फ़ील्ड विस्तार: Difference between revisions

Revision as of 01:47, 7 July 2023

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित में, क्षेत्र विस्तार का एक युम्म होता है $K\subseteq L,$ जैसे कि K का संचालन L के संचालन के समान है जो K तक सीमित है। इस स्थिति में, L, K का एक विस्तार क्षेत्र है और K, L का एक उपक्षेत्र होता है।^[1]^[2]^[3] उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा की सामान्य धारणाओं के तहत, सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक विस्तार क्षेत्र हैं; वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र होता हैं।

क्षेत्र विस्तार बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में और गैलोज़ सिद्धांत के माध्यम से बहुपद जड़ों के अध्ययन में मौलिक हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

उपक्षेत्र

एक उपक्षेत्र $K$ एक क्षेत्र का (गणित) $L$ एक उपसमुच्चय होता है $K\subseteq L$ यह आनुवंसिक रूप मे मिले क्षेत्र संचालन के संबंध में क्षेत्र होता है $L$ समान रूप से, एक उपक्षेत्र एक उपसमुच्चय है जिसमें सम्मलित होता है $1$ , और जोड़, घटाव, गुणा और गैर-शून्य घटक का व्युत्क्रम लेने की संक्रियाओं के तहत बंद किया जाता है $K$

जैसा $1 - 1 = 0$ , बाद वाली परिभाषा का तात्पर्य है $K$ और $L$ एक ही शून्य घटक होता है।

उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, जो स्वयं जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र होता है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र विशेषता के किसी भी क्षेत्र का एक उपक्षेत्र होता है (या समरूपी होता है) $0$ ।

किसी उपक्षेत्र की विशेषता बड़े क्षेत्र की विशेषता के समान होती है।

विस्तार क्षेत्र

यदि K, L का एक उपक्षेत्र है, तो L एक 'विस्तार क्षेत्र' या केवल K का 'विस्तार' है, और क्षेत्र की यह युग्म से 'क्षेत्र विस्तार' होता है। ऐसे क्षेत्र विस्तार को L/K से दर्शाया जाता है (इसे "K के ऊपर L" के रूप में पढ़ा जाता है)।

यदि L, F का विस्तार है, जो बदले में K का विस्तार है, तो F को L/K का एक मध्यवर्ती क्षेत्र (या मध्यवर्ती विस्तार या उपविस्तार) कहा जाता है।

एक क्षेत्र विस्तार L / K, बड़ा क्षेत्र L एक K-वेक्टर स्थान होता है। इस सदिश समष्टि के आयाम को विस्तार की डिग्री कहा जाता है और इसे [L : K] द्वारा दर्शाया जाता है।

किसी विस्तार की डिग्री 1 है यदि दोनों क्षेत्र समान होते हैं। इस स्थिति में, विस्तार एक 'तुच्छ विस्तार' है।डिग्री 2 और 3 के विस्तारों को क्रमशः द्विघात विस्तार और घन विस्तार कहा जाता है। परिमित विस्तार एक ऐसा विस्तार है जिसकी एक सीमित डिग्री होती है।

दो विस्तार दिए गए L / K और M / L, विस्तृति M / K परिमित होती है यदि दोनों L / K और M / L परिमित हैं इस स्थिति में, एक के पास होता है

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

क्षेत्र विस्तार L / K और L के उपसमुच्चय S को देखते हुए, L का एक सबसे छोटा उपक्षेत्र होता है जिसमें K और S सम्मलित होते हैं। यह L के सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है जिसमें K और S सम्मलित होते हैं, और इसे K (S) द्वारा दर्शाया गया है। (S के साथ जुड़े K को इस प्रकार पढ़ें)। एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर S द्वारा उत्पन्न क्षेत्र है, और S, K के ऊपर K(S) का उत्पन्न करने वाला समुच्चय होता है। जब $S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ परिमित है, कोई लिखता है $K(x_{1},\ldots ,x_{n})$ के अतिरिक्त $K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),$ और एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। यदि S में एकल घटक s होता है, तो एक्सटेंशन K (s) / K को सरल विस्तार कहा जाता है ^[4]^[5] और s को विस्तार का पूर्वग अवयव (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है।^[6]

K(S) रूप का एक विस्तार क्षेत्र अधिकांशतः S से K के संयोजन का परिणाम माना जाता है।^[7]^[8]

विशेषता 0 में, प्रत्येक परिमित विस्तार एक साधारण विस्तार है। यह पूर्वग अवयव प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए सही नहीं होता है।

यदि एक साधारण विस्तार K(s) / K परिमित नहीं है, तो क्षेत्र K(s) K के ऊपर s में परिमेय भिन्नों के क्षेत्र के समरूपी होता है।

चेतावनियाँ

अंकन L/K पूरी तरह से औपचारिक है और इसका तात्पर्य भागफल वलय या भागफल समूह या किसी अन्य प्रकार के विभाजन से नहीं होता है। इसके अतिरिक्त स्लैश शब्द को व्यक्त करता है। कुछ साहित्य में संकेतन L:K का प्रयोग किया जाता है।

क्षेत्र विस्तार के बारे में उन स्थितियों में बात करना अधिकांशतः वांछनीय होता है जहां छोटा क्षेत्र वास्तव में बड़े क्षेत्र में समाहित नहीं होता है, किन्तु स्वाभाविक रूप से अंतर्निहित होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई क्षेत्र विस्तार को दो क्षेत्र के बीच एक अंतःक्षेपक वलय समरूपता के रूप में परिभाषित किया गया है। क्षेत्र के बीच प्रत्येक गैर-शून्य वलय समरूपता अंतःक्षेपक होते है क्योंकि क्षेत्र में गैर-तुच्छ उचित आदर्श नहीं होते हैं, इसलिए क्षेत्र विस्तार त्रुटिहीन रूप से क्षेत्र की श्रेणी में रूपवाद होते हैं।

इसके बाद से, अंतःक्षेपक समरूपता को समाप्त कर देंगे और मान लेंगे कि हम वास्तविक उपक्षेत्रों से निपट रहे हैं।

उदाहरण

सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र $\mathbb {C}$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {R}$ , और $\mathbb {R}$ बदले में यह परिमेय संख्याओं के क्षेत्र का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q}$ . स्पष्ट रूप से तो, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ यह एक क्षेत्र विस्तार भी है. अपने पास $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ क्योंकि $\{1,i\}$ एक आधार है, इसलिए विस्तार है $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ परिमित है. यह एक सरल विस्तार है क्योंकि $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (सातत्य की प्रमुखता), इसलिए यह विस्तार अनंत है।

फील्ड

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

का एक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ,$ यह भी स्पष्ट रूप से एक सरल विस्तार है। डिग्री 2 है क्योंकि $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ आधार के रूप में कार्य कर सकता है।

फील्ड

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

दोनों का विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ और $\mathbb {Q} ,$ क्रमशः डिग्री 2 और 4 की। यह एक सरल विस्तार भी है, जैसा कि कोई भी दिखा सकता है

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

का परिमित विस्तार $\mathbb {Q}$ इन्हें बीजगणितीय संख्या क्षेत्र भी कहा जाता है और ये संख्या सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। परिमेय का एक अन्य विस्तार क्षेत्र, जो संख्या सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण है, हालांकि एक सीमित विस्तार नहीं है, पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र है $\mathbb {Q} _{p}$ एक अभाज्य संख्या के लिए पी.

