विभाजन बिंदु: Difference between revisions

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जटिल विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, बहु-मूल्यवान फलन का शाखा बिंदु | बहु-मूल्यवान फलन (आमतौर पर जटिल विश्लेषण के संदर्भ में बहुक्रिया के रूप में संदर्भित^{[citation needed]}) ऐसा बिंदु है कि यदि उस बिंदु पर फ़ंक्शन का n-मान (n मान है) है, तो उसके सभी पड़ोस में बिंदु होता है जिसमें n मान से अधिक होता है^[1]. रीमैन सतहों का उपयोग करके बहु-मूल्यवान कार्यों का कड़ाई से अध्ययन किया जाता है, और शाखा बिंदुओं की औपचारिक परिभाषा इस अवधारणा को नियोजित करती है।

शाखा बिंदु तीन व्यापक श्रेणियों में आते हैं: बीजगणितीय शाखा बिंदु, ट्रान्सेंडैंटल शाखा बिंदु और लघुगणक शाखा बिंदु। बीजगणितीय शाखा बिंदु आमतौर पर उन कार्यों से उत्पन्न होते हैं जिनमें जड़ निकालने में अस्पष्टता होती है, जैसे कि समीकरण को हल करना² = z for w for z के फलन के रूप में। यहां शाखा बिंदु उत्पत्ति है, क्योंकि मूल युक्त बंद लूप के आसपास किसी भी समाधान की विश्लेषणात्मक निरंतरता के परिणामस्वरूप अलग कार्य होगा: गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी है। बीजगणितीय शाखा बिंदु के बावजूद, फ़ंक्शन w को बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और उचित अर्थ में, मूल में निरंतर है। यह ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदुओं के विपरीत है, अर्थात, ऐसे बिंदु जिन पर बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन में गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी और आवश्यक विलक्षणता होती है। ज्यामितीय कार्य सिद्धांत में, शब्द शाखा बिंदु का अयोग्य उपयोग आमतौर पर पूर्व अधिक प्रतिबंधात्मक प्रकार का अर्थ है: बीजगणितीय शाखा बिंदु।^[2] जटिल विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों में, अयोग्य शब्द भी पारलौकिक प्रकार के अधिक सामान्य शाखा बिंदुओं का उल्लेख कर सकता है।

बीजगणितीय शाखा बिंदु

चलो Ω जटिल विमान C में जुड़ा हुआ खुला सेट है और ƒ:Ω → C होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। यदि ƒ स्थिर नहीं है, तो ƒ के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) का समुच्चय, अर्थात व्युत्पन्न ƒ के शून्य '( z), Ω में कोई सीमा बिंदु नहीं है। तो प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु z₀ ƒ डिस्क के केंद्र में स्थित है B(z₀,r) इसके बंद होने में ƒ का कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।

चलो γ बी की सीमा हो (z₀, आर), इसके सकारात्मक अभिविन्यास के साथ लिया गया। बिंदु के संबंध में ƒ(γ) की वाइंडिंग संख्या ƒ(z₀) धनात्मक पूर्णांक है जिसे z का रामीकरण (गणित) सूचकांक कहा जाता है₀. यदि रेमीफिकेशन इंडेक्स 1 से अधिक है, तो z₀ ƒ का शाखा बिंदु कहा जाता है, और संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य ƒ(z₀) को (बीजगणितीय) शाखा बिंदु कहा जाता है। समान रूप से, ज़₀ यदि z के पड़ोस में परिभाषित होलोमोर्फिक फ़ंक्शन φ मौजूद है तो यह शाखा बिंदु है₀ जैसे कि ƒ(z) = φ(z)(z − z₀)^के + f(z₀) पूर्णांक k > 1 के लिए।

आम तौर पर, किसी को ƒ में दिलचस्पी नहीं है, लेकिन इसके उलटा कार्य में दिलचस्पी है। हालाँकि, शाखा बिंदु के पड़ोस में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ठीक से मौजूद नहीं है, और इसलिए इसे वैश्विक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के रूप में बहु-मूल्यवान अर्थों में परिभाषित करने के लिए मजबूर किया जाता है। शब्दावली का दुरुपयोग करना और शाखा बिंदु w को संदर्भित करना आम बात है₀= ƒ(z₀) का ƒ वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के शाखा बिंदु के रूप में^-1. अन्य प्रकार के बहु-मूल्यवान वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए शाखा बिंदुओं की अधिक सामान्य परिभाषाएँ संभव हैं, जैसे कि परिभाषित अंतर्निहित कार्य। इस तरह के उदाहरणों से निपटने के लिए एकीकृत ढांचा नीचे रीमैन सतहों की भाषा में प्रदान किया गया है। विशेष रूप से, इस अधिक सामान्य तस्वीर में, 1 से अधिक क्रम के पोल (जटिल विश्लेषण) को भी शाखा बिंदु माना जा सकता है।

व्युत्क्रम वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के संदर्भ में^-1, शाखा बिंदु वे बिंदु हैं जिनके चारों ओर गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन ƒ(z) = z² का z पर शाखा बिंदु है₀= 0. व्युत्क्रम फलन वर्गमूल ƒ है⁻¹(w) = w^1/2, जिसका शाखा बिंदु w पर है₀= 0. वास्तव में, बंद लूप के चारों ओर जा रहा है w = e^iθ, θ = 0 से शुरू होता है और e^i0/2 = 1. लेकिन θ = 2 पर लूप के चारों ओर जाने के बाद $π$ , के पास ई है^{2 $π$ i/2} = −1. इस प्रकार मूल को घेरने वाले इस पाश के चारों ओर मोनोड्रोमी है।

ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदु

मान लीजिए कि g वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे z के चारों ओर वलय (गणित) पर परिभाषित किया गया है₀. तब g का 'ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट' होता है यदि z₀ जी की आवश्यक विलक्षणता है जैसे कि बिंदु z के आसपास कुछ सरल बंद वक्र के आसपास बार फ़ंक्शन तत्व की विश्लेषणात्मक निरंतरता₀ अलग कार्य तत्व उत्पन्न करता है।^[3] ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट का उदाहरण बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन का मूल है

g(z)=\exp \left(z^{-1/k}\right)\,

कुछ पूर्णांक k के लिए > 1। यहां मूल के चारों ओर सर्किट के लिए मोनोड्रोमी समूह परिमित है। के पूर्ण सर्किट के आसपास विश्लेषणात्मक निरंतरता फ़ंक्शन को मूल में वापस लाती है।

यदि मोनोड्रोमी समूह अनंत है, अर्थात, z के बारे में गैर-शून्य घुमावदार संख्या के साथ वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा मूल फ़ंक्शन तत्व पर वापस लौटना असंभव है₀, फिर बिंदु z₀ लघुगणक शाखा बिंदु कहा जाता है।^[4] इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस घटना का विशिष्ट उदाहरण मूल में जटिल लघुगणक का शाखा बिंदु है। मूल बिंदु को घेरने वाले सरल बंद वक्र के चारों ओर बार वामावर्त जाने पर, जटिल लघुगणक 2 से बढ़ जाता है $π$ मैं। वाइंडिंग संख्या w के साथ लूप को घेरने पर, लघुगणक 2 से बढ़ जाता है $π$ i w और मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय समूह है $\mathbb {Z}$ .

