सशर्त निर्भरता: Difference between revisions

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[[File:Conditional Dependence.jpg|thumb|right|सशर्त निर्भरता को दर्शाने वाला [[बायेसियन नेटवर्क]] का चित्र। ]]संभाव्यता सिद्धांत में, सशर्त निर्भरता दो या दो से अधिक घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के बीच  संबंध है जो तीसरी घटना के होने पर [[निर्भरता (संभावना सिद्धांत)]] होती है।<ref name="AI-class">Introduction to Artificial Intelligence by Sebastian Thrun and Peter Norvig, 2011 [https://www.ai-class.com/course/video/videolecture/33 "Unit 3: Conditional Dependence"]{{Dead link|date=July 2020|bot=InternetArchiveBot|fix-attempted=yes}}</ref><ref>Introduction to learning Bayesian Networks from Data by Dirk Husmeier [http://www.bioss.sari.ac.uk/staff/dirk/papers/sbb_bnets.pdf] "Introduction to Learning Bayesian Networks from Data -Dirk Husmeier"</ref> उदाहरण के लिए, यदि <math>A</math> और <math>B</math> दो घटनाएँ हैं जो व्यक्तिगत रूप से तीसरी घटना <math>C,</math> की संभावना को बढ़ाती हैं और एक-दूसरे को सीधे प्रभावित नहीं करते हैं, तो प्रारंभ में (जब यह नहीं देखा गया है कि घटना है या नहीं)। <math>C</math> घटित होना)<ref>Conditional Independence in Statistical theory [http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf "Conditional Independence in Statistical Theory", A. P. Dawid"] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131227164541/http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf|date=2013-12-27}}</ref><ref>Probabilistic independence on Britannica [http://www.britannica.com/EBchecked/topic/477530/probability-theory/32768/Applications-of-conditional-probability#toc32769 "Probability->Applications of conditional probability->independence (equation 7) "]</ref>
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<math display=block>\operatorname{P}(A \mid B) = \operatorname{P}(A) \quad \text{ and } \quad \operatorname{P}(B \mid A) = \operatorname{P}(B)</math> (<math>A \text{ and } B</math> स्वतंत्र हैं)।


किन्तु अब मान लीजिये <math>C</math> घटित होता देखा गया है। यदि घटना <math>B</math> तब घटना के घटित होने की संभावना होती है <math>A</math> में कमी आएगी क्योंकि इसका सकारात्मक संबंध है <math>C</math> की घटना के लिए स्पष्टीकरण के रूप में कम आवश्यक है <math>C</math> (इसी तरह, घटना <math>A</math> घटित होने से घटित होने की सम्भावना कम हो जायेगी <math>B</math>). इसलिए, अब दो घटनाएँ <math>A</math> और <math>B</math> सशर्त रूप से एक-दूसरे पर नकारात्मक रूप से निर्भर होते हैं क्योंकि प्रत्येक के घटित होने की संभावना इस बात पर नकारात्मक रूप से निर्भर होती है कि दूसरा घटित होता है या नहीं। अपने पास<ref>Introduction to Artificial Intelligence by Sebastian Thrun and Peter Norvig, 2011 [https://www.ai-class.com/course/video/quizquestion/60 "Unit 3: Explaining Away"]{{Dead link|date=July 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref>
<math display="block">\operatorname{P}(A \mid B) = \operatorname{P}(A) \quad \text{ and } \quad \operatorname{P}(B \mid A) = \operatorname{P}(B)</math>
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A और B की सशर्त निर्भरता, सी दी गई, [[सशर्त स्वतंत्रता]] का तार्किक निषेध है <math>((A \perp\!\!\!\perp B) \mid C)</math>.<ref>{{Cite book |last=Bouckaert |first=Remco R. |title=डेटा, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और सांख्यिकी से मॉडल का चयन IV|publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1994 |isbn=978-0-387-94281-0 |editor-last=Cheeseman |editor-first=P. |series=Lecture Notes in Statistics |volume=89 |pages=101-111, especially 104 |language=EN |chapter=11. Conditional dependence in probabilistic networks |editor-last2=Oldford |editor-first2=R. W.}}</ref> सशर्त स्वतंत्रता में दो घटनाएँ (जो निर्भर हो सकती हैं या नहीं) तीसरी घटना के घटित होने पर स्वतंत्र हो जाती हैं।<ref>Conditional Independence in Statistical theory [http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf "Conditional Independence in Statistical Theory", A. P. Dawid] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131227164541/http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf |date=2013-12-27 }}</ref>




