वलय समरूपता: Difference between revisions

Revision as of 21:00, 9 July 2023

वलय समरूपता में, अमूर्त बीजगणित की शाखा, वलय होमोमोर्फिज्म दो वलय (बीजगणित) के मध्य संरचना-संरक्षण फलन (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि R और S वलय हैं, तो वलय समरूपता फलन f : R → S है जैसे कि f है:^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]^[6]^[7]^{[lower-alpha 1]}

अतिरिक्त संरक्षण:

f(a+b)=f(a)+f(b)

R में सभी a और b के लिए,

गुणन संरक्षण:

R में सभी a और b के लिए,

f(ab)=f(a)f(b)

और इकाई (गुणक पहचान) को संरक्षित करना:

f(1_{R})=1_{S}

.

योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का भाग हैं, किंतु यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।

यदि इसके अतिरिक्त f आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन f⁻¹ भी वलय समरूपता है। इस स्तिथि में, f को वलय समरूपता कहा जाता है, वलय R और S को समरूपी कहा जाता है। वलय सिद्धांत के दृष्टिकोण से, समरूपी वलय को भिन्न नहीं किया जा सकता है।

यदि R और S rng (बीजगणित) हैं तो संबंधित धारणा rng समरूपता है,^{[lower-alpha 2]} तीसरा नियम f(1_R) = 1_S को छोड़कर ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। (इकाई) वलयों के मध्य rng समरूपता को वलय समरूपता होने की आवश्यकता नहीं है।

दो वलय समरूपता की संरचना फलन वलय समरूपता है। ससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी वलयों का वर्ग वलय समरूपताओं के साथ आकारिकी के रूप में श्रेणी बनाता है (cf. वलयों की श्रेणी)। विशेष रूप से, कोई वलय एंडोमोर्फिज्म, वलय आइसोमोर्फिज्म और वलय आकारिता की धारणा प्राप्त करता है।

गुण

मान लीजिये $f\colon R\rightarrow S$ वलय समरूपता है। फिर, इन परिभाषाओं से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:

f(0_R) = 0_S

R में सभी a के लिए f(−a) = −f(a)।
R में किसी भी इकाई तत्व a के लिए, f(a) इकाई तत्व है जैसे कि f(a⁻¹) = f(a)⁻¹। विशेष रूप से, f, R की इकाइयों के (गुणक) समूह से S (या im(f)) की इकाइयों के (गुणक) समूह में समूह समरूपता को प्रेरित करता है।
f की छवि (गणित), जिसे im(f) दर्शाया गया है, S का उपवलय है।
f का कर्नेल (बीजगणित), जिसे ker(f) = {a in R : f(a) = 0_S}, के रूप में परिभाषित किया गया है, R में वलय आदर्श है। वलय R में प्रत्येक आदर्श इस प्रकार से कुछ वलय समरूपता से उत्पन्न होता है।
समरूपता f इंजेक्टिव है यदि केवल ker(f) = {0_R} है।
यदि कोई वलय समरूपता f : R → S उपस्थित है तो S की विशेषता (बीजगणित) R की विशेषता को विभाजित करती है। इसका उपयोग कभी-कभी यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ वलय R और S के मध्य, कोई वलय समरूपता R → S उपस्थित नहीं है।
यदि R_p,R में निहित सबसे छोटा उपवलय है और S_p S में निहित सबसे छोटा उप-वलय है, तो प्रत्येक वलय समरूपता f : R → S वलय समरूपता f_p : R_p → S_p उत्पन्न करता है।
यदि R फ़ील्ड (गणित) (या अधिक सामान्यतः तिरछा-फ़ील्ड) है और S शून्य वलय नहीं है, तो f इंजेक्टिव है।
यदि R और S दोनों फ़ील्ड (गणित) हैं, तो im(f) S का उपफ़ील्ड है, इसलिए S को R के फ़ील्ड विस्तार के रूप में देखा जा सकता है।
यदि I, S का आदर्श है तो f⁻¹(I) R का आदर्श है।
यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और P, S का अभाज्य आदर्श है तो f⁻¹(P) R का प्रमुख आदर्श है।
यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, M, S का अधिकतम आदर्श है, और f विशेषणात्मक है, तो f⁻¹(M) R का अधिकतम आदर्श है।
यदि R और S क्रमविनिमेय हैं और S अभिन्न डोमेन है, तो ker(f) R का प्रमुख आदर्श है।
यदि R और S क्रमविनिमेय हैं, S क्षेत्र है, और f विशेषण है, तो ker(f) R का अधिकतम आदर्श है।
यदि f विशेषण है, तो R और में P अभाज्य (अधिकतम) आदर्श है ker(f) ⊆ P, तो S में f(P) अभाज्य (अधिकतम) आदर्श है।