लॉगरिदमिक ब्रांच पॉइंट ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट के विशेष मामले हैं।

ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक ब्रांच पॉइंट्स के लिए शाखाकरण की कोई संगत धारणा नहीं है क्योंकि रीमैन सतह को कवर करने वाली संबंधित शाखा को विश्लेषणात्मक रूप से शाखा बिंदु के कवर तक जारी नहीं रखा जा सकता है। इसलिए इस तरह के कवर हमेशा असम्बद्ध होते हैं।

उदाहरण

0 वर्गमूल फलन का शाखा बिंदु है। मान लीजिए w=z^1/2, और z 4 से शुरू होता है और 0 पर केंद्रित कॉम्प्लेक्स प्लेन में त्रिज्या 4 के चक्र के साथ चलता है। निरंतर तरीके से z पर निर्भर करते हुए निर्भर चर w बदलता है। जब z ने पूर्ण वृत्त बनाया है, 4 से फिर से 4 पर जाकर, w ने 4 के धनात्मक वर्गमूल से, यानी 2 से, 4 के ऋणात्मक वर्गमूल तक, अर्धवृत्त बनाया होगा, अर्थात, - 2.
0 प्राकृतिक लघुगणक का शाखा बिंदु भी है। चूंकि ई⁰ ई के समान है^{2 $π$ i}, 0 और 2 दोनों $π$ मैं ln(1) के अनेक मानों में से हूँ। जब z त्रिज्या 1 के चक्र के साथ 0 पर केंद्रित होता है, w = ln(z) 0 से 2 तक जाता है $π$ मैं।
त्रिकोणमिति में, चूँकि tan( $π$ /4) और टैन (5 $π$ /4) दोनों 1, दो संख्याओं के बराबर हैं $π$ /4 और 5 $π$ /4 arctan(1) के कई मानों में से हैं। काल्पनिक इकाइयां i और −i आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन आर्कटन(z) = (1/2i)लॉग[(i − z)/(i + z)] के शाखा बिंदु हैं। यह देखकर देखा जा सकता है कि डेरिवेटिव (d/dz) आर्कटन(z) = 1/(1 + z²) में उन दो बिंदुओं पर सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, क्योंकि उन बिंदुओं पर भाजक शून्य है।
यदि किसी फ़ंक्शन ƒ के डेरिवेटिव ƒ ' में बिंदु a पर सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, तो ƒ में a पर लघुगणकीय शाखा बिंदु है। विलोम सत्य नहीं है, क्योंकि फलन ƒ(z) = z^α अपरिमेय α के लिए लघुगणक शाखा बिंदु है, और इसका व्युत्पन्न ध्रुव के बिना एकवचन है।

शाखा कट

मोटे तौर पर, शाखा बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां से अधिक मूल्यवान फ़ंक्शन की विभिन्न शीट साथ आती हैं। फ़ंक्शन की शाखाएँ फ़ंक्शन की विभिन्न शीट हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन w=z^1/2 की दो शाखाएँ हैं: जहाँ वर्गमूल धन चिह्न के साथ आता है, और दूसरा ऋण चिह्न के साथ। शाखा कट जटिल विमान में वक्र है जैसे कि वक्र के समतल पर बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन की एकल विश्लेषणात्मक शाखा को परिभाषित करना संभव है। शाखा कटौती आमतौर पर शाखा बिंदुओं के जोड़े के बीच ली जाती है, लेकिन हमेशा नहीं।

शाखा कटौती एकल-मूल्यवान कार्यों के संग्रह के साथ काम करने की अनुमति देती है, बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के बजाय शाखा कट के साथ साथ चिपक जाती है। उदाहरण के लिए, समारोह बनाने के लिए

F(z)={\sqrt {z}}{\sqrt {1-z}}\,

सिंगल-वैल्यूड, वास्तविक धुरी पर अंतराल [0, 1] के साथ शाखा काटता है, फ़ंक्शन के दो शाखा बिंदुओं को जोड़ता है। समारोह पर ही विचार लागू किया जा सकता है √z; लेकिन उस मामले में किसी को यह समझना होगा कि अनंत पर बिंदु 0 से कनेक्ट करने के लिए उपयुक्त 'अन्य' शाखा बिंदु है, उदाहरण के लिए पूरे नकारात्मक वास्तविक धुरी के साथ।

शाखा कट डिवाइस मनमाना दिखाई दे सकता है (और यह है); लेकिन यह बहुत उपयोगी है, उदाहरण के लिए विशेष कार्यों के सिद्धांत में। शाखा परिघटना की अपरिवर्तनीय व्याख्या रीमैन सतह सिद्धांत (जिसमें से यह ऐतिहासिक रूप से मूल है) में विकसित की गई है, और अधिक आम तौर पर बीजगणितीय कार्यों और अंतर समीकरणों के शाखाकरण और मोनोड्रोमी सिद्धांत में।

जटिल लघुगणक

जटिल लघुगणक फ़ंक्शन के बहु-मूल्यवान काल्पनिक भाग का प्लॉट, जो शाखाओं को दिखाता है। जटिल संख्या के रूप में z मूल के चारों ओर जाता है, लघुगणक का काल्पनिक भाग ऊपर या नीचे जाता है। यह मूल को फ़ंक्शन का शाखा बिंदु बनाता है।

शाखा कट का विशिष्ट उदाहरण जटिल लघुगणक है। यदि कोई सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप में प्रदर्शित होती है तो z=re^iθ, तो z का लघुगणक है

\ln z=\ln r+i\theta .\,

हालांकि, कोण θ को परिभाषित करने में स्पष्ट अस्पष्टता है: θ में 2 के किसी भी पूर्णांक एकाधिक को जोड़ना $π$ और संभावित कोण निकलेगा। लघुगणक की शाखा सतत फलन L(z) है जो जटिल समतल में जुड़े खुले सेट में सभी z के लिए z का लघुगणक देता है। विशेष रूप से, लघुगणक की शाखा मूल से अनंत तक किसी भी किरण के पूरक में मौजूद होती है: शाखा कट। शाखा कटौती का आम विकल्प नकारात्मक वास्तविक धुरी है, हालांकि चुनाव काफी हद तक सुविधा का विषय है।

लघुगणक में 2 का जंप डिसकंटीन्युटी है $π$ मैं शाखा को पार करते समय कट गया। लघुगणक को साथ चिपकाकर निरंतर बनाया जा सकता है, शाखा कट के साथ जटिल विमान की कई प्रतियाँ, जिन्हें शीट कहा जाता है, सेट करें। प्रत्येक शीट पर, लॉग का मान उसके मूल मान से 2 के गुणक से भिन्न होता है $π$ मैं। लघुगणक को निरंतर बनाने के लिए इन सतहों को अनोखे तरीके से काटी गई शाखा के साथ दूसरे से चिपकाया जाता है। हर बार चर मूल के आसपास जाता है, लघुगणक अलग शाखा में चला जाता है।

ध्रुवों की निरंतरता

एक कारण यह है कि शाखाओं में कटौती जटिल विश्लेषण की सामान्य विशेषताएं हैं कि शाखा कटौती को असीम रूप से अवशेषों के साथ जटिल विमान में रेखा के साथ व्यवस्थित कई ध्रुवों के योग के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए,

f_{a}(z)={1 \over z-a}

z = a पर साधारण ध्रुव वाला कार्य है। पोल के स्थान पर घालमेल:

u(z)=\int _{a=-1}^{a=1}f_{a}(z)\,da=\int _{a=-1}^{a=1}{1 \over z-a}\,da=\log \left({z+1 \over z-1}\right)

एक फ़ंक्शन u(z) को -1 से 1 तक कट के साथ परिभाषित करता है। शाखा कट को इधर-उधर ले जाया जा सकता है, क्योंकि एकीकरण रेखा को अभिन्न के मान में बदलाव किए बिना स्थानांतरित किया जा सकता है, जब तक कि रेखा बिंदु z के पार नहीं जाती है .

