सोबर समष्टि: Difference between revisions
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गणित में, '''सोबर | गणित में, '''सोबर समष्टि''' [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' है, जिसमें ''X'' का प्रत्येक (गैर-रिक्त) [[अघुलनशील स्थान|अपरिवर्तनीय संवृत]] उपसमुच्चय, ''X'' के बिल्कुल एक बिंदु का [[ समापन (टोपोलॉजी) |समापन]] है- अर्थात, प्रत्येक अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय में अद्वितीय [[सामान्य बिंदु]] होता है। | ||
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सोबर | सोबर समष्टि में विभिन्न प्रकार की [[क्रिप्टोमोर्फिक]] परिभाषाएँ हैं, जिन्हें इस खंड में प्रलेखित किया गया है। नेट के संदर्भ में परिभाषा को छोड़कर सभी का वर्णन इसमें किया गया है।<ref name="sheavesgeometrylogic">{{cite book |last1=Mac Lane |first1=Saunders |title=Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory |date=1992 |publisher=Springer-Verlag |location=New York |isbn=978-0-387-97710-2 |pages=472-482}}</ref> नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति में, "अद्वितीय" को "अधिकतम एक" से बदलने पर T<sub>0</sub> स्वयंसिद्ध का समतुल्य सूत्रीकरण प्राप्त होता है। इसे "कम से कम एक" से बदलना इस गुण के बराबर है कि समष्टि का T<sub>0</sub> भागफल सोबर है, जिसे कभी-कभी साहित्य में "पर्याप्त अंक" के रूप में जाना जाता है। | ||
=== [[पूर्ण हेयटिंग बीजगणित|फ़्रेम और स्थानों]] के आकारिकी के संदर्भ में === | === [[पूर्ण हेयटिंग बीजगणित|फ़्रेम और स्थानों]] के आकारिकी के संदर्भ में === | ||
सांस्थितिक | सांस्थितिक समष्टि ''X'' सोबर है यदि प्रत्येक मानचित्र जो सभी जोड़ों को संरक्षित करता है और सभी परिमित मिलते हैं, विवृत उपसमुच्चय के आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय से <math>\{0,1\}</math> तक एक-बिंदु समष्टि से ''X'' तक अद्वितीय निरंतर फलन का व्युत्क्रम चित्र है। | ||
इसे किसी स्थान में बिंदु की धारणा और सांस्थितिक | इसे किसी स्थान में बिंदु की धारणा और सांस्थितिक समष्टि में बिंदु के बीच समतुल्यता के रूप में देखा जा सकता है, जो प्रेरक परिभाषा है। | ||
=== पूर्णतः महत्वपूर्ण फ़िल्टर का उपयोग करना === | === पूर्णतः महत्वपूर्ण फ़िल्टर का उपयोग करना === | ||
विवृत समुच्चयों के फ़िल्टर ''F'' को पूरी तरह से अभाज्य कहा जाता है यदि किसी भी समूह <math>O_i</math> के विवृत समुच्चयों जैसे कि <math>\bigcup_i O_i \in F</math> के लिए, हमारे पास कुछ ''i'' के लिए वह <math>O_i \in F</math> है। | विवृत समुच्चयों के फ़िल्टर ''F'' को पूरी तरह से अभाज्य कहा जाता है यदि किसी भी समूह <math>O_i</math> के विवृत समुच्चयों जैसे कि <math>\bigcup_i O_i \in F</math> के लिए, हमारे पास कुछ ''i'' के लिए वह <math>O_i \in F</math> है। समष्टि X सोबर है यदि इसका प्रत्येक पूरी तरह से महत्वपूर्ण फिल्टर X में अद्वितीय बिंदु का क्षेत्र फिल्टर है। | ||
=== नेट के संदर्भ में === | === नेट के संदर्भ में === | ||