इसके अतिरिक्त,

वलय होमोमोर्फिज्म की संरचना वलय होमोमोर्फिज्म है।
प्रत्येक वलय आर के लिए, पहचान मानचित्र R → R वलय समरूपता है।
इसलिए, सभी छल्लों का वर्ग वलय समरूपताओं के साथ मिलकर श्रेणी बनाता है, छल्लों की श्रेणी।
शून्य मानचित्र R → S R के प्रत्येक तत्व को 0 पर भेजना केवल वलय समरूपता है यदि S शून्य वलय है (वह वलय जिसका एकमात्र तत्व शून्य है)।
प्रत्येक वलय R के लिए, अद्वितीय वलय समरूपता होती है Z → R. यह कहता है कि पूर्णांकों का वलय वलय की श्रेणी (गणित) में प्रारंभिक वस्तु है।
प्रत्येक वलय R के लिए, R से शून्य वलय तक अद्वितीय वलय समरूपता होती है। यह कहता है कि शून्य वलय वलय की श्रेणी में टर्मिनल वस्तु है।

उदाहरण

फलनक्रम f : Z → Z/nZ, द्वारा परिभाषित f(a) = [a]_n = a mod n कर्नेल n'Z' के साथ विशेषण वलय समरूपता है (मॉड्यूलर अंकगणित देखें)।
जटिल संयुग्मन C → C वलय होमोमोर्फिज्म है (यह वलय ऑटोमोर्फिज्म का उदाहरण है)।
अभाज्य विशेषता p वाले वलय R के लिए, R → R, x → x^p वलय एंडोमोर्फिज्म है जिसे फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म कहा जाता है।
यदि R और S वलय हैं, तो R से S तक शून्य फलन वलय समरूपता है यदि और केवल यदि S शून्य वलय है। (अन्यथा यह मानचित्र 1 बनाने में विफल रहता है_R से 1_S.) दूसरी ओर, शून्य फलन सदैव a होता है रंग समरूपता.
यदि R[X] वास्तविक संख्या R में गुणांक के साथ चर X में सभी बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है, और C जटिल संख्याओं को दर्शाता है, तो फ़ंक्शन f : R[X] → C द्वारा परिभाषित f(p) = p(i) (बहुपद p में चर X के लिए काल्पनिक इकाई i को प्रतिस्थापित करें) विशेषण वलय समरूपता है। एफ के कर्नेल में 'आर' [एक्स] में सभी बहुपद शामिल हैं जो विभाज्य हैं X² + 1.
अगर f : R → S वलय आर और एस के मध्य वलय होमोमोर्फिज्म है, फिर एफ मैट्रिक्स वलयों के मध्य वलय होमोमोर्फिज्म प्रेरित करता है M_n(R) → M_n(S).
मान लीजिए V फ़ील्ड k पर सदिश समष्टि है। फिर नक्शा $\rho :k\to \operatorname {End} (V)$ द्वारा दिए गए $\rho (a)v=av$ वलय समरूपता है। अधिक आम तौर पर, एबेलियन समूह एम को देखते हुए, वलय आर पर एम पर मॉड्यूल संरचना वलय होमोमोर्फिज्म देने के बराबर है $R\to \operatorname {End} (M)$ .
क्रमविनिमेय वलय आर पर यूनिटल साहचर्य बीजगणित के मध्य यूनिटल बीजगणित समरूपता वलय होमोमोर्फिज्म है जो मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म | आर-रैखिक भी है।

गैर-उदाहरण

फलनक्रम f : Z/6Z → Z/6Z द्वारा परिभाषित f([a]₆) = [4a]₆ है रंग समरूपता (और रंग एंडोमोर्फिज्म), कर्नेल 3Z/6Z और छवि 2Z/6Z के साथ (जो Z/3Z के लिए आइसोमोर्फिक है)।
कोई वलय समरूपता नहीं है Z/nZ → Z किसी के लिए n ≥ 1.
यदि आर और एस वलय हैं, तो समावेशन $R\to R\times S$ प्रत्येक r को (r,0) पर भेजना rng समरूपता है, किंतु वलय समरूपता नहीं है (यदि S शून्य वलय नहीं है), क्योंकि यह R की गुणक पहचान 1 को गुणक पहचान (1,1) से मैप नहीं करता है। $R\times S$ .