रीमैन सरफेस

एक शाखा बिंदु की अवधारणा को होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन ƒ:X → Y के लिए परिभाषित किया गया है, जो कॉम्पैक्ट कनेक्टेड रीमैन सतह X से कॉम्पैक्ट रीमैन सतह Y (आमतौर पर रीमैन क्षेत्र) तक है। जब तक यह स्थिर नहीं है, तब तक फ़ंक्शन ƒ इसकी छवि पर अंतरिक्ष को कवर करना होगा, लेकिन बिंदुओं की सीमित संख्या होगी। X के बिंदु जहां ƒ आवरण बनने में विफल रहता है, ƒ के शाखा बिंदु हैं, और ƒ के तहत शाखा बिंदु की छवि को शाखा बिंदु कहा जाता है।

किसी भी बिंदु P ∈ X और Q = ƒ(P) ∈ Y के लिए, P के पास X के लिए होलोमोर्फिक स्थानीय निर्देशांक z हैं और Q के पास Y के लिए w हैं जिसके संदर्भ में फ़ंक्शन ƒ(z) द्वारा दिया गया है

w=z^{k}

किसी पूर्णांक k के लिए। इस पूर्णांक को P का रेमीफिकेशन इंडेक्स कहा जाता है। आमतौर पर रेमीफिकेशन इंडेक्स होता है। लेकिन अगर रेमीफिकेशन इंडेक्स के बराबर नहीं है, तो P परिभाषा के अनुसार रेमीफिकेशन पॉइंट है, और Q ब्रांच पॉइंट है।

यदि Y केवल रीमैन क्षेत्र है, और Q, Y के परिमित भाग में है, तो विशेष निर्देशांकों का चयन करने की कोई आवश्यकता नहीं है। रेमीफिकेशन इंडेक्स की गणना कॉची के अभिन्न सूत्र से स्पष्ट रूप से की जा सकती है। γ को P के चारों ओर X में सरल सुधार योग्य लूप होने दें। P पर ƒ का रेमीफिकेशन इंडेक्स है

e_{P}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)-f(P)}}\,dz.

यह समाकल बिंदु Q के चारों ओर ƒ(γ) हवाओं की संख्या है। ऊपर के रूप में, P शाखा बिंदु है और Q शाखा बिंदु है यदि e_P > 1.

बीजगणितीय ज्यामिति

बीजगणितीय ज्यामिति के संदर्भ में शाखा बिंदुओं की धारणा को स्वैच्छिक बीजगणितीय वक्रों के बीच मैपिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए ƒ:X → Y बीजगणितीय वक्रों का आकार है। Y पर तर्कसंगत कार्यों को X पर तर्कसंगत कार्यों में वापस खींचकर, K(X) K(Y) का क्षेत्र विस्तार है। ƒ की डिग्री को इस क्षेत्र विस्तार की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है [K(X):K(Y)], और ƒ को परिमित कहा जाता है यदि डिग्री परिमित है।

मान लीजिए कि ƒ परिमित है। बिंदु P∈ X के लिए, शाखा अनुक्रमणिका e_P निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। चलो क्यू = ƒ(पी) और पी पर स्थानीय पैरामीटर होने दें; अर्थात, t नियमित फलन है जिसे Q के पड़ोस में t(Q) = 0 के साथ परिभाषित किया गया है जिसका अवकलन शून्य नहीं है। t द्वारा ƒ को वापस खींचना X पर नियमित कार्य को परिभाषित करता है। फिर

e_{P}=v_{P}(t\circ f)

जहां वि_P पी पर नियमित कार्यों के स्थानीय रिंग में मूल्यांकन की अंगूठी है। यानी, ई_P जिसके लिए आदेश है $t\circ f$ पी पर गायब हो जाता है। अगर ई_P> 1, तो ƒ को P पर शाखायुक्त कहा जाता है। उस स्थिति में, Q को शाखा बिंदु कहा जाता है।

↑ Das, Shantanu (2011), "Fractional Differintegrations Insight Concepts", Functional Fractional Calculus, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 213–269, doi:10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, retrieved 2022-04-27 (page 6)
↑ Ahlfors 1979
↑ Solomentsev 2001; Markushevich 1965
↑ "Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-06-11.

संदर्भ

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Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
Markushevich, A. I. (1965), Theory of functions of a complex variable. Vol. I, Translated and edited by Richard A. Silverman, Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall Inc., MR 0171899
Solomentsev, E.D. (2001) [1994], "Branch point", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] Das, Shantanu (2011), "Fractional Differintegrations Insight Concepts", Functional Fractional Calculus, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, pp. 213–269, doi:10.1007/978-3-642-20545-3_5, ISBN 978-3-642-20544-6, retrieved 2022-04-27 (page 6)

[2] Ahlfors 1979

[3] Solomentsev 2001; Markushevich 1965

[4] "Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-06-11.