(<math>A \text{ and } B</math> स्वतंत्र हैं)।
किन्तु अब मान लीजिये <math>C</math> घटित होता देखा गया है। यदि घटना <math>B</math> होती है तो घटना <math>A</math> की होने की संभावना कम हो जाएगी क्योंकि <math>C</math> के होने का व्याख्यान के रूप में इसकी सकारात्मक संबंधता उत्पन्न होने की जरूरत कम हो जाएगी (इसी प्रकार, घटना <math>A</math> होने से घटना <math>B</math> की होने की संभावना कम होगी)। इसलिए, अब दो घटनाएं <math>A</math> और <math>B</math> एक-दूसरे पर शर्तानुसार नकारात्मक आपेक्षिक हैं क्योंकि हर घटना की होने की संभावना नकारात्मक रूप से देखी जा सकती है यदि दूसरी घटना होती है।<ref>Introduction to Artificial Intelligence by Sebastian Thrun and Peter Norvig, 2011 [https://www.ai-class.com/course/video/quizquestion/60 "Unit 3: Explaining Away"]{{Dead link|date=July 2020 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}</ref> अपने पास
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A और B की सशर्त निर्भरता, C दी गई, [[सशर्त स्वतंत्रता]] का तार्किक निषेध है <math>((A \perp\!\!\!\perp B) \mid C)</math><ref>{{Cite book |last=Bouckaert |first=Remco R. |title=डेटा, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और सांख्यिकी से मॉडल का चयन IV|publisher=[[Springer-Verlag]] |year=1994 |isbn=978-0-387-94281-0 |editor-last=Cheeseman |editor-first=P. |series=Lecture Notes in Statistics |volume=89 |pages=101-111, especially 104 |language=EN |chapter=11. Conditional dependence in probabilistic networks |editor-last2=Oldford |editor-first2=R. W.}}</ref> सशर्त स्वतंत्रता में दो घटनाएँ (जो निर्भर हो सकती हैं या नहीं) तीसरी घटना के घटित होने पर स्वतंत्र हो जाती हैं।<ref>Conditional Independence in Statistical theory [http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf "Conditional Independence in Statistical Theory", A. P. Dawid] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131227164541/http://edlab-www.cs.umass.edu/cs589/2010-lectures/conditional%20independence%20in%20statistical%20theory.pdf |date=2013-12-27 }}</ref>
== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


संक्षेप में संभाव्यता किसी घटना की संभावित घटना के बारे में किसी व्यक्ति की जानकारी से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, घटना को मान लीजिए <math>A</math> 'मेरे पास नया फ़ोन है'; आयोजन <math>B</math> 'मेरे पास नई घड़ी है'; और घटना <math>C</math> रहो 'मैं खुश हूँ'; और मान लीजिए कि नया फोन या नई घड़ी होने से मेरे खुश रहने की संभावना बढ़ जाती है। चलिए मान लेते हैं कि घटना <math>C</math> घटित हुआ है - जिसका अर्थ है 'मैं खुश हूँ'। अब अगर कोई दूसरा व्यक्ति मेरी नई घड़ी देखता है, तो वह तर्क देगा कि मेरी खुश होने की संभावना मेरी नई घड़ी से बढ़ गई है, इसलिए मेरी खुशी का श्रेय नए फोन को देने की जरूरत कम है।
संक्षेप में संभाव्यता किसी घटना की संभावित घटना के बारे में किसी व्यक्ति की जानकारी से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, यदि घटना <math>A</math> मेरे पास एक नया फोन है' हो, घटना <math>B</math> मेरे पास एक नयी घड़ी है' हो, और घटना <math>C</math> 'मैं खुश हूँ' हो, और सोचें कि नए फोन या नई घड़ी होने से मेरी खुशी की संभावना बढ़ जाती है। हम यह मान लेते हैं कि घटना <math>C</math> घहो चुकी है - अर्थात् 'मैं खुश हूँ'। अब यदि कोई दूसरा व्यक्ति मेरी नई घड़ी देखता है, तो उसका यही तर्क होगा कि मेरी खुशी की संभावना मेरी नई घड़ी द्वारा बढ़ी है, इसलिए मेरी खुशी को नए फोन के लिए जोड़ने की कम आवश्यकता होगी।


