आपतन बीजगणित (इन्सिडेन्स अलजेब्रा): Difference between revisions

Revision as of 22:38, 6 July 2023

क्रम सिद्धांत में, गणित का क्षेत्र, घटना बीजगणित सहयोगी बीजगणित है, जिसे प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय और एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय के लिए परिभाषित किया गया है। उप-बीजगणित जिसे समानीत घटना बीजगणित कहा जाता है, साहचर्य और संख्या सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के उत्पन्न करने वाले फलनों का प्राकृतिक निर्माण देता है।

परिभाषा

स्थानीय रूप से परिमित स्थिति वह है जिसमें प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय संवृत अंतराल

[a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}

परिमित होता है।

घटना बीजगणित के सदस्य फलन (गणित) s f हैं जो प्रत्येक रिक्त समुच्चय अंतराल [a, b] को अदिश f(a, b) निर्दिष्ट करते हैं ), जो अदिश के वलय (गणित) से लिया गया है, जो एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय है। इस अंतर्निहित समुच्चय पर कोई योग और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित करता है, और घटना बीजगणित में गुणन

(f*g)(a,b)=\sum _{a\leq x\leq b}f(a,x)g(x,b)

द्वारा परिभाषित संवलन है।

एक घटना बीजगणित परिमित-आयामी है यदि और मात्र यदि अंतर्निहित स्थिति परिमित है।

विशेष अवयव

घटना बीजगणित का गुणक तत्समक अवयव क्रोनकर डेल्टा है, जिसे

\delta (a,b)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=b,\\0&{\text{if }}a\neq b\end{cases}}

द्वारा परिभाषित किया गया है।

एक घटना बीजगणित का जीटा फलन प्रत्येक गैर-रिक्त अंतराल [a, b] के लिए स्थिर फलन ζ(a, b) = 1 है। ζ से गुणा करना अभिन्न के समान है।

कोई यह दिखा सकता है कि घटना बीजगणित में (ऊपर परिभाषित संवलन के संबंध में) इकाई (वलय सिद्धांत) है। (सामान्यतः, घटना बीजगणित का सदस्य h व्युत्क्रमणीय होता है यदि और मात्र यदि h(x, x) प्रत्येक x के लिए व्युत्क्रमणीय हो।) जीटा फलन का गुणात्मक व्युत्क्रम मोबियस फलन μ(a, b) है; μ(a, b) का प्रत्येक मान आधार वलय में 1 का अभिन्न गुणज है।

मोबियस फलन को निम्नलिखित संबंध द्वारा आगमनात्मक रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है:

\mu (x,y)={\begin{cases}{}\qquad 1&{\text{if }}x=y\\[6pt]\displaystyle -\!\!\!\!\sum _{z\,:\,x\,\leq \,z\,<\,y}\mu (x,z)&{\text{for }}x<y\\{}\qquad 0&{\text{otherwise }}.\end{cases}}

μ से गुणा करना व्युत्पन्न के समान है, और इसे मोबियस व्युत्क्रम कहा जाता है।

जीटा फलन का वर्ग अंतराल में अवयवों की संख्या देता है:

\zeta ^{2}(x,y)=\sum _{z\in [x,y]}\zeta (x,z)\,\zeta (z,y)=\sum _{z\in [x,y]}1=\#[x,y].

उदाहरण

विभाज्यता द्वारा क्रमित धनात्मक पूर्णांक: अंतराल [1, n] के लिए घटना बीजगणित से जुड़ा संवलन डिरिचलेट संवलन बन जाता है, इसलिए मोबियस फलन μ(a, b) = μ( है b/a), जहां दूसरा μ उत्कृष्ट मोबियस फलन है जिसे 19वीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत में प्रस्तुत किया गया था।
कुछ समुच्चय E के परिमित उपसमुच्चय, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध: जब भी S और T, S ⊆ T के साथ E के परिमित उपसमुच्चय होते हैं, तो मोबियस फलन $\mu (S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}$; होता है और मोबियस व्युत्क्रम को समाविष्ट-बहिष्करण का सिद्धांत कहा जाता है।; ज्यामितीय रूप से, यह अतिविम है: $2^{E}=\{0,1\}^{E}.$
प्राकृतिक संख्याएँ अपने सामान्य क्रम के साथ: मोबियस फलन $\mu (x,y)={\begin{cases}1&{\text{if }}y=x,\\-1&{\text{if }}y=x+1,\\0&{\text{if }}y>x+1,\end{cases}}$ है और मोबियस व्युत्क्रम को (पीछे की ओर) अंतर संक्रियक कहा जाता है।; ज्यामितीय रूप से, यह पृथक संख्या रेखा से मेल खाता है।; घटना बीजगणित में फलनों का संकेंद्रण औपचारिक घात श्रृंखला के गुणन से मेल खाता है: नीचे समानीत आपतन बीजगणित की चर्चा देखें। मोबियस फलन औपचारिक घात श्रृंखला 1 −t के गुणांकों के अनुक्रम (1, −1, 0, 0, 0, ...) से मेल खाता है, और जीटा फलन औपचारिक घात श्रृंखला $(1-t)^{-1}=1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots$ के गुणांकों (1, 1, 1) के अनुक्रम से मेल खाता है, जो व्युत्क्रम है। इस घटना बीजगणित में डेल्टा फलन समान रूप से औपचारिक घात श्रृंखला 1 से मेल खाता है।
कुछ बहुसमुच्चय E के परिमित उप-बहुसमुच्चय, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध: उपरोक्त तीन उदाहरणों को E के बहुसमुच्चय E और परिमित उप-बहुसमुच्चय S और T पर विचार करके एकीकृत और सामान्यीकृत किया जा सकता है। मोबियस फलन; $\mu (S,T)={\begin{cases}0&{\text{if }}T\setminus S{\text{ is a proper multiset (has repeated elements)}}\\(-1)^{\left|T\setminus S\right|}&{\text{if }}T\setminus S{\text{ is a set (has no repeated elements)}}\end{cases}}$ है।; यह बहुलता के साथ अभाज्य संख्या विभाजक के बहुसमुच्चय के अनुरूप धनात्मक पूर्णांक द्वारा विभाज्यता द्वारा क्रमित धनात्मक पूर्णांकों को सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 12 बहुसमुच्चय $\{2,2,3\}$ से मेल खाता है।; यह प्राकृतिक संख्याओं को उनके सामान्य क्रम के साथ अंतर्निहित अवयव के बहुसमुच्चय और उस संख्या के बराबर गणनांक के अनुरूप प्राकृतिक संख्या द्वारा सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 3 बहुसमुच्चय $\{1,1,1\}$ से मेल खाता है।
परिमित p-समूह जी के उपसमूह, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध: यदि $H_{1}$ $H_{2}$ और $H_{2}/H_{1}\cong (\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{k}$ का सामान्य उपसमूह है तो मोबियस फलन $\mu _{G}(H_{1},H_{2})=(-1)^{k}p^{\binom {k}{2}}$ है और अन्यथा यह 0 है।
एक समुच्चय का विभाजन: किसी परिमित समुच्चय के सभी विभाजनों के समुच्चय को σ ≤ τ कहकर आंशिक रूप से क्रमबद्ध करें यदि σ, τ से अधिक स्पष्ट विभाजन है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि τ में t कक्ष हैं जो क्रमशः σ के s₁, ..., s_t स्पष्ट कक्ष में विभाजित होते हैं, जिसमें कुल s = s है₁ +···· + S_t कक्ष होते हैं। तब मोबियस फलन है: $\mu (\sigma ,\tau )=(-1)^{s-t}(s_{1}{-}1)!\dots (s_{t}{-}1)!$

