सम्मिश्र सामान्य वितरण

Complex normal

Parameters	$\mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}$ — location $\Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — covariance matrix (positive semi-definite matrix) $C\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — relation matrix (complex symmetric matrix)
Support	$\mathbb {C} ^{n}$
PDF	complicated, see text
Mean	$\mathbf {\mu }$
Mode	$\mathbf {\mu }$
Variance	$\Gamma$
CF	$\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}$

संभाव्यता सिद्धांत में, सम्मिश्र सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे ${\mathcal {CN}}$ या ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$ कहा जाता है, सम्मिश्र यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं। सम्मिश्र सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$, और संबंध मैट्रिक्स $C$. मानक सम्मिश्र सामान्य $\mu =0$, $\Gamma =1$और $C=0$ के साथ एकतरफा वितरण है।

सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध मैट्रिक्स और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: $\mu =0$ और $C=0$। [ इस मामले का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल सम्मिश्र सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषाएँ

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर

मानक जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या मानक जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर एक जटिल यादृच्छिक चर $Z$ है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण $1/2$ के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।औपचारिक रूप से,

$Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)$

(Eq.1)

जहाँ $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ यह दर्शाता है $Z$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर है।

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर

मान लीजिए कि $X$ और $Y$ वास्तविक यादृच्छिक चर हैं, जैसे कि $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ एक 2-आयामी सामान्य यादृच्छिक सदिश है। तब जटिल यादृच्छिक चर $Z=X+iY$ को जटिल सामान्य यादृच्छिक चर या जटिल गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।

$Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.2)

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश

एक एन-आयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ एक सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश या सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक सदिश है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। वह $\mathbf {Z}$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश निरूपित किया जाता है $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$.

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$

(Eq.3)

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश

अगर $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ और $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ में यादृच्छिक सदिश हैं $\mathbb {R} ^{n}$ ऐसा है कि $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ के साथ एक सामान्य यादृच्छिक सदिश है $2n$ अवयव। तब हम कहते हैं कि सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश

$\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,$

एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश है।

$\mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.4)

माध्य, सहप्रसरण, और संबंध

सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:

$\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],$

जहाँ $\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }$ मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है $\mathbf {Z}$, और $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।

यहां स्थान पैरामीटर है $\mu$ एक एन-आयामी सम्मिश्र सदिश है; सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$ हर्मिटियन मैट्रिक्स और गैर-नकारात्मक निश्चित है; और, संबंध मैट्रिक्स या छद्म सहप्रसरण मैट्रिक्स $C$ सममित मैट्रिक्स है. सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z}$ अब के रूप में दर्शाया जा सकता है

$$\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).$$

इसके अलावा, मैट्रिक्स $\Gamma$ और $C$ ऐसे हैं कि मैट्रिक्स

$P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C$

यह भी गैर-नकारात्मक निश्चित है ${\overline {\Gamma }}$ के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है $\Gamma$.

सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध

Main article: Complex random vector § Covariance matrix and pseudo-covariance matrix

किसी भी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश के लिए, मैट्रिक्स $\Gamma$ और $C$ के सहप्रसरण मैट्रिक्स से संबंधित हो सकता है $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ और $\mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )$ अभिव्यक्ति के माध्यम से

${\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}$

और इसके विपरीत

${\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}$

घनत्व फलन

सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन की गणना इस प्रकार की जा सकती है

${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}$

जहाँ $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ और $P={\overline {\Gamma }}-RC$.

विशेषता कार्य

सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) किसके द्वारा दिया गया है?: $\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},$ जहां तर्क $w$ एक एन-आयामी सम्मिश्र सदिश है।

गुण

• अगर $\mathbf {Z}$ एक सम्मिश्र सामान्य एन-सदिश है, ${\boldsymbol {A}}$ एक m×n मैट्रिक्स, और $b$ एक स्थिर एम-सदिश, फिर रैखिक परिवर्तन ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ सम्मिश्र-सामान्य रूप से भी वितरित किया जाएगा:

$Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })$

• अगर $\mathbf {Z}$ तो, एक सम्मिश्र सामान्य एन-सदिश है

$2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)$

• केंद्रीय सीमा प्रमेय। अगर $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित सम्मिश्र यादृच्छिक चर हैं

${\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),$

जहाँ $\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]$ और $C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]$.

• एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।

वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला

परिभाषा

एक सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z}$ यदि प्रत्येक नियति के लिए इसे गोलाकार सममित कहा जाता है $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ का वितरण $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ के वितरण के बराबर है $\mathbf {Z}$.

Main article: Complex random vector § Circular symmetry

केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण मैट्रिक्स द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं $\Gamma$.

गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध मैट्रिक्स के मामले से मेल खाता है, अर्थात। $\mu =0$ और $C=0$. इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )$

वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण

अगर $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य है, फिर सदिश $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है

${\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}$

जहाँ $\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0$ और $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$.

संभावना घनत्व फ़ंक्शन

गैर-एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स के लिए $\Gamma$, इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है

$f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}$.

इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है $\mu$ और सहप्रसरण मैट्रिक्स $\Gamma$ अज्ञात हैं, एकल अवलोकन सदिश के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फ़ंक्शन $z$ होगा

$\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).$

मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) Eq.1)एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है $\mu =0$, $C=0$ और $\Gamma =1$. इस प्रकार, मानक सम्मिश्र सामान्य वितरण में घनत्व होता है

$f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.$

गुण

उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि मामला क्यों है $C=0$, $\mu =0$ "वृत्ताकार-सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल के परिमाण पर निर्भर करता है $z$ लेकिन इसके Arg (गणित) पर नहीं. इस प्रकार, परिमाण $|z|$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर में रेले वितरण और वर्ग परिमाण होगा $|z|^{2}$ घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क को समान वितरण (निरंतर) पर वितरित किया जाएगा $[-\pi ,\pi ]$.

अगर $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित एन-आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक वैक्टर हैं $\mu =0$, फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड

$Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}$

इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक मैट्रिक्स है

$W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }$

के साथ सम्मिश्र विशरट वितरण है $k$ स्वतंत्रता की कोटियां। इस वितरण को घनत्व फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है

$f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}$

जहाँ $k\geq n$, और $w$ एक है $n\times n$ गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स।

यह भी देखें

• सम्मिश्र सामान्य अनुपात वितरण
• दिशात्मक आँकड़े#माध्य का वितरण (ध्रुवीय रूप)
• सामान्य वितरण
• बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (एक सम्मिश्र सामान्य वितरण एक द्विचर सामान्य वितरण है)
• सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
• विशार्ट वितरण
• सम्मिश्र यादृच्छिक चर

अग्रिम पठन

• Goodman, N.R. (1963). "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)". The Annals of Mathematical Statistics. 34 (1): 152–177. doi:10.1214/aoms/1177704250. JSTOR 2991290.
• Picinbono, Bernard (1996). "Second-order complex random vectors and normal distributions". IEEE Transactions on Signal Processing. 44 (10): 2637–2640. doi:10.1109/78.539051.

• Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups." Hoyt. RDocumentation, n.d. Web. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
• Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.