उदाहरण को अधिक संख्यात्मक रूप से विशिष्ट बनाने के लिए, मान लें कि चार संभावित अवस्थाएँ हैं <math>\Omega = \left\{ s_1, s_2, s_3, s_4 \right\},</math> निम्नलिखित तालिका के मध्य चार कॉलमों में दिया गया है, जिसमें घटना का घटित होना है <math>A</math> ए द्वारा सूचित किया जाता है <math>1</math> पंक्ति में <math>A</math> और इसकी गैर-घटना को ए द्वारा दर्शाया जाता है <math>0,</math> और इसी तरह के लिए <math>B</math> और <math>C.</math> वह है, <math>A = \left\{ s_2, s_4 \right\}, B = \left\{ s_3, s_4 \right\},</math> और <math>C = \left\{ s_2, s_3, s_4 \right\}.</math> की संभावना <math>s_i</math> है <math>1/4</math> हर के लिए <math>i.</math>
उदाहरण को अंकीय रूप में स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए कि चार संभावित स्थितियाँ हैं <math>\Omega = \left\{ s_1, s_2, s_3, s_4 \right\},</math> जो निम्नलिखित तालिका की मध्यवर्ती चार स्तंभों में दी गई हैं, जहां घटना <math>A</math> के होने का संकेत क्रमांक <math>1</math> है और इसके होने की अवस्था का संकेत क्रमांक <math>0,</math> है, और इसी तरह घटना <math>B</math> और <math>C.</math> अर्थात्,<math>A = \left\{ s_2, s_4 \right\}, B = \left\{ s_3, s_4 \right\},</math> और <math>C = \left\{ s_2, s_3, s_4 \right\}.</math> के लिए <math>s_i</math> की प्रायिकता <math>1/4</math> है।


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इस उदाहरण में, <math>C</math> होता है यदि और केवल यदि इनमें से कम से कम <math>A, B</math> घटित होना। बिना शर्त (अर्थात, बिना संदर्भ के <math>C</math>), <math>A</math> और <math>B</math> एक दूसरे की [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं क्योंकि <math>\operatorname{P}(A)</math>-ए से जुड़ी संभावनाओं का योग <math>1</math> पंक्ति में <math>A</math>-है <math>\tfrac{1}{2},</math> जबकि
इस उदाहरण में, <math>C</math> तभी होती है जब कम से कम एक घटना <math>A, B</math> घटित होती है।  शर्ताधीन (यानी <math>C</math> के संदर्भ में न होते हुए), घटना <math>A</math> और <math>B</math> एक दूसरे की [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं क्योंकि <math>\operatorname{P}(A)</math> - घटनाएं <math>A</math> के साथ संबंधित संभावनाओं का योग - <math>1</math> <math>\tfrac{1}{2},</math>है, जबकि
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<math display=block>\operatorname{P}(A\mid B) = \operatorname{P}(A \text{ and } B) / \operatorname{P}(B) = \tfrac{1/4}{1/2} = \tfrac{1}{2} = \operatorname{P}(A).</math>
किन्तु सशर्त <math>C</math> घटित होने पर (तालिका में अंतिम तीन कॉलम), हमारे पास है
किन्तु सशर्त <math>C</math> घटित होने पर (तालिका में अंतिम तीन कॉलम), हमारे पास है
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जबकि
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  <math display=block>\operatorname{P}(A \mid C \text{ and } B) = \operatorname{P}(A \text{ and } C \text{ and } B) / \operatorname{P}(C \text{ and } B) = \tfrac{1/4}{1/2} = \tfrac{1}{2} < \operatorname{P}(A \mid C).</math>
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चूंकि की उपस्थिति में <math>C</math> की संभावना <math>A</math> की उपस्थिति या अनुपस्थिति से प्रभावित होता है <math>B, A</math> और <math>B</math> सशर्त रूप से परस्पर निर्भर हैं <math>C.</math>
जब <math>C</math> की उपस्थिति में <math>A</math> की संभावना <math>C.</math> की मौजूदगी या अनुपस्थिति के द्वारा प्रभावित होती है, तो <math>B, A</math> और <math>B</math> सशर्त रूप से परस्पर निर्भर होते हैं।
 
 
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


Revision as of 00:20, 12 July 2023

See also: सशर्त स्वतंत्रता
सशर्त निर्भरता को दर्शाने वाला बायेसियन नेटवर्क का चित्र।

संभाव्यता सिद्धांत में, सशर्त निर्भरता दो या दो से अधिक घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के बीच संबंध होता है जो तीसरी घटना के होने पर निर्भरता (संभावना सिद्धांत) होती है।[1][2] उदाहरण के लिए, और दो घटनाएँ हैं जो व्यक्तिगत रूप से तीसरी घटना की संभावना को अलग-अलग रूप से बढ़ाती हैं और एक दूसरे पर सीधा प्रभाव नहीं डालती हैं, तो प्रारंभिक रूप में (जब देखा नहीं गया हो कि क्या घटना हो रही है या नहीं)[3][4]