यूलर विशेषता

एक क्रमित समुच्चय परिबद्ध होता है यदि इसमें सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हों, जिन्हें हम क्रमशः 0 और 1 कहते हैं (अदिश वलय के 0 और 1 के साथ भ्रमित न हों)। परिबद्ध परिमित स्थिति की 'यूलर विशेषता' μ(0,1) है। इस शब्दावली का कारण निम्नलिखित है: यदि P में 0 और 1 है, तो μ(0,1) सरल मिश्रित के समानीत यूलर विशेषता है, जिसके शीर्ष P \ {0, 1} में श्रृंखलाएं हैं। इसे फिलिप हॉल के प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, जो μ(0,1) के मान को लंबाई i की श्रृंखलाओं की संख्या से संबंधित करता है।

समानीत घटना बीजगणित

समानीत घटना बीजगणित में ऐसे फलन सम्मिलित होते हैं जो किन्हीं दो अंतरालों के लिए समान मान निर्दिष्ट करते हैं जो उचित अर्थ में समतुल्य होते हैं, सामान्यतः क्रमित समुच्चय के रूप में क्रम समरूपता का अर्थ होता है। यह घटना बीजगणित का उपबीजगणित है, और इसमें स्पष्ट रूप से घटना बीजगणित के तत्समक अवयव और जीटा फलन सम्मिलित हैं। कम आपतन बीजगणित का कोई भी अवयव जो बड़े आपतन बीजगणित में व्युत्क्रम होता है, कम आपतन बीजगणित में उसका व्युत्क्रम होता है। इस प्रकार मोबियस फलन भी समानीत घटना बीजगणित में है।

जनरेटिंग फलन के विभिन्न वलयों का प्राकृतिक निर्माण देने के लिए डौबिललेट, रोटा और स्टेनली द्वारा समानीत घटना वाले बीजगणित की शुरुआत की गई थी।^[2]

प्राकृतिक संख्याएँ और सामान्य जनक फलन

क्रमित समुच्चय के लिए $(\mathbb {N} ,\leq ),$ समानीत आपतन बीजगणित में फलन सम्मिलित होते हैं $f(a,b)$ अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय, $f(a+k,b+k)=f(a,b)$ सभी के लिए $k\geq 0,$ ताकि आइसोमोर्फिक अंतराल [ए+के, बी+के] और [a, b] पर समान मान हो। मान लीजिए t फलन को t(a, a+1) = 1 और t(a, b) = 0 से निरूपित करता है अन्यथा, अंतराल के समरूपता वर्गों पर प्रकार का अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन। घटना बीजगणित में इसकी घातयां अन्य अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन T हैंⁿ(a, a+n) = 1 और tⁿ(x, y) = 0 अन्यथा। ये कम आपतन बीजगणित के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं $\textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(0,n)t^{n}$ . यह संकेतन समानीत घटना बीजगणित और औपचारिक घात श्रृंखला की अंगूठी के बीच समरूपता को स्पष्ट करता है $R[[t]]$ अदिश R के ऊपर, जिसे सामान्य जनक फलनों का वलय भी कहा जाता है। हम जीटा फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं $\zeta =1+t+t^{2}+\cdots ={\tfrac {1}{1-t}},$ मोबियस फलन का व्युत्क्रम $\mu =1-t.$

सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फलन

परिमित उपसमुच्चय के बूलियन स्थिति के लिए $S\subset \{1,2,3,\ldots \}$ सम्मिलित करने का क्रम दिया गया $S\subset T$ , समानीत घटना बीजगणित में अपरिवर्तनीय फलन सम्मिलित हैं $f(S,T),$ समरूपी अंतरालों [S,T] और [S′,T ′] पर |T\S| के साथ समान मान रखने के लिए परिभाषित किया गया है। = |T '\S'|. फिर, मान लीजिए t |T\S| के लिए t(S,T) = 1 के साथ अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन को दर्शाता है। = 1 और t(S,T) = 0 अन्यथा। इसकी घातयाँ हैं:

t^{n}(S,T)=\,\sum t(T_{0},T_{1})\,t(T_{1},T_{2})\dots t(T_{n-1},T_{n})=\left\{{\begin{array}{cl}n!&{\text{if}}\,\,|T{\setminus }S|=n\\0&{\text{otherwise,}}\end{array}}\right.

जहां योग सभी श्रृंखलाओं से अधिक है

S=T_{0}\subset T_{1}\subset \cdots \subset T_{n}=T,

और मात्र गैर-शून्य शब्द संतृप्त श्रृंखलाओं के लिए होते हैं

|T_{i}{\setminus }T_{i-1}|=1;

चूँकि ये n के क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं, हमें अद्वितीय गैर-शून्य मान n! मिलता है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन विभाजित घातयां हैं

{\tfrac {t^{n}}{n!}},

और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं

\textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(\emptyset ,[n]){\frac {t^{n}}{n!}},

जहां [n] = {1, . . . , n}। यह समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों की अंगूठी के बीच प्राकृतिक समरूपता देता है। जीटा फलन है

\textstyle \zeta =\sum _{n\geq 0}{\frac {t^{n}}{n!}}=\exp(t),

मोबियस फलन के साथ:

\mu ={\frac {1}{\zeta }}=\exp(-t)=\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}{\frac {t^{n}}{n!}}.

दरअसल, औपचारिक घात श्रृंखला के साथ यह गणना यह साबित करती है

\mu (S,T)=(-1)^{|T{\setminus }S|}.

उपसमुच्चय या लेबल वाली वस्तुओं को सम्मिलित करने वाले कई संयुक्त गिनती अनुक्रमों की व्याख्या समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके घातीय सूत्र के संदर्भ में की जा सकती है।

विभाजक क्रमित समुच्चय और डिरिचलेट श्रृंखला

विभाज्यता द्वारा निरूपित धनात्मक पूर्णांकों के क्रमित समुच्चय डी पर विचार करें $a\,|\,b.$ समानीत आपतन बीजगणित में फलन सम्मिलित होते हैं $f(a,b)$ जो गुणन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं: $f(ka,kb)=f(a,b)$ सभी के लिए $k\geq 1.$ (अंतराल की यह गुणात्मक तुल्यता क्रमित समुच्चय समरूपता की तुलना में बहुत मजबूत संबंध है; उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या p के लिए, दो-अवयव अंतराल [1,p] सभी असमान हैं।) अपरिवर्तनीय फलन के लिए, एफ(a,b) मात्र पर निर्भर करता है b/a, इसलिए प्राकृतिक आधार में अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन सम्मिलित होते हैं $\delta _{n}$ द्वारा परिभाषित $\delta _{n}(a,b)=1$ यदि b/a = n और 0 अन्यथा; तो कोई भी अपरिवर्तनीय फलन लिखा जा सकता है $\textstyle f=\sum _{n\geq 0}f(1,n)\,\delta _{n}.$ दो अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शंस का उत्पाद है:

(\delta _{n}\delta _{m})(a,b)=\sum _{a|c|b}\delta _{n}(a,c)\,\delta _{m}(c,b)=\delta _{nm}(a,b),

