निरंतर स्थिति: Difference between revisions
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होने देना <math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों <math>(P,\lesssim)</math>. तो फिर हम कहते हैं <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> बहुत नीचे है <math>b</math>, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं। | होने देना <math>a,b\in P</math> पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों <math>(P,\lesssim)</math>. तो फिर हम कहते हैं <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, या वो <math>a</math> बहुत नीचे है <math>b</math>, यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं। | ||
* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां | * किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\lesssim d</math>. | ||
* किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math>. | * किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) <math>I\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup I</math>, <math>a\in I</math>. | ||
अगर <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, हम लिखते हैं <math>a\ll b</math>. सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> | अगर <math>a</math> अनुमानित <math>b</math>, हम लिखते हैं <math>a\ll b</math>. सन्निकटन संबंध <math>\ll</math> [[सकर्मक संबंध]] है जो मूल क्रम से कमजोर है, [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] भी है यदि <math>P</math> आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह [[पूर्व आदेश]] हो। यह प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि <math>(P,\lesssim)</math> [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है।<ref name="Gierz">{{cite book|author-link6=Dana Scott|date=2003|doi=10.1017/CBO9780511542725|first1=Gerhard|first2=Karl|first3=Klaus|first4=Jimmie|first5=Michael|first6=Dana S.|isbn=978-0-521-80338-0|language=en|last1=Gierz|last2=Hofmann|last3=Keimel|last4=Lawson|last5=Mislove|last6=Scott|location=Cambridge|mr=1975381|publisher=Cambridge University Press|series=Encyclopedia of Mathematics and Its Applications|title=सतत जालक और डोमेन|volume=93|zbl=1088.06001}}</ref>{{rp|p.52, Examples I-1.3, (4)}} | ||
किसी के लिए <math>a\in P</math>, होने देना | किसी के लिए <math>a\in P</math>, होने देना | ||
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तब <math>\mathop\Uparrow a</math> | तब <math>\mathop\Uparrow a</math> [[ऊपरी सेट]] है, और <math>\mathop\Downarrow a</math> [[निचला सेट]]. अगर <math>P</math> ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है (अर्थात्, <math>b,c\ll a</math> तात्पर्य <math>b\vee c\ll a</math>), और इसलिए आदर्श (आदेश सिद्धांत)। | ||
एक पूर्व-आदेशित सेट <math>(P,\lesssim)</math> यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है और <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math>. | एक पूर्व-आदेशित सेट <math>(P,\lesssim)</math> यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है <math>a\in P</math>, उपसमुच्चय <math>\mathop\Downarrow a</math> निर्देशित सेट है और <math>a=\sup\mathop\Downarrow a</math>. | ||
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किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> | किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत पूर्व-आदेशित सेट का <math>(P,\lesssim)</math>, <math>a\ll b</math> यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\lesssim\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math>. इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है <math>(P,\lesssim)</math>: किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math>. | ||
=== सतत dcpos === | === सतत dcpos === | ||
किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> | किन्हीं दो तत्वों के लिए <math>a,b\in P</math> सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(i)}} | ||
* <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>. | * <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>. | ||
* किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, वहां | * किसी भी निर्देशित सेट के लिए <math>D\subseteq P</math> ऐसा है कि <math>b\le\sup D</math>, वहां है <math>d\in D</math> ऐसा है कि <math>a\ll d</math> और <math>a\ne d</math>. | ||
इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, वहां | इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए <math>a,b\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll b</math> और <math>a\ne b</math>, वहां है <math>c\in P</math> ऐसा है कि <math>a\ll c\ll b</math> और <math>a\ne c</math>.<ref name="Gierz" />{{rp|p.61, Proposition I-1.19(ii)}} | ||
निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}} | निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए <math>(P,\le)</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।<ref name="Gierz" />{{rp|Theorem I-1.10}} | ||
* <math>P</math> सतत है. | * <math>P</math> सतत है. | ||
* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से <math>P</math> को <math>P</math> | * सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(P)\to P</math> आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से <math>P</math> को <math>P</math> [[बायां जोड़]] है. | ||
इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है | इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है | ||
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होने देना <math>L</math> | होने देना <math>L</math> पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं। | ||
* <math>L</math> सतत है. | * <math>L</math> सतत है. | ||
* सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से <math>L</math> को <math>L</math> मनमानी [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है। | * सर्वोच्च मानचित्र <math>\sup \colon \operatorname{Ideal}(L)\to L</math> के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से <math>L</math> को <math>L</math> मनमानी [[सबसे कम]] को सुरक्षित रखता है। | ||
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=== खुले सेट की जाली === | === खुले सेट की जाली === | ||
[[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए <math>X</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं। | [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के लिए <math>X</math>, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं। | ||
* [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के खुले सेट के <math>X</math> | * [[संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित]] <math>\operatorname{Open}(X)</math> के खुले सेट के <math>X</math> सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है। | ||
* का [[शोक]] <math>X</math> | * का [[शोक]] <math>X</math> [[स्थानीय रूप से सघन स्थान]] है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का [[कॉम्पैक्ट सेट]] [[स्थानीय आधार]] है) | ||
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Revision as of 20:33, 6 July 2023
क्रम सिद्धांत में, सतत पोसेट आंशिक रूप से आदेशित सेट है जिसमें प्रत्येक तत्व अपने अनुमानित तत्वों का निर्देशित सेट सर्वोच्च होता है।
परिभाषाएँ
होने देना पूर्व-आदेशित सेट के दो तत्व हों . तो फिर हम कहते हैं अनुमानित , या वो बहुत नीचे है , यदि निम्नलिखित दो समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं।
- किसी भी निर्देशित सेट के लिए ऐसा है कि , वहां है ऐसा है कि .