अंगूठियों की श्रेणी

एंडोमोर्फिज्म, आइसोमोर्फिज्म, और ऑटोमोर्फिज्म

वलय एंडोमोर्फिज्म वलय से स्वयं तक वलय होमोमोर्फिज्म है।
वलय समरूपता वलय समरूपता है जिसमें दो-तरफा व्युत्क्रम होता है जो वलय समरूपता भी है। कोई यह सिद्ध कर सकता है कि वलय समरूपता समरूपता है यदि और केवल यदि यह अंतर्निहित सेटों पर फ़ंक्शन के रूप में विशेषण है। यदि दो वलय आर और एस के मध्य वलय समरूपता उपस्थित है, तो आर और एस को समरूपी कहा जाता है। समरूपी वलय केवल तत्वों के पुनः लेबलिंग द्वारा भिन्न होते हैं। उदाहरण: समरूपता तक, क्रम 4 के चार वलय होते हैं। (इसका मतलब है कि क्रम 4 के चार जोड़ीदार गैर-समरूपी वलय होते हैं, जैसे कि क्रम 4 का हर दूसरा वलय उनमें से के लिए समरूपी होता है।) दूसरी ओर, समरूपता तक ग्यारह होते हैं rngs क्रम 4 का.
वलय ऑटोमोर्फिज्म वलय से स्वयं तक वलय आइसोमोर्फिज्म है।

एकरूपता और एपिमोर्फिज्म

इंजेक्टिव वलय होमोमोर्फिज्म वलयों की श्रेणी में मोनोमोर्फिज्म के समान हैं: यदि f : R → S मोनोमोर्फिज्म है जो इंजेक्शन नहीं है, तो यह कुछ आर भेजता है₁ और आर₂ एस के ही तत्व के लिए दो मानचित्रों पर विचार करें जी₁ और जी₂ Z[x] से R तक वह मानचित्र x से r₁ और आर₂, क्रमश; f ∘ g₁ और f ∘ g₂ समान हैं, किंतु चूँकि f एकरूपता है इसलिए यह असंभव है।

हालाँकि, विशेषण वलय समरूपता वलय की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म से काफी भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन Z ⊆ Q मजबूत प्रतीकवाद है, किंतु अनुमान नहीं है। हालाँकि, वे बिल्कुल मजबूत एपिमोर्फिज्म के समान हैं।

यह भी देखें

अंगूठियों का परिवर्तन

उद्धरण

↑ Artin 1991, p. 353.
↑ Atiyah & Macdonald 1969, p. 2.
↑ Bourbaki 1998, p. 102.
↑ Eisenbud 1995, p. 12.
↑ Jacobson 1985, p. 103.
↑ Lang 2002, p. 88.
↑ Hazewinkel 2004, p. 3.

संदर्भ

Artin, Michael (1991). Algebra. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall.
Atiyah, Michael F.; Macdonald, Ian G. (1969), Introduction to commutative algebra, Addison-Wesley Publishing Co., Reading, Mass.-London-Don Mills, Ont., MR 0242802
Bourbaki, N. (1998). Algebra I, Chapters 1–3. Springer.
Eisenbud, David (1995). Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 150. New York: Springer-Verlag. xvi+785. ISBN 0-387-94268-8. MR 1322960.
Hazewinkel, Michiel (2004). Algebras, rings and modules. Springer-Verlag. ISBN 1-4020-2690-0.
Jacobson, Nathan (1985). Basic algebra I (2nd ed.). ISBN 9780486471891.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556

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[FOOTNOTEArtin1991353-1] Artin 1991, p. 353.

[FOOTNOTEAtiyahMacdonald19692-2] Atiyah & Macdonald 1969, p. 2.

[FOOTNOTEBourbaki1998102-3] Bourbaki 1998, p. 102.

[FOOTNOTEEisenbud199512-4] Eisenbud 1995, p. 12.

[FOOTNOTEJacobson1985103-5] Jacobson 1985, p. 103.

[FOOTNOTELang200288-6] Lang 2002, p. 88.

[FOOTNOTEHazewinkel20043-7] Hazewinkel 2004, p. 3.