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-[[जटिल विश्लेषण]] के गणित क्षेत्र में, एक बहु-मूल्यवान फलन का एक शाखा बिंदु | बहु-मूल्यवान फलन (आमतौर पर जटिल विश्लेषण के संदर्भ में एक बहुक्रिया के रूप में संदर्भित{{cn|date=January 2021}}) एक ऐसा बिंदु है कि यदि उस बिंदु पर फ़ंक्शन का n-मान (n मान है) है, तो उसके सभी पड़ोस में एक बिंदु होता है जिसमें n मान से अधिक होता है<ref>{{Citation |last=Das |first=Shantanu |title=Fractional Differintegrations Insight Concepts |date=2011 |url=http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-20545-3_5 |work=Functional Fractional Calculus |pages=213–269 |place=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer Berlin Heidelberg |doi=10.1007/978-3-642-20545-3_5 |isbn=978-3-642-20544-6 |access-date=2022-04-27}} (page 6)</ref>. [[रीमैन सतह]]ों का उपयोग करके बहु-मूल्यवान कार्यों का कड़ाई से अध्ययन किया जाता है, और शाखा बिंदुओं की औपचारिक परिभाषा इस अवधारणा को नियोजित करती है।
+[[जटिल विश्लेषण]] के गणित क्षेत्र में, बहु-मूल्यवान फलन का शाखा बिंदु | बहु-मूल्यवान फलन (आमतौर पर जटिल विश्लेषण के संदर्भ में बहुक्रिया के रूप में संदर्भित{{cn|date=January 2021}}) ऐसा बिंदु है कि यदि उस बिंदु पर फ़ंक्शन का n-मान (n मान है) है, तो उसके सभी पड़ोस में बिंदु होता है जिसमें n मान से अधिक होता है<ref>{{Citation |last=Das |first=Shantanu |title=Fractional Differintegrations Insight Concepts |date=2011 |url=http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-20545-3_5 |work=Functional Fractional Calculus |pages=213–269 |place=Berlin, Heidelberg |publisher=Springer Berlin Heidelberg |doi=10.1007/978-3-642-20545-3_5 |isbn=978-3-642-20544-6 |access-date=2022-04-27}} (page 6)</ref>. [[रीमैन सतह]]ों का उपयोग करके बहु-मूल्यवान कार्यों का कड़ाई से अध्ययन किया जाता है, और शाखा बिंदुओं की औपचारिक परिभाषा इस अवधारणा को नियोजित करती है।
-शाखा बिंदु तीन व्यापक श्रेणियों में आते हैं: बीजगणितीय शाखा बिंदु, ट्रान्सेंडैंटल शाखा बिंदु और लघुगणक शाखा बिंदु। बीजगणितीय शाखा बिंदु आमतौर पर उन कार्यों से उत्पन्न होते हैं जिनमें जड़ निकालने में अस्पष्टता होती है, जैसे कि समीकरण को हल करना<sup>2</sup>  = z for w for z के फलन के रूप में। यहां शाखा बिंदु उत्पत्ति है, क्योंकि मूल युक्त बंद लूप के आसपास किसी भी समाधान की [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के परिणामस्वरूप एक अलग कार्य होगा: गैर-तुच्छ [[मोनोड्रोमी]] है। बीजगणितीय शाखा बिंदु के बावजूद, फ़ंक्शन w को बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और उचित अर्थ में, मूल में निरंतर है। यह ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदुओं के विपरीत है, अर्थात, ऐसे बिंदु जिन पर बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन में गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी और एक [[आवश्यक विलक्षणता]] होती है। [[ज्यामितीय कार्य सिद्धांत]] में, शब्द शाखा बिंदु का अयोग्य उपयोग आमतौर पर पूर्व अधिक प्रतिबंधात्मक प्रकार का अर्थ है: बीजगणितीय शाखा बिंदु।<ref>{{harvnb|Ahlfors|1979}}</ref> जटिल विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों में, अयोग्य शब्द भी पारलौकिक प्रकार के अधिक सामान्य शाखा बिंदुओं का उल्लेख कर सकता है।
+शाखा बिंदु तीन व्यापक श्रेणियों में आते हैं: बीजगणितीय शाखा बिंदु, ट्रान्सेंडैंटल शाखा बिंदु और लघुगणक शाखा बिंदु। बीजगणितीय शाखा बिंदु आमतौर पर उन कार्यों से उत्पन्न होते हैं जिनमें जड़ निकालने में अस्पष्टता होती है, जैसे कि समीकरण को हल करना<sup>2</sup>  = z for w for z के फलन के रूप में। यहां शाखा बिंदु उत्पत्ति है, क्योंकि मूल युक्त बंद लूप के आसपास किसी भी समाधान की [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के परिणामस्वरूप अलग कार्य होगा: गैर-तुच्छ [[मोनोड्रोमी]] है। बीजगणितीय शाखा बिंदु के बावजूद, फ़ंक्शन w को बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और उचित अर्थ में, मूल में निरंतर है। यह ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदुओं के विपरीत है, अर्थात, ऐसे बिंदु जिन पर बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन में गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी और [[आवश्यक विलक्षणता]] होती है। [[ज्यामितीय कार्य सिद्धांत]] में, शब्द शाखा बिंदु का अयोग्य उपयोग आमतौर पर पूर्व अधिक प्रतिबंधात्मक प्रकार का अर्थ है: बीजगणितीय शाखा बिंदु।<ref>{{harvnb|Ahlfors|1979}}</ref> जटिल विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों में, अयोग्य शब्द भी पारलौकिक प्रकार के अधिक सामान्य शाखा बिंदुओं का उल्लेख कर सकता है।
 == बीजगणितीय शाखा बिंदु ==
-चलो Ω [[जटिल विमान]] C में एक जुड़ा हुआ [[खुला सेट]] है और ''ƒ'':Ω → C एक [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है। यदि ''ƒ'' स्थिर नहीं है, तो ''ƒ'' के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] का समुच्चय, अर्थात व्युत्पन्न ''ƒ'' के शून्य <nowiki>'</nowiki>( ''z''), Ω में कोई [[सीमा बिंदु]] नहीं है। तो प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु ''z''<sub>0</sub> ƒ एक डिस्क के केंद्र में स्थित है B(z<sub>0</sub>,r) इसके बंद होने में ƒ का कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।
+चलो Ω [[जटिल विमान]] C में जुड़ा हुआ [[खुला सेट]] है और ''ƒ'':Ω → C [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है। यदि ''ƒ'' स्थिर नहीं है, तो ''ƒ'' के [[महत्वपूर्ण बिंदु (गणित)]] का समुच्चय, अर्थात व्युत्पन्न ''ƒ'' के शून्य <nowiki>'</nowiki>( ''z''), Ω में कोई [[सीमा बिंदु]] नहीं है। तो प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु ''z''<sub>0</sub> ƒ डिस्क के केंद्र में स्थित है B(z<sub>0</sub>,r) इसके बंद होने में ƒ का कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं है।