नेट <math>x_{\bullet}</math> स्व-अभिसरण है यदि यह <math>x_{\bullet}</math> में प्रत्येक बिंदु <math>x_i</math> पर परिवर्तित होता है, या समकक्ष यदि इसका संभाव्य घटना फ़िल्टर पूर्णतः प्रमुख है। नेट <math>x_{\bullet}</math> जो <math>x</math> में परिवर्तित होता है, दृढ़ता से परिवर्तित होता है यदि यह केवल <math>x</math> के समापन में बिंदुओं पर परिवर्तित हो सकता है। | नेट <math>x_{\bullet}</math> स्व-अभिसरण है यदि यह <math>x_{\bullet}</math> में प्रत्येक बिंदु <math>x_i</math> पर परिवर्तित होता है, या समकक्ष यदि इसका संभाव्य घटना फ़िल्टर पूर्णतः प्रमुख है। नेट <math>x_{\bullet}</math> जो <math>x</math> में परिवर्तित होता है, दृढ़ता से परिवर्तित होता है यदि यह केवल <math>x</math> के समापन में बिंदुओं पर परिवर्तित हो सकता है। समष्टि सोबर होता है यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण नेट <math>x_{\bullet}</math> अद्वितीय बिंदु <math>x</math> पर दृढ़ता से अभिसरण करता है।<ref name="nets">{{cite journal |last1=Sünderhauf |first1=Philipp |title=नेट के संदर्भ में संयम|journal=Applied Categorical Structures |date=1 December 2000 |volume=8 |issue=4 |pages=649–653 |doi=10.1023/A:1008673321209}}</ref> | ||
विशेष रूप से, | विशेष रूप से, समष्टि T1 और सोबर होता है यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण नेट स्थिर होता है। | ||
=== अपरिवर्तनीय संवृत समुच्चय के साथ === | === अपरिवर्तनीय संवृत समुच्चय के साथ === | ||
संवृत समुच्चय अपरिवर्तनीय है यदि इसे दो उचित संवृत उपसमुच्चयों के समुच्च के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि प्रत्येक अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय अद्वितीय बिंदु का समापन है तो | संवृत समुच्चय अपरिवर्तनीय है यदि इसे दो उचित संवृत उपसमुच्चयों के समुच्च के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि प्रत्येक अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय अद्वितीय बिंदु का समापन है तो समष्टि सोबर होता है। | ||
=== | === समष्टि पर शेव्स के गुण के रूप में === | ||
समष्टि ''X'' सोबर है यदि शेव्स ''Sh(X)'' से लेकर समुच्चय तक की श्रेणी का प्रत्येक प्रकार्यक सभी परिमित सीमाओं को संरक्षित करता है और सभी छोटे सह सीमाओं को अद्वितीय बिंदु ''X'' का वृंत प्रकार्यक होना चाहिए। | |||
==गुण और उदाहरण== | ==गुण और उदाहरण== | ||
कोई भी हॉसडॉर्फ (T<sub>2</sub>) | कोई भी हॉसडॉर्फ (T<sub>2</sub>) समष्टि सोबर है (केवल अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय बिंदु हैं), और सभी सोबर समष्टि कोलमोगोरोव ([[T0 स्थान|T<sub>0</sub>]]) हैं, और दोनों निहितार्थ दृढ़ हैं।<ref name="egt">{{cite book | title=सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश| url=https://archive.org/details/encyclopediagene00hart_882 | url-access=limited | first1=Klaas Pieter | last1=Hart | first2=Jun-iti | last2=Nagata | first3=Jerry E. | last3=Vaughan | publisher=Elsevier | year=2004 | isbn=978-0-444-50355-8 | pages=[https://archive.org/details/encyclopediagene00hart_882/page/n165 155]–156 }}</ref> गंभीरता की तुलना T<sub>1</sub> स्थिति से नहीं की जा सकती- | ||
* T<sub>1</sub> | * T<sub>1</sub> समष्टि का उदाहरण जो सोबर नहीं है, सहपरिमित सांस्थितिकी के साथ अनंत समुच्चय है, संपूर्ण समष्टि बिना किसी सामान्य बिंदु के अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय है | ||