किसी दिए गए बहुपद f(X) के लिए किसी फ़ंक्शन का मूल बनाने के लिए किसी दिए गए क्षेत्र K के एक विस्तार क्षेत्र को बहुपद वलयK[X] के भागफल वलयके रूप में बनाना आम बात है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि K में x के साथ कोई घटक x नहीं है² = −1. फिर बहुपद $X^{2}+1$ K[X] में अपरिवर्तनीय बहुपद है, फलस्वरूप इस बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (वलयसिद्धांत) अधिकतम आदर्श है, और $L=K[X]/(X^{2}+1)$ K का एक विस्तार क्षेत्र है जिसमें एक घटक सम्मलित है जिसका वर्ग -1 है (अर्थात् X का मॉड्यूलर अंकगणित)।

उपरोक्त निर्माण को दोहराकर, कोई K[X] से किसी भी बहुपद का विभाजन क्षेत्र बना सकता है। यह K का एक विस्तार क्षेत्र L है जिसमें दिया गया बहुपद रैखिक कारकों के उत्पाद में विभाजित होता है।

यदि p कोई अभाज्य संख्या है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो हमारे पास एक परिमित क्षेत्र GF(p) हैⁿ) पी के साथⁿघटक; यह परिमित क्षेत्र का विस्तार क्षेत्र है $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ पी घटकों के साथ.

क्षेत्र K को देखते हुए, हम K में गुणांकों के साथ चर X में सभी तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र K(X) पर विचार कर सकते हैं; K(X) के अवयव K के ऊपर दो बहुपदों के भिन्न हैं, और वास्तव में K(X) बहुपद वलय K[X] के भिन्नों का क्षेत्र है। तर्कसंगत कार्यों का यह क्षेत्र K का विस्तार क्षेत्र है। यह विस्तार अनंत है।

रीमैन सतह M को देखते हुए, M पर परिभाषित सभी मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का सेट एक क्षेत्र है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है $\mathbb {C} (M).$ यह एक पारलौकिक विस्तार क्षेत्र है $\mathbb {C}$ यदि हम प्रत्येक सम्मिश्र संख्या की पहचान M पर परिभाषित संगत स्थिर फलन से करते हैं। अधिक सामान्यतः, किसी क्षेत्र K पर एक बीजगणितीय किस्म V दिया जाता है, तो V की एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र, जिसमें V पर परिभाषित तर्कसंगत फलन सम्मलित होते हैं और द्वारा निरूपित किया जाता है K(V), K का विस्तार क्षेत्र है।

बीजगणितीय विस्तार

क्षेत्र विस्तार का एक घटक x L / K K के ऊपर बीजगणितीय है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के फ़ंक्शन का मूल है। उदाहरण के लिए, ${\sqrt {2}}$ परिमेय संख्याओं पर बीजगणितीय है, क्योंकि यह का मूल है $x^{2}-2.$ यदि L का एक घटक x, K के ऊपर बीजगणितीय है, तो सबसे कम डिग्री का मोनिक बहुपद जिसका मूल x होता है, उसे x का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। यह न्यूनतम बहुपद K के ऊपर अघुलनशील बहुपद है।

L का एक घटक s, K के ऊपर बीजगणितीय है यदि और केवल यदि सरल विस्तार हो K(s) /K एक परिमित विस्तार है. इस स्थिति में विस्तार की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और K-वेक्टर स्थान K(s) का आधार होता है $1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},$ जहाँ d न्यूनतम बहुपद की घात है।

L के घटकों का समूह जो K के ऊपर बीजगणितीय है, एक उप-विस्तार बनाता है, जिसे L में K का बीजगणितीय समापन कहा जाता है। यह पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन से परिणामित होता है: यदि s और t बीजगणितीय हैं, तो विस्तार K(s) /K और K(s)(t) /K(s) परिमित हैं. इस प्रकार K(s, t) /K भी परिमित है, साथ ही उपविस्तार भी K(s ± t) /K, K(st) /K और K(1/s) /K (अगर s ≠ 0). यह इस प्रकार है कि s ± t, st और 1/s सभी बीजगणितीय हैं।

एक बीजगणितीय विस्तार L / K एक विस्तार है जैसे कि L का प्रत्येक घटक K के ऊपर बीजगणितीय है। समान रूप से, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जो बीजगणितीय घटकों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ का बीजगणितीय विस्तार है $\mathbb {Q}$ , क्योंकि ${\sqrt {2}}$ और ${\sqrt {3}}$ बीजगणितीय हैं $\mathbb {Q} .$ एक साधारण विस्तार बीजगणितीय है यदि और केवल यदि यह परिमित है। इसका तात्पर्य यह है कि एक विस्तार बीजगणितीय है यदि और केवल यदि यह इसके परिमित उपविस्तारों का संघ है, और प्रत्येक परिमित विस्तार बीजगणितीय है।

प्रत्येक क्षेत्र K में एक बीजगणितीय समापन होता है, जो एक समरूपता तक होता है, K का सबसे बड़ा विस्तार क्षेत्र जो K पर बीजगणितीय होता है, और सबसे छोटा विस्तार क्षेत्र भी होता है जैसे कि K में गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में एक जड़ होती है। उदाहरण के लिए, $\mathbb {C}$ का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {R}$ , किन्तु बीजगणितीय समापन नहीं $\mathbb {Q}$ , क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है $\mathbb {Q}$ (उदाहरण के लिए $π$ बीजगणितीय नहीं है $\mathbb {Q}$ ).

अनुवांशिक विस्तार

एक क्षेत्र विस्तार दिया गया L / K, यदि S के घटकों के बीच K में गुणांकों के साथ कोई गैर-तुच्छ बहुपद संबंध मौजूद नहीं है, तो L के उपसमुच्चय S को K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र कहा जाता है। बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट की सबसे बड़ी कार्डिनैलिटी को L/K की उत्कृष्टता की डिग्री कहा जाता है। K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र एक समुच्चय S खोजना हमेशा संभव होता है, जैसे कि L/K(S) बीजगणितीय हो। ऐसे समुच्चय S को L/K का पारगमन आधार कहा जाता है। सभी ट्रान्सेंडेंस आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है, जो विस्तार की ट्रान्सेंडेंस डिग्री के बराबर होती है। एक विस्तार L/के कहा जाता है 'purely transcendental यदि और केवल यदि L/K का पारगमन आधार S मौजूद है, जैसे कि L = K(S)। इस तरह के विस्तार में यह गुण है कि K को छोड़कर L के सभी घटक K के ऊपर पारलौकिक हैं, किन्तु , हालांकि, इस गुण के साथ ऐसे विस्तार भी हैं जो पूरी तरह से पारलौकिक नहीं हैं - एक वर्ग ऐसे विस्तार L/K का रूप लेते हैं जहां L और K दोनों बीजगणितीय रूप से बंद होते हैं। इसके अलावा, यदि L/के पूरी तरह से पारलौकिक है और S विस्तार का पारलौकिक आधार है, तो यह जरूरी नहीं कि L = के का अनुसरण करता हो। (S)।

उदाहरण के लिए, विस्तार पर विचार करें $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} ,$ जहाँ x पारलौकिक है $\mathbb {Q} .$ सेट $\{x\}$ बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है क्योंकि x पारलौकिक है। जाहिर है, विस्तार $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}})/\mathbb {Q} (x)$ इसलिए, बीजगणितीय है $\{x\}$ अतिक्रमण का आधार है. यह संपूर्ण विस्तार उत्पन्न नहीं करता क्योंकि इसमें कोई बहुपद अभिव्यक्ति नहीं है $x$ के लिए ${\sqrt {x}}$ . किन्तु यह देखना आसान है $\{{\sqrt {x}}\}$ एक उत्कृष्टता का आधार है जो उत्पन्न करता है $\mathbb {Q} (x,{\sqrt {x}}),$ इसलिए यह विस्तार वास्तव में विशुद्ध रूप से पारलौकिक है।

सामान्य, वियोज्य और गैलोज़ विस्तार

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को सामान्य विस्तार कहा जाता है यदि K[X] में प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L है, पूरी तरह से L के ऊपर रैखिक कारकों में बदल जाता है। प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार F/K एक सामान्य समापन L को स्वीकार करता है, जो एक विस्तार क्षेत्र है F का ऐसा कि L/K सामान्य है और जो इस संपत्ति के साथ न्यूनतम है।

एक बीजगणितीय विस्तार L/K को वियोज्य विस्तार कहा जाता है यदि K के ऊपर L के प्रत्येक घटक का न्यूनतम बहुपद वियोज्य बहुपद है, अर्थात, K के ऊपर बीजगणितीय समापन में कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं। गैलोइस विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो सामान्य और दोनों है अलग करने योग्य.