चूँकि एकमात्र गैर-शून्य पद c = na और b = mc = nma से आता है। इस प्रकार, हम समानीत घटना बीजगणित से औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला की अंगूठी तक समरूपता प्राप्त करते हैं $\delta _{n}$ को $n^{-s}\!,$ ताकि f के अनुरूप हो ${\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(1,n)}{n^{s}}}.}$ घटना बीजगणित जीटा फलन ζ_D(a,b) = 1 उत्कृष्ट रीमैन जीटा फलन से मेल खाता है $\zeta (s)=\textstyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}},$ पारस्परिक होना ${\textstyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$ जहाँ $\mu (n)=\mu _{D}(1,n)$ संख्या सिद्धांत का उत्कृष्ट मोबियस फलन है। कई अन्य अंकगणितीय फलन समानीत घटना बीजगणित के भीतर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, और समकक्ष रूप से डिरिचलेट श्रृंखला के संदर्भ में। उदाहरण के लिए, विभाजक फलन $\sigma _{0}(n)$ जीटा फलन का वर्ग है, $\sigma _{0}(n)=\zeta ^{2}\!(1,n),$ उपरोक्त परिणाम का विशेष मामला $\zeta ^{2}\!(x,y)$ अंतराल [x,y] में अवयवों की संख्या देता है; बराबर, ${\textstyle \zeta (s)^{2}=\sum _{n\geq 1}{\frac {\sigma _{0}(n)}{n^{s}}}.}$ विभाजक क्रमित समुच्चय की उत्पाद संरचना इसके मोबियस फलन की गणना की सुविधा प्रदान करती है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय का तात्पर्य है कि डी अनंत कार्टेशियन उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है $\mathbb {N} \times \mathbb {N} \times \dots$ , समन्वयवार तुलना द्वारा दिए गए क्रम के साथ: $n=p_{1}^{e_{1}}p_{2}^{e_{2}}\dots$ , जहाँ $p_{k}$ क है^वें अभाज्य, इसके घातांक के अनुक्रम से मेल खाता है $(e_{1},e_{2},\dots ).$ अब डी का मोबियस फलन कारक पोज़ेट्स के लिए मोबियस फलन का उत्पाद है, जो ऊपर गणना की गई है, जो उत्कृष्ट सूत्र देता है:

\mu (n)=\mu _{D}(1,n)=\prod _{k\geq 1}\mu _{\mathbb {N} }(0,e_{k})\,=\,\left\{{\begin{array}{cl}(-1)^{d}&{\text{for }}n{\text{ squarefree with }}d{\text{ prime factors}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{array}}\right.

उत्पाद संरचना जीटा फलन के लिए उत्कृष्ट यूलर उत्पाद की भी व्याख्या करती है। डी का जीटा फलन कारकों के जीटा फलन के कार्टेशियन उत्पाद से मेल खाता है, जिसकी गणना ऊपर की गई है ${\textstyle {\frac {1}{1-t}},}$ ताकि ${\textstyle \zeta _{D}\cong \prod _{k\geq 1}\!{\frac {1}{1-t}},}$ जहां दाहिनी ओर कार्टेशियन उत्पाद है। समरूपता को लागू करना जो k में t भेजता है^वेंकारक को $p_{k}^{-s}$ , हम सामान्य यूलर उत्पाद प्राप्त करते हैं।

यह भी देखें

साहित्य

1964 में शुरू होने वाले जियान-कार्लो रोटा के कई पेपरों में और बाद के कई कॉम्बिनेटरिक्स द्वारा स्थानीय रूप से परिमित पोज़ेट्स के घटना बीजगणित का इलाज किया गया था। रोटा का 1964 का पेपर था:

Rota, Gian-Carlo (1964), "On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions", Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete, 2 (4): 340–368, doi:10.1007/BF00531932, S2CID 121334025
नाथन जैकबसन|n. जैकबसन, मूल बीजगणित। आई, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी, 1974। क्रमित समुच्चय्स पर मोबियस फ़ंक्शंस के उपचार के लिए अनुभाग 8.6 देखें

↑ Kolegov, N. A.; Markova, O. V. (August 2019). "परिमित क्षेत्रों पर मैट्रिक्स घटना बीजगणित के जेनरेटर की प्रणाली". Journal of Mathematical Sciences (in English). 240 (6): 783–798. doi:10.1007/s10958-019-04396-6. ISSN 1072-3374. S2CID 198443199.
↑ Peter Doubilet, Gian-Carlo Rota and Richard Stanley: On the Foundations of Combinatorics (VI): The Idea of Generating Function, Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Proc. Sixth Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Vol. 2 (Univ. of Calif. Press, 1972), 267-318, available online in open access

अग्रिम पठन

Spiegel, Eugene; O'Donnell, Christopher J. (1997), Incidence algebras, Pure and Applied Mathematics, vol. 206, Marcel Dekker, ISBN 0-8247-0036-8

[1] Kolegov, N. A.; Markova, O. V. (August 2019). "परिमित क्षेत्रों पर मैट्रिक्स घटना बीजगणित के जेनरेटर की प्रणाली". Journal of Mathematical Sciences (in English). 240 (6): 783–798. doi:10.1007/s10958-019-04396-6. ISSN 1072-3374. S2CID 198443199.

[2] Peter Doubilet, Gian-Carlo Rota and Richard Stanley: On the Foundations of Combinatorics (VI): The Idea of Generating Function, Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Proc. Sixth Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Vol. 2 (Univ. of Calif. Press, 1972), 267-318, available online in open access

[1]