* सोबर | * सोबर समष्टि का उदाहरण जो T<sub>1</sub> नहीं है, [[सीरपिंस्की स्थान|सीरपिंस्की समष्टि]] है। | ||
इसके अलावा T<sub>2</sub>, T<sub>1</sub> से अधिक दृढ़ और सोबर है, अर्थात, जबकि प्रत्येक T<sub>2</sub> स्थान एक साथ T<sub>1</sub> और सोबर है, ऐसे | इसके अलावा T<sub>2</sub>, T<sub>1</sub> से अधिक दृढ़ और सोबर है, अर्थात, जबकि प्रत्येक T<sub>2</sub> स्थान एक साथ T<sub>1</sub> और सोबर है, ऐसे समष्टि उपस्थित हैं जो एक साथ T<sub>1</sub> और सोबर हैं, लेकिन T<sub>2</sub> नहीं हैं। ऐसा ही एक उदाहरण निम्नलिखित है- मान लीजिए कि X वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके साथ नया बिंदु p जुड़ा हुआ है विवृत समुच्चय सभी वास्तविक विवृत समुच्चय होते हैं, और सभी सह-परिमित समुच्चय जिनमें p होता है। | ||
''X'' की गंभीरता वास्तव में एक ऐसी स्थिति है जो ''X'' के विवृत उपसमुच्चय के नेट को ''X'' के [[होमियोमोर्फिज्म|समरूपता]] [[तक]] निर्धारित करने के लिए दृढ़ करती है, जो कि [[व्यर्थ टोपोलॉजी|व्यर्थ सांस्थितिकी]] के लिए प्रासंगिक है। | ''X'' की गंभीरता वास्तव में एक ऐसी स्थिति है जो ''X'' के विवृत उपसमुच्चय के नेट को ''X'' के [[होमियोमोर्फिज्म|समरूपता]] [[तक]] निर्धारित करने के लिए दृढ़ करती है, जो कि [[व्यर्थ टोपोलॉजी|व्यर्थ सांस्थितिकी]] के लिए प्रासंगिक है। | ||
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स्कॉट सांस्थितिकी से सुसज्जित प्रत्येक निरंतर निर्देशित पूर्ण पोसेट सोबर है। | स्कॉट सांस्थितिकी से सुसज्जित प्रत्येक निरंतर निर्देशित पूर्ण पोसेट सोबर है। | ||
परिमित T<sub>0</sub> | परिमित T<sub>0</sub> समष्टि सोबर हैं।<ref>{{Cite web|url=https://math.stackexchange.com/questions/4198805|title=General topology - Finite $T_0$ spaces are sober}}</ref> | ||
[[ज़ारिस्की टोपोलॉजी|ज़ारिस्की सांस्थितिकी]] के साथ [[ क्रमविनिमेय वलय |क्रम विनिमय वलय]] ''R'' का [[प्राइम स्पेक्ट्रम|महत्तवपूर्ण स्पेक्ट्रम]] स्पेक(''R'') [[ सघन स्थान |सघन]] सोबर | [[ज़ारिस्की टोपोलॉजी|ज़ारिस्की सांस्थितिकी]] के साथ [[ क्रमविनिमेय वलय |क्रम विनिमय वलय]] ''R'' का [[प्राइम स्पेक्ट्रम|महत्तवपूर्ण स्पेक्ट्रम]] स्पेक(''R'') [[ सघन स्थान |सघन]] सोबर समष्टि है।<ref name="egt" /> वास्तव में, प्रत्येक [[वर्णक्रमीय स्थान|वर्णक्रमीय समष्टि]] (अर्थात सघन सोबर समष्टि जिसके लिए सघन विवृत उपसमुच्चय का संग्रह परिमित प्रतिच्छेदनों के तहत संवृत होता है और सांस्थितिकी के लिए आधार बनाता है) कुछ क्रम विनिमय वलय ''R'' के लिए स्पेक(''R'') के लिए समरूप है। यह [[मेल्विन होचस्टर]] का प्रमेय है।<ref name="Hoch">{{Citation | ||
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स्पेक(''R'') का उपसमुच्चय जिसमें केवल अधिकतम आदर्श सम्मिलित हैं, जहां ''R'' क्रमविनिमेय वलय है, सामान्य तौर पर सोबर नहीं है। | स्पेक(''R'') का उपसमुच्चय जिसमें केवल अधिकतम आदर्श सम्मिलित हैं, जहां ''R'' क्रमविनिमेय वलय है, सामान्य तौर पर सोबर नहीं है। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* स्टोन द्वैत, सांस्थितिक | * स्टोन द्वैत, सांस्थितिक समष्टि के बीच द्वैत पर जो सोबर हैं और फ्रेम (अर्थात पूर्ण हेटिंग बीजगणित) जो स्थानिक हैं। | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 12:37, 14 July 2023