आदिम घटक प्रमेय का एक परिणाम बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार में एक आदिम घटक होता है (अर्थात सरल है)।

किसी भी क्षेत्र विस्तार L/के को देखते हुए, हम इसके 'स्वचालितता ग्रुप' ऑट (L/के) पर विचार कर सकते हैं, जिसमें सभी फील्ड ऑटोमोर्फिज्म α: L → L के साथ K में सभी x के लिए α(x) = x सम्मलित है। जब विस्तार होता है गैलोज़ इस ऑटोमोर्फिज़्म समूह को विस्तार का गैलोज़ समूह कहा जाता है। वे विस्तार जिनका गैलोज़ समूह एबेलियन समूह है, एबेलियन विस्तार कहलाते हैं।

किसी दिए गए क्षेत्र विस्तार L/K के लिए, किसी को अधिकांशतः मध्यवर्ती क्षेत्र F (L के उपक्षेत्र जिनमें K होता है) में रुचि होती है। गैलोज़ विस्तार और गैलोज़ समूहों का महत्व यह है कि वे मध्यवर्ती क्षेत्रों के पूर्ण विवरण की अनुमति देते हैं: गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित मध्यवर्ती क्षेत्रों और गैलोज़ समूह के उपसमूहों के बीच एक आपत्ति है।

सामान्यीकरण

क्षेत्र विस्तार को सबवलयविस्तार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक वलय(गणित) और इसकी एक उपवलयसम्मलित होती है। एक करीबी गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग केंद्रीय सरल बीजगणित (सीSए) हैं - एक क्षेत्र पर वलयविस्तार, जो सरल बीजगणित हैं (कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं, जैसे कि एक क्षेत्र के लिए) और जहां केंद्र_(रिंग_सिद्धांत) बिल्कुल है मैदान। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का एकमात्र परिमित क्षेत्र विस्तार जटिल संख्याएं हैं, जबकि चतुर्धातुक वास्तविक पर एक केंद्रीय सरल बीजगणित हैं, और वास्तविक पर सभी सीSए वास्तविक या चतुर्धातुक के बराबर ब्रौअर हैं। सीSए को आगे अज़ुमाया बीजगणित में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां आधार क्षेत्र को एक कम्यूटेटिव स्थानीय वलयद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

अदिश का विस्तार

किसी क्षेत्र विस्तार को देखते हुए, कोई संबंधित बीजगणितीय वस्तुओं पर अदिशों का विस्तार कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वास्तविक सदिश समष्टि को देखते हुए, कोई जटिलता के माध्यम से एक जटिल सदिश समष्टि उत्पन्न कर सकता है। वेक्टर रिक्त स्थान के अलावा, कोई क्षेत्र पर परिभाषित साहचर्य बीजगणित के लिए अदिश का विस्तार कर सकता है, जैसे बहुपद या समूह वलय और संबंधित समूह प्रतिनिधित्व। बहुपदों के अदिशों का विस्तार अधिकांशतः गुणांकों को एक बड़े क्षेत्र के घटकों के रूप में मानकर, परोक्ष रूप से उपयोग किया जाता है, किन्तु इसे अधिक औपचारिक रूप से भी माना जा सकता है। स्केलर के विस्तार के कई अनुप्रयोग हैं, जैसा कि स्केलर के विस्तार#अनुप्रयोग|स्केलर के विस्तार: अनुप्रयोग में चर्चा की गई है।

यह भी देखें

संदर्भ

Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

बाहरी संबंध

"Extension of a field", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[1] Fraleigh (1976, p. 293)

[2] Herstein (1964, p. 167)

[3] McCoy (1968, p. 116)

[4] Fraleigh (1976, p. 298)

[5] Herstein (1964, p. 193)

[6] Fraleigh (1976, p. 363)

[7] Fraleigh (1976, p. 319)

[8] Herstein (1964, p. 169)