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 परिमित होता है।
-घटना बीजगणित के सदस्य [[फ़ंक्शन (गणित)]] s ''f'' हैं जो प्रत्येक [[खाली सेट|खाली समुच्चय]] अंतराल [''a, b''] को अदिश ''f''(''a'', ''b) निर्दिष्ट करते हैं ''), जो ''अदिश के वलय (गणित)'' से लिया गया है, जो एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय है। इस अंतर्निहित समुच्चय पर कोई जोड़ और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित करता है, और घटना बीजगणित में गुणन [[कनवल्शन]] है जिसे परिभाषित किया गया है
+घटना बीजगणित के सदस्य [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] s ''f'' हैं जो प्रत्येक [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] अंतराल [''a, b''] को अदिश ''f''(''a'', ''b) निर्दिष्ट करते हैं ''), जो ''अदिश के वलय (गणित)'' से लिया गया है, जो एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय है। इस अंतर्निहित समुच्चय पर कोई योग और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित करता है, और घटना बीजगणित में गुणन
-:<math>(f*g)(a, b)=\sum_{a\leq x\leq b}f(a, x)g(x, b).</math>
+:<math>(f*g)(a, b)=\sum_{a\leq x\leq b}f(a, x)g(x, b)</math> द्वारा परिभाषित [[कनवल्शन|संवलन]] है।
-एक घटना बीजगणित परिमित-आयामी है यदि और केवल यदि अंतर्निहित स्थिति परिमित है।
+एक घटना बीजगणित परिमित-आयामी है यदि और मात्र यदि अंतर्निहित स्थिति परिमित है।
 ===संबंधित अवधारणाएँ===
-एक घटना बीजगणित समूह वलय के समान होता है; वास्तव में, समूह बीजगणित और घटना बीजगणित दोनों [[श्रेणी बीजगणित]] के विशेष मामले हैं, जिन्हें समान रूप से परिभाषित किया गया है; [[समूह (गणित)]] और आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय विशेष प्रकार की [[श्रेणी (गणित)]] है।
+एक घटना बीजगणित समूह वलय के समान होता है; वस्तुतः, समूह बीजगणित और घटना बीजगणित दोनों [[श्रेणी बीजगणित]] की विशेष स्थिति हैं, जिन्हें समान रूप से परिभाषित किया गया है; [[समूह (गणित)]] और आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय विशेष प्रकार की [[श्रेणी (गणित)]] है।
-==== ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह ====
+==== उच्च-त्रिकोणीय आव्यूह ====
-किसी पर आंशिक आदेश ≤ के मामले पर विचार करें {{mvar|n}}-तत्व समुच्चय {{mvar|S}}. हम गिनाते हैं {{mvar|S}} जैसा {{math|''s''<sub>1</sub>, …, ''s<sub>n</sub>''}}, और इस तरह से कि गणना क्रम ≤ के अनुकूल हो {{mvar|S}}, वह है, {{math|''s<sub>i</sub>'' ≤ ''s<sub>j</sub>''}} तात्पर्य {{math|''i'' ≤ ''j''}}, जो सदैव संभव है।
+किसी भी {{mvar|n}}-अवयव समुच्चय {{mvar|S}} पर आंशिक क्रम ≤ की स्थिति पर विचार करें । हम {{mvar|S}} की गणना {{math|''s''<sub>1</sub>, …, ''s<sub>n</sub>''}} के रूप में करते हैं, और इस प्रकार से कि गणना {{mvar|S}} पर क्रम ≤ के साथ संगत है, अर्थात, {{math|''s<sub>i</sub>'' ≤ ''s<sub>j</sub>''}} का तात्पर्य {{math|''i'' ≤ ''j''}} है, जो सदैव संभव है।
-फिर, फलन करता है {{mvar|f}} जैसा कि ऊपर बताया गया है, अंतराल से अदिश तक, को [[मैट्रिक्स (गणित)]] के रूप में सोचा जा सकता है {{math|''A<sub>ij</sub>''}}, कहाँ {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''f''(''s<sub>i</sub>'', ''s<sub>j</sub>'')}} जब कभी भी {{math|''i'' ≤ ''j''}}, और {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = 0}} अन्यथा। जब से हमने व्यवस्था की है {{mvar|S}} तरह से मैट्रिक्स के सूचकांकों पर सामान्य क्रम के अनुरूप, वे [[ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स]] के रूप में दिखाई देंगे | ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स में अतुलनीय तत्वों द्वारा निर्धारित निर्धारित शून्य-पैटर्न के साथ {{mvar|S}} ≤ के अंतर्गत.
+फिर, उपरोक्त फलन {{mvar|f}}, अंतराल से अदिश तक, को [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] {{math|''A<sub>ij</sub>''}} के रूप में सोचा जा सकता है , जहाँ {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''f''(''s<sub>i</sub>'', ''s<sub>j</sub>'')}} जब भी {{math|''i'' ≤ ''j''}}, और अन्यथा {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = 0}} होता है। चूँकि हमने {{mvar|S}} को आव्यूहों के सूचकांकों पर सामान्य क्रम के अनुरूप व्यवस्थित किया है, वे ≤ के अंतर्गत {{mvar|S}} में अतुलनीय अवयवों द्वारा निर्धारित निर्धारित शून्य-प्रतिरूप के साथ [[ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स|उच्च-त्रिकोणीय आव्यूह]] के रूप में दिखाई देंगे।
-≤ की घटना बीजगणित तब इस निर्धारित शून्य-पैटर्न और मनमानी (संभवतः शून्य सहित) स्केलर प्रविष्टियों के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बीजगणित के लिए [[ समरूपी |समरूपी]] है, संचालन सामान्य [[मैट्रिक्स जोड़]], स्केलिंग और [[मैट्रिक्स गुणन]] के साथ होता है।<ref>{{Cite journal|last1=Kolegov|first1=N. A.|last2=Markova|first2=O. V.|date=August 2019|title=परिमित क्षेत्रों पर मैट्रिक्स घटना बीजगणित के जेनरेटर की प्रणाली|url=http://link.springer.com/10.1007/s10958-019-04396-6|journal=Journal of Mathematical Sciences|language=en|volume=240|issue=6|pages=783–798|doi=10.1007/s10958-019-04396-6|s2cid=198443199 |issn=1072-3374}}</ref>
+≤ की घटना बीजगणित तब इस निर्धारित शून्य-प्रतिरूप और यादृच्छिक (संभवतः शून्य सहित) अदिश प्रविष्टियों के साथ उच्च-त्रिकोणीय आव्यूह के बीजगणित के लिए [[ समरूपी |समरूपी]] है, संचालन सामान्य [[मैट्रिक्स जोड़|आव्यूह योग]], सोपानी और [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के साथ होता है।<ref>{{Cite journal|last1=Kolegov|first1=N. A.|last2=Markova|first2=O. V.|date=August 2019|title=परिमित क्षेत्रों पर मैट्रिक्स घटना बीजगणित के जेनरेटर की प्रणाली|url=http://link.springer.com/10.1007/s10958-019-04396-6|journal=Journal of Mathematical Sciences|language=en|volume=240|issue=6|pages=783–798|doi=10.1007/s10958-019-04396-6|s2cid=198443199 |issn=1072-3374}}</ref>
-==विशेष तत्व==
+==विशेष अवयव==
-घटना बीजगणित का गुणक पहचान तत्व [[ क्रोनकर डेल्टा |क्रोनकर डेल्टा]] है, जिसे परिभाषित किया गया है
+घटना बीजगणित का गुणक तत्समक अवयव [[ क्रोनकर डेल्टा |क्रोनकर डेल्टा]] है, जिसे
 :<math>\delta(a, b) = \begin{cases}
 & \text{if } a=b, \\
-& \text{if } a \ne b.
+& \text{if } a \ne b
-\end{cases}</math>
+\end{cases}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
-एक घटना बीजगणित का जीटा फ़ंक्शन प्रत्येक गैर-रिक्त अंतराल [''ए, बी''] के लिए निरंतर फ़ंक्शन ''ζ''(''ए'', ''बी'') = 1 है। ''ζ'' से गुणा करना [[अभिन्न]] के समान है।
+एक घटना बीजगणित का जीटा फलन प्रत्येक गैर-रिक्त अंतराल [''a,'' b] के लिए स्थिर फलन ''ζ''(a, b) = 1 है। ''ζ'' से गुणा करना [[अभिन्न]] के समान है।
-कोई यह दिखा सकता है कि घटना बीजगणित में (ऊपर परिभाषित कनवल्शन के संबंध में) [[इकाई (रिंग सिद्धांत)]] है। (आम तौर पर, घटना बीजगणित का सदस्य ''h'' व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि ''h''(''x'', ''x'') प्रत्येक ''x'' के लिए व्युत्क्रमणीय हो।) ज़ेटा फ़ंक्शन का गुणात्मक व्युत्क्रम मोबियस फ़ंक्शन ''μ''(''ए, बी'') है; ''μ''(''a, b'') का प्रत्येक मान बेस रिंग में 1 का अभिन्न गुणज है।