-चलो γ बी की सीमा हो (z<sub>0</sub>, आर), इसके सकारात्मक अभिविन्यास के साथ लिया गया। बिंदु के संबंध में ƒ(γ) की वाइंडिंग संख्या ƒ(z<sub>0</sub>) एक धनात्मक पूर्णांक है जिसे ''z'' का रामीकरण (गणित) सूचकांक कहा जाता है<sub>0</sub>. यदि रेमीफिकेशन इंडेक्स 1 से अधिक है, तो z<sub>0</sub> ''ƒ'' का एक शाखा बिंदु कहा जाता है, और संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य ''ƒ''(''z''<sub>0</sub>) को (बीजगणितीय) शाखा बिंदु कहा जाता है। समान रूप से, ''ज़''<sub>0</sub> यदि z के पड़ोस में परिभाषित होलोमोर्फिक फ़ंक्शन φ मौजूद है तो यह एक शाखा बिंदु है<sub>0</sub> जैसे कि ƒ(z) = φ(z)(z − z<sub>0</sub>)<sup>के</sup> + f(z<sub>0</sub>) पूर्णांक k > 1 के लिए।
+चलो γ बी की सीमा हो (z<sub>0</sub>, आर), इसके सकारात्मक अभिविन्यास के साथ लिया गया। बिंदु के संबंध में ƒ(γ) की वाइंडिंग संख्या ƒ(z<sub>0</sub>) धनात्मक पूर्णांक है जिसे ''z'' का रामीकरण (गणित) सूचकांक कहा जाता है<sub>0</sub>. यदि रेमीफिकेशन इंडेक्स 1 से अधिक है, तो z<sub>0</sub> ''ƒ'' का शाखा बिंदु कहा जाता है, और संबंधित महत्वपूर्ण मूल्य ''ƒ''(''z''<sub>0</sub>) को (बीजगणितीय) शाखा बिंदु कहा जाता है। समान रूप से, ''ज़''<sub>0</sub> यदि z के पड़ोस में परिभाषित होलोमोर्फिक फ़ंक्शन φ मौजूद है तो यह शाखा बिंदु है<sub>0</sub> जैसे कि ƒ(z) = φ(z)(z − z<sub>0</sub>)<sup>के</sup> + f(z<sub>0</sub>) पूर्णांक k > 1 के लिए।
-आम तौर पर, किसी को ƒ में दिलचस्पी नहीं है, लेकिन इसके उलटा कार्य में दिलचस्पी है। हालाँकि, एक शाखा बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ठीक से मौजूद नहीं है, और इसलिए इसे एक वैश्विक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के रूप में बहु-मूल्यवान अर्थों में परिभाषित करने के लिए मजबूर किया जाता है। [[शब्दावली का दुरुपयोग]] करना और शाखा बिंदु w को संदर्भित करना आम बात है<sub>0</sub>= ƒ(z<sub>0</sub>) का ƒ वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के एक शाखा बिंदु के रूप में<sup>-1</sup>. अन्य प्रकार के बहु-मूल्यवान वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए शाखा बिंदुओं की अधिक सामान्य परिभाषाएँ संभव हैं, जैसे कि परिभाषित अंतर्निहित कार्य। इस तरह के उदाहरणों से निपटने के लिए एक एकीकृत ढांचा नीचे रीमैन सतहों की भाषा में प्रदान किया गया है। विशेष रूप से, इस अधिक सामान्य तस्वीर में, 1 से अधिक क्रम के [[पोल (जटिल विश्लेषण)]] को भी शाखा बिंदु माना जा सकता है।
+आम तौर पर, किसी को ƒ में दिलचस्पी नहीं है, लेकिन इसके उलटा कार्य में दिलचस्पी है। हालाँकि, शाखा बिंदु के पड़ोस में होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का व्युत्क्रम ठीक से मौजूद नहीं है, और इसलिए इसे वैश्विक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के रूप में बहु-मूल्यवान अर्थों में परिभाषित करने के लिए मजबूर किया जाता है। [[शब्दावली का दुरुपयोग]] करना और शाखा बिंदु w को संदर्भित करना आम बात है<sub>0</sub>= ƒ(z<sub>0</sub>) का ƒ वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के शाखा बिंदु के रूप में<sup>-1</sup>. अन्य प्रकार के बहु-मूल्यवान वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए शाखा बिंदुओं की अधिक सामान्य परिभाषाएँ संभव हैं, जैसे कि परिभाषित अंतर्निहित कार्य। इस तरह के उदाहरणों से निपटने के लिए एकीकृत ढांचा नीचे रीमैन सतहों की भाषा में प्रदान किया गया है। विशेष रूप से, इस अधिक सामान्य तस्वीर में, 1 से अधिक क्रम के [[पोल (जटिल विश्लेषण)]] को भी शाखा बिंदु माना जा सकता है।
-व्युत्क्रम वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के संदर्भ में<sup>-1</sup>, शाखा बिंदु वे बिंदु हैं जिनके चारों ओर गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन ƒ(z) = z<sup>2</sup> का z पर एक शाखा बिंदु है<sub>0</sub>= 0. व्युत्क्रम फलन वर्गमूल ƒ है<sup>−1</sup>(w) = w<sup>1/2</sup>, जिसका शाखा बिंदु w पर है<sub>0</sub>= 0. वास्तव में, बंद लूप के चारों ओर जा रहा है w = e<sup>iθ</sup>, एक θ = 0 से शुरू होता है और e<sup>i0/2</sup> = 1. लेकिन θ = 2 पर लूप के चारों ओर जाने के बाद{{pi}}, एक के पास ई है<sup>2{{pi}}i/2</sup> = −1. इस प्रकार मूल को घेरने वाले इस पाश के चारों ओर मोनोड्रोमी है।
+व्युत्क्रम वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य ƒ के संदर्भ में<sup>-1</sup>, शाखा बिंदु वे बिंदु हैं जिनके चारों ओर गैर-तुच्छ मोनोड्रोमी है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन ƒ(z) = z<sup>2</sup> का z पर शाखा बिंदु है<sub>0</sub>= 0. व्युत्क्रम फलन वर्गमूल ƒ है<sup>−1</sup>(w) = w<sup>1/2</sup>, जिसका शाखा बिंदु w पर है<sub>0</sub>= 0. वास्तव में, बंद लूप के चारों ओर जा रहा है w = e<sup>iθ</sup>, θ = 0 से शुरू होता है और e<sup>i0/2</sup> = 1. लेकिन θ = 2 पर लूप के चारों ओर जाने के बाद{{pi}}, के पास ई है<sup>2{{pi}}i/2</sup> = −1. इस प्रकार मूल को घेरने वाले इस पाश के चारों ओर मोनोड्रोमी है।
 == ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदु ==
-मान लीजिए कि g एक वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे z के चारों ओर एक [[वलय (गणित)]] पर परिभाषित किया गया है<sub>0</sub>. तब g का एक 'ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट' होता है यदि z<sub>0</sub> जी की एक आवश्यक विलक्षणता है जैसे कि बिंदु z के आसपास कुछ सरल बंद वक्र के आसपास एक बार एक फ़ंक्शन तत्व की विश्लेषणात्मक निरंतरता<sub>0</sub> एक अलग कार्य तत्व उत्पन्न करता है।<ref>{{harvnb|Solomentsev|2001}}; {{harvnb|Markushevich|1965}}</ref> ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट का एक उदाहरण बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन का मूल है
+मान लीजिए कि g वैश्विक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे z के चारों ओर [[वलय (गणित)]] पर परिभाषित किया गया है<sub>0</sub>. तब g का 'ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट' होता है यदि z<sub>0</sub> जी की आवश्यक विलक्षणता है जैसे कि बिंदु z के आसपास कुछ सरल बंद वक्र के आसपास बार फ़ंक्शन तत्व की विश्लेषणात्मक निरंतरता<sub>0</sub> अलग कार्य तत्व उत्पन्न करता है।<ref>{{harvnb|Solomentsev|2001}}; {{harvnb|Markushevich|1965}}</ref> ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट का उदाहरण बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन का मूल है