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 ==उपक्षेत्र==
-एक उपक्षेत्र <math>K</math> एक क्षेत्र का (गणित) <math>L</math> एक उपसमुच्चय है <math>K\subseteq L</math> यह विरासत में मिले क्षेत्र संचालन के संबंध में एक क्षेत्र है <math>L</math>. समान रूप से, एक उपक्षेत्र एक उपसमुच्चय है जिसमें शामिल है <math>1</math>, और जोड़, घटाव, गुणा, और गैर-शून्य तत्व के गुणक व्युत्क्रम लेने के संचालन के तहत क्लोजर (गणित) है <math>K</math>.
+एक उपक्षेत्र <math>K</math> एक क्षेत्र का (गणित) <math>L</math> एक उपसमुच्चय होता है <math>K\subseteq L</math> यह आनुवंसिक रूप मे मिले क्षेत्र संचालन के संबंध में क्षेत्र होता है <math>L</math> समान रूप से, एक उपक्षेत्र एक उपसमुच्चय है जिसमें सम्मलित होता है <math>1</math>, और जोड़, घटाव, गुणा और गैर-शून्य घटक का व्युत्क्रम लेने की संक्रियाओं के तहत बंद किया जाता है <math>K</math>
-जैसा {{math|1=1 – 1 = 0}}, बाद वाली परिभाषा का तात्पर्य है <math>K</math> और <math>L</math> एक ही शून्य तत्व है.
+जैसा {{math|1=1 – 1 = 0}}, बाद वाली परिभाषा का तात्पर्य है <math>K</math> और <math>L</math> एक ही शून्य घटक होता है।
-उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, जो स्वयं जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र है। अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक वलय की विशेषता वाले किसी भी क्षेत्र का एक उपक्षेत्र है (या समरूपता है) <math>0</math>.
+उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, जो स्वयं जटिल संख्याओं का एक उपक्षेत्र होता है अधिक सामान्यतः, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र विशेषता के किसी भी क्षेत्र का एक उपक्षेत्र होता है (या समरूपी होता है) <math>0</math>।
-किसी उपक्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)]] बड़े क्षेत्र की विशेषता के समान होती है।
+किसी उपक्षेत्र की [[विशेषता (बीजगणित)|विशेषता]] बड़े क्षेत्र की विशेषता के समान होती है।
 ==विस्तार क्षेत्र==
-यदि K, L का एक उपक्षेत्र है, तो L एक 'विस्तार क्षेत्र' या केवल K का 'विस्तार' है, और फ़ील्ड की यह जोड़ी एक 'क्षेत्र विस्तार' है। ऐसे क्षेत्र विस्तार को L/K से दर्शाया जाता है (K के ऊपर L के रूप में पढ़ें)।
+यदि K, L का एक उपक्षेत्र है, तो L एक 'विस्तार क्षेत्र' या केवल K का 'विस्तार' है, और क्षेत्र की यह युग्म से 'क्षेत्र विस्तार' होता है। ऐसे क्षेत्र विस्तार को L/K से दर्शाया जाता है (इसे "K के ऊपर L" के रूप में पढ़ा जाता है)।
-यदि L, F का विस्तार है, जो बदले में K का विस्तार है, तो F को L/K का 'मध्यवर्ती क्षेत्र' (या 'मध्यवर्ती विस्तार' या 'उपविस्तार') कहा जाता है।
+यदि L, F का विस्तार है, जो बदले में K का विस्तार है, तो F को L/K का एक मध्यवर्ती क्षेत्र (या मध्यवर्ती विस्तार या उपविस्तार) कहा जाता है।
-एक क्षेत्र विस्तार दिया गया {{nowrap|''L'' / ''K''}}, बड़ा क्षेत्र L एक K-वेक्टर स्थान है। इस सदिश समष्टि के आयाम (वेक्टर समष्टि) को क्षेत्र विस्तार की डिग्री कहा जाता है | विस्तार की 'डिग्री' और इसे [L : K] द्वारा दर्शाया जाता है।
+एक क्षेत्र विस्तार {{nowrap|''L'' / ''K''}}, बड़ा क्षेत्र L एक K-वेक्टर स्थान होता है। इस सदिश समष्टि के आयाम को विस्तार की डिग्री कहा जाता है और इसे [L : K] द्वारा दर्शाया जाता है।
-किसी एक्सटेंशन की डिग्री 1 है यदि और केवल यदि दोनों फ़ील्ड समान हैं। इस स्थिति  में, एक्सटेंशन एक 'तुच्छ विस्तार' है। डिग्री 2 और 3 के विस्तारों को क्रमशः 'द्विघात विस्तार' और 'घन विस्तार' कहा जाता है। 'परिमित विस्तार' एक ऐसा विस्तार है जिसकी एक सीमित डिग्री होती है।
+किसी विस्तार की डिग्री 1 है यदि दोनों क्षेत्र समान होते हैं। इस स्थिति में, विस्तार एक 'तुच्छ विस्तार' है।डिग्री 2 और 3 के विस्तारों को क्रमशः द्विघात विस्तार और घन विस्तार कहा जाता है। परिमित विस्तार एक ऐसा विस्तार है जिसकी एक सीमित डिग्री होती है।
-दो एक्सटेंशन दिए गए {{nowrap|''L'' / ''K''}} और {{nowrap|''M'' / ''L''}}, विस्तृति {{nowrap|''M'' / ''K''}} परिमित है यदि और केवल यदि दोनों {{nowrap|''L'' / ''K''}} और {{nowrap|''M'' / ''L''}} परिमित हैं. इस स्थिति  में, एक के पास है
+दो विस्तार दिए गए {{nowrap|''L'' / ''K''}} और {{nowrap|''M'' / ''L''}}, विस्तृति {{nowrap|''M'' / ''K''}} परिमित होती है यदि दोनों {{nowrap|''L'' / ''K''}} और {{nowrap|''M'' / ''L''}} परिमित हैं इस स्थिति  में, एक के पास होता है
 :<math>[M : K]=[M : L]\cdot[L : K].</math>
-क्षेत्र विस्तार एल/के और एल के उपसमुच्चय एस को देखते हुए, एल का एक सबसे छोटा उपक्षेत्र है जिसमें के और एस शामिल हैं। यह एल के सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है जिसमें के और एस शामिल हैं, और इसे के (एस) द्वारा दर्शाया गया है। (के के रूप में पढ़ें{{vanchor|adjoin}} एस )। एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर S द्वारा उत्पन्न क्षेत्र है, और S, K के ऊपर K(S) का उत्पन्न करने वाला सेट है। जब <math>S=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> परिमित है, कोई लिखता है <math>K(x_1, \ldots, x_n)</math> के बजाय <math>K(\{x_1, \ldots, x_n\}),</math> और कोई कहता है कि K(S) है {{vanchor|finitely generated}} K के ऊपर। यदि S में एक ही तत्व s है, तो विस्तार {{nowrap|''K''(''s'') / ''K''}} को [[सरल विस्तार]] कहा जाता है<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=298}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=193}}</ref> और s को विस्तार का [[आदिम तत्व (क्षेत्र सिद्धांत)]] कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=363}}</ref>
+क्षेत्र विस्तार ''L'' / ''K'' और ''L'' के उपसमुच्चय ''S'' को देखते हुए, ''L'' का एक सबसे छोटा उपक्षेत्र होता है जिसमें ''K'' और ''S'' सम्मलित होते हैं। यह ''L'' के सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन है जिसमें ''K'' और ''S'' सम्मलित होते हैं, और इसे K (''S'') द्वारा दर्शाया गया है। (''S'' के साथ जुड़े ''K'' को इस प्रकार पढ़ें)। एक का कहना है कि ''K(S) K'' के ऊपर ''S'' द्वारा उत्पन्न क्षेत्र है, और ''S, K'' के ऊपर ''K(S)'' का उत्पन्न करने वाला समुच्चय होता है। जब <math>S=\{x_1, \ldots, x_n\}</math> परिमित है, कोई लिखता है <math>K(x_1, \ldots, x_n)</math> के अतिरिक्त <math>K(\{x_1, \ldots, x_n\}),</math> और एक का कहना है कि K(S) K के ऊपर अंतिम रूप से उत्पन्न होता है। यदि S में एकल घटक s होता है, तो एक्सटेंशन K (s) / K को [[सरल विस्तार]] कहा जाता है <ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=298}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=193}}</ref> और s को विस्तार का  [[आदिम तत्व (क्षेत्र सिद्धांत)|पूर्वग अवयव (क्षेत्र सिद्धांत)]] कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=363}}</ref>
