सम्मिश्र सामान्य वितरण

Complex normal

Parameters	$\mathbf {\mu } \in \mathbb {C} ^{n}$ — location $\Gamma \in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — covariance matrix (positive semi-definite matrix) $C\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ — relation matrix (complex symmetric matrix)
Support	$\mathbb {C} ^{n}$
PDF	complicated, see text
Mean	$\mathbf {\mu }$
Mode	$\mathbf {\mu }$
Variance	$\Gamma$
CF	$\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}}$

संभाव्यता सिद्धांत में, सम्मिश्र सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे ${\mathcal {CN}}$ या ${\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}$ कहा जाता है, सम्मिश्र यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं। सम्मिश्र सामान्य वर्ग में तीन पैरामीटर होते हैं: स्थान पैरामीटर μ, सहप्रसरण आव्यूह $\Gamma$, और संबंध आव्यूह $C$. मानक सम्मिश्र सामान्य $\mu =0$, $\Gamma =1$और $C=0$ के साथ एकतरफा वितरण है।

सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध आव्यूह और शून्य माध्य के मामले से मेल खाता है: $\mu =0$ और $C=0$। [ इस मामले का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बड़े पैमाने पर किया जाता है, जहां कभी-कभी इसे साहित्य में केवल सम्मिश्र सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिभाषाएँ

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर

मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या मानक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर एक सम्मिश्र यादृच्छिक चर $Z$ है जिसके वास्तविक और काल्पनिक भाग माध्य शून्य और विचरण $1/2$ के साथ स्वतंत्र सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं।औपचारिक रूप से,

$Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)$

(Eq.1)

जहाँ $Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$ यह दर्शाता है $Z$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर है।

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर

मान लीजिए कि $X$ और $Y$ वास्तविक यादृच्छिक चर हैं, जैसे कि $(X,Y)^{\mathrm {T} }$ एक 2-आयामी सामान्य यादृच्छिक सदिश है। तब सम्मिश्र यादृच्छिक चर $Z=X+iY$ को सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।

$Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.2)

सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश

एक nआयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }$ एक सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश या सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक सदिश है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। वह $\mathbf {Z}$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})$ निरूपित किया जाता है।

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)$

(Eq.3)

सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश

यदि $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }$ और $\mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }$ में यादृच्छिक सदिश हैं $\mathbb {R} ^{n}$ ऐसा है कि $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ के साथ एक सामान्य यादृच्छिक सदिश है $2n$ अवयव। तब हम कहते हैं कि सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश

$\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,$

एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश है।

$\mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}$

(Eq.4)

माध्य, सहप्रसरण, और संबंध

सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:

$\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],$

जहाँ $\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }$ आव्यूह स्थानान्तरण को दर्शाता है $\mathbf {Z}$, और $\mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }$ संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है।

यहां स्थान पैरामीटर है $\mu$ एक nआयामी सम्मिश्र सदिश है; सहप्रसरण आव्यूह $\Gamma$ हर्मिटियन आव्यूह और ऋणेतर निश्चित है; और, संबंध आव्यूह या छद्म सहप्रसरण आव्यूह $C$ सममित आव्यूह है। सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश $\mathbf {Z}$ अब के रूप में दर्शाया जा सकता है।

$$\mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).$$

इसके अतिरिक्त, आव्यूह $\Gamma$ और $C$ ऐसे हैं जो आव्यूह हैं

$P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C$

यह एक ऋणेतर निश्चितता भी है जहां ${\overline {\Gamma }}$, $\Gamma$ के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाता है।

सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध

Main article: सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश सहप्रसरण आव्यूह और छद्म-सहसंयोजक आव्यूह

जहां तक किसी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश का सवाल है, आव्यूह $\Gamma$ और $C$ को अभिव्यक्ति के माध्यम से $\mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )$ और $\mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )$ के सहप्रसरण आव्यूहों से संबंधित किया जा सकता है

${\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}$

और इसके विपरीत

${\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}$

घनत्व फलन

सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन की गणना इस प्रकार की जा सकती है

${\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}$

जहाँ $R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}$ और $P={\overline {\Gamma }}-RC$.

