हाइपरफैक्टोरियल

गणित में, और विशेष रूप से संख्या सिद्धांत में, एक धनात्मक पूर्णांक n का हाइपरफैक्टोरियल $n$ $x^{x}$ से $1^{1}$ लेकर $n^{n}$ तक के रूप की संख्याओं का गुणनफल होता है।

परिभाषा

एक धनात्मक पूर्णांक $n$ का हाइपरफैक्टोरियल संख्याओं का गुणनफल होता है। वह $1^{1},2^{2},\dots ,n^{n}$ है,

$$H(n)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot \cdots n^{n}=\prod _{i=1}^{n}i^{i}=n^{n}H(n-1).$$

उत्पाद के लिए सामान्य परंपरा का पालन करते हुए, 0 का हाइपरफैक्टोरियल 1 है। हाइपरफैक्टोरियल का पूर्णांक अनुक्रम $H(0)=1$, से प्रारंभ होता है :

1, 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ... (sequence A002109 in the OEIS)

प्रक्षेप और सन्निकटन

हाइपरफैक्टोरियल का अध्ययन 19वीं सदी की प्रारंभ में हरमन किंकेलिन द्वारा किया गया था और जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर जैसा कि किंकेलिन ने दिखाया, जिस तरह भाज्य को गामा फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है, उसी तरह हाइपरफैक्टोरियल को K-फलन द्वारा निरंतर इंटरपोल किया जा सकता है।

ग्लैशर ने हाइपरफैक्टोरियल के लिए एसिम्प्टोटिक विश्लेषण सूत्र प्रदान किया, जो फैक्टरियल के लिए स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूप है:

$$H(n)=An^{(6n^{2}+6n+1)/12}e^{-n^{2}/4}\left(1+{\frac {1}{720n^{2}}}-{\frac {1433}{7257600n^{4}}}+\cdots \right)\!,$$

जहाँ $A\approx 1.28243$ ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।

अन्य गुण

फैक्टोरियल मॉड्यूलर अंकगणित अभाज्य संख्या संख्याओं के व्यवहार पर विल्सन के प्रमेय के एनालॉग के अनुसार, जब $p$ समता (गणित) अभाज्य संख्या है

$$H(p-1)\equiv (-1)^{(p-1)/2}(p-1)!!{\pmod {p}},$$

जहाँ $!!$ दोहरा भाज्य के लिए संकेतन है।

हाइपरफैक्टोरियल्स उनके संभाव्य सूत्रीकरण में हर्माइट बहुपद के विभेदक का अनुक्रम देते हैं।

बाहरी संबंध

• Weisstein, Eric W., "Hyperfactorial", MathWorld