-प्रपत्र का एक विस्तार फ़ील्ड {{nowrap|''K''(''S'')}} को अक्सर इसका परिणाम कहा जाता है{{vanchor|adjunction}} S से K तक.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=319}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=169}}</ref>
-रिंग 0 की विशेषता में, प्रत्येक परिमित विस्तार एक साधारण विस्तार है। यह [[आदिम तत्व प्रमेय]] है, जो गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए सही नहीं है।
-यदि एक साधारण विस्तार {{nowrap|''K''(''s'') / ''K''}} परिमित नहीं है, क्षेत्र K(s) K के ऊपर s में परिमेय भिन्नों के क्षेत्र के समरूपी है।
+''K(S)'' रूप का एक विस्तार क्षेत्र अधिकांशतः  ''S से K'' के संयोजन का परिणाम माना जाता है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=319}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=169}}</ref>
+विशेषता 0 में, प्रत्येक परिमित विस्तार एक साधारण विस्तार है। यह [[आदिम तत्व प्रमेय|पूर्वग अवयव]] [[आदिम तत्व प्रमेय|प्रमेय]] है, जो गैर-शून्य विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए सही नहीं होता है।
+यदि एक साधारण विस्तार K(s) / K परिमित नहीं है, तो क्षेत्र K(s) K के ऊपर s में परिमेय भिन्नों के क्षेत्र के समरूपी होता है।
 == चेतावनियाँ ==
-अंकन एल/के पूरी तरह से औपचारिक है और इसका तात्पर्य भागफल वलय या [[भागफल समूह]] या किसी अन्य प्रकार के विभाजन से नहीं है। इसके बजाय स्लैश शब्द को व्यक्त करता है। कुछ साहित्य में संकेतन L:K का प्रयोग किया जाता है।
+अंकन ''L/K'' पूरी तरह से औपचारिक है और इसका तात्पर्य भागफल वलय या [[भागफल समूह]] या किसी अन्य प्रकार के विभाजन से नहीं होता है। इसके अतिरिक्त स्लैश शब्द को व्यक्त करता है। कुछ साहित्य में संकेतन ''L:K'' का प्रयोग किया जाता है।
-फ़ील्ड विस्तार के बारे में उन स्थितियों में बात करना अक्सर वांछनीय होता है जहां छोटा फ़ील्ड वास्तव में बड़े फ़ील्ड में समाहित नहीं होता है, लेकिन स्वाभाविक रूप से अंतर्निहित होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई एक क्षेत्र विस्तार को दो फ़ील्ड के बीच एक [[इंजेक्शन समारोह]] [[वलय समरूपता]] के रूप में परिभाषित करता है।
+क्षेत्र विस्तार के बारे में उन स्थितियों में बात करना अधिकांशतः वांछनीय होता है जहां छोटा क्षेत्र वास्तव में बड़े क्षेत्र में समाहित नहीं होता है, किन्तु  स्वाभाविक रूप से अंतर्निहित होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई क्षेत्र विस्तार को दो क्षेत्र के बीच एक [[इंजेक्शन समारोह|अंतःक्षेपक]] [[वलय समरूपता]] के रूप में परिभाषित किया गया है। क्षेत्र के बीच प्रत्येक गैर-शून्य वलय समरूपता अंतःक्षेपक होते है क्योंकि क्षेत्र में गैर-तुच्छ उचित आदर्श नहीं होते हैं, इसलिए क्षेत्र विस्तार त्रुटिहीन रूप से [[फ़ील्ड की श्रेणी|क्षेत्र की श्रेणी]] में रूपवाद होते हैं।
-फ़ील्ड के बीच प्रत्येक गैर-शून्य रिंग समरूपता इंजेक्शन योग्य है क्योंकि फ़ील्ड में गैर-तुच्छ उचित आदर्श_(रिंग_थ्योरी) नहीं होती है, इसलिए क्षेत्र विस्तार सटीक रूप से [[फ़ील्ड की श्रेणी]] में आकारिकी हैं।
-अब से, हम इंजेक्शन समरूपता को दबा देंगे और मान लेंगे कि हम वास्तविक उपक्षेत्रों से निपट रहे हैं।
+इसके बाद से, अंतःक्षेपक समरूपता को समाप्त कर देंगे और मान लेंगे कि हम वास्तविक उपक्षेत्रों से निपट रहे हैं।
 == उदाहरण ==
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 का परिमित विस्तार <math>\Q</math> इन्हें बीजगणितीय संख्या क्षेत्र भी कहा जाता है और ये [[संख्या सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण हैं। परिमेय का एक अन्य विस्तार क्षेत्र, जो संख्या सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण है, हालांकि एक सीमित विस्तार नहीं है, पी-एडिक संख्याओं का क्षेत्र है <math>\Q_p</math> एक अभाज्य संख्या के लिए पी.
-किसी दिए गए बहुपद f(X) के लिए [[किसी फ़ंक्शन का मूल]] बनाने के लिए किसी दिए गए फ़ील्ड K के एक विस्तार फ़ील्ड को बहुपद रिंग K[X] के भागफल रिंग के रूप में बनाना आम बात है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि K में x के साथ कोई तत्व x नहीं है<sup>2</sup> = −1. फिर बहुपद <math>X^2+1</math> K[X] में अपरिवर्तनीय बहुपद है, फलस्वरूप इस बहुपद द्वारा उत्पन्न [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)]] [[अधिकतम आदर्श]] है, और <math>L = K[X]/(X^2+1)</math> K का एक विस्तार क्षेत्र है जिसमें एक तत्व शामिल है जिसका वर्ग -1 है (अर्थात् X का [[मॉड्यूलर अंकगणित]])।
+किसी दिए गए बहुपद f(X) के लिए [[किसी फ़ंक्शन का मूल]] बनाने के लिए किसी दिए गए क्षेत्र K के एक विस्तार क्षेत्र को बहुपद वलयK[X] के भागफल वलयके रूप में बनाना आम बात है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि K में x के साथ कोई घटक x नहीं है<sup>2</sup> = −1. फिर बहुपद <math>X^2+1</math> K[X] में अपरिवर्तनीय बहुपद है, फलस्वरूप इस बहुपद द्वारा उत्पन्न [[आदर्श (रिंग सिद्धांत)|आदर्श (वलयसिद्धांत)]] [[अधिकतम आदर्श]] है, और <math>L = K[X]/(X^2+1)</math> K का एक विस्तार क्षेत्र है जिसमें एक घटक सम्मलित  है जिसका वर्ग -1 है (अर्थात् X का [[मॉड्यूलर अंकगणित]])।
 उपरोक्त निर्माण को दोहराकर, कोई K[X] से किसी भी बहुपद का [[विभाजन क्षेत्र]] बना सकता है। यह K का एक विस्तार क्षेत्र L है जिसमें दिया गया बहुपद रैखिक कारकों के उत्पाद में विभाजित होता है।
-यदि p कोई [[अभाज्य संख्या]] है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो हमारे पास एक [[परिमित क्षेत्र]] GF(p) है<sup>n</sup>) पी के साथ<sup>n</sup>तत्व; यह परिमित क्षेत्र का विस्तार क्षेत्र है <math>\operatorname{GF}(p) = \Z/p\Z</math> पी तत्वों के साथ.
+यदि p कोई [[अभाज्य संख्या]] है और n एक धनात्मक पूर्णांक है, तो हमारे पास एक [[परिमित क्षेत्र]] GF(p) है<sup>n</sup>) पी के साथ<sup>n</sup>घटक; यह परिमित क्षेत्र का विस्तार क्षेत्र है <math>\operatorname{GF}(p) = \Z/p\Z</math> पी घटकों के साथ.