गणित में, सोबर समष्टि सांस्थितिक समष्टि X है, जिसमें X का प्रत्येक (गैर-रिक्त) अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय, X के बिल्कुल एक बिंदु का समापन है- अर्थात, प्रत्येक अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय में अद्वितीय सामान्य बिंदु होता है।
परिभाषाएँ
सोबर समष्टि में विभिन्न प्रकार की क्रिप्टोमोर्फिक परिभाषाएँ हैं, जिन्हें इस खंड में प्रलेखित किया गया है। नेट के संदर्भ में परिभाषा को छोड़कर सभी का वर्णन इसमें किया गया है।[1] नीचे दी गई प्रत्येक स्थिति में, "अद्वितीय" को "अधिकतम एक" से बदलने पर T0 स्वयंसिद्ध का समतुल्य सूत्रीकरण प्राप्त होता है। इसे "कम से कम एक" से बदलना इस गुण के बराबर है कि समष्टि का T0 भागफल सोबर है, जिसे कभी-कभी साहित्य में "पर्याप्त अंक" के रूप में जाना जाता है।
फ़्रेम और स्थानों के आकारिकी के संदर्भ में
सांस्थितिक समष्टि X सोबर है यदि प्रत्येक मानचित्र जो सभी जोड़ों को संरक्षित करता है और सभी परिमित मिलते हैं, विवृत उपसमुच्चय के आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय से तक एक-बिंदु समष्टि से X तक अद्वितीय निरंतर फलन का व्युत्क्रम चित्र है।
इसे किसी स्थान में बिंदु की धारणा और सांस्थितिक समष्टि में बिंदु के बीच समतुल्यता के रूप में देखा जा सकता है, जो प्रेरक परिभाषा है।
पूर्णतः महत्वपूर्ण फ़िल्टर का उपयोग करना
विवृत समुच्चयों के फ़िल्टर F को पूरी तरह से अभाज्य कहा जाता है यदि किसी भी समूह के विवृत समुच्चयों जैसे कि के लिए, हमारे पास कुछ i के लिए वह है। समष्टि X सोबर है यदि इसका प्रत्येक पूरी तरह से महत्वपूर्ण फिल्टर X में अद्वितीय बिंदु का क्षेत्र फिल्टर है।
नेट के संदर्भ में
नेट स्व-अभिसरण है यदि यह में प्रत्येक बिंदु पर परिवर्तित होता है, या समकक्ष यदि इसका संभाव्य घटना फ़िल्टर पूर्णतः प्रमुख है। नेट जो में परिवर्तित होता है, दृढ़ता से परिवर्तित होता है यदि यह केवल के समापन में बिंदुओं पर परिवर्तित हो सकता है। समष्टि सोबर होता है यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण नेट अद्वितीय बिंदु पर दृढ़ता से अभिसरण करता है।[2]
विशेष रूप से, समष्टि T1 और सोबर होता है यदि प्रत्येक स्व-अभिसरण नेट स्थिर होता है।
अपरिवर्तनीय संवृत समुच्चय के साथ
संवृत समुच्चय अपरिवर्तनीय है यदि इसे दो उचित संवृत उपसमुच्चयों के समुच्च के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यदि प्रत्येक अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय अद्वितीय बिंदु का समापन है तो समष्टि सोबर होता है।
समष्टि पर शेव्स के गुण के रूप में
समष्टि X सोबर है यदि शेव्स Sh(X) से लेकर समुच्चय तक की श्रेणी का प्रत्येक प्रकार्यक सभी परिमित सीमाओं को संरक्षित करता है और सभी छोटे सह सीमाओं को अद्वितीय बिंदु X का वृंत प्रकार्यक होना चाहिए।
गुण और उदाहरण
कोई भी हॉसडॉर्फ (T2) समष्टि सोबर है (केवल अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय बिंदु हैं), और सभी सोबर समष्टि कोलमोगोरोव (T0) हैं, और दोनों निहितार्थ दृढ़ हैं।[3] गंभीरता की तुलना T1 स्थिति से नहीं की जा सकती-