+कोई यह दिखा सकता है कि घटना बीजगणित में (ऊपर परिभाषित संवलन के संबंध में) [[इकाई (रिंग सिद्धांत)|इकाई (वलय सिद्धांत)]] है। (सामान्यतः, घटना बीजगणित का सदस्य ''h'' व्युत्क्रमणीय होता है यदि और मात्र यदि ''h''(''x'', ''x'') प्रत्येक ''x'' के लिए व्युत्क्रमणीय हो।) जीटा फलन का गुणात्मक व्युत्क्रम मोबियस फलन ''μ''(''a,'' b) है; ''μ''(''a, b'') का प्रत्येक मान आधार वलय में 1 का अभिन्न गुणज है।
-मोबियस फ़ंक्शन को निम्नलिखित संबंध द्वारा आगमनात्मक रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है:
+मोबियस फलन को निम्नलिखित संबंध द्वारा आगमनात्मक रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है:
 :<math>\mu(x,y) = \begin{cases}
 {}\qquad 1 & \text{if } x = y\\[6pt]
@@ Line 39: / Line 39: @@
 μ से गुणा करना व्युत्पन्न के समान है, और इसे मोबियस व्युत्क्रम कहा जाता है।
-ज़ेटा फ़ंक्शन का वर्ग अंतराल में तत्वों की संख्या देता है:
+जीटा फलन का वर्ग अंतराल में अवयवों की संख्या देता है:
 <math display="block">\zeta^2(x,y) = \sum_{z\in [x,y]} \zeta(x,z)\,\zeta(z,y)  = \sum_{z\in [x,y]} 1  =  \#[x,y].</math>
 ==उदाहरण==
 ;विभाज्यता द्वारा क्रमित धनात्मक पूर्णांक
-:अंतराल [1, ''एन''] के लिए घटना बीजगणित से जुड़ा कनवल्शन [[डिरिचलेट कनवल्शन]] बन जाता है, इसलिए मोबियस फ़ंक्शन ''μ''(''ए, बी'') = ''μ''( है ''बी/ए''), जहां दूसरा ''μ'' शास्त्रीय मोबियस फ़ंक्शन है जिसे 19वीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत में पेश किया गया था।
+:अंतराल [1, ''n''] के लिए घटना बीजगणित से जुड़ा संवलन [[डिरिचलेट कनवल्शन|डिरिचलेट संवलन]] बन जाता है, इसलिए मोबियस फलन ''μ''(''a,'' b) = ''μ''( है ''b/''a), जहां दूसरा ''μ'' उत्कृष्ट मोबियस फलन है जिसे 19वीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत में प्रस्तुत किया गया था।
-;कुछ समुच्चय ''ई'' के परिमित उपसमुच्चय, समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
+;कुछ समुच्चय E के परिमित उपसमुच्चय, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध
-:मोबियस फ़ंक्शन है <math display="block">\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}</math>
+:जब भी S और T, S ⊆ T के साथ E के परिमित उपसमुच्चय होते हैं, तो मोबियस फलन<math display="block">\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}</math>
-:जब भी S और T, S ⊆ T के साथ E के परिमित उपसमुच्चय हैं, और मोबियस व्युत्क्रम को [[समावेशन-बहिष्करण का सिद्धांत]] कहा जाता है।
+:होता है और मोबियस व्युत्क्रम को [[समावेशन-बहिष्करण का सिद्धांत|समाविष्ट-बहिष्करण का सिद्धांत]] कहा जाता है।
 :ज्यामितीय रूप से, यह [[ अतिविम |अतिविम]] है: <math>2^E = \{0,1\}^E.</math>
 ;प्राकृतिक संख्याएँ अपने सामान्य क्रम के साथ
-:मोबियस फ़ंक्शन है <math display="block">\mu(x,y) = \begin{cases}
+:मोबियस फलन<math display="block">\mu(x,y) = \begin{cases}
 & \text{if }y=x, \\
 -1 & \text{if }y = x+1, \\
 & \text{if }y>x+1,
 \end{cases}
-</math> और मोबियस व्युत्क्रम को (पीछे की ओर) [[अंतर ऑपरेटर]] कहा जाता है।
+</math>है और मोबियस व्युत्क्रम को (पीछे की ओर) [[अंतर ऑपरेटर|अंतर संक्रियक]] कहा जाता है।
 :ज्यामितीय रूप से, यह पृथक [[संख्या रेखा]] से मेल खाता है।
-:घटना बीजगणित में फलनों का संकेंद्रण [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] के गुणन से मेल खाता है: नीचे घटी हुई आपतन बीजगणित की चर्चा देखें। मोबियस फ़ंक्शन औपचारिक शक्ति श्रृंखला 1 −t के गुणांकों के अनुक्रम (1, −1, 0, 0, 0, ...) से मेल खाता है, और ज़ेटा फ़ंक्शन गुणांक (1, 1, 1) के अनुक्रम से मेल खाता है , 1, ...) औपचारिक शक्ति श्रृंखला का <math>(1 - t)^{-1} = 1 + t + t^2 + t^3 + \cdots</math>, जो उलटा है। इस घटना बीजगणित में डेल्टा फ़ंक्शन समान रूप से औपचारिक शक्ति श्रृंखला 1 से मेल खाता है।
+:घटना बीजगणित में फलनों का संकेंद्रण [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक घात श्रृंखला]] के गुणन से मेल खाता है: नीचे समानीत आपतन बीजगणित की चर्चा देखें। मोबियस फलन औपचारिक घात श्रृंखला 1 −t के गुणांकों के अनुक्रम (1, −1, 0, 0, 0, ...) से मेल खाता है, और जीटा फलन औपचारिक घात श्रृंखला <math>(1 - t)^{-1} = 1 + t + t^2 + t^3 + \cdots</math> के गुणांकों (1, 1, 1) के अनुक्रम से मेल खाता है, जो व्युत्क्रम है। इस घटना बीजगणित में डेल्टा फलन समान रूप से औपचारिक घात श्रृंखला 1 से मेल खाता है।
-;कुछ [[मल्टीसेट|मल्टीसमुच्चय]] ''ई'' के परिमित उप-मल्टीसमुच्चय, समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
+;कुछ [[मल्टीसेट|बहुसमुच्चय]] E के परिमित उप-बहुसमुच्चय, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध
-:उपरोक्त तीन उदाहरणों को ''ई'' के मल्टीसमुच्चय ''ई'' और परिमित उप-मल्टीसमुच्चय ''एस'' और ''टी'' पर विचार करके एकीकृत और सामान्यीकृत किया जा सकता है। मोबियस फ़ंक्शन है <math display="block"> \mu(S,T) = \begin{cases}
+:उपरोक्त तीन उदाहरणों को E के बहुसमुच्चय E और परिमित उप-बहुसमुच्चय ''S'' और ''T'' पर विचार करके एकीकृत और सामान्यीकृत किया जा सकता है। मोबियस फलन
+:<math display="block"> \mu(S,T) = \begin{cases}
 & \text{if } T \setminus S \text{ is a proper multiset (has repeated elements)}\\
-(-1)^{\left|T \setminus S\right|} & \text{if } T\setminus S \text{ is a set (has no repeated elements)}.
+(-1)^{\left|T \setminus S\right|} & \text{if } T\setminus S \text{ is a set (has no repeated elements)}
-\end{cases}</math>
+\end{cases}</math> है।
-:यह बहुलता के साथ [[अभाज्य संख्या]] वि[[भाजक]] के मल्टीसमुच्चय के अनुरूप सकारात्मक [[पूर्णांक]] द्वारा विभाज्यता द्वारा क्रमित सकारात्मक पूर्णांकों को सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 12 मल्टीसमुच्चय से मेल खाता है <math>\{ 2, 2, 3 \}.</math>
+:यह बहुलता के साथ [[अभाज्य संख्या]] [[भाजक|विभाजक]] के बहुसमुच्चय के अनुरूप धनात्मक [[पूर्णांक]] द्वारा विभाज्यता द्वारा क्रमित धनात्मक पूर्णांकों को सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 12 बहुसमुच्चय <math>\{ 2, 2, 3 \}</math> से मेल खाता है।
-:यह [[प्राकृतिक संख्या]]ओं को उनके सामान्य क्रम के साथ अंतर्निहित तत्व के मल्टीसमुच्चय और उस संख्या के बराबर कार्डिनलिटी के अनुरूप प्राकृतिक संख्या द्वारा सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 3 मल्टीसमुच्चय से मेल खाता है <math>\{ 1, 1, 1 \}.</math>
+:यह [[प्राकृतिक संख्या]]ओं को उनके सामान्य क्रम के साथ अंतर्निहित अवयव के बहुसमुच्चय और उस संख्या के बराबर गणनांक के अनुरूप प्राकृतिक संख्या द्वारा सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 3 बहुसमुच्चय <math>\{ 1, 1, 1 \}</math> से मेल खाता है।
-;परिमित पी-समूह के उपसमूह|''पी''-समूह ''जी'', समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