-फ़ील्ड K को देखते हुए, हम K में गुणांकों के साथ चर X में सभी [[तर्कसंगत कार्य]]ों के फ़ील्ड K(X) पर विचार कर सकते हैं; K(X) के अवयव K के ऊपर दो [[बहुपद]]ों के भिन्न हैं, और वास्तव में K(X) बहुपद वलय K[X] के [[भिन्नों का क्षेत्र]] है। तर्कसंगत कार्यों का यह क्षेत्र K का विस्तार क्षेत्र है। यह विस्तार अनंत है।
+क्षेत्र K को देखते हुए, हम K में गुणांकों के साथ चर X में सभी [[तर्कसंगत कार्य]]ों के क्षेत्र K(X) पर विचार कर सकते हैं; K(X) के अवयव K के ऊपर दो [[बहुपद]]ों के भिन्न हैं, और वास्तव में K(X) बहुपद वलय K[X] के [[भिन्नों का क्षेत्र]] है। तर्कसंगत कार्यों का यह क्षेत्र K का विस्तार क्षेत्र है। यह विस्तार अनंत है।
-[[रीमैन सतह]] M को देखते हुए, M पर परिभाषित सभी [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन]] का सेट एक फ़ील्ड है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है <math>\Complex(M).</math> यह एक पारलौकिक विस्तार क्षेत्र है <math>\Complex</math> यदि हम प्रत्येक सम्मिश्र संख्या की पहचान M पर परिभाषित संगत स्थिर फलन से करते हैं। अधिक सामान्यतः, किसी क्षेत्र K पर एक बीजगणितीय किस्म V दिया जाता है, तो V की एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र, जिसमें V पर परिभाषित तर्कसंगत फलन शामिल होते हैं और द्वारा निरूपित किया जाता है K(V), K का विस्तार क्षेत्र है।
+[[रीमैन सतह]] M को देखते हुए, M पर परिभाषित सभी [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन]] का सेट एक क्षेत्र है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है <math>\Complex(M).</math> यह एक पारलौकिक विस्तार क्षेत्र है <math>\Complex</math> यदि हम प्रत्येक सम्मिश्र संख्या की पहचान M पर परिभाषित संगत स्थिर फलन से करते हैं। अधिक सामान्यतः, किसी क्षेत्र K पर एक बीजगणितीय किस्म V दिया जाता है, तो V की एक बीजीय किस्म का कार्य क्षेत्र, जिसमें V पर परिभाषित तर्कसंगत फलन सम्मलित  होते हैं और द्वारा निरूपित किया जाता है K(V), K का विस्तार क्षेत्र है।
 == बीजगणितीय विस्तार ==
 {{main|Algebraic extension|Algebraic element}}
-क्षेत्र विस्तार का एक तत्व x {{nowrap|''L'' / ''K''}} K के ऊपर बीजगणितीय है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के फ़ंक्शन का मूल है। उदाहरण के लिए, <math>\sqrt 2</math> परिमेय संख्याओं पर बीजगणितीय है, क्योंकि यह का मूल है <math>x^2-2.</math> यदि L का एक तत्व x, K के ऊपर बीजगणितीय है, तो सबसे कम डिग्री का मोनिक बहुपद जिसका मूल x होता है, उसे x का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] कहा जाता है। यह न्यूनतम बहुपद K के ऊपर अघुलनशील बहुपद है।
+क्षेत्र विस्तार का एक घटक x {{nowrap|''L'' / ''K''}} K के ऊपर बीजगणितीय है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के फ़ंक्शन का मूल है। उदाहरण के लिए, <math>\sqrt 2</math> परिमेय संख्याओं पर बीजगणितीय है, क्योंकि यह का मूल है <math>x^2-2.</math> यदि L का एक घटक x, K के ऊपर बीजगणितीय है, तो सबसे कम डिग्री का मोनिक बहुपद जिसका मूल x होता है, उसे x का [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] कहा जाता है। यह न्यूनतम बहुपद K के ऊपर अघुलनशील बहुपद है।
-L का एक तत्व s, K के ऊपर बीजगणितीय है यदि और केवल यदि सरल विस्तार हो {{nowrap|''K''(''s'') /''K''}} एक परिमित विस्तार है. इस स्थिति  में विस्तार की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और K-वेक्टर स्थान K(s) का आधार होता है <math>1, s, s^2, \ldots, s^{d-1},</math> जहाँ d न्यूनतम बहुपद की घात है।
+L का एक घटक s, K के ऊपर बीजगणितीय है यदि और केवल यदि सरल विस्तार हो {{nowrap|''K''(''s'') /''K''}} एक परिमित विस्तार है. इस स्थिति  में विस्तार की डिग्री न्यूनतम बहुपद की डिग्री के बराबर होती है, और K-वेक्टर स्थान K(s) का आधार होता है <math>1, s, s^2, \ldots, s^{d-1},</math> जहाँ d न्यूनतम बहुपद की घात है।
-L के तत्वों का समूह जो K के ऊपर बीजगणितीय है, एक उप-विस्तार बनाता है, जिसे L में K का [[बीजगणितीय समापन]] कहा जाता है। यह पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन से परिणामित होता है: यदि s और t बीजगणितीय हैं, तो विस्तार {{nowrap|''K''(''s'') /''K''}} और {{nowrap|''K''(''s'')(''t'') /''K''(''s'')}} परिमित हैं. इस प्रकार {{nowrap|''K''(''s'', ''t'') /''K''}} भी परिमित है, साथ ही उपविस्तार भी {{nowrap|''K''(''s'' ± ''t'') /''K''}}, {{nowrap|''K''(''st'') /''K''}} और {{nowrap|''K''(1/''s'') /''K''}} (अगर {{nowrap|''s'' ≠ 0}}). यह इस प्रकार है कि {{nowrap|''s'' ± ''t''}}, st और 1/s सभी बीजगणितीय हैं।
+L के घटकों का समूह जो K के ऊपर बीजगणितीय है, एक उप-विस्तार बनाता है, जिसे L में K का [[बीजगणितीय समापन]] कहा जाता है। यह पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन से परिणामित होता है: यदि s और t बीजगणितीय हैं, तो विस्तार {{nowrap|''K''(''s'') /''K''}} और {{nowrap|''K''(''s'')(''t'') /''K''(''s'')}} परिमित हैं. इस प्रकार {{nowrap|''K''(''s'', ''t'') /''K''}} भी परिमित है, साथ ही उपविस्तार भी {{nowrap|''K''(''s'' ± ''t'') /''K''}}, {{nowrap|''K''(''st'') /''K''}} और {{nowrap|''K''(1/''s'') /''K''}} (अगर {{nowrap|''s'' ≠ 0}}). यह इस प्रकार है कि {{nowrap|''s'' ± ''t''}}, st और 1/s सभी बीजगणितीय हैं।
-एक बीजगणितीय विस्तार {{nowrap|''L'' / ''K''}} एक विस्तार है जैसे कि L का प्रत्येक तत्व K के ऊपर बीजगणितीय है। समान रूप से, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जो बीजगणितीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, <math>\Q(\sqrt 2, \sqrt 3)</math> का बीजगणितीय विस्तार है <math>\Q</math>, क्योंकि <math>\sqrt 2</math> और <math>\sqrt 3</math> बीजगणितीय हैं <math>\Q.</math>
+एक बीजगणितीय विस्तार {{nowrap|''L'' / ''K''}} एक विस्तार है जैसे कि L का प्रत्येक घटक K के ऊपर बीजगणितीय है। समान रूप से, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जो बीजगणितीय घटकों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, <math>\Q(\sqrt 2, \sqrt 3)</math> का बीजगणितीय विस्तार है <math>\Q</math>, क्योंकि <math>\sqrt 2</math> और <math>\sqrt 3</math> बीजगणितीय हैं <math>\Q.</math>
 एक साधारण विस्तार बीजगणितीय है यदि और केवल यदि यह परिमित है। इसका तात्पर्य यह है कि एक विस्तार बीजगणितीय है यदि और केवल यदि यह इसके परिमित उपविस्तारों का संघ है, और प्रत्येक परिमित विस्तार बीजगणितीय है।