- T1 समष्टि का उदाहरण जो सोबर नहीं है, सहपरिमित सांस्थितिकी के साथ अनंत समुच्चय है, संपूर्ण समष्टि बिना किसी सामान्य बिंदु के अपरिवर्तनीय संवृत उपसमुच्चय है
- सोबर समष्टि का उदाहरण जो T1 नहीं है, सीरपिंस्की समष्टि है।
इसके अलावा T2, T1 से अधिक दृढ़ और सोबर है, अर्थात, जबकि प्रत्येक T2 स्थान एक साथ T1 और सोबर है, ऐसे समष्टि उपस्थित हैं जो एक साथ T1 और सोबर हैं, लेकिन T2 नहीं हैं। ऐसा ही एक उदाहरण निम्नलिखित है- मान लीजिए कि X वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, जिसके साथ नया बिंदु p जुड़ा हुआ है विवृत समुच्चय सभी वास्तविक विवृत समुच्चय होते हैं, और सभी सह-परिमित समुच्चय जिनमें p होता है।
X की गंभीरता वास्तव में एक ऐसी स्थिति है जो X के विवृत उपसमुच्चय के नेट को X के समरूपता तक निर्धारित करने के लिए दृढ़ करती है, जो कि व्यर्थ सांस्थितिकी के लिए प्रासंगिक है।
गंभीरता विशेषज्ञता को पूर्वक्रमित को निर्देशित पूर्ण आंशिक क्रम बनाता है।
स्कॉट सांस्थितिकी से सुसज्जित प्रत्येक निरंतर निर्देशित पूर्ण पोसेट सोबर है।
परिमित T0 समष्टि सोबर हैं।[4]
ज़ारिस्की सांस्थितिकी के साथ क्रम विनिमय वलय R का महत्तवपूर्ण स्पेक्ट्रम स्पेक(R) सघन सोबर समष्टि है।[3] वास्तव में, प्रत्येक वर्णक्रमीय समष्टि (अर्थात सघन सोबर समष्टि जिसके लिए सघन विवृत उपसमुच्चय का संग्रह परिमित प्रतिच्छेदनों के तहत संवृत होता है और सांस्थितिकी के लिए आधार बनाता है) कुछ क्रम विनिमय वलय R के लिए स्पेक(R) के लिए समरूप है। यह मेल्विन होचस्टर का प्रमेय है।[5] अधिक सामान्यतः, किसी भी योजना का अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि सोबर समष्टि होता है।
स्पेक(R) का उपसमुच्चय जिसमें केवल अधिकतम आदर्श सम्मिलित हैं, जहां R क्रमविनिमेय वलय है, सामान्य तौर पर सोबर नहीं है।
यह भी देखें
- स्टोन द्वैत, सांस्थितिक समष्टि के बीच द्वैत पर जो सोबर हैं और फ्रेम (अर्थात पूर्ण हेटिंग बीजगणित) जो स्थानिक हैं।
संदर्भ
- ↑ Mac Lane, Saunders (1992). Sheaves in geometry and logic: a first introduction to topos theory. New York: Springer-Verlag. pp. 472–482. ISBN 978-0-387-97710-2.
- ↑ Sünderhauf, Philipp (1 December 2000). "नेट के संदर्भ में संयम". Applied Categorical Structures. 8 (4): 649–653. doi:10.1023/A:1008673321209.
- ↑ 3.0 3.1 Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). सामान्य टोपोलॉजी का विश्वकोश. Elsevier. pp. 155–156. ISBN 978-0-444-50355-8.
- ↑ "General topology - Finite $T_0$ spaces are sober".
- ↑ Hochster, Melvin (1969), "Prime ideal structure in commutative rings", Trans. Amer. Math. Soc., 142: 43–60, doi:10.1090/s0002-9947-1969-0251026-x
अग्रिम पठन
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Categorical foundations. Special topics in order, topology, algebra, and sheaf theory. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications. Vol. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
- Vickers, Steven (1989). Topology via logic. Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Vol. 5. Cambridge: Cambridge University Press. p. 66. ISBN 0-521-36062-5. Zbl 0668.54001.
