होमोटॉपी विस्तार गुण: Difference between revisions

Revision as of 00:04, 12 July 2023

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, होमोटॉपी विस्तार गुण प्रदर्शित करती है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[को-फाइब्रेशन]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उठाने वाली गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा

मान लीजिये $X\,\!$ टोपोलॉजिकल स्थान है, और $A\subset X$ द्वारा जोड़ी $(X,A)\,\!$ यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण $f_{\bullet }\colon A\rightarrow Y^{I}$ है और मानचित्र ${\tilde {f}}_{0}\colon X\rightarrow Y$ ऐसा है कि

{\tilde {f}}_{0}\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{0}\right|_{A}=f_{0}=\pi _{0}\circ f_{\bullet },

तो वहाँ का विस्तार

f_{\bullet }

उपस्थित है समरूपता के लिए

{\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\rightarrow Y^{I}

और

{\tilde {f}}_{\bullet }\circ \iota =\left.{\tilde {f}}_{\bullet }\right|_{A}=f_{\bullet }

है:^[1] अर्थात जोड़ी

(X,A)\,\!

यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण

G\colon ((X\times \{0\})\cup (A\times I))\rightarrow Y

है मानचित्र तक

G'\colon X\times I\rightarrow Y

बढ़ाया जा सकता है (अर्थात

G\,\!

और

G'\,\!

उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।

यदि जोड़ी के निकट यह गुण केवल निश्चित कोडोमेन के लिए $Y\,\!$ है, हम ऐसा कहते हैं $(X,A)\,\!$ के संबंध में समरूप विस्तार गुण $Y\,\!$ है।

विज़ुअलाइज़ेशन

होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:

यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो जोड़ी (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण ${\tilde {f}}_{\bullet }$ है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। करीइंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\to Y^{I}$ व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां परिवर्तन ${\tilde {f}}_{\bullet }\colon X\times I\to Y$ हैं।

ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोग के गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

गुण

यदि $X\,\!$ सेल संकुल है और $A\,\!$ उपसमुच्चय है $X\,\!$ , फिर युग्म $(X,A)\,\!$ समरूप विस्तार गुण है।
युग्म $(X,A)\,\!$ होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल $(X\times \{0\}\cup A\times I)$ का विरूपण प्रत्यावर्तन $X\times I.$ है।

अन्य

यदि $(X,A)$ होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र $\iota \colon A\to X$ सह-फाइब्रेशन है।

वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास $\iota \colon Y\to Z$ है नीचे दी गई छवि के अनुरूप होम्योमॉर्फिक $\mathbf {\mathit {Y}}$ है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में $\iota$ माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

होमोटोपी उपयोगी गुण

संदर्भ

↑ A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, pp. 84, Springer ISBN 3-540-58660-1

Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
"Homotopy extension property". PlanetMath.

[1] A. Dold, Lectures on Algebraic Topology, pp. 84, Springer ISBN 3-540-58660-1

[1]