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 {{Ring theory sidebar}}
-वलय सिद्धांत में, [[अमूर्त बीजगणित]] की शाखा, वलय होमोमोर्फिज्म दो वलय (बीजगणित) के बीच संरचना-संरक्षण कार्य (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि ''आर'' और ''एस'' वलय हैं, तो वलय समरूपता फलन है {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} ऐसा कि f है:{{sfn|Artin|1991|p=353}}{{sfn|Atiyah|Macdonald|1969|p=2}}{{sfn|Bourbaki|1998|p=102}}{{sfn|Eisenbud|1995|p=12}}{{sfn|Jacobson|1985|p=103}}{{sfn|Lang|2002|p=88}}{{sfn|Hazewinkel|2004|p=3}}{{efn|Hazewinkel initially defines "ring" without the requirement of a 1, but very soon states that from now on, all rings will have a 1.}}
+वलय समरूपता में, [[अमूर्त बीजगणित]] की शाखा, वलय होमोमोर्फिज्म दो वलय (बीजगणित) के मध्य संरचना-संरक्षण फलन (गणित) है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि ''R'' और ''S'' वलय हैं, तो वलय समरूपता फलन {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} है जैसे कि f है:{{sfn|Artin|1991|p=353}}{{sfn|Atiyah|Macdonald|1969|p=2}}{{sfn|Bourbaki|1998|p=102}}{{sfn|Eisenbud|1995|p=12}}{{sfn|Jacobson|1985|p=103}}{{sfn|Lang|2002|p=88}}{{sfn|Hazewinkel|2004|p=3}}{{efn|Hazewinkel initially defines "ring" without the requirement of a 1, but very soon states that from now on, all rings will have a 1.}}
 :अतिरिक्त संरक्षण:
-::<math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math> आर में सभी ए और बी के लिए
+::<math>f(a+b)=f(a)+f(b)</math> R में सभी a और b के लिए,
-:गुणा संरक्षण:
+:गुणन संरक्षण:
-::<math>f(ab)=f(a)f(b)</math> आर में सभी ए और बी के लिए,
+::R में सभी a और b के लिए, <math>f(ab)=f(a)f(b)</math>
-:और इकाई (गुणक पहचान) संरक्षित करना:
+:और इकाई (गुणक पहचान) को संरक्षित करना:
 ::<math>f(1_R)=1_S</math>.
-योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का हिस्सा हैं, लेकिन यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।
+योगात्मक व्युत्क्रम और योगात्मक पहचान भी संरचना का भाग हैं, किंतु यह स्पष्ट रूप से आवश्यक नहीं है कि उनका भी सम्मान किया जाए, क्योंकि ये स्थितियाँ उपरोक्त तीन स्थितियों के परिणाम हैं।
-यदि इसके अतिरिक्त f आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन f है<sup>−1</sup> भी वलय समरूपता है। इस मामले में, f को 'वलय आइसोमोर्फिज्म' कहा जाता है, और वलय R और S को आइसोमॉर्फिक कहा जाता है। वलय सिद्धांत के दृष्टिकोण से, समरूपी वलय को अलग नहीं किया जा सकता है।
+यदि इसके अतिरिक्त f आक्षेप है, तो इसका व्युत्क्रम फलन ''f''<sup>−1</sup> भी वलय समरूपता है। इस स्तिथि में, f को वलय समरूपता कहा जाता है, वलय R और S को समरूपी कहा जाता है। वलय सिद्धांत के दृष्टिकोण से, समरूपी वलय को भिन्न नहीं किया जा सकता है।
-यदि R और S हैं [[आरएनजी (बीजगणित)]] एस, तो संबंधित धारणा की हैरंग समरूपता,{{efn|Some authors do not require a ring to contain a multiplicative identity; instead of <!--NOT A MISSPELLING-->"rng"<!--NOT A MISSPELLING-->, "ring", and <!--NOT A MISSPELLING-->"rng<!--NOT A MISSPELLING--> homomorphism", they use the terms "ring", "ring with identity", and "ring homomorphism", respectively.  Because of this, some other authors, to avoid ambiguity, explicitly specify that rings are unital and that homomorphisms preserve the identity.}} तीसरी शर्त f(1) को छोड़कर ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है<sub>''R''</sub>) = 1<sub>''S''</sub>. ए रंग (इकाई) छल्लों के बीच समरूपता को वलय समरूपता होने की आवश्यकता नहीं है।