- किसी भी आदर्श के लिए (आदेश सिद्धांत) ऐसा है कि , .
अगर अनुमानित , हम लिखते हैं . सन्निकटन संबंध सकर्मक संबंध है जो मूल क्रम से कमजोर है, एंटीसिमेट्रिक संबंध भी है यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट है, लेकिन जरूरी नहीं कि यह पूर्व आदेश हो। यह प्रीऑर्डर है यदि और केवल यदि आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।[1]: p.52, Examples I-1.3, (4)
किसी के लिए , होने देना
तब ऊपरी सेट है, और निचला सेट. अगर ऊपरी अर्धवृत्ताकार है, निर्देशित सेट है (अर्थात्, तात्पर्य ), और इसलिए आदर्श (आदेश सिद्धांत)।
एक पूर्व-आदेशित सेट यदि कोई हो तो इसे सतत पूर्व-आदेशित सेट कहा जाता है , उपसमुच्चय निर्देशित सेट है और .
गुण
प्रक्षेप गुण
किन्हीं दो तत्वों के लिए सतत पूर्व-आदेशित सेट का , यदि और केवल यदि किसी निर्देशित सेट के लिए ऐसा है कि , वहां है ऐसा है कि . इससे निरंतर पूर्व-आदेशित सेट की प्रक्षेप संपत्ति का पता चलता है : किसी के लिए ऐसा है कि वहां है ऐसा है कि .
सतत dcpos
किन्हीं दो तत्वों के लिए सतत निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से आदेशित सेट का , निम्नलिखित दो स्थितियाँ समतुल्य हैं।[1]: p.61, Proposition I-1.19(i)
- और .
- किसी भी निर्देशित सेट के लिए ऐसा है कि , वहां है ऐसा है कि और .
इसका उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि निम्नलिखित मजबूत प्रक्षेप गुण निरंतर dcpos के लिए सत्य है। किसी के लिए ऐसा है कि और , वहां है ऐसा है कि और .[1]: p.61, Proposition I-1.19(ii)
निर्देशित-पूर्ण आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।[1]: Theorem I-1.10
- सतत है.
- सर्वोच्च मानचित्र आदर्श (आदेश सिद्धांत) के आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट से को बायां जोड़ है.
इस मामले में, वास्तविक बायां जोड़ है
सतत पूर्ण जालक
किन्हीं दो तत्वों के लिए पूर्ण जाली का , यदि और केवल यदि किसी उपसमुच्चय के लिए ऐसा है कि , परिमित उपसमुच्चय है ऐसा है कि .
होने देना पूर्ण जाली हो. फिर निम्नलिखित शर्तें समान हो जाती हैं।
- सतत है.
- सर्वोच्च मानचित्र के आदर्श (आदेश सिद्धांत) की पूरी जाली से को मनमानी सबसे कम को सुरक्षित रखता है।
- किसी भी परिवार के लिए के निर्देशित सेट के , .
- स्कॉट-निरंतर निष्क्रिय मानचित्र की छवि (गणित) के लिए समरूपी है मनमाने ढंग से कई दो-बिंदु जाली के प्रत्यक्ष उत्पाद पर .[2]: p.56, Theorem 44
एक सतत पूर्ण जालक को अक्सर सतत जालक कहा जाता है।
उदाहरण
खुले सेट की जाली
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए , निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं।
- संपूर्ण हेयटिंग बीजगणित के खुले सेट के सतत पूर्ण हेयटिंग बीजगणित है।
- का शोक स्थानीय रूप से सघन स्थान है (इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का कॉम्पैक्ट सेट स्थानीय आधार है)
- श्रेणी में घातांकीय वस्तु है टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का.[1]: p.196, Theorem II-4.12 अर्थात फनकार दायां जोड़ है.
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Gierz, Gerhard; Hofmann, Karl; Keimel, Klaus; Lawson, Jimmie; Mislove, Michael; Scott, Dana S. (2003). सतत जालक और डोमेन. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications (in English). Vol. 93. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9780511542725. ISBN 978-0-521-80338-0. MR 1975381. Zbl 1088.06001.
- ↑ Grätzer, George (2011). जाली सिद्धांत: आधार (in English). Basel: Springer. doi:10.1007/978-3-0348-0018-1. ISBN 978-3-0348-0017-4. LCCN 2011921250. MR 2768581. Zbl 1233.06001.
बाहरी संबंध
- "Continuous lattice", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- "Core-compact space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Continuous poset at the nLab
- Continuous category at the nLab
- Exponential law for spaces at the nLab
- Continuous poset at PlanetMath.