+;परिमित p-समूह ''जी'' के उपसमूह, समाविष्ट द्वारा क्रमबद्ध
-:मोबियस फ़ंक्शन है <math display="block">\mu_G(H_1,H_2) = (-1)^{k} p^{\binom{k}{2}}</math> अगर <math>H_1</math> का [[सामान्य उपसमूह]] है <math>H_2</math> और <math>H_2/H_1 \cong (\Z/p\Z)^k</math> और अन्यथा यह 0 है. यह वीस्नर (1935) का प्रमेय है।
+:यदि <math>H_1</math> <math>H_2</math> और <math>H_2/H_1 \cong (\Z/p\Z)^k</math> का [[सामान्य उपसमूह]] है तो मोबियस फलन <math display="block">\mu_G(H_1,H_2) = (-1)^{k} p^{\binom{k}{2}}</math> है और अन्यथा यह 0 है।
 ;[[एक सेट का विभाजन|एक समुच्चय का विभाजन]]
-:किसी परिमित समुच्चय के सभी विभाजनों के समुच्चय को σ ≤ τ कहकर आंशिक रूप से क्रमबद्ध करें यदि σ, τ से अधिक महीन विभाजन है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि τ में ''t'' ब्लॉक हैं जो क्रमशः ''s'' में विभाजित होते हैं<sub>1</sub>, ..., एस<sub>''t''</sub> σ के महीन ब्लॉक, जिसका कुल योग s = s है<sub>1</sub> +···· + एस<sub>''t''</sub> ब्लॉक. फिर मोबियस फ़ंक्शन है: <math display="block">\mu(\sigma,\tau) =
+:किसी परिमित समुच्चय के सभी विभाजनों के समुच्चय को σ ≤ τ कहकर आंशिक रूप से क्रमबद्ध करें यदि σ, τ से अधिक स्पष्ट विभाजन है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि τ में ''t'' कक्ष हैं जो क्रमशः σ के ''s<sub>1</sub>, ..., s<sub>t</sub>'' स्पष्ट कक्ष में विभाजित होते हैं, जिसमें कुल s = s है<sub>1</sub> +···· + S<sub>''t''</sub> कक्ष होते हैं। तब मोबियस फलन है: <math display="block">\mu(\sigma,\tau) =
 (-1)^{s-t}(s_1{-}1)! \dots (s_t{-}1)!</math>
 ==यूलर विशेषता==
-{{Further|Euler characteristic}}
+{{Further|यूलर विशेषता}}
-एक पॉसमुच्चय परिबद्ध होता है यदि इसमें सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्व हों, जिन्हें हम क्रमशः 0 और 1 कहते हैं (अदिश वलय के 0 और 1 के साथ भ्रमित न हों)। परिबद्ध परिमित स्थिति की '[[यूलर विशेषता]]' μ(0,1) है। इस शब्दावली का कारण निम्नलिखित है: यदि P में 0 और 1 है, तो μ(0,1) सरल कॉम्प्लेक्स की घटी हुई यूलर विशेषता है, जिसके चेहरे P \ {0, 1} में श्रृंखलाएं हैं। इसे फिलिप हॉल के प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, जो μ(0,1) के मान को लंबाई i की श्रृंखलाओं की संख्या से संबंधित करता है।
+एक क्रमित समुच्चय परिबद्ध होता है यदि इसमें सबसे छोटे और सबसे बड़े अवयव हों, जिन्हें हम क्रमशः 0 और 1 कहते हैं (अदिश वलय के 0 और 1 के साथ भ्रमित न हों)। परिबद्ध परिमित स्थिति की '[[यूलर विशेषता]]' μ(0,1) है। इस शब्दावली का कारण निम्नलिखित है: यदि P में 0 और 1 है, तो μ(0,1) सरल मिश्रित के समानीत यूलर विशेषता है, जिसके शीर्ष P \ {0, 1} में श्रृंखलाएं हैं। इसे फिलिप हॉल के प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, जो μ(0,1) के मान को लंबाई i की श्रृंखलाओं की संख्या से संबंधित करता है।
-==घटी हुई घटना बीजगणित==
+==समानीत घटना बीजगणित==
-घटी हुई घटना बीजगणित में ऐसे फ़ंक्शन शामिल होते हैं जो किन्हीं दो अंतरालों के लिए समान मान निर्दिष्ट करते हैं जो उचित अर्थ में समतुल्य होते हैं, आमतौर पर क्रमित समुच्चय के रूप में क्रम समरूपता का अर्थ होता है। यह घटना बीजगणित का उपबीजगणित है, और इसमें स्पष्ट रूप से घटना बीजगणित के पहचान तत्व और जीटा फ़ंक्शन शामिल हैं। कम आपतन बीजगणित का कोई भी तत्व जो बड़े आपतन बीजगणित में उलटा होता है, कम आपतन बीजगणित में उसका व्युत्क्रम होता है। इस प्रकार मोबियस फ़ंक्शन भी समानीत घटना बीजगणित में है।
+समानीत घटना बीजगणित में ऐसे फलन सम्मिलित होते हैं जो किन्हीं दो अंतरालों के लिए समान मान निर्दिष्ट करते हैं जो उचित अर्थ में समतुल्य होते हैं, सामान्यतः क्रमित समुच्चय के रूप में क्रम समरूपता का अर्थ होता है। यह घटना बीजगणित का उपबीजगणित है, और इसमें स्पष्ट रूप से घटना बीजगणित के तत्समक अवयव और जीटा फलन सम्मिलित हैं। कम आपतन बीजगणित का कोई भी अवयव जो बड़े आपतन बीजगणित में व्युत्क्रम होता है, कम आपतन बीजगणित में उसका व्युत्क्रम होता है। इस प्रकार मोबियस फलन भी समानीत घटना बीजगणित में है।
-[[जनरेटिंग फ़ंक्शन]] के विभिन्न रिंगों का प्राकृतिक निर्माण देने के लिए डौबिललेट, रोटा और स्टेनली द्वारा समानीत घटना वाले बीजगणित की शुरुआत की गई थी।<ref>Peter Doubilet, Gian-Carlo Rota and Richard Stanley: ''On the Foundations of Combinatorics (VI): The Idea of Generating Function'', Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Proc. Sixth Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Vol. 2 (Univ. of Calif. Press, 1972), 267-318, [http://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200514223 available online in open access]</ref>
+[[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनरेटिंग फलन]] के विभिन्न वलयों का प्राकृतिक निर्माण देने के लिए डौबिललेट, रोटा और स्टेनली द्वारा समानीत घटना वाले बीजगणित की शुरुआत की गई थी।<ref>Peter Doubilet, Gian-Carlo Rota and Richard Stanley: ''On the Foundations of Combinatorics (VI): The Idea of Generating Function'', Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Proc. Sixth Berkeley Symposium on Math. Statist. and Prob., Vol. 2 (Univ. of Calif. Press, 1972), 267-318, [http://projecteuclid.org/euclid.bsmsp/1200514223 available online in open access]</ref>
 === प्राकृतिक संख्याएँ और सामान्य जनक फलन ===
-क्रमित समुच्चय के लिए <math>(\mathbb{N},\leq),</math> घटी हुई आपतन बीजगणित में फलन शामिल होते हैं <math>f(a,b)</math> अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय, <math>f(a+k,b+k) = f(a,b)</math> सभी के लिए <math>k \ge 0,</math> ताकि आइसोमोर्फिक अंतराल [ए+के, बी+के] और [ए, बी] पर समान मान हो। मान लीजिए t फ़ंक्शन को t(a, a+1) = 1 और t(a, b) = 0 से निरूपित करता है अन्यथा, अंतराल के समरूपता वर्गों पर प्रकार का अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन। घटना बीजगणित में इसकी शक्तियां अन्य अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन टी हैं<sup>n</sup>(a, a+n) = 1 और t<sup>n</sup>(x, y) = 0 अन्यथा। ये कम आपतन बीजगणित के लिए [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाते हैं, और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\textstyle f = \sum_{n\ge 0} f(0,n)t^n</math>. यह संकेतन घटी हुई घटना बीजगणित और औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के बीच समरूपता को स्पष्ट करता है <math>R[[t]]</math> अदिश R के ऊपर, जिसे सामान्य जनक फलनों का वलय भी कहा जाता है। हम जीटा फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\zeta=1+t+t^2+\cdots = \tfrac1{1-t},</math> मोबियस फ़ंक्शन का व्युत्क्रम <math>\mu=1-t.</math>