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-गणित में, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के क्षेत्र में, [[होमोटॉपी]] विस्तार संपत्ति इंगित करती है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को एक बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[सह-[[ कंपन ]]]] की होमोटॉपी विस्तार संपत्ति होमोटॉपी उठाने वाली संपत्ति से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
+गणित में, [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] के क्षेत्र में, '''[[होमोटॉपी]] विस्तार गुण''' प्रदर्शित करती है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। [[[[ कंपन |को-फाइब्रेशन]]]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उठाने वाली गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
 ==परिभाषा ==
-होने देना <math>X\,\!</math> एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] बनें, और रहने दें <math>A \subset X</math>. हम कहते हैं कि जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि, एक समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण है <math>f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I</math> और एक नक्शा <math>\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y</math> ऐसा है कि <math display="block">\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,</math> तो वहाँ का एक विस्तार मौजूद है <math>f_\bullet</math> एक समरूपता के लिए <math>\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I</math> ऐसा है कि <math>\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet</math>.<ref>A. Dold, ''Lectures on Algebraic Topology'', pp. 84, Springer {{ISBN|3-540-58660-1}}</ref>
+मान लीजिये <math>X\,\!</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल स्थान]] है, और <math>A \subset X</math> द्वारा जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण <math>f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I</math> है और मानचित्र <math>\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y</math> ऐसा है कि <math display="block">\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,</math> तो वहाँ का विस्तार <math>f_\bullet</math> उपस्थित है समरूपता के लिए <math>\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I</math> और <math>\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet</math> है:<ref>A. Dold, ''Lectures on Algebraic Topology'', pp. 84, Springer {{ISBN|3-540-58660-1}}</ref>
-यानी जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है <math>G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y</math> मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है <math>G'\colon X\times I \rightarrow Y</math> (अर्थात। <math>G\,\!</math> और <math>G'\,\!</math> उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हों)।
+अर्थात जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण <math>G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y</math> है मानचित्र तक <math>G'\colon X\times I \rightarrow Y</math> बढ़ाया जा सकता है (अर्थात <math>G\,\!</math> और <math>G'\,\!</math> उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।
-यदि जोड़ी के पास यह संपत्ति केवल एक निश्चित [[कोडोमेन]] के लिए है <math>Y\,\!</math>, हम ऐसा कहते हैं <math>(X,A)\,\!</math> के संबंध में समरूप विस्तार गुण है <math>Y\,\!</math>.
+यदि जोड़ी के निकट यह गुण केवल निश्चित [[कोडोमेन]] के लिए <math>Y\,\!</math> है, हम ऐसा कहते हैं <math>(X,A)\,\!</math> के संबंध में समरूप विस्तार गुण <math>Y\,\!</math> है।
 ==विज़ुअलाइज़ेशन==
-होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है
+होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:
-[[File:Homotopy extension property rotated.svg|175px|center]]यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के बराबर है), तो यदि मानचित्र मौजूद है तो जोड़ी (एक्स, ए) में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है <math>\tilde{f}_\bullet</math> जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। [[करी]]इंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में व्यक्त किया गया है <math>\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I</math> मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक परिवर्तन#टेन्सर-होम एडजंक्शन में हैं <math> \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y </math>.
+[[File:Homotopy extension property rotated.svg|175px|center]]यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो जोड़ी (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण <math>\tilde{f}_\bullet</math> है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। [[करी|करीइंग]] द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में <math>\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I</math>व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां  परिवर्तन<math> \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y </math> हैं।
-ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उठाने की संपत्ति के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।
+ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोग के गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।
 ==गुण==
-* अगर <math>X\,\!</math> एक [[कोशिका संकुल]] है और <math>A\,\!</math> का एक उपसमुच्चय है <math>X\,\!</math>, फिर जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> समरूप विस्तार गुण है।
+* यदि <math>X\,\!</math> [[कोशिका संकुल|सेल संकुल]] है और <math>A\,\!</math> उपसमुच्चय है <math>X\,\!</math>, फिर युग्म <math>(X,A)\,\!</math> समरूप विस्तार गुण है।
-* एक जोड़ी <math>(X,A)\,\!</math> होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण है यदि और केवल यदि <math>(X\times \{0\} \cup A\times I)</math> का एक विरूपण प्रत्यावर्तन है <math>X\times I.</math>
+* युग्म <math>(X,A)\,\!</math> होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल <math>(X\times \{0\} \cup A\times I)</math> का विरूपण प्रत्यावर्तन <math>X\times I.</math> है।
 ==अन्य==
-अगर <math>(X, A)</math> होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है, फिर सरल समावेशन मानचित्र <math>\iota\colon A \to X</math> एक सह-फाइब्रेशन है.
+यदि <math>(X, A)</math> होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र <math>\iota\colon A \to X</math> सह-फाइब्रेशन है।
-वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं <math>\iota\colon Y \to Z</math>, तो वह हमारे पास है <math>\mathbf{\mathit{Y}}</math> नीचे दी गई छवि के अनुरूप [[ होम्योमॉर्फिक ]] है <math>\iota</math>. इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को एक समावेशन मानचित्र के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति के रूप में माना जा सकता है।
+वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास <math>\iota\colon Y \to Z</math> है नीचे दी गई छवि के अनुरूप [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] <math>\mathbf{\mathit{Y}}</math>  है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में <math>\iota</math> माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।
 ==यह भी देखें==
-* होमोटोपी उठाने वाली संपत्ति
+* होमोटोपी उपयोगी गुण
 ==संदर्भ==

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