कोलमोगोरोव समष्टि

Separation axioms in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal  Hausdorff)
T6	(perfectly normal  Hausdorff)
History

सांस्थिति और गणित की संबंधित शाखाओं में, सांस्थितिक समष्टि X, T₀ समष्टि या कोलमोगोरोव समष्टि (एंड्री कोलमोगोरोव के नाम पर) है, यदि X के प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए, उनमें से कम से कम एक में निकटतम (गणित) है जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं है। T₀ समष्टि, सभी बिंदु सांस्थितिक रूप से भिन्न हैं।

इस स्थिति को T₀ स्थिति कहा जाता है, पृथक्करण सिद्धांतों में सबसे दुर्बल है। गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T₀ हैं। विशेष रूप से, सभी T₁ समष्टि, अर्थात, वे सभी समष्टि जिनमें प्रत्येक अलग-अलग बिंदुओं के युग्म के लिए निकटतम होता है, जिसमें दूसरा सम्मिलित नहीं होता है, T₀ समष्टि होते हैं। इसमें सभी T₂ (या हॉसडॉर्फ) समष्टि, अर्थात, सभी सांस्थितिक समष्टि जिनमें अलग-अलग बिंदुओं पर असंयुक्त निकटतम होते हैं। दूसरी दिशा में, प्रत्येक संयमी समष्टि (जो कि T₁ नहीं हो सकता है) T₀ है; इसमें किसी भी पद्धति (गणित) का अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि सम्मिलित है। किसी भी सांस्थितिक समष्टि को देखते हुए कोई T₀ का निर्माण सांस्थितिक रूप से अविभाज्य बिंदुओं की तत्समक करके समष्टि कर सकता है ।

T₀ वे समष्टि जो T₁ नहीं हैं समष्टि वास्तव में वे समष्टि हैं जिनके लिए विशेषीकरण पूर्वक्रमी गैर-तुच्छ आंशिक क्रम है। ऐसे रिक्त समष्टि स्वाभाविक रूप से कंप्यूटर विज्ञान विशेष रूप से वस्त्वर्थक अर्थविज्ञान में होते हैं।

परिभाषा

T₀ समष्टि सांस्थितिक समष्टि है जिसमें अलग-अलग बिंदुओं का प्रत्येक युग्म सांस्थितिक रूप से भिन्न होता है। अर्थात्, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं x और y के लिए विवृत समुच्चय होता है जिसमें इनमें से एक बिंदु होता है और दूसरा नहीं होता है। अधिक सटीक रूप से सांस्थितिक समष्टि X कोलमोगोरोव या $\mathbf {T} _{0}$ है यदि और केवल यदि:

यदि $a,b\in X$ और $a\neq b$, वहाँ विवृत समुच्चय O सम्मिलित है जैसे कि या तो $(a\in O)\wedge (b\notin O)$ या $(a\notin O)\wedge (b\in O)$।

ध्यान दें कि सांस्थितिक रूप से भिन्न बिंदु स्वचालित रूप से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, यदि एकल समुच्चय {x} और {y} पृथक्कृत समुच्चय हैं तो बिंदु x और y को सांस्थितिक रूप से अलग होना चाहिए। वह है,

पृथक ⇒ सांस्थितिक रूप से भिन्न ⇒ भिन्न

सांस्थितिक रूप से भिन्न होने के गुण, सामान्य तौर पर, अलग होने की तुलना में अधिक मजबूत होती है लेकिन अलग होने की तुलना में दुर्बल होती है। T₀ समष्टि में, ऊपर दूसरा एरो भी उलट जाता है; बिंदु अलग-अलग हैं यदि और केवल तभी जब वे अलग-अलग हों। इस प्रकार T₀ स्वयंसिद्ध शेष पृथक्करण स्वयंसिद्धों के साथ अनुरूप है।

उदाहरण और प्रति उदाहरण

गणित में सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले लगभग सभी सांस्थितिक समष्टि T₀ हैं। विशेष रूप से, सभी हॉसडॉर्फ़ (T₂) समष्टि, T₁ समष्टि और संयमी समष्टि T₀ हैं।