+क्रमित समुच्चय के लिए <math>(\mathbb{N},\leq),</math> समानीत आपतन बीजगणित में फलन सम्मिलित होते हैं <math>f(a,b)</math> अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय, <math>f(a+k,b+k) = f(a,b)</math> सभी के लिए <math>k \ge 0,</math> ताकि आइसोमोर्फिक अंतराल [ए+के, बी+के] और [a, b] पर समान मान हो। मान लीजिए t फलन को t(a, a+1) = 1 और t(a, b) = 0 से निरूपित करता है अन्यथा, अंतराल के समरूपता वर्गों पर प्रकार का अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन। घटना बीजगणित में इसकी घातयां अन्य अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन T हैं<sup>n</sup>(a, a+n) = 1 और t<sup>n</sup>(x, y) = 0 अन्यथा। ये कम आपतन बीजगणित के लिए [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाते हैं, और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\textstyle f = \sum_{n\ge 0} f(0,n)t^n</math>. यह संकेतन समानीत घटना बीजगणित और औपचारिक घात श्रृंखला की अंगूठी के बीच समरूपता को स्पष्ट करता है <math>R[[t]]</math> अदिश R के ऊपर, जिसे सामान्य जनक फलनों का वलय भी कहा जाता है। हम जीटा फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\zeta=1+t+t^2+\cdots = \tfrac1{1-t},</math> मोबियस फलन का व्युत्क्रम <math>\mu=1-t.</math>
-=== सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन ===
+=== सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फलन ===
-परिमित उपसमुच्चय के बूलियन स्थिति के लिए <math>S\subset\{1,2,3,\ldots\}</math> शामिल करने का आदेश दिया गया <math>S\subset T</math>, घटी हुई घटना बीजगणित में अपरिवर्तनीय फलन शामिल हैं <math>f(S,T),</math> समरूपी अंतरालों [S,T] और [S′,T&hairsp;′] पर |T\S| के साथ समान मान रखने के लिए परिभाषित किया गया है। = |T&hairsp;'\S'|. फिर, मान लीजिए t |T\S| के लिए t(S,T) = 1 के साथ अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन को दर्शाता है। = 1 और t(S,T) = 0 अन्यथा। इसकी शक्तियाँ हैं:
+परिमित उपसमुच्चय के बूलियन स्थिति के लिए <math>S\subset\{1,2,3,\ldots\}</math> सम्मिलित करने का क्रम दिया गया <math>S\subset T</math>, समानीत घटना बीजगणित में अपरिवर्तनीय फलन सम्मिलित हैं <math>f(S,T),</math> समरूपी अंतरालों [S,T] और [S′,T&hairsp;′] पर |T\S| के साथ समान मान रखने के लिए परिभाषित किया गया है। = |T&hairsp;'\S'|. फिर, मान लीजिए t |T\S| के लिए t(S,T) = 1 के साथ अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन को दर्शाता है। = 1 और t(S,T) = 0 अन्यथा। इसकी घातयाँ हैं:
 <math display="block">t^n(S,T) =\, \sum t(T_0,T_1)\,t(T_1,T_2) \dots t(T_{n-1},T_n)
 = \left\{ \begin{array}{cl} n! & \text{if}\,\, |T{\setminus}S| = n\\
-& \text{otherwise,}\end{array}\right.</math> जहां योग सभी श्रृंखलाओं से अधिक है <math>S = T_0\subset T_1\subset\cdots\subset T_n=T,</math> और केवल गैर-शून्य शब्द संतृप्त श्रृंखलाओं के लिए होते हैं <math>|T_{i}{\setminus}T_{i-1}| = 1;</math> चूँकि ये n के क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं, हमें अद्वितीय गैर-शून्य मान n! मिलता है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन विभाजित शक्तियां हैं <math>\tfrac{t^n}{n!},</math> और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\textstyle f = \sum_{n\geq0} f(\emptyset,[n])\frac{t^n}{n!},</math> जहां [एन] = {1, . . . , एन}। यह घटी हुई घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों की अंगूठी के बीच प्राकृतिक समरूपता देता है। जीटा फ़ंक्शन है <math>\textstyle \zeta = \sum_{n\geq 0}\frac{t^n}{n!} = \exp(t),
+& \text{otherwise,}\end{array}\right.</math> जहां योग सभी श्रृंखलाओं से अधिक है <math>S = T_0\subset T_1\subset\cdots\subset T_n=T,</math> और मात्र गैर-शून्य शब्द संतृप्त श्रृंखलाओं के लिए होते हैं <math>|T_{i}{\setminus}T_{i-1}| = 1;</math> चूँकि ये n के क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं, हमें अद्वितीय गैर-शून्य मान n! मिलता है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन विभाजित घातयां हैं <math>\tfrac{t^n}{n!},</math> और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फलन को इस प्रकार लिख सकते हैं <math>\textstyle f = \sum_{n\geq0} f(\emptyset,[n])\frac{t^n}{n!},</math> जहां [n] = {1, . . . , n}। यह समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों की अंगूठी के बीच प्राकृतिक समरूपता देता है। जीटा फलन है <math>\textstyle \zeta = \sum_{n\geq 0}\frac{t^n}{n!} = \exp(t),
-</math> मोबियस फ़ंक्शन के साथ:
+</math> मोबियस फलन के साथ:
 <math display="block">\mu = \frac1{\zeta} = \exp(-t) = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{t^n}{n!}.</math>
-दरअसल, औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ यह गणना यह साबित करती है <math>\mu(S,T)=(-1)^{|T{\setminus}S|}.</math> उपसमुच्चय या लेबल वाली वस्तुओं को शामिल करने वाले कई संयुक्त गिनती अनुक्रमों की व्याख्या समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके घातीय सूत्र के संदर्भ में की जा सकती है।
+दरअसल, औपचारिक घात श्रृंखला के साथ यह गणना यह साबित करती है <math>\mu(S,T)=(-1)^{|T{\setminus}S|}.</math> उपसमुच्चय या लेबल वाली वस्तुओं को सम्मिलित करने वाले कई संयुक्त गिनती अनुक्रमों की व्याख्या समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके घातीय सूत्र के संदर्भ में की जा सकती है।
 === विभाजक क्रमित समुच्चय और डिरिचलेट श्रृंखला ===
-विभाज्यता द्वारा निरूपित धनात्मक पूर्णांकों के पॉसमुच्चय डी पर विचार करें <math>a\,|\,b.</math> घटी हुई आपतन बीजगणित में फ़ंक्शन शामिल होते हैं <math>f(a,b)</math> जो गुणन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं: <math>f(ka,kb) = f(a,b)</math> सभी के लिए <math>k\ge 1.</math> (अंतराल की यह गुणात्मक तुल्यता क्रमित समुच्चय समरूपता की तुलना में बहुत मजबूत संबंध है; उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या पी के लिए, दो-तत्व अंतराल [1,पी] सभी असमान हैं।) अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन के लिए, एफ(ए,बी) केवल पर निर्भर करता है बी/ए, इसलिए प्राकृतिक आधार में अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन शामिल होते हैं <math>\delta_n</math> द्वारा परिभाषित <math>\delta_n(a,b) = 1</math> यदि b/a = n और 0 अन्यथा; तो कोई भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन लिखा जा सकता है <math>\textstyle f = \sum_{n\geq 0} f(1,n)\, \delta_n.</math>
+विभाज्यता द्वारा निरूपित धनात्मक पूर्णांकों के क्रमित समुच्चय डी पर विचार करें <math>a\,|\,b.</math> समानीत आपतन बीजगणित में फलन सम्मिलित होते हैं <math>f(a,b)</math> जो गुणन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं: <math>f(ka,kb) = f(a,b)</math> सभी के लिए <math>k\ge 1.</math> (अंतराल की यह गुणात्मक तुल्यता क्रमित समुच्चय समरूपता की तुलना में बहुत मजबूत संबंध है; उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या p के लिए, दो-अवयव अंतराल [1,p] सभी असमान हैं।) अपरिवर्तनीय फलन के लिए, एफ(a,b) मात्र पर निर्भर करता है b/a, इसलिए प्राकृतिक आधार में अपरिवर्तनीय डेल्टा फलन सम्मिलित होते हैं <math>\delta_n</math> द्वारा परिभाषित <math>\delta_n(a,b) = 1</math> यदि b/a = n और 0 अन्यथा; तो कोई भी अपरिवर्तनीय फलन लिखा जा सकता है <math>\textstyle f = \sum_{n\geq 0} f(1,n)\, \delta_n.</math>