-प्रत्येक फ़ील्ड K में एक बीजगणितीय समापन होता है, जो एक समरूपता [[तक]] होता है, K का सबसे बड़ा विस्तार क्षेत्र जो K पर बीजगणितीय होता है, और सबसे छोटा विस्तार क्षेत्र भी होता है जैसे कि K में गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में एक जड़ होती है। उदाहरण के लिए, <math>\Complex</math> का बीजगणितीय समापन है <math>\R</math>, लेकिन बीजगणितीय समापन नहीं <math>\Q</math>, क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है <math>\Q</math> (उदाहरण के लिए {{pi}} बीजगणितीय नहीं है <math>\Q</math>).
+प्रत्येक क्षेत्र K में एक बीजगणितीय समापन होता है, जो एक समरूपता [[तक]] होता है, K का सबसे बड़ा विस्तार क्षेत्र जो K पर बीजगणितीय होता है, और सबसे छोटा विस्तार क्षेत्र भी होता है जैसे कि K में गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में एक जड़ होती है। उदाहरण के लिए, <math>\Complex</math> का बीजगणितीय समापन है <math>\R</math>, किन्तु  बीजगणितीय समापन नहीं <math>\Q</math>, क्योंकि यह बीजगणितीय नहीं है <math>\Q</math> (उदाहरण के लिए {{pi}} बीजगणितीय नहीं है <math>\Q</math>).
 ==अनुवांशिक विस्तार==
 {{main|Transcendental extension}}
-एक क्षेत्र विस्तार दिया गया {{nowrap|''L'' / ''K''}}, यदि S के तत्वों के बीच K में गुणांकों के साथ कोई गैर-तुच्छ बहुपद संबंध मौजूद नहीं है, तो L के उपसमुच्चय S को K पर [[बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र]] कहा जाता है। बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट की सबसे बड़ी कार्डिनैलिटी को L/K की [[उत्कृष्टता की डिग्री]] कहा जाता है। K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र एक समुच्चय S खोजना हमेशा संभव होता है, जैसे कि L/K(S) बीजगणितीय हो। ऐसे समुच्चय S को L/K का पारगमन आधार कहा जाता है। सभी ट्रान्सेंडेंस आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है, जो विस्तार की ट्रान्सेंडेंस डिग्री के बराबर होती है। एक विस्तार एल/के कहा जाता है '{{visible anchor|purely transcendental}} यदि और केवल यदि ''L''/''K'' का पारगमन आधार ''S'' मौजूद है, जैसे कि ''L'' = ''K''(''S'')। इस तरह के विस्तार में यह गुण है कि ''K'' को छोड़कर ''L'' के सभी तत्व ''K'' के ऊपर पारलौकिक हैं, लेकिन, हालांकि, इस गुण के साथ ऐसे विस्तार भी हैं जो पूरी तरह से पारलौकिक नहीं हैं - एक वर्ग ऐसे एक्सटेंशन ''L''/''K'' का रूप लेते हैं जहां ''L'' और ''K'' दोनों बीजगणितीय रूप से बंद होते हैं। इसके अलावा, यदि ''एल''/''के'' पूरी तरह से पारलौकिक है और ''एस'' विस्तार का पारलौकिक आधार है, तो यह जरूरी नहीं कि ''एल'' = ''के'' का अनुसरण करता हो। (''एस'')।
+एक क्षेत्र विस्तार दिया गया {{nowrap|''L'' / ''K''}}, यदि S के घटकों के बीच K में गुणांकों के साथ कोई गैर-तुच्छ बहुपद संबंध मौजूद नहीं है, तो L के उपसमुच्चय S को K पर [[बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र]] कहा जाता है। बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र सेट की सबसे बड़ी कार्डिनैलिटी को L/K की [[उत्कृष्टता की डिग्री]] कहा जाता है। K पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र एक समुच्चय S खोजना हमेशा संभव होता है, जैसे कि L/K(S) बीजगणितीय हो। ऐसे समुच्चय S को L/K का पारगमन आधार कहा जाता है। सभी ट्रान्सेंडेंस आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है, जो विस्तार की ट्रान्सेंडेंस डिग्री के बराबर होती है। एक विस्तार L/के कहा जाता है '{{visible anchor|purely transcendental}} यदि और केवल यदि ''L''/''K'' का पारगमन आधार ''S'' मौजूद है, जैसे कि ''L'' = ''K''(''S'')। इस तरह के विस्तार में यह गुण है कि ''K'' को छोड़कर ''L'' के सभी घटक ''K'' के ऊपर पारलौकिक हैं, किन्तु , हालांकि, इस गुण के साथ ऐसे विस्तार भी हैं जो पूरी तरह से पारलौकिक नहीं हैं - एक वर्ग ऐसे विस्तार ''L''/''K'' का रूप लेते हैं जहां ''L'' और ''K'' दोनों बीजगणितीय रूप से बंद होते हैं। इसके अलावा, यदि ''L''/''के'' पूरी तरह से पारलौकिक है और ''S'' विस्तार का पारलौकिक आधार है, तो यह जरूरी नहीं कि ''L'' = ''के'' का अनुसरण करता हो। (''S'')।
-उदाहरण के लिए, एक्सटेंशन पर विचार करें <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q,</math> जहाँ x पारलौकिक है <math>\Q.</math> सेट <math>\{x\}</math> बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है क्योंकि x पारलौकिक है। जाहिर है, विस्तार <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q(x)</math> इसलिए, बीजगणितीय है <math>\{x\}</math> अतिक्रमण का आधार है. यह संपूर्ण विस्तार उत्पन्न नहीं करता क्योंकि इसमें कोई बहुपद अभिव्यक्ति नहीं है <math>x</math> के लिए <math>\sqrt{x}</math>. लेकिन यह देखना आसान है <math>\{\sqrt{x}\}</math> एक उत्कृष्टता का आधार है जो उत्पन्न करता है <math>\Q(x, \sqrt{x}),</math> इसलिए यह विस्तार वास्तव में विशुद्ध रूप से पारलौकिक है।
+उदाहरण के लिए, विस्तार पर विचार करें <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q,</math> जहाँ x पारलौकिक है <math>\Q.</math> सेट <math>\{x\}</math> बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र है क्योंकि x पारलौकिक है। जाहिर है, विस्तार <math>\Q(x, \sqrt{x})/\Q(x)</math> इसलिए, बीजगणितीय है <math>\{x\}</math> अतिक्रमण का आधार है. यह संपूर्ण विस्तार उत्पन्न नहीं करता क्योंकि इसमें कोई बहुपद अभिव्यक्ति नहीं है <math>x</math> के लिए <math>\sqrt{x}</math>. किन्तु  यह देखना आसान है <math>\{\sqrt{x}\}</math> एक उत्कृष्टता का आधार है जो उत्पन्न करता है <math>\Q(x, \sqrt{x}),</math> इसलिए यह विस्तार वास्तव में विशुद्ध रूप से पारलौकिक है।
 == सामान्य, वियोज्य और [[गैलोज़ विस्तार]] ==
 एक बीजगणितीय विस्तार L/K को [[सामान्य विस्तार]] कहा जाता है यदि K[X] में प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L है, पूरी तरह से L के ऊपर रैखिक कारकों में बदल जाता है। प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार F/K एक सामान्य समापन L को स्वीकार करता है, जो एक विस्तार क्षेत्र है F का ऐसा कि L/K सामान्य है और जो इस संपत्ति के साथ न्यूनतम है।