वे समष्टि जो T₀ नहीं हैं

• तुच्छ सांस्थिति के साथ एक से अधिक तत्वों वाला समुच्चय है। कोई भी बिंदु अलग नहीं है।
• समुच्चय R² जहां विवृत समुच्चय R और R में ही विवृत समुच्चय के कार्तीय गुणन हैं, अर्थात, सामान्य सांस्थिति के साथ R का उत्पाद सांस्थिति और तुच्छ सांस्थिति के साथ R ; बिंदु (a,b) और (a,c) अलग-अलग नहीं हैं।
• वास्तविक रेखा R से सम्मिश्र समतल C तक सभी परिमेय फलन f का समष्टि इस प्रकार है कि लेब्सग समाकलन $\left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}}<\infty$ है, दो फलन जो लगभग हर जगह समान हैं, अप्रभेद्य हैं। नीचे भी देखें

समष्टि जो T₀ हैं लेकिन T₁ नहीं हैं

• स्पेक (R) पर ज़ारिस्की सांस्थिति, क्रमविनिमेय वलय R का प्राइम स्पेक्ट्रम, हमेशा T₀ होता है लेकिन सामान्यतः T₁ नहीं हैं। गैर-सवृत बिंदु अभाज्य आदर्शों के अनुरूप हैं जो अधिकतम नहीं हैं। वे पद्धति (गणित) की समझ के लिए महत्वपूर्ण हैं।
• कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर विशेष बिंदु सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं है चूंकि विशेष बिंदु सवृत नहीं है (उसका सवृत होना संपूर्ण समष्टि है)। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति सिएरपिंस्की समष्टि है जो समुच्चय {0,1} पर विशेष बिंदु सांस्थिति है।
• कम से कम दो तत्वों वाले किसी भी समुच्चय पर अपवर्जित बिंदु सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं है एकमात्र सवृत बिंदु अपवर्जित बिंदु है।
• आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर अलेक्जेंडर सांस्थिति T₀ है लेकिन T₁ नहीं होगा जब तक कि अनुक्रम अलग न हो (समानता से सहमत हो)। प्रत्येक परिमित T₀ समष्टि इस प्रकार का है। इसमें विशेष स्थितियों के रूप में विशेष बिंदु और अपवर्जित बिंदु सांस्थिति भी सम्मिलित हैं।
• पूरी तरह से अनुक्रम किए गए समुच्चय पर सही क्रम सांस्थिति संबंधित उदाहरण है।
• अतिव्यापन अंतराल सांस्थिति विशेष बिंदु सांस्थिति के समान है क्योंकि प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय में 0 सम्मिलित होता है।
• सामान्यतः, सांस्थितिक समष्टि X, T₀ होगा यदि और केवल यदि X पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी आंशिक अनुक्रम है। हालाँकि, X, T₁ होगा यदि और केवल यदि अनुक्रम असतत है (अर्थात समानता से सहमत है)। तो समष्टि T₀ होगा लेकिन T₁ नहीं होगा यदि और केवल यदि X पर विशेषीकरण पूर्वक्रमी गैर-अलग-अलग आंशिक अनुक्रम है।

T₀ के साथ संचालन समष्टि

सामान्यतः अध्ययन किए जाने वाले सांस्थितिक समष्टि के उदाहरण T₀ हैं। दरअसल, जब कई क्षेत्रों में गणितज्ञ, विशेष रूप से विश्लेषण (गणित) में, स्वाभाविक रूप से गैर-T₀ समष्टि पर चलाएँ, वे सामान्यतः उन्हें नीचे वर्णित तरीके से T₀ समष्टि, से प्रतिस्थापित करते हैं। सम्मिलित विचारों को प्रेरित करने के लिए, प्रसिद्ध उदाहरण पर विचार करें। समष्टि L²(R) समष्टि का तात्पर्य वास्तविक रेखा R से सम्मिश्र समतल C तक सभी मापनीय फलनों f का समष्टि है, जैसे कि |f(x)|² का लेब्सग्यू अभिन्न अंग संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिमित समुच्चय है। यह समष्टि मानक ||f|| को परिभाषित करके मानक सदिश समष्टि बन जाना चाहिए उस अभिन्न का वर्गमूल होना है। समस्या यह है कि यह वास्तव में मानक नहीं है, केवल अर्ध-मानदंड है, क्योंकि शून्य फलन के अतिरिक्त अन्य फलन भी हैं जिनके (अर्ध)मानदंड 0 (संख्या) हैं। मानक समाधान L²(R) को परिभाषित करना है सीधे फलन के समुच्चय के अतिरिक्त फलन के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करना है। यह मूल अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि के भागफल समष्टि (सांस्थिति) का निर्माण करता है, और यह भागफल मानकीकृत सदिश समष्टि है। इसे अर्ध-मानदंड समष्टि से कई सुविधाजनक गुण विरासत में मिले हैं; नीचे देखें।