( स्वतंत्र हैं)।

किन्तु अब मान लीजिये घटित होता देखा गया है। यदि घटना होती है तो घटना की होने की संभावना कम हो जाएगी क्योंकि के होने का व्याख्यान के रूप में इसकी सकारात्मक संबंधता उत्पन्न होने की जरूरत कम हो जाएगी (इसी प्रकार, घटना होने से घटना की होने की संभावना कम होगी)। इसलिए, अब दो घटनाएं और एक-दूसरे पर शर्तानुसार नकारात्मक आपेक्षिक हैं क्योंकि हर घटना की होने की संभावना नकारात्मक रूप से देखी जा सकती है यदि दूसरी घटना होती है।[5] अपने पास

A और B की सशर्त निर्भरता, C दी गई, सशर्त स्वतंत्रता का तार्किक निषेध है [6] सशर्त स्वतंत्रता में दो घटनाएँ (जो निर्भर हो सकती हैं या नहीं) तीसरी घटना के घटित होने पर स्वतंत्र हो जाती हैं।[7]

उदाहरण

संक्षेप में संभाव्यता किसी घटना की संभावित घटना के बारे में किसी व्यक्ति की जानकारी से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, यदि घटना मेरे पास एक नया फोन है' हो, घटना मेरे पास एक नयी घड़ी है' हो, और घटना 'मैं खुश हूँ' हो, और सोचें कि नए फोन या नई घड़ी होने से मेरी खुशी की संभावना बढ़ जाती है। हम यह मान लेते हैं कि घटना घहो चुकी है - अर्थात् 'मैं खुश हूँ'। अब यदि कोई दूसरा व्यक्ति मेरी नई घड़ी देखता है, तो उसका यही तर्क होगा कि मेरी खुशी की संभावना मेरी नई घड़ी द्वारा बढ़ी है, इसलिए मेरी खुशी को नए फोन के लिए जोड़ने की कम आवश्यकता होगी।

उदाहरण को अंकीय रूप में स्पष्ट करने के लिए, मान लीजिए कि चार संभावित स्थितियाँ हैं जो निम्नलिखित तालिका की मध्यवर्ती चार स्तंभों में दी गई हैं, जहां घटना के होने का संकेत क्रमांक है और इसके होने की अवस्था का संकेत क्रमांक है, और इसी तरह घटना और अर्थात्, और के लिए की प्रायिकता है।

घटना घटना की संभावना
0 1 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1

इसलिए

घटना घटना की संभावना
0 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1

इस उदाहरण में, तभी होती है जब कम से कम एक घटना घटित होती है। शर्ताधीन (यानी के संदर्भ में न होते हुए), घटना और एक दूसरे की स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत) हैं क्योंकि - घटनाएं के साथ संबंधित संभावनाओं का योग - है, जबकि

किन्तु सशर्त घटित होने पर (तालिका में अंतिम तीन कॉलम), हमारे पास है
जबकि

जब की उपस्थिति में की संभावना की मौजूदगी या अनुपस्थिति के द्वारा प्रभावित होती है, तो और सशर्त रूप से परस्पर निर्भर होते हैं।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Introduction to Artificial Intelligence by Sebastian Thrun and Peter Norvig, 2011 "Unit 3: Conditional Dependence"[permanent dead link]
  2. ↑ Introduction to learning Bayesian Networks from Data by Dirk Husmeier [1] "Introduction to Learning Bayesian Networks from Data -Dirk Husmeier"
  3. ↑ Conditional Independence in Statistical theory "Conditional Independence in Statistical Theory", A. P. Dawid" Archived 2013-12-27 at the Wayback Machine
  4. ↑ Probabilistic independence on Britannica "Probability->Applications of conditional probability->independence (equation 7) "
  5. ↑ Introduction to Artificial Intelligence by Sebastian Thrun and Peter Norvig, 2011 "Unit 3: Explaining Away"[permanent dead link]
  6. ↑ Bouckaert, Remco R. (1994). "11. Conditional dependence in probabilistic networks". In Cheeseman, P.; Oldford, R. W. (eds.). डेटा, आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस और सांख्यिकी से मॉडल का चयन IV. Lecture Notes in Statistics (in English). Vol. 89. Springer-Verlag. pp. 101–111, especially 104. ISBN 978-0-387-94281-0.
  7. ↑ Conditional Independence in Statistical theory "Conditional Independence in Statistical Theory", A. P. Dawid Archived 2013-12-27 at the Wayback Machine
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