-एक बीजगणितीय विस्तार L/K को [[वियोज्य विस्तार]] कहा जाता है यदि K के ऊपर L के प्रत्येक तत्व का न्यूनतम बहुपद [[वियोज्य बहुपद]] है, अर्थात, K के ऊपर बीजगणितीय समापन में कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं। गैलोइस विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो सामान्य और दोनों है अलग करने योग्य.
+एक बीजगणितीय विस्तार L/K को [[वियोज्य विस्तार]] कहा जाता है यदि K के ऊपर L के प्रत्येक घटक का न्यूनतम बहुपद [[वियोज्य बहुपद]] है, अर्थात, K के ऊपर बीजगणितीय समापन में कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं। गैलोइस विस्तार एक क्षेत्र विस्तार है जो सामान्य और दोनों है अलग करने योग्य.
-आदिम तत्व प्रमेय का एक परिणाम बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार में एक आदिम तत्व होता है (अर्थात सरल है)।
+आदिम घटक प्रमेय का एक परिणाम बताता है कि प्रत्येक परिमित वियोज्य विस्तार में एक आदिम घटक होता है (अर्थात सरल है)।
-किसी भी क्षेत्र विस्तार एल/के को देखते हुए, हम इसके '[[ स्वचालितता ]] ग्रुप' ऑट (एल/के) पर विचार कर सकते हैं, जिसमें सभी फील्ड ऑटोमोर्फिज्म α: L → L के साथ K में सभी x के लिए α(x) = x शामिल है। जब एक्सटेंशन होता है गैलोज़ इस ऑटोमोर्फिज़्म समूह को विस्तार का गैलोज़ समूह कहा जाता है। वे एक्सटेंशन जिनका गैलोज़ समूह [[एबेलियन समूह]] है, [[ एबेलियन विस्तार ]] कहलाते हैं।
+किसी भी क्षेत्र विस्तार L/के को देखते हुए, हम इसके '[[ स्वचालितता ]] ग्रुप' ऑट (L/के) पर विचार कर सकते हैं, जिसमें सभी फील्ड ऑटोमोर्फिज्म α: L → L के साथ K में सभी x के लिए α(x) = x सम्मलित  है। जब विस्तार होता है गैलोज़ इस ऑटोमोर्फिज़्म समूह को विस्तार का गैलोज़ समूह कहा जाता है। वे विस्तार जिनका गैलोज़ समूह [[एबेलियन समूह]] है, [[ एबेलियन विस्तार ]] कहलाते हैं।
-किसी दिए गए क्षेत्र विस्तार L/K के लिए, किसी को अक्सर मध्यवर्ती फ़ील्ड F (L के उपफ़ील्ड जिनमें K होता है) में रुचि होती है। गैलोज़ एक्सटेंशन और गैलोज़ समूहों का महत्व यह है कि वे मध्यवर्ती क्षेत्रों के पूर्ण विवरण की अनुमति देते हैं: गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित मध्यवर्ती क्षेत्रों और गैलोज़ समूह के [[उपसमूह]]ों के बीच एक आपत्ति है।
+किसी दिए गए क्षेत्र विस्तार L/K के लिए, किसी को अधिकांशतः  मध्यवर्ती क्षेत्र F (L के उपक्षेत्र जिनमें K होता है) में रुचि होती है। गैलोज़ विस्तार और गैलोज़ समूहों का महत्व यह है कि वे मध्यवर्ती क्षेत्रों के पूर्ण विवरण की अनुमति देते हैं: गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय द्वारा वर्णित मध्यवर्ती क्षेत्रों और गैलोज़ समूह के [[उपसमूह]]ों के बीच एक आपत्ति है।
 == सामान्यीकरण ==
-क्षेत्र विस्तार को [[सबरिंग]] एक्सटेंशन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक रिंग (गणित) और इसकी एक उपरिंग शामिल होती है। एक करीबी गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग केंद्रीय [[सरल बीजगणित]] (सीएसए) हैं - एक क्षेत्र पर [[रिंग एक्सटेंशन]], जो सरल बीजगणित हैं (कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं, जैसे कि एक क्षेत्र के लिए) और जहां केंद्र_(रिंग_सिद्धांत) बिल्कुल है मैदान। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का एकमात्र परिमित क्षेत्र विस्तार जटिल संख्याएं हैं, जबकि चतुर्धातुक वास्तविक पर एक [[केंद्रीय सरल बीजगणित]] हैं, और वास्तविक पर सभी सीएसए वास्तविक या चतुर्धातुक के बराबर ब्रौअर हैं। सीएसए को आगे [[अज़ुमाया बीजगणित]] में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां आधार फ़ील्ड को एक कम्यूटेटिव [[स्थानीय रिंग]] द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
+क्षेत्र विस्तार को [[सबरिंग|सब]]वलयविस्तार के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिसमें एक वलय(गणित) और इसकी एक उपवलयसम्मलित  होती है। एक करीबी गैर-कम्यूटेटिव एनालॉग केंद्रीय [[सरल बीजगणित]] (सीSए) हैं - एक क्षेत्र पर [[रिंग एक्सटेंशन|वलयविस्तार]], जो सरल बीजगणित हैं (कोई गैर-तुच्छ 2-पक्षीय आदर्श नहीं, जैसे कि एक क्षेत्र के लिए) और जहां केंद्र_(रिंग_सिद्धांत) बिल्कुल है मैदान। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का एकमात्र परिमित क्षेत्र विस्तार जटिल संख्याएं हैं, जबकि चतुर्धातुक वास्तविक पर एक [[केंद्रीय सरल बीजगणित]] हैं, और वास्तविक पर सभी सीSए वास्तविक या चतुर्धातुक के बराबर ब्रौअर हैं। सीSए को आगे [[अज़ुमाया बीजगणित]] में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां आधार क्षेत्र को एक कम्यूटेटिव [[स्थानीय रिंग|स्थानीय]] वलयद्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
 == अदिश का विस्तार ==
 {{main|Extension of scalars}}
-किसी क्षेत्र विस्तार को देखते हुए, कोई संबंधित बीजगणितीय वस्तुओं पर अदिशों का विस्तार कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वास्तविक सदिश समष्टि को देखते हुए, कोई [[जटिलता]] के माध्यम से एक जटिल सदिश समष्टि उत्पन्न कर सकता है। वेक्टर रिक्त स्थान के अलावा, कोई फ़ील्ड पर परिभाषित [[साहचर्य बीजगणित]] के लिए [[अदिश का विस्तार]] कर सकता है, जैसे बहुपद या समूह वलय और संबंधित [[समूह प्रतिनिधित्व]]। बहुपदों के अदिशों का विस्तार अक्सर गुणांकों को एक बड़े क्षेत्र के तत्वों के रूप में मानकर, परोक्ष रूप से उपयोग किया जाता है, लेकिन इसे अधिक औपचारिक रूप से भी माना जा सकता है। स्केलर के विस्तार के कई अनुप्रयोग हैं, जैसा कि स्केलर के विस्तार#अनुप्रयोग|स्केलर के विस्तार: अनुप्रयोग में चर्चा की गई है।
+किसी क्षेत्र विस्तार को देखते हुए, कोई संबंधित बीजगणितीय वस्तुओं पर अदिशों का विस्तार कर सकता है। उदाहरण के लिए, एक वास्तविक सदिश समष्टि को देखते हुए, कोई [[जटिलता]] के माध्यम से एक जटिल सदिश समष्टि उत्पन्न कर सकता है। वेक्टर रिक्त स्थान के अलावा, कोई क्षेत्र पर परिभाषित [[साहचर्य बीजगणित]] के लिए [[अदिश का विस्तार]] कर सकता है, जैसे बहुपद या समूह वलय और संबंधित [[समूह प्रतिनिधित्व]]। बहुपदों के अदिशों का विस्तार अधिकांशतः  गुणांकों को एक बड़े क्षेत्र के घटकों के रूप में मानकर, परोक्ष रूप से उपयोग किया जाता है, किन्तु  इसे अधिक औपचारिक रूप से भी माना जा सकता है। स्केलर के विस्तार के कई अनुप्रयोग हैं, जैसा कि स्केलर के विस्तार#अनुप्रयोग|स्केलर के विस्तार: अनुप्रयोग में चर्चा की गई है।
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अनुवांशिक विस्तार

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अदिश का विस्तार

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