संभाव्यता सिद्धांत में, सम्मिश्र सामान्य वितरण का वर्ग , जिसे C N {\displaystyle {\mathcal {CN}}} N C {\displaystyle {\mathcal {N}}_{\mathcal {C}}} सम्मिश्र यादृच्छिक चर की विशेषता बताता है जिनके वास्तविक और काल्पनिक हिस्से संयुक्त रूप से सामान्य होते हैं।[1] Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} मानक सम्मिश्र सामान्य μ = 0 {\displaystyle \mu =0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1} C = 0 {\displaystyle C=0}
सम्मिश्र सामान्य वर्ग के एक महत्वपूर्ण उपवर्ग को वृत्ताकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य कहा जाता है और यह शून्य संबंध आव्यूह और शून्य माध्य के स्तिथि से मेल खाता है: μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [2] सम्मिश्र सामान्य के रूप में संदर्भित किया जाता है।
परिभाषाएँ सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक चर मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या मानक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर सम्मिश्र यादृच्छिक चर Z {\displaystyle Z} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} [3]
Z ∼ C N ( 0 , 1 ) ⟺ ℜ ( Z ) ⊥ ⊥ ℑ ( Z ) and ℜ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) and ℑ ( Z ) ∼ N ( 0 , 1 / 2 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)\quad \iff \quad \Re (Z)\perp \!\!\!\perp \Im (Z){\text{ and }}\Re (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2){\text{ and }}\Im (Z)\sim {\mathcal {N}}(0,1/2)}
(Eq.1 )
जहाँ Z ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {CN}}(0,1)} Z {\displaystyle Z}
सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर मान लीजिए कि X {\displaystyle X} Y {\displaystyle Y} ( X , Y ) T {\displaystyle (X,Y)^{\mathrm {T} }} सामान्य यादृच्छिक सदिश है। तब सम्मिश्र यादृच्छिक चर Z = X + i Y {\displaystyle Z=X+iY} सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर या सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक चर कहा जाता है।[3]
Z complex normal random variable ⟺ ( ℜ ( Z ) , ℑ ( Z ) ) T real normal random vector {\displaystyle Z{\text{ complex normal random variable}}\quad \iff \quad (\Re (Z),\Im (Z))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.2 )
सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश एक nआयामी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश Z = ( Z 1 , … , Z n ) T {\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{n})^{\mathrm {T} }} सम्मिश्र मानक सामान्य यादृच्छिक सदिश या सम्मिश्र मानक गॉसियन यादृच्छिक सदिश है यदि इसके घटक स्वतंत्र हैं और वे सभी मानक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर हैं जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।[3] [4] Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z ∼ C N ( 0 , I n ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})}
Z ∼ C N ( 0 , I n ) ⟺ ( Z 1 , … , Z n ) independent and for 1 ≤ i ≤ n : Z i ∼ C N ( 0 , 1 ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,{\boldsymbol {I}}_{n})\quad \iff (Z_{1},\ldots ,Z_{n}){\text{ independent}}{\text{ and for }}1\leq i\leq n:Z_{i}\sim {\mathcal {CