृढ़ता से निर्भर करता है $T$, ${\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}$ और $\left\langle [r(t)-r(0)]^{2}\right\rangle$ बेहतर स्पर्शोन्मुखता प्राप्त करने के लिए अब एक दूसरे की बराबरी न करें, औसत समय एमएसडी का परिचय दें:

$\left\langle {\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}\right\rangle ={\frac {1}{N}}\sum {\overline {\delta ^{2}(\Delta )}}$

यहाँ $\left\langle \cdot \right\rangle$ N पहनावा पर औसत को दर्शाता है।

साथ ही, एमएसडी से आसानी से स्वत: सहसंबंध फलन प्राप्त कर सकते हैं:

$\left\langle {[r(t)-r(0)]^{2}}\right\rangle =\left\langle r^{2}(t)\right\rangle +\left\langle r^{2}(0)\right\rangle -2\left\langle r(t)r(0)\right\rangle$, कहाँ $\left\langle r(t)r(0)\right\rangle$ कणों की स्थिति के लिए तथाकथित स्वसहसंबंध फलन है।

प्रयोगों में एमएसडी

एमएसडी निर्धारित करने के लिए प्रायोगिक तरीकों में न्यूट्रॉन प्रकीर्णन और फोटॉन सहसंबंध स्पेक्ट्रोस्कोपी सम्मिलित हैं।

एमएसडी और समय t के बीच रैखिक संबंध ग्राफिकल तरीकों के लिए विसारकता स्थिरांक D निर्धारित करने की अनुमति देता है। यह विशेष रूप से पर्यावरण प्रणालियों में विसारकता की किसी न किसी गणना के लिए उपयोगी है। कुछ वायुमंडलीय फैलाव मॉडलिंग में, एमएसडी और समय t के बीच संबंध रैखिक नहीं है। इसके बजाय, एमएसडी बनाम डाउनविंड दूरी के वर्गमूल की भिन्नता का अनुभवजन्य रूप से प्रतिनिधित्व करने वाले बिजली कानूनों की एक श्रृंखला सामान्यतः फैलाव घटना का अध्ययन करने में उपयोग की जाती है।

यह भी देखें

• परमाणु स्थितियों का मूल-माध्य-वर्ग विचलन: एक ही समय में कणों के एक समूह पर औसत लिया जाता है, जहां समय के अंतराल पर एक कण के लिए एमएसडी लिया जाता है
• मतलब चुकता त्रुटि