 :<math>g(z) = \exp \left( z^{-1/k}\right)\,</math>
-कुछ पूर्णांक k के लिए > 1। यहां मूल के चारों ओर एक सर्किट के लिए मोनोड्रोमी समूह परिमित है। के पूर्ण सर्किट के आसपास विश्लेषणात्मक निरंतरता फ़ंक्शन को मूल में वापस लाती है।
+कुछ पूर्णांक k के लिए > 1। यहां मूल के चारों ओर सर्किट के लिए मोनोड्रोमी समूह परिमित है। के पूर्ण सर्किट के आसपास विश्लेषणात्मक निरंतरता फ़ंक्शन को मूल में वापस लाती है।
-यदि मोनोड्रोमी समूह अनंत है, अर्थात, z के बारे में गैर-शून्य घुमावदार संख्या के साथ एक वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा मूल फ़ंक्शन तत्व पर वापस लौटना असंभव है<sub>0</sub>, फिर बिंदु z<sub>0</sub> लघुगणक शाखा बिंदु कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Logarithmic_branch_point|title=Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-06-11}}</ref> इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस घटना का विशिष्ट उदाहरण मूल में [[जटिल लघुगणक]] का शाखा बिंदु है। मूल बिंदु को घेरने वाले सरल बंद वक्र के चारों ओर एक बार वामावर्त जाने पर, जटिल लघुगणक 2 से बढ़ जाता है{{pi}}मैं। वाइंडिंग संख्या w के साथ एक लूप को घेरने पर, लघुगणक 2 से बढ़ जाता है{{pi}}i w और मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय समूह है <math>\mathbb{Z}</math>.
+यदि मोनोड्रोमी समूह अनंत है, अर्थात, z के बारे में गैर-शून्य घुमावदार संख्या के साथ वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा मूल फ़ंक्शन तत्व पर वापस लौटना असंभव है<sub>0</sub>, फिर बिंदु z<sub>0</sub> लघुगणक शाखा बिंदु कहा जाता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Logarithmic_branch_point|title=Logarithmic branch point - Encyclopedia of Mathematics|website=www.encyclopediaofmath.org|access-date=2019-06-11}}</ref> इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि इस घटना का विशिष्ट उदाहरण मूल में [[जटिल लघुगणक]] का शाखा बिंदु है। मूल बिंदु को घेरने वाले सरल बंद वक्र के चारों ओर बार वामावर्त जाने पर, जटिल लघुगणक 2 से बढ़ जाता है{{pi}}मैं। वाइंडिंग संख्या w के साथ लूप को घेरने पर, लघुगणक 2 से बढ़ जाता है{{pi}}i w और मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय समूह है <math>\mathbb{Z}</math>.
 लॉगरिदमिक ब्रांच पॉइंट ट्रान्सेंडैंटल ब्रांच पॉइंट के विशेष मामले हैं।
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 == उदाहरण ==
-* 0 [[वर्गमूल]] फलन का एक शाखा बिंदु है। मान लीजिए w=z<sup>1/2</sup>, और z 4 से शुरू होता है और 0 पर केंद्रित कॉम्प्लेक्स प्लेन में त्रिज्या 4 के एक चक्र के साथ चलता है। निरंतर तरीके से z पर निर्भर करते हुए निर्भर चर w बदलता है। जब z ने एक पूर्ण वृत्त बनाया है, 4 से फिर से 4 पर जाकर, w ने 4 के धनात्मक वर्गमूल से, यानी 2 से, 4 के ऋणात्मक वर्गमूल तक, एक अर्धवृत्त बनाया होगा, अर्थात, - 2.
+* 0 [[वर्गमूल]] फलन का शाखा बिंदु है। मान लीजिए w=z<sup>1/2</sup>, और z 4 से शुरू होता है और 0 पर केंद्रित कॉम्प्लेक्स प्लेन में त्रिज्या 4 के चक्र के साथ चलता है। निरंतर तरीके से z पर निर्भर करते हुए निर्भर चर w बदलता है। जब z ने पूर्ण वृत्त बनाया है, 4 से फिर से 4 पर जाकर, w ने 4 के धनात्मक वर्गमूल से, यानी 2 से, 4 के ऋणात्मक वर्गमूल तक, अर्धवृत्त बनाया होगा, अर्थात, - 2.
-* 0 [[प्राकृतिक]] लघुगणक का एक शाखा बिंदु भी है। चूंकि ई<sup>0</sup> ई के समान है<sup>2{{pi}}i</sup>, 0 और 2 दोनों{{pi}}मैं ln(1) के अनेक मानों में से एक हूँ। जब z त्रिज्या 1 के एक चक्र के साथ 0 पर केंद्रित होता है, w = ln(z) 0 से 2 तक जाता है{{pi}}मैं।
+* 0 [[प्राकृतिक]] लघुगणक का शाखा बिंदु भी है। चूंकि ई<sup>0</sup> ई के समान है<sup>2{{pi}}i</sup>, 0 और 2 दोनों{{pi}}मैं ln(1) के अनेक मानों में से हूँ। जब z त्रिज्या 1 के चक्र के साथ 0 पर केंद्रित होता है, w = ln(z) 0 से 2 तक जाता है{{pi}}मैं।
 * [[त्रिकोणमिति]] में, चूँकि tan({{pi}}/4) और टैन (5{{pi}}/4) दोनों 1, दो संख्याओं के बराबर हैं {{pi}}/4 और 5{{pi}}/4 arctan(1) के कई मानों में से हैं। काल्पनिक इकाइयां i और −i आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन आर्कटन(z) = (1/2i)लॉग[(i − z)/(i + z)] के शाखा बिंदु हैं। यह देखकर देखा जा सकता है कि डेरिवेटिव (d/dz) आर्कटन(z) = 1/(1 + z<sup>2</sup>) में उन दो बिंदुओं पर सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, क्योंकि उन बिंदुओं पर भाजक शून्य है।
-* यदि किसी फ़ंक्शन ƒ के डेरिवेटिव ƒ<nowiki> '</nowiki> में बिंदु a पर एक सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, तो ƒ में a पर लघुगणकीय शाखा बिंदु है। विलोम सत्य नहीं है, क्योंकि फलन ƒ(z) = z<sup>α</sup> अपरिमेय α के लिए एक लघुगणक शाखा बिंदु है, और इसका व्युत्पन्न एक ध्रुव के बिना एकवचन है।
+* यदि किसी फ़ंक्शन ƒ के डेरिवेटिव ƒ<nowiki> '</nowiki> में बिंदु a पर सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, तो ƒ में a पर लघुगणकीय शाखा बिंदु है। विलोम सत्य नहीं है, क्योंकि फलन ƒ(z) = z<sup>α</sup> अपरिमेय α के लिए लघुगणक शाखा बिंदु है, और इसका व्युत्पन्न ध्रुव के बिना एकवचन है।
 == शाखा कट ==
-मोटे तौर पर, शाखा बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां एक से अधिक मूल्यवान फ़ंक्शन की विभिन्न शीट एक साथ आती हैं। फ़ंक्शन की शाखाएँ फ़ंक्शन की विभिन्न शीट हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन w=z<sup>1/2</sup> की दो शाखाएँ हैं: एक जहाँ वर्गमूल धन चिह्न के साथ आता है, और दूसरा ऋण चिह्न के साथ। एक शाखा कट जटिल विमान में एक वक्र है जैसे कि वक्र के समतल पर एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन की एकल विश्लेषणात्मक शाखा को परिभाषित करना संभव है। शाखा कटौती आमतौर पर शाखा बिंदुओं के जोड़े के बीच ली जाती है, लेकिन हमेशा नहीं।