अभिलक्षणिक फलन

सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},$

जहां तर्क $w$ एक n आयामी सम्मिश्र सदिश है।

गुण

• यदि $\mathbf {Z}$ एक सम्मिश्र सामान्य n-सदिश है, ${\boldsymbol {A}}$ एक m×n आव्यूह है, और $b$ एक स्थिर m-सदिश है, तो रैखिक रूपांतरण ${\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b$ को भी सम्मिश्र-सामान्य रूप से वितरित किया जाएगा:

$Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })$

• यदि $\mathbf {Z}$ तो, एक सम्मिश्र सामान्य n सदिश है।

$2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)$

• केंद्रीय सीमा प्रमेय। यदि $Z_{1},\ldots ,Z_{T}$ तो, स्वतंत्र और समान रूप से वितरित सम्मिश्र यादृच्छिक चर हैं।

${\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),$

जहाँ $\Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]$ और $C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]$.

• एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।

वृत्ताकार-सममित केंद्रीय मामला

परिभाषा

एक सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर $\mathbf {Z}$ को गोलाकार रूप से सममित कहा जाता है यदि प्रत्येक नियतात्मक $\varphi \in [-\pi ,\pi )$ के लिए $e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z}$ का वितरण $\mathbf {Z}$ के वितरण के बराबर होता है।

Main article: सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश और वृत्ताकार समरूपता

केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण आव्यूह $\Gamma$ द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट होते हैं।

गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध आव्यूह के मामले से मेल खाता है, यानी $\mu =0$ और $C=0$ आमतौर पर इसे दर्शाया जाता है

$\mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )$

वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण

यदि $\mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y}$ गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य है, फिर सदिश $[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$ सहप्रसरण संरचना के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य है।

${\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}$

जहाँ $\mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0$ और $\Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]$.

संभावना सघनता फलन

गैर विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह के लिए $\Gamma$, इसके वितरण को भी सरल बनाया जा सकता है

$f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}$.

इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है $\mu$ और सहप्रसरण आव्यूह $\Gamma$ अज्ञात हैं, एकल अवलोकन सदिश के लिए एक उपयुक्त लॉग संभावना फलन $z$ होगा।

$\ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).$

मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) Eq.1)एक अदिश यादृच्छिक चर के वितरण के अनुरूप है $\mu =0$, $C=0$ और $\Gamma =1$. इस प्रकार, मानक सम्मिश्र सामान्य वितरण में घनत्व होता है।

$f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.$

गुण

उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि क्यों मामले $C=0$, $\mu =0$ को "गोलाकार सममित" कहा जाता है। घनत्व फलन केवल $z$ के परिमाण पर निर्भर करता है, उसके तर्क पर नहीं। जैसे, परिमाण $|z|$ एक मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर में रेले वितरण होगा और वर्ग परिमाण $|z|^{2}$ में घातांकीय वितरण होगा, जबकि तर्क $[-\pi ,\pi ]$ पर समान रूप से वितरित किया जाएगा।

यदि $\left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित n-आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश हैं $\mu =0$, फिर यादृच्छिक वर्ग मानदंड

$Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}$

इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक आव्यूह है।

$W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }$

इसमें स्वतंत्रता की $k$ डिग्री के साथ सम्मिश्र विशरट वितरण है। इस वितरण का वर्णन घनत्व फलन द्वारा किया जा सकता है।

$f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}$

जहाँ $k\geq n$ और $w$ एक $n\times n$ ऋणेतर-निश्चित आव्यूह है।

यह भी देखें

• सम्मिश्र सामान्य अनुपात वितरण
• दिशात्मक सांख्यिकी एवं माध्य का वितरण (ध्रुवीय रूप)
• सामान्य वितरण
• बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण (एक सम्मिश्र सामान्य वितरण एक द्विचर सामान्य वितरण है)
• सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण
• विशार्ट वितरण
• सम्मिश्र यादृच्छिक चर

अग्रिम पठन

• Goodman, N.R. (1963). "Statistical analysis based on a certain multivariate complex Gaussian distribution (an introduction)". The Annals of Mathematical Statistics. 34 (1): 152–177. doi:10.1214/aoms/1177704250. JSTOR 2991290.
• Picinbono, Bernard (1996). "Second-order complex random vectors and normal distributions". IEEE Transactions on Signal Processing. 44 (10): 2637–2640. doi:10.1109/78.539051.

• Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups." Hoyt. RDocumentation, n.d. Web. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
• Gallager, Robert G (2008). "Circularly-Symmetric Gaussian Random Vectors." (n.d.): n. pag. Pre-print. Web. 9 http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.