सामान्य तौर पर, समुच्चय X पर निश्चित सांस्थिति T के साथ संबोधित करते समय, यह सहायक होता है यदि वह सांस्थिति T₀ है। दूसरी ओर, जब X निश्चित है लेकिन T को कुछ सीमाओं के भीतर बदलने की अनुमति है, T को T₀ होने के लिए बाध्य करना असुविधाजनक हो सकता है, क्योंकि गैर-T₀ सांस्थिति अधिकांशतः महत्वपूर्ण विशेष स्थिति होते हैं। इस प्रकार, दोनों T₀ और गैर-T₀ को समझना महत्वपूर्ण हो सकता है विभिन्न स्थितियों के संस्करण जिन्हें सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है।

कोलमोगोरोव भागफल

बिंदुओं की सांस्थितिक अविभाज्यता एक तुल्यता संबंध है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि सांस्थितिक समष्टि X किससे प्रारंभ हो सकता है, इस तुल्यता संबंध के अनुसार भागफल समष्टि (सांस्थिति) हमेशा T₀ होता है। इस भागफल समष्टि को X का कोलमोगोरोव भागफल कहा जाता है, जिसे हम KQ(X) निरूपित करेंगे। निःसंदेह, यदि X, T₀ आरंभ करने के लिए होता, KQ(X) और X प्राकृतिक (श्रेणी सिद्धांत) पूरी तरह से होम्योमॉर्फिक हैं। स्पष्ट रूप से, कोलमोगोरोव समष्टि सांस्थितिक समष्टि की परावर्तक उपश्रेणी है, और कोलमोगोरोव भागफल परावर्तक है।

सांस्थितिक समष्टि X और Y कोलमोगोरोव समतुल्य हैं जब उनके कोलमोगोरोव भागफल होमियोमोर्फिक होते हैं। सांस्थितिक समष्टि के कई गुण इस तुल्यता द्वारा संरक्षित हैं; अर्थात्, यदि X और Y कोलमोगोरोव समकक्ष हैं, तो X के पास ऐसी गुण है यदि और केवल यदि Y के पास है। दूसरी ओर, सांस्थितिक समष्टि के अधिकांश अन्य गुण T₀-नेस दर्शाते हैं; अर्थात्, यदि X के पास ऐसी कोई गुण है, तो X को T₀ होना चाहिए। केवल कुछ गुण, जैसे कि अविभाज्य समष्टि, इस नियम के अपवाद हैं। इससे भी बेहतर, सांस्थितिक समष्टि पर परिभाषित कई संरचनाएं (गणित) X और KQ(X) के बीच स्थानांतरित की जा सकती हैं। परिणाम यह है कि, यदि आपके पास गैर-T₀ है एक निश्चित संरचना या गुण के साथ सांस्थितिक समष्टि, तो आप सामान्यतः T₀ बना सकते हैं कोलमोगोरोव भागफल लेकर समान संरचनाओं और गुणों वाला समष्टि है।