+मोटे तौर पर, शाखा बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां से अधिक मूल्यवान फ़ंक्शन की विभिन्न शीट साथ आती हैं। फ़ंक्शन की शाखाएँ फ़ंक्शन की विभिन्न शीट हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन w=z<sup>1/2</sup> की दो शाखाएँ हैं: जहाँ वर्गमूल धन चिह्न के साथ आता है, और दूसरा ऋण चिह्न के साथ। शाखा कट जटिल विमान में वक्र है जैसे कि वक्र के समतल पर बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन की एकल विश्लेषणात्मक शाखा को परिभाषित करना संभव है। शाखा कटौती आमतौर पर शाखा बिंदुओं के जोड़े के बीच ली जाती है, लेकिन हमेशा नहीं।
-शाखा कटौती एक एकल-मूल्यवान कार्यों के संग्रह के साथ काम करने की अनुमति देती है, एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के बजाय शाखा कट के साथ एक साथ चिपक जाती है। उदाहरण के लिए, समारोह बनाने के लिए
+शाखा कटौती एकल-मूल्यवान कार्यों के संग्रह के साथ काम करने की अनुमति देती है, बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन के बजाय शाखा कट के साथ साथ चिपक जाती है। उदाहरण के लिए, समारोह बनाने के लिए
 :<math>F(z) = \sqrt{z} \sqrt{1-z}\,</math>
-सिंगल-वैल्यूड, एक वास्तविक धुरी पर अंतराल [0, 1] के साथ एक शाखा काटता है, फ़ंक्शन के दो शाखा बिंदुओं को जोड़ता है। समारोह पर एक ही विचार लागू किया जा सकता है {{radic|''z''}}; लेकिन उस मामले में किसी को यह समझना होगा कि अनंत पर बिंदु 0 से कनेक्ट करने के लिए उपयुक्त 'अन्य' शाखा बिंदु है, उदाहरण के लिए पूरे नकारात्मक वास्तविक धुरी के साथ।
+सिंगल-वैल्यूड, वास्तविक धुरी पर अंतराल [0, 1] के साथ शाखा काटता है, फ़ंक्शन के दो शाखा बिंदुओं को जोड़ता है। समारोह पर ही विचार लागू किया जा सकता है {{radic|''z''}}; लेकिन उस मामले में किसी को यह समझना होगा कि अनंत पर बिंदु 0 से कनेक्ट करने के लिए उपयुक्त 'अन्य' शाखा बिंदु है, उदाहरण के लिए पूरे नकारात्मक वास्तविक धुरी के साथ।
-शाखा कट डिवाइस मनमाना दिखाई दे सकता है (और यह है); लेकिन यह बहुत उपयोगी है, उदाहरण के लिए विशेष कार्यों के सिद्धांत में। शाखा परिघटना की एक अपरिवर्तनीय व्याख्या रीमैन सतह सिद्धांत (जिसमें से यह ऐतिहासिक रूप से मूल है) में विकसित की गई है, और अधिक आम तौर पर [[बीजगणितीय कार्य]]ों और [[अंतर समीकरण]]ों के शाखाकरण और मोनोड्रोमी सिद्धांत में।
+शाखा कट डिवाइस मनमाना दिखाई दे सकता है (और यह है); लेकिन यह बहुत उपयोगी है, उदाहरण के लिए विशेष कार्यों के सिद्धांत में। शाखा परिघटना की अपरिवर्तनीय व्याख्या रीमैन सतह सिद्धांत (जिसमें से यह ऐतिहासिक रूप से मूल है) में विकसित की गई है, और अधिक आम तौर पर [[बीजगणितीय कार्य]]ों और [[अंतर समीकरण]]ों के शाखाकरण और मोनोड्रोमी सिद्धांत में।
 === जटिल लघुगणक ===
-[[File:Riemann surface log.svg|thumb|right|जटिल लघुगणक फ़ंक्शन के बहु-मूल्यवान काल्पनिक भाग का प्लॉट, जो शाखाओं को दिखाता है। एक जटिल संख्या के रूप में z मूल के चारों ओर जाता है, लघुगणक का काल्पनिक भाग ऊपर या नीचे जाता है। यह मूल को फ़ंक्शन का शाखा बिंदु बनाता है।]]
+[[File:Riemann surface log.svg|thumb|right|जटिल लघुगणक फ़ंक्शन के बहु-मूल्यवान काल्पनिक भाग का प्लॉट, जो शाखाओं को दिखाता है। जटिल संख्या के रूप में z मूल के चारों ओर जाता है, लघुगणक का काल्पनिक भाग ऊपर या नीचे जाता है। यह मूल को फ़ंक्शन का शाखा बिंदु बनाता है।]]
 {{Main|Complex logarithm|Principal branch}}
 शाखा कट का विशिष्ट उदाहरण जटिल लघुगणक है। यदि कोई सम्मिश्र संख्या ध्रुवीय रूप में प्रदर्शित होती है तो z=re<sup>iθ</sup>, तो z का लघुगणक है
 :<math>\ln z = \ln r + i\theta.\,</math>
-हालांकि, कोण θ को परिभाषित करने में एक स्पष्ट अस्पष्टता है: θ में 2 के किसी भी पूर्णांक एकाधिक को जोड़ना{{pi}} एक और संभावित कोण निकलेगा। लघुगणक की एक शाखा एक सतत फलन L(z) है जो जटिल समतल में जुड़े खुले सेट में सभी z के लिए z का लघुगणक देता है। विशेष रूप से, लघुगणक की एक शाखा मूल से अनंत तक किसी भी किरण के पूरक में मौजूद होती है: एक शाखा कट। शाखा कटौती का एक आम विकल्प नकारात्मक वास्तविक धुरी है, हालांकि चुनाव काफी हद तक सुविधा का विषय है।
+हालांकि, कोण θ को परिभाषित करने में स्पष्ट अस्पष्टता है: θ में 2 के किसी भी पूर्णांक एकाधिक को जोड़ना{{pi}} और संभावित कोण निकलेगा। लघुगणक की शाखा सतत फलन L(z) है जो जटिल समतल में जुड़े खुले सेट में सभी z के लिए z का लघुगणक देता है। विशेष रूप से, लघुगणक की शाखा मूल से अनंत तक किसी भी किरण के पूरक में मौजूद होती है: शाखा कट। शाखा कटौती का आम विकल्प नकारात्मक वास्तविक धुरी है, हालांकि चुनाव काफी हद तक सुविधा का विषय है।
-लघुगणक में 2 का जंप डिसकंटीन्युटी है{{pi}}मैं शाखा को पार करते समय कट गया। लघुगणक को एक साथ चिपकाकर निरंतर बनाया जा सकता है, शाखा कट के साथ जटिल विमान की कई प्रतियाँ, जिन्हें शीट कहा जाता है, सेट करें। प्रत्येक शीट पर, लॉग का मान उसके मूल मान से 2 के गुणक से भिन्न होता है{{pi}}मैं। लघुगणक को निरंतर बनाने के लिए इन सतहों को अनोखे तरीके से काटी गई शाखा के साथ एक दूसरे से चिपकाया जाता है। हर बार चर मूल के आसपास जाता है, लघुगणक एक अलग शाखा में चला जाता है।
+लघुगणक में 2 का जंप डिसकंटीन्युटी है{{pi}}मैं शाखा को पार करते समय कट गया। लघुगणक को साथ चिपकाकर निरंतर बनाया जा सकता है, शाखा कट के साथ जटिल विमान की कई प्रतियाँ, जिन्हें शीट कहा जाता है, सेट करें। प्रत्येक शीट पर, लॉग का मान उसके मूल मान से 2 के गुणक से भिन्न होता है{{pi}}मैं। लघुगणक को निरंतर बनाने के लिए इन सतहों को अनोखे तरीके से काटी गई शाखा के साथ दूसरे से चिपकाया जाता है। हर बार चर मूल के आसपास जाता है, लघुगणक अलग शाखा में चला जाता है।
 === ध्रुवों की निरंतरता ===
-एक कारण यह है कि शाखाओं में कटौती जटिल विश्लेषण की सामान्य विशेषताएं हैं कि एक शाखा कटौती को असीम रूप से अवशेषों के साथ जटिल विमान में एक रेखा के साथ व्यवस्थित कई ध्रुवों के योग के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए,
+एक कारण यह है कि शाखाओं में कटौती जटिल विश्लेषण की सामान्य विशेषताएं हैं कि शाखा कटौती को असीम रूप से अवशेषों के साथ जटिल विमान में रेखा के साथ व्यवस्थित कई ध्रुवों के योग के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 : <math>
 f_a(z) = {1\over z-a}
 </math>
-z = a पर एक साधारण ध्रुव वाला एक कार्य है। पोल के स्थान पर घालमेल:
+z = a पर साधारण ध्रुव वाला कार्य है। पोल के स्थान पर घालमेल:
 : <math>
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 == रीमैन सरफेस ==
-एक शाखा बिंदु की अवधारणा को होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन ƒ:X → Y के लिए परिभाषित किया गया है, जो एक कॉम्पैक्ट कनेक्टेड रीमैन सतह X से एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह Y (आमतौर पर [[रीमैन क्षेत्र]]) तक है। जब तक यह स्थिर नहीं है, तब तक फ़ंक्शन ƒ इसकी छवि पर एक [[अंतरिक्ष को कवर करना]] होगा, लेकिन बिंदुओं की एक सीमित संख्या होगी। X के बिंदु जहां ƒ एक आवरण बनने में विफल रहता है, ƒ के शाखा बिंदु हैं, और ƒ के तहत एक शाखा बिंदु की छवि को शाखा बिंदु कहा जाता है।
+एक शाखा बिंदु की अवधारणा को होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन ƒ:X → Y के लिए परिभाषित किया गया है, जो कॉम्पैक्ट कनेक्टेड रीमैन सतह X से कॉम्पैक्ट रीमैन सतह Y (आमतौर पर [[रीमैन क्षेत्र]]) तक है। जब तक यह स्थिर नहीं है, तब तक फ़ंक्शन ƒ इसकी छवि पर [[अंतरिक्ष को कवर करना]] होगा, लेकिन बिंदुओं की सीमित संख्या होगी। X के बिंदु जहां ƒ आवरण बनने में विफल रहता है, ƒ के शाखा बिंदु हैं, और ƒ के तहत शाखा बिंदु की छवि को शाखा बिंदु कहा जाता है।
 किसी भी बिंदु P ∈ X और Q = ƒ(P) ∈ Y के लिए, P के पास X के लिए होलोमोर्फिक [[स्थानीय निर्देशांक]] z हैं और Q के पास Y के लिए w हैं जिसके संदर्भ में फ़ंक्शन ƒ(z) द्वारा दिया गया है
 :<math>w = z^k</math>
-किसी पूर्णांक k के लिए। इस पूर्णांक को P का रेमीफिकेशन इंडेक्स कहा जाता है। आमतौर पर रेमीफिकेशन इंडेक्स एक होता है। लेकिन अगर रेमीफिकेशन इंडेक्स एक के बराबर नहीं है, तो P परिभाषा के अनुसार एक रेमीफिकेशन पॉइंट है, और Q एक ब्रांच पॉइंट है।
+किसी पूर्णांक k के लिए। इस पूर्णांक को P का रेमीफिकेशन इंडेक्स कहा जाता है। आमतौर पर रेमीफिकेशन इंडेक्स होता है। लेकिन अगर रेमीफिकेशन इंडेक्स के बराबर नहीं है, तो P परिभाषा के अनुसार रेमीफिकेशन पॉइंट है, और Q ब्रांच पॉइंट है।
-यदि Y केवल रीमैन क्षेत्र है, और Q, Y के परिमित भाग में है, तो विशेष निर्देशांकों का चयन करने की कोई आवश्यकता नहीं है। रेमीफिकेशन इंडेक्स की गणना कॉची के अभिन्न सूत्र से स्पष्ट रूप से की जा सकती है। γ को P के चारों ओर X में एक सरल सुधार योग्य लूप होने दें। P पर ƒ का रेमीफिकेशन इंडेक्स है
+यदि Y केवल रीमैन क्षेत्र है, और Q, Y के परिमित भाग में है, तो विशेष निर्देशांकों का चयन करने की कोई आवश्यकता नहीं है। रेमीफिकेशन इंडेक्स की गणना कॉची के अभिन्न सूत्र से स्पष्ट रूप से की जा सकती है। γ को P के चारों ओर X में सरल सुधार योग्य लूप होने दें। P पर ƒ का रेमीफिकेशन इंडेक्स है
 :<math>e_P = \frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)-f(P)}\,dz.</math>
-यह समाकल बिंदु Q के चारों ओर ƒ(γ) हवाओं की संख्या है। ऊपर के रूप में, P एक शाखा बिंदु है और Q एक शाखा बिंदु है यदि e<sub>''P''</sub> > 1.
+यह समाकल बिंदु Q के चारों ओर ƒ(γ) हवाओं की संख्या है। ऊपर के रूप में, P शाखा बिंदु है और Q शाखा बिंदु है यदि e<sub>''P''</sub> > 1.
 == बीजगणितीय ज्यामिति ==
 {{Main|Branched covering}}
 {{See also|Unramified morphism}}
-[[बीजगणितीय ज्यामिति]] के संदर्भ में शाखा बिंदुओं की धारणा को स्वैच्छिक [[बीजगणितीय वक्र]]ों के बीच मैपिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए ƒ:X → Y बीजगणितीय वक्रों का आकार है। Y पर तर्कसंगत कार्यों को X पर तर्कसंगत कार्यों में वापस खींचकर, K(X) K(Y) का एक क्षेत्र विस्तार है। ƒ की डिग्री को इस क्षेत्र विस्तार की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है [K(X):K(Y)], और ƒ को परिमित कहा जाता है यदि डिग्री परिमित है।
+[[बीजगणितीय ज्यामिति]] के संदर्भ में शाखा बिंदुओं की धारणा को स्वैच्छिक [[बीजगणितीय वक्र]]ों के बीच मैपिंग के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिए ƒ:X → Y बीजगणितीय वक्रों का आकार है। Y पर तर्कसंगत कार्यों को X पर तर्कसंगत कार्यों में वापस खींचकर, K(X) K(Y) का क्षेत्र विस्तार है। ƒ की डिग्री को इस क्षेत्र विस्तार की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है [K(X):K(Y)], और ƒ को परिमित कहा जाता है यदि डिग्री परिमित है।
-मान लीजिए कि ƒ परिमित है। एक बिंदु P∈ X के लिए, शाखा अनुक्रमणिका e<sub>''P''</sub> निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। चलो क्यू = ƒ(पी) और पी पर [[स्थानीय पैरामीटर]] होने दें; अर्थात, t एक नियमित फलन है जिसे Q के पड़ोस में t(Q) = 0 के साथ परिभाषित किया गया है जिसका अवकलन शून्य नहीं है। t द्वारा ƒ को वापस खींचना X पर एक नियमित कार्य को परिभाषित करता है। फिर
+मान लीजिए कि ƒ परिमित है। बिंदु P∈ X के लिए, शाखा अनुक्रमणिका e<sub>''P''</sub> निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। चलो क्यू = ƒ(पी) और पी पर [[स्थानीय पैरामीटर]] होने दें; अर्थात, t नियमित फलन है जिसे Q के पड़ोस में t(Q) = 0 के साथ परिभाषित किया गया है जिसका अवकलन शून्य नहीं है। t द्वारा ƒ को वापस खींचना X पर नियमित कार्य को परिभाषित करता है। फिर
 :<math>e_P = v_P(t\circ f)</math>
-जहां वि<sub>''P''</sub> पी पर नियमित कार्यों के स्थानीय रिंग में [[मूल्यांकन की अंगूठी]] है। यानी, ई<sub>''P''</sub> जिसके लिए आदेश है <math>t\circ f</math> पी पर गायब हो जाता है। अगर ई<sub>''P''</sub>> 1, तो ƒ को P पर शाखायुक्त कहा जाता है। उस स्थिति में, Q को एक शाखा बिंदु कहा जाता है।
+जहां वि<sub>''P''</sub> पी पर नियमित कार्यों के स्थानीय रिंग में [[मूल्यांकन की अंगूठी]] है। यानी, ई<sub>''P''</sub> जिसके लिए आदेश है <math>t\circ f</math> पी पर गायब हो जाता है। अगर ई<sub>''P''</sub>> 1, तो ƒ को P पर शाखायुक्त कहा जाता है। उस स्थिति में, Q को शाखा बिंदु कहा जाता है।
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बीजगणितीय शाखा बिंदु

ट्रान्सेंडैंटल और लॉगरिदमिक शाखा बिंदु

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शाखा कट

जटिल लघुगणक

ध्रुवों की निरंतरता

रीमैन सरफेस

बीजगणितीय ज्यामिति

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