+यदि R और S [[आरएनजी (बीजगणित)|rng (बीजगणित)]] हैं तो संबंधित धारणा rng समरूपता है,{{efn|Some authors do not require a ring to contain a multiplicative identity; instead of <!--NOT A MISSPELLING-->"rng"<!--NOT A MISSPELLING-->, "ring", and <!--NOT A MISSPELLING-->"rng<!--NOT A MISSPELLING--> homomorphism", they use the terms "ring", "ring with identity", and "ring homomorphism", respectively.  Because of this, some other authors, to avoid ambiguity, explicitly specify that rings are unital and that homomorphisms preserve the identity.}} तीसरा नियम  ''f''(1<sub>''R''</sub>) = 1<sub>''S''</sub> को छोड़कर ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। (इकाई) वलयों के मध्य rng समरूपता को वलय समरूपता होने की आवश्यकता नहीं है।
-दो वलय समरूपताओं की [[कार्य संरचना]] वलय समरूपता है। यह इस प्रकार है कि सभी वलयों का [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] [[श्रेणी (गणित)]] बनाता है जिसमें वलय होमोमोर्फिज्म के साथ आकारिकी (सीएफ। वलयों की श्रेणी) होती है।
+दो वलय समरूपता की [[कार्य संरचना|संरचना फलन]] वलय समरूपता है। ससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सभी वलयों का [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग]] [[श्रेणी (गणित)|वलय]] समरूपताओं के साथ आकारिकी के रूप में श्रेणी बनाता है (cf. वलयों की श्रेणी)। विशेष रूप से, कोई वलय एंडोमोर्फिज्म, वलय आइसोमोर्फिज्म और वलय [[आकारिता]] की धारणा प्राप्त करता है।
-विशेष रूप से, कोई वलय एंडोमोर्फिज्म, वलय आइसोमोर्फिज्म और वलय [[आकारिता]] की धारणा प्राप्त करता है।
 == गुण ==
-होने देना <math>f \colon R \rightarrow S</math> वलय समरूपता हो। फिर, सीधे इन परिभाषाओं से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:
+मान लीजिये <math>f \colon R \rightarrow S</math> वलय समरूपता है। फिर, इन परिभाषाओं से, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है:
-* एफ(0<sub>''R''</sub>) = 0<sub>''S''</sub>.
-* f(−a) = −f(a) R में सभी a के लिए।
+''f''(0<sub>''R''</sub>) = 0<sub>''S''</sub>
-* R में किसी भी [[इकाई तत्व]] a के लिए, f(a) इकाई तत्व है {{nowrap|1=''f''(''a''<sup>−1</sup>) = ''f''(''a'')<sup>−1</sup>}}. विशेष रूप से, f, R की इकाइयों के (गुणक) समूह से S (या im(f)) की इकाइयों के (गुणक) समूह में [[समूह समरूपता]] को प्रेरित करता है।
+* R में सभी a के लिए f(−a) = −f(a)।
+* R में किसी भी [[इकाई तत्व]] a के लिए, f(a) इकाई तत्व है जैसे कि {{nowrap|1=''f''(''a''<sup>−1</sup>) = ''f''(''a'')<sup>−1</sup>}}। विशेष रूप से, f, R की इकाइयों के (गुणक) समूह से S (या im(f)) की इकाइयों के (गुणक) समूह में [[समूह समरूपता]] को प्रेरित करता है।
 * f की [[छवि (गणित)]], जिसे im(f) दर्शाया गया है, S का उपवलय है।
-* एफ का [[कर्नेल (बीजगणित)]], के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=ker(''f'') = {{mset|1=''a'' in ''R'' : ''f''(''a'') = 0<sub>''S''</sub>}}}}, R में वलय आदर्श है। वलय R में प्रत्येक आदर्श इस तरह से कुछ वलय समरूपता से उत्पन्न होता है।