 दो अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शंस का उत्पाद है:
 :<math>(\delta_n \delta_m)(a,b) = \sum_{a|c|b} \delta_n(a,c)\,\delta_m(c,b) = \delta_{nm}(a,b),</math>
 चूँकि एकमात्र गैर-शून्य पद c = na और b = mc = nma से आता है। इस प्रकार, हम समानीत घटना बीजगणित से औपचारिक [[डिरिचलेट श्रृंखला]] की अंगूठी तक समरूपता प्राप्त करते हैं <math>\delta_n</math> को <math>n^{-s}\!,</math> ताकि f के अनुरूप हो <math display="inline">\sum_{n\geq 1} \frac{f(1,n)}{n^s}.</math>
-घटना बीजगणित जीटा फ़ंक्शन ζ<sub>''D''</sub>(ए,बी) = 1 शास्त्रीय [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] से मेल खाता है <math>\zeta(s)=\textstyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s},</math> पारस्परिक होना <math display="inline">\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^s},</math> कहाँ <math>\mu(n)=\mu_D(1,n)</math> संख्या सिद्धांत का शास्त्रीय मोबियस फ़ंक्शन है। कई अन्य [[अंकगणितीय कार्य|अंकगणितीय फलन]] समानीत घटना बीजगणित के भीतर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, और समकक्ष रूप से डिरिचलेट श्रृंखला के संदर्भ में। उदाहरण के लिए, विभाजक फ़ंक्शन <math>\sigma_0(n)</math> जीटा फ़ंक्शन का वर्ग है, <math>\sigma_0(n) = \zeta^2\!(1,n),</math> उपरोक्त परिणाम का विशेष मामला <math>\zeta^2\!(x,y)</math> अंतराल [x,y] में तत्वों की संख्या देता है; बराबर, <math display="inline">\zeta(s)^2 = \sum_{n\geq 1} \frac{\sigma_0(n)}{n^s}.</math>
+घटना बीजगणित जीटा फलन ζ<sub>''D''</sub>(a,b) = 1 उत्कृष्ट [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] से मेल खाता है <math>\zeta(s)=\textstyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s},</math> पारस्परिक होना <math display="inline">\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^s},</math> जहाँ <math>\mu(n)=\mu_D(1,n)</math> संख्या सिद्धांत का उत्कृष्ट मोबियस फलन है। कई अन्य [[अंकगणितीय कार्य|अंकगणितीय फलन]] समानीत घटना बीजगणित के भीतर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, और समकक्ष रूप से डिरिचलेट श्रृंखला के संदर्भ में। उदाहरण के लिए, विभाजक फलन <math>\sigma_0(n)</math> जीटा फलन का वर्ग है, <math>\sigma_0(n) = \zeta^2\!(1,n),</math> उपरोक्त परिणाम का विशेष मामला <math>\zeta^2\!(x,y)</math> अंतराल [x,y] में अवयवों की संख्या देता है; बराबर, <math display="inline">\zeta(s)^2 = \sum_{n\geq 1} \frac{\sigma_0(n)}{n^s}.</math>
-विभाजक क्रमित समुच्चय की उत्पाद संरचना इसके मोबियस फ़ंक्शन की गणना की सुविधा प्रदान करती है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय का तात्पर्य है कि डी अनंत कार्टेशियन उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\N\times\N \times \dots</math>, समन्वयवार तुलना द्वारा दिए गए क्रम के साथ: <math>n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots</math>, कहाँ <math>p_k</math> क है<sup>वें</sup> अभाज्य, इसके घातांक के अनुक्रम से मेल खाता है <math>(e_1,e_2,\dots).</math> अब डी का मोबियस फ़ंक्शन कारक पोज़ेट्स के लिए मोबियस फ़ंक्शन का उत्पाद है, जो ऊपर गणना की गई है, जो शास्त्रीय सूत्र देता है:
+विभाजक क्रमित समुच्चय की उत्पाद संरचना इसके मोबियस फलन की गणना की सुविधा प्रदान करती है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय का तात्पर्य है कि डी अनंत कार्टेशियन उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है <math>\N\times\N \times \dots</math>, समन्वयवार तुलना द्वारा दिए गए क्रम के साथ: <math>n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots</math>, जहाँ <math>p_k</math> क है<sup>वें</sup> अभाज्य, इसके घातांक के अनुक्रम से मेल खाता है <math>(e_1,e_2,\dots).</math> अब डी का मोबियस फलन कारक पोज़ेट्स के लिए मोबियस फलन का उत्पाद है, जो ऊपर गणना की गई है, जो उत्कृष्ट सूत्र देता है:
 :<math>\mu(n) = \mu_D(1,n) = \prod_{k\geq 1}\mu_{\N}(0,e_k)
 \,=\,\left\{\begin{array}{cl}(-1)^d & \text{for } n \text{ squarefree with } d \text{ prime factors}\\
 & \text{otherwise.}
 \end{array}\right.</math>
-उत्पाद संरचना ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए शास्त्रीय [[यूलर उत्पाद]] की भी व्याख्या करती है। डी का ज़ेटा फ़ंक्शन कारकों के ज़ेटा फ़ंक्शन के कार्टेशियन उत्पाद से मेल खाता है, जिसकी गणना ऊपर की गई है <math display="inline">\frac{1}{1-t},</math> ताकि <math display="inline">\zeta_D \cong \prod_{k\geq 1}\!\frac{1}{1-t},</math> जहां दाहिनी ओर कार्टेशियन उत्पाद है। समरूपता को लागू करना जो k में t भेजता है<sup>वें</sup>कारक को <math>p_k^{-s}</math>, हम सामान्य यूलर उत्पाद प्राप्त करते हैं।
+उत्पाद संरचना जीटा फलन के लिए उत्कृष्ट [[यूलर उत्पाद]] की भी व्याख्या करती है। डी का जीटा फलन कारकों के जीटा फलन के कार्टेशियन उत्पाद से मेल खाता है, जिसकी गणना ऊपर की गई है <math display="inline">\frac{1}{1-t},</math> ताकि <math display="inline">\zeta_D \cong \prod_{k\geq 1}\!\frac{1}{1-t},</math> जहां दाहिनी ओर कार्टेशियन उत्पाद है। समरूपता को लागू करना जो k में t भेजता है<sup>वें</sup>कारक को <math>p_k^{-s}</math>, हम सामान्य यूलर उत्पाद प्राप्त करते हैं।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 113: / Line 115: @@
 *{{Citation|last=Rota|first=Gian-Carlo|title=On the Foundations of Combinatorial Theory I: Theory of Möbius Functions|volume=2|issue=4|pages=340&ndash;368|year=1964|journal=Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete|doi=10.1007/BF00531932|s2cid=121334025|doi-access=free}}
-* नाथन जैकबसन|एन. जैकबसन, मूल बीजगणित। आई, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी, 1974। क्रमित समुच्चय्स पर मोबियस फ़ंक्शंस के उपचार के लिए अनुभाग 8.6 देखें
+* नाथन जैकबसन|n. जैकबसन, मूल बीजगणित। आई, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी, 1974। क्रमित समुच्चय्स पर मोबियस फ़ंक्शंस के उपचार के लिए अनुभाग 8.6 देखें
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परिभाषा

संबंधित अवधारणाएँ

उच्च-त्रिकोणीय आव्यूह

विशेष अवयव

उदाहरण

यूलर विशेषता

समानीत घटना बीजगणित

प्राकृतिक संख्याएँ और सामान्य जनक फलन

सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फलन

विभाजक क्रमित समुच्चय और डिरिचलेट श्रृंखला

यह भी देखें

साहित्य

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उच्च-त्रिकोणीय आव्यूह

विशेष अवयव

उदाहरण

यूलर विशेषता

समानीत घटना बीजगणित

प्राकृतिक संख्याएँ और सामान्य जनक फलन

सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फलन

विभाजक क्रमित समुच्चय और डिरिचलेट श्रृंखला

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