L²(R) का उदाहरण इन सुविधाओं को प्रदर्शित करता है। सांस्थिति के दृष्टिकोण से, जिस अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि से हमने प्रारंभ की थी, उसमें बहुत अधिक अतिरिक्त संरचना है; उदाहरण के लिए, यह सदिश समष्टि है, और इसमें अर्ध-मानदंड है, और ये छद्ममिति समष्टि और समान संरचना को परिभाषित करते हैं जो सांस्थिति के साथ संगत हैं। इसके अतिरिक्त, इन संरचनाओं के कई गुण हैं; उदाहरण के लिए, अर्ध-मानदंड समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करता है और समान संरचना पूर्ण समष्टि है। समष्टि T₀ नहीं है चूँकि L²(R) में कोई दो फलन हैं जो लगभग हर जगह समान हैं, इस सांस्थिति से अप्रभेद्य हैं। जब हम कोलमोगोरोव भागफल बनाते हैं, तो वास्तविक L²(R), ये संरचनाएं और गुण संरक्षित हैं। इस प्रकार, L²(R) भी समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण अर्ध-मानदंड सदिश समष्टि है। लेकिन वास्तव में हमें कुछ अधिक मिलता है, क्योंकि समष्टि अब T₀ है। अर्ध-मानदंड मानक है यदि और केवल यदि अंतर्निहित T₀ है, तो L²(R) वास्तव में समांतर चतुर्भुज तत्समक को संतुष्ट करने वाला पूर्ण मानक सदिश समष्टि है - जिसे हिल्बर्ट समष्टि के रूप में जाना जाता है। और यह हिल्बर्ट समष्टि है जिसका गणितज्ञ (और क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक विज्ञानी) सामान्यतः अध्ययन करना चाहते हैं। ध्यान दें कि संकेतन L²(R) सामान्यतः कोलमोगोरोव भागफल को दर्शाता है, वर्ग पूर्णांक फलन के समतुल्य वर्गों का समुच्चय जो कि माप शून्य के समुच्चय पर भिन्न होता है, न कि केवल वर्ग पूर्णांक फलन के सदिश समष्टि के अतिरिक्त जो संकेतन सुझाता है।

T₀ हटाना

हालाँकि मानदंडों को ऐतिहासिक रूप से सबसे पहले परिभाषित किया गया था, लोग अर्ध-मानदंड की परिभाषा के साथ भी आए, जो एक प्रकार का गैर-T₀ आदर्श का संस्करण है। सामान्य तौर पर, गैर-T₀ को परिभाषित करना संभव है सांस्थितिक समष्टि के गुणों और संरचनाओं दोनों के संस्करण है। सबसे पहले, सांस्थितिक समष्टि की गुण पर विचार करें, जैसे हॉसडॉर्फ़ समष्टि इसके बाद कोई गुण को संतुष्ट करने के लिए समष्टि X को परिभाषित करके सांस्थितिक समष्टि की एक और गुण को परिभाषित कर सकता है यदि कोलमोगोरोव भागफल KQ(X) हॉसडॉर्फ है। यह विवेकपूर्ण, यद्यपि कम प्रसिद्ध गुण है; इस स्थिति में, ऐसे समष्टि X को पूर्व नियमित समष्टि कहा जाता है। (वहाँ पूर्व-नियमितता की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा भी सामने आती है)। अब ऐसी संरचना पर विचार करें जिसे सांस्थितिक समष्टि पर रखा जा सकता है, जैसे कि मीट्रिक समष्टि है। हम X पर संरचना का उदाहरण केवल KQ(X) पर मीट्रिक देकर सांस्थितिक समष्टि पर नई संरचना को परिभाषित कर सकते हैं। यह X पर विवेकपूर्ण संरचना है; यह छद्ममिति मीट्रिक समष्टि है। (फिर से, छद्ममिति की अधिक प्रत्यक्ष परिभाषा है।)

इस तरह किसी गुण या संरचना के लिए आवश्यकताओं से T₀-नेस को हटाने का प्राकृतिक तरीका है। सामान्यतः उन समष्टि का अध्ययन करना आसान होता है जो T₀ हैं, लेकिन उन संरचनाओं को अनुमति देना भी आसान हो सकता है जो T₀ नहीं हैं संपूर्ण चित्र मिल सके। कोलमोगोरोव भागफल की अवधारणा का उपयोग करके T₀ आवश्यकता को अव्यवस्थिततः से जोड़ा या हटाया जा सकता है।

यह भी देखें

• संयमीसमष्टि

संदर्भ

• Lynn Arthur Steen and J। Arthur Seebach, Jr।, Counterexamples in Topology। Springer-Verlag, New York, 1978। Reprinted by Dover Publications, New York, 1995। ISBN 0-486-68735-X (Dover edition)।