+* f का [[कर्नेल (बीजगणित)]], जिसे {{nowrap|1=ker(''f'') = {{mset|1=''a'' in ''R'' : ''f''(''a'') = 0<sub>''S''</sub>}}}}, के रूप में परिभाषित किया गया है, R में वलय आदर्श है। वलय R में प्रत्येक आदर्श इस प्रकार से कुछ वलय समरूपता से उत्पन्न होता है।
-* होमोमोर्फिज्म एफ इंजेक्टिव है यदि और केवल यदि {{nowrap|1=ker(''f'') = {{mset|0<sub>''R''</sub>}}}}.
+* समरूपता f इंजेक्टिव है यदि केवल {{nowrap|1=ker(''f'') = {{mset|0<sub>''R''</sub>}}}} है।
-* यदि कोई वलय समरूपता मौजूद है {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} तो S की [[विशेषता (बीजगणित)]] R की विशेषता को [[विभाजित]] करती है। इसका उपयोग कभी-कभी यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ वलय R और S के बीच, कोई वलय समरूपता नहीं है {{nowrap|''R'' → ''S''}} मौजूद।
+* यदि कोई वलय समरूपता {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} उपस्थित है तो S की [[विशेषता (बीजगणित)]] R की विशेषता को [[विभाजित]] करती है। इसका उपयोग कभी-कभी यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ वलय R और S के मध्य, कोई वलय समरूपता {{nowrap|''R'' → ''S''}} उपस्थित नहीं है।
-* यदि आर<sub>p</sub>आर और एस में निहित सबसे छोटा [[सबरिंग|सबवलय]] है<sub>p</sub>एस में निहित सबसे छोटा सबवलय है, फिर प्रत्येक वलय समरूपता है {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} वलय समरूपता उत्पन्न करता है {{nowrap|''f<sub>p</sub>'' : ''R<sub>p</sub>'' → ''S<sub>p</sub>''}}.
+* यदि R<sub>p,</sub>R में निहित सबसे छोटा [[सबरिंग|उपवलय]] है और S<sub>p</sub> S में निहित सबसे छोटा उप-वलय है, तो प्रत्येक वलय समरूपता {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} वलय समरूपता {{nowrap|''f<sub>p</sub>'' : ''R<sub>p</sub>'' → ''S<sub>p</sub>''}} उत्पन्न करता है।
 * यदि R [[फ़ील्ड (गणित)]] (या अधिक सामान्यतः तिरछा-फ़ील्ड) है और S शून्य वलय नहीं है, तो f इंजेक्टिव है।
 * यदि R और S दोनों फ़ील्ड (गणित) हैं, तो im(f) S का उपफ़ील्ड है, इसलिए S को R के [[फ़ील्ड विस्तार]] के रूप में देखा जा सकता है।
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 == उदाहरण ==
-* कार्यक्रम {{nowrap|''f'' : '''Z''' → '''Z'''/''n'''''Z'''}}, द्वारा परिभाषित {{nowrap|1=''f''(''a'') = [''a'']<sub>''n''</sub> = ''a'' mod ''n''}} कर्नेल n'Z' के साथ [[विशेषण]] वलय समरूपता है ([[मॉड्यूलर अंकगणित]] देखें)।
+* फलनक्रम {{nowrap|''f'' : '''Z''' → '''Z'''/''n'''''Z'''}}, द्वारा परिभाषित {{nowrap|1=''f''(''a'') = [''a'']<sub>''n''</sub> = ''a'' mod ''n''}} कर्नेल n'Z' के साथ [[विशेषण]] वलय समरूपता है ([[मॉड्यूलर अंकगणित]] देखें)।
 * [[जटिल संयुग्मन]] {{nowrap|'''C''' → '''C'''}} वलय होमोमोर्फिज्म है (यह वलय ऑटोमोर्फिज्म का उदाहरण है)।
 * अभाज्य विशेषता p वाले वलय R के लिए, {{nowrap|''R'' → ''R'', ''x'' → ''x''<sup>''p''</sup>}} वलय एंडोमोर्फिज्म है जिसे [[फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म]] कहा जाता है।
 * यदि R और S वलय हैं, तो R से S तक शून्य फलन वलय समरूपता है यदि और केवल यदि S शून्य वलय है। (अन्यथा यह मानचित्र 1 बनाने में विफल रहता है<sub>''R''</sub> से 1<sub>''S''</sub>.) दूसरी ओर, शून्य फलन सदैव a होता है रंग समरूपता.
 * यदि R[''X''] [[वास्तविक संख्या]] R में गुणांक के साथ चर ''X'' में सभी [[बहुपद]]ों की अंगूठी को दर्शाता है, और C [[जटिल संख्या]]ओं को दर्शाता है, तो फ़ंक्शन {{nowrap|''f'' : '''R'''[''X''] → '''C'''}} द्वारा परिभाषित {{nowrap|1=''f''(''p'') = ''p''(''i'')}} (बहुपद p में चर X के लिए काल्पनिक इकाई i को प्रतिस्थापित करें) विशेषण वलय समरूपता है। एफ के कर्नेल में 'आर' [एक्स] में सभी बहुपद शामिल हैं जो विभाज्य हैं {{nowrap|''X''<sup>2</sup> + 1}}.
-* अगर {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} वलय आर और एस के बीच वलय होमोमोर्फिज्म है, फिर एफ [[मैट्रिक्स रिंग|मैट्रिक्स वलय]]ों के बीच वलय होमोमोर्फिज्म प्रेरित करता है {{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''R'') → M<sub>''n''</sub>(''S'')}}.
+* अगर {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} वलय आर और एस के मध्य वलय होमोमोर्फिज्म है, फिर एफ [[मैट्रिक्स रिंग|मैट्रिक्स वलय]]ों के मध्य वलय होमोमोर्फिज्म प्रेरित करता है {{nowrap|M<sub>''n''</sub>(''R'') → M<sub>''n''</sub>(''S'')}}.
 *मान लीजिए V फ़ील्ड k पर सदिश समष्टि है। फिर नक्शा <math>\rho : k \to \operatorname{End}(V)</math> द्वारा दिए गए <math>\rho(a)v = av</math> वलय समरूपता है। अधिक आम तौर पर, एबेलियन समूह एम को देखते हुए, वलय आर पर एम पर मॉड्यूल संरचना वलय होमोमोर्फिज्म देने के बराबर है <math>R \to \operatorname{End}(M)</math>.
-* क्रमविनिमेय वलय आर पर यूनिटल [[साहचर्य बीजगणित]] के बीच यूनिटल [[बीजगणित समरूपता]] वलय होमोमोर्फिज्म है जो मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म | आर-रैखिक भी है।
+* क्रमविनिमेय वलय आर पर यूनिटल [[साहचर्य बीजगणित]] के मध्य यूनिटल [[बीजगणित समरूपता]] वलय होमोमोर्फिज्म है जो मॉड्यूल होमोमोर्फिज्म | आर-रैखिक भी है।
 == गैर-उदाहरण ==
-* कार्यक्रम {{nowrap|''f'' : '''Z'''/6'''Z''' → '''Z'''/6'''Z'''}} द्वारा परिभाषित {{nowrap|1=''f''([''a'']<sub>6</sub>) = [4''a'']<sub>6</sub>}} है रंग समरूपता (और रंग एंडोमोर्फिज्म), कर्नेल 3Z/6Z और छवि 2Z/6Z के साथ (जो Z/3Z के लिए आइसोमोर्फिक है)।
+* फलनक्रम {{nowrap|''f'' : '''Z'''/6'''Z''' → '''Z'''/6'''Z'''}} द्वारा परिभाषित {{nowrap|1=''f''([''a'']<sub>6</sub>) = [4''a'']<sub>6</sub>}} है रंग समरूपता (और रंग एंडोमोर्फिज्म), कर्नेल 3Z/6Z और छवि 2Z/6Z के साथ (जो Z/3Z के लिए आइसोमोर्फिक है)।
 * कोई वलय समरूपता नहीं है {{nowrap|'''Z'''/''n'''''Z''' → '''Z'''}} किसी के लिए {{nowrap|''n'' ≥ 1}}.
-* यदि आर और एस वलय हैं, तो समावेशन <math>R \to R \times S</math> प्रत्येक r को (r,0) पर भेजना rng समरूपता है, लेकिन वलय समरूपता नहीं है (यदि S शून्य वलय नहीं है), क्योंकि यह R की गुणक पहचान 1 को गुणक पहचान (1,1) से मैप नहीं करता है। <math>R \times S</math>.
+* यदि आर और एस वलय हैं, तो समावेशन <math>R \to R \times S</math> प्रत्येक r को (r,0) पर भेजना rng समरूपता है, किंतु वलय समरूपता नहीं है (यदि S शून्य वलय नहीं है), क्योंकि यह R की गुणक पहचान 1 को गुणक पहचान (1,1) से मैप नहीं करता है। <math>R \times S</math>.
 ==अंगूठियों की श्रेणी==
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 ===एंडोमोर्फिज्म, आइसोमोर्फिज्म, और ऑटोमोर्फिज्म===
 * वलय एंडोमोर्फिज्म वलय से स्वयं तक वलय होमोमोर्फिज्म है।
-* वलय समरूपता वलय समरूपता है जिसमें दो-तरफा व्युत्क्रम होता है जो वलय समरूपता भी है। कोई यह सिद्ध कर सकता है कि वलय समरूपता समरूपता है यदि और केवल यदि यह अंतर्निहित सेटों पर फ़ंक्शन के रूप में विशेषण है। यदि दो वलय ''आर'' और ''एस'' के बीच वलय समरूपता मौजूद है, तो ''आर'' और ''एस'' को समरूपी कहा जाता है। समरूपी वलय केवल तत्वों के पुनः लेबलिंग द्वारा भिन्न होते हैं। उदाहरण: समरूपता तक, क्रम 4 के चार वलय होते हैं। (इसका मतलब है कि क्रम 4 के चार जोड़ीदार गैर-समरूपी वलय होते हैं, जैसे कि क्रम 4 का हर दूसरा वलय उनमें से के लिए समरूपी होता है।) दूसरी ओर, समरूपता तक ग्यारह होते हैं rngs क्रम 4 का.
+* वलय समरूपता वलय समरूपता है जिसमें दो-तरफा व्युत्क्रम होता है जो वलय समरूपता भी है। कोई यह सिद्ध कर सकता है कि वलय समरूपता समरूपता है यदि और केवल यदि यह अंतर्निहित सेटों पर फ़ंक्शन के रूप में विशेषण है। यदि दो वलय ''आर'' और ''एस'' के मध्य वलय समरूपता उपस्थित है, तो ''आर'' और ''एस'' को समरूपी कहा जाता है। समरूपी वलय केवल तत्वों के पुनः लेबलिंग द्वारा भिन्न होते हैं। उदाहरण: समरूपता तक, क्रम 4 के चार वलय होते हैं। (इसका मतलब है कि क्रम 4 के चार जोड़ीदार गैर-समरूपी वलय होते हैं, जैसे कि क्रम 4 का हर दूसरा वलय उनमें से के लिए समरूपी होता है।) दूसरी ओर, समरूपता तक ग्यारह होते हैं rngs क्रम 4 का.
 * वलय ऑटोमोर्फिज्म वलय से स्वयं तक वलय आइसोमोर्फिज्म है।
 ===[[एकरूपता]] और एपिमोर्फिज्म===
-इंजेक्टिव वलय होमोमोर्फिज्म वलयों की श्रेणी में मोनोमोर्फिज्म के समान हैं: यदि {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} मोनोमोर्फिज्म है जो इंजेक्शन नहीं है, तो यह कुछ आर भेजता है<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub> एस के ही तत्व के लिए दो मानचित्रों पर विचार करें जी<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> Z[''x''] से ''R'' तक वह मानचित्र ''x'' से ''r''<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub>, क्रमश; {{nowrap|''f'' ∘ ''g''<sub>1</sub>}} और {{nowrap|''f'' ∘ ''g''<sub>2</sub>}} समान हैं, लेकिन चूँकि f एकरूपता है इसलिए यह असंभव है।
+इंजेक्टिव वलय होमोमोर्फिज्म वलयों की श्रेणी में मोनोमोर्फिज्म के समान हैं: यदि {{nowrap|''f'' : ''R'' → ''S''}} मोनोमोर्फिज्म है जो इंजेक्शन नहीं है, तो यह कुछ आर भेजता है<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub> एस के ही तत्व के लिए दो मानचित्रों पर विचार करें जी<sub>1</sub> और जी<sub>2</sub> Z[''x''] से ''R'' तक वह मानचित्र ''x'' से ''r''<sub>1</sub> और आर<sub>2</sub>, क्रमश; {{nowrap|''f'' ∘ ''g''<sub>1</sub>}} और {{nowrap|''f'' ∘ ''g''<sub>2</sub>}} समान हैं, किंतु चूँकि f एकरूपता है इसलिए यह असंभव है।
-हालाँकि, विशेषण वलय समरूपता वलय की श्रेणी में [[एपिमोर्फिज्म]] से काफी भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन {{nowrap|'''Z''' ⊆ '''Q'''}} [[मजबूत प्रतीकवाद]] है, लेकिन अनुमान नहीं है। हालाँकि, वे बिल्कुल मजबूत एपिमोर्फिज्म के समान हैं।
+हालाँकि, विशेषण वलय समरूपता वलय की श्रेणी में [[एपिमोर्फिज्म]] से काफी भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, समावेशन {{nowrap|'''Z''' ⊆ '''Q'''}} [[मजबूत प्रतीकवाद]] है, किंतु अनुमान नहीं है। हालाँकि, वे बिल्कुल मजबूत एपिमोर्फिज्म के समान हैं।
 == यह भी देखें ==

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एंडोमोर्फिज्म, आइसोमोर्फिज्म, और ऑटोमोर्फिज्म

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