विर्टिंगर असमानता (2-रूप)

विर्टिंगर के नाम पर अन्य असमानताओं के लिए, विर्टिंगर की असमानता (बहुविकल्पी)| विर्टिंगर की असमानता देखें।

गणित में, 'विर्टिंगर असमानता', जिसका नाम विलियम विर्टिंगर के नाम पर रखा गया है, रैखिक बीजगणित में एक मौलिक परिणाम है जो एक हर्मिटियन आंतरिक उत्पाद के सहानुभूति और आयतन रूपों से संबंधित है। जटिल ज्यामिति में इसके महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जैसे कि यह दिखाना कि काहलर मैनिफोल्ड की सामान्यीकृत बाहरी शक्तियां | काहलर मैनिफोल्ड का काहलर रूप कैलिब्रेटेड ज्यामिति है।

कथन

सकारात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद g, सहानुभूतिपूर्ण रूप ω, और लगभग-जटिल संरचना J के साथ एक वास्तविक वेक्टर स्थान पर विचार करें, जो कि किसी भी सदिश u और v के लिए ω(u, v) = g(J(u), v)) से जुड़ा हुआ है। किसी भी ऑर्थोनॉर्मल सदिश के लिए v₁, ..., v_2k है

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})\leq k!.$

समानता तभी है जब v₁, ..., v_2k का विस्तार J के संचालन के तहत बंद होता है।

किसी रूप के अल्पविराम की भाषा में, विर्टिंगर प्रमेय (हालाँकि समानता कब प्राप्त होती है इसके बारे में सटीकता के बिना) को यह कहते हुए भी व्यक्त किया जा सकता है कि रूप का अल्पविराम ω ∧ ⋅⋅⋅ ∧ ω, k! के बराबर है!

प्रमाण

k = 1

विशेष स्थितियों में k = 1, विर्टिंगर असमानता कॉची-श्वार्ज़ असमानता का एक विशेष स्थिति है:

$\omega (v_{1},v_{2})=g(J(v_{1}),v_{2})\leq \|J(v_{1})\|_{g}\|v_{2}\|_{g}=1.$

कॉची-श्वार्ज़ असमानता के समानता स्थितियों के अनुसार, समानता तब होती है जब और केवल यदि J(v₁) और v₂ संरेख होते हैं, जो कि v₁ की अवधि के बराबर है, v₂ को J के तहत बंद किया जाता है।

k > 1

होने देना v₁, ..., v_2k तय किया जाए, और जाने दिया जाए T उनके विस्तार को निरूपित करें। फिर एक लम्बवत् आधार है e₁, ..., e_2k का T दोहरे आधार के साथ w₁, ..., w_2k ऐसा है कि

$\iota ^{\ast }\omega =\sum _{j=1}^{k}\omega (e_{2j-1},e_{2j})w_{2j-1}\wedge w_{2j},$

कहाँ ι से समावेशन मानचित्र को दर्शाता है T में V. यह संकेत करता है

$\underbrace {\iota ^{\ast }\omega \wedge \cdots \wedge \iota ^{\ast }\omega } _{k{\text{ times}}}=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{2k},$

जो बदले में तात्पर्य करता है

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(e_{1},\ldots ,e_{2k})=k!\prod _{i=1}^{k}\omega (e_{2i-1},e_{2i})\leq k!,$

जहां असमानता पहले से स्थापित है k = 1 मामला। यदि समानता कायम है, तो के अनुसार k = 1 समानता का मामला, ऐसा ही होना चाहिए ω(e_{2i − 1}, e_2i) = ±1 प्रत्येक के लिए i. यह दोनों में से एक के बराबर है ω(e_{2i − 1}, e_2i) = 1 या ω(e_2i, e_{2i − 1}) = 1, जो किसी भी स्थिति में (से k = 1 केस) का तात्पर्य है कि का सीमा e_{2i − 1}, e_2i के अंतर्गत बंद है J, और इसलिए वह अवधि e₁, ..., e_2k के अंतर्गत बंद है J.

अंत में, मात्रा की निर्भरता

$(\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k{\text{ times}}})(v_{1},\ldots ,v_{2k})$

पर v₁, ..., v_2k केवल मात्रा पर है v₁ ∧ ⋅⋅⋅ ∧ v_2k, और ओर्थोनॉर्मलिटी स्थिति से v₁, ..., v_2k, यह वेज उत्पाद एक संकेत तक अच्छी तरह से निर्धारित है। यह उपरोक्त कार्य से संबंधित है e₁, ..., e_2k के संदर्भ में वांछित कथन के लिए v₁, ..., v_2k.

परिणाम

हर्मिटियन मेट्रिक के साथ एक जटिल विविधता को देखते हुए, विर्टिंगर प्रमेय तुरंत किसी के लिए भी इसका अर्थ निकालता है 2k-आयामी एंबेडेड सबमैनिफोल्ड M, वहाँ है

$\operatorname {vol} (M)\geq {\frac {1}{k!}}\int _{M}\omega ^{k},$

कहाँ ω मीट्रिक का काहलर रूप है। इसके अतिरिक्त, समानता तभी प्राप्त होती है जब M एक जटिल उपमान है। विशेष स्थितियों में कि हर्मिटियन मीट्रिक काहलर मीट्रिक|काहलर शर्त को संतुष्ट करता है, यह कहता है कि 1/k!ω^k अंतर्निहित रीमैनियन मीट्रिक के लिए एक कैलिब्रेटेड ज्यामिति है, और संबंधित कैलिब्रेटेड ज्यामिति जटिल आयाम के जटिल उपमान हैं k. यह विशेष रूप से कहता है कि काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनिफोल्ड एक न्यूनतम सबमैनिफोल्ड है, और इसके समरूपता वर्ग में सभी सबमैनिफोल्ड के बीच वॉल्यूम-न्यूनतम भी है।

विर्टिंगर असमानता का उपयोग करते हुए, ये तथ्य काहलर मैनिफोल्ड्स में वर्तमान (गणित) के अधिक परिष्कृत संदर्भ तक भी विस्तारित होते हैं।

यह भी देखें

• जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
• सिस्टोलिक ज्यामिति

संदर्भ

• Federer, Herbert (1969). Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 153. Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-62010-2. ISBN 978-3-540-60656-7. MR 0257325. Zbl 0176.00801.
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978). Principles of algebraic geometry. Pure and Applied Mathematics. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-32792-1. MR 0507725. Zbl 0408.14001.
• Harvey, Reese; Lawson, H. Blaine, Jr. (1982). "Calibrated geometries". Acta Mathematica. 148: 47–157. doi:10.1007/BF02392726. MR 0666108. Zbl 0584.53021.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2017). Introduction to symplectic topology. Oxford Graduate Texts in Mathematics (Third edition of 1995 original ed.). Oxford: Oxford University Press. doi:10.1093/oso/9780198794899.001.0001. ISBN 978-0-19-879490-5. MR 3674984. Zbl 1380.53003.
• Wirtinger, W. (1936). "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Maßbestimmung". Monatshefte für Mathematik und Physik. 44: 343–365. doi:10.1007/BF01699328. MR 1550581. Zbl 0015.07602.