घातीय भाज्य

घातांकीय भाज्य n − 1 का एक सकारात्मक पूर्णांक n घातांक है, जो बदले में n − 2 की घात तक बढ़ा दिया जाता है, और इसी तरह एक सही-समूहन तरीके से। वह है,

$n^{(n-1)^{(n-2)\cdots }}$

घातीय तथ्यात्मक को पुनरावृत्ति संबंध के साथ भी परिभाषित किया जा सकता है

$a_{1}=1,\quad a_{n}=n^{a_{n-1}}$

पहले कुछ घातीय भाज्य हैं 1 (संख्या), 2 (संख्या), 9 (संख्या), 262144, ... (OEIS: A049384 या OEIS: A132859). उदाहरण के लिए, 262144 एक घातीय भाज्य है

$262144=4^{3^{2^{1}}}$

पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए, पहले घातीय भाज्य हैं:

1

2¹=2

3²=9

4⁹=262144

5²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878...8212890625 (183231 अंक)

घातांकीय कारख़ाने का नियमित फैक्टोरियल या यहां तक ​​कि हाइपरफैक्टोरियल की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ते हैं। 6 के घातांकीय भाज्य में अंकों की संख्या लगभग 5× 10 है^183 230.

1 से आगे तक घातांकीय भाज्यों के गुणात्मक व्युत्क्रम का योग निम्नलिखित पारलौकिक संख्या है:

${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{3^{2^{1}}}}+{\frac {1}{4^{3^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{6^{5^{4^{3^{2^{1}}}}}}}+\ldots =1.611114925808376736\underbrace {111111111111\ldots 111111111111} _{183212}272243682859\ldots$

यह योग पारलौकिक है क्योंकि यह एक लिउविले संख्या है।

tetration की तरह, वर्तमान में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के विपरीत, घातांकीय फैक्टोरियल फ़ंक्शन को वास्तविक संख्या और उसके तर्क के जटिल संख्या मानों तक विस्तारित करने की कोई स्वीकृत विधि नहीं है, जिसके लिए गामा फ़ंक्शन द्वारा ऐसा विस्तार प्रदान किया जाता है। किन्तु इसका विस्तार करना संभव है यदि इसे 1 की पट्टी चौड़ाई में परिभाषित किया गया हो।

इसी प्रकार, 0 पर उचित मान के बारे में भी असहमति है; कोई भी मान पुनरावर्ती परिभाषा के अनुरूप होगा। वास्तविकताओं का सहज विस्तार संतुष्ट करेगा $f(0)=f'(1)$, जो सख्ती से 0 और 1 के बीच का मान सुझाता है।

संदर्भ

• Jonathan Sondow, "Exponential Factorial" From Mathworld, a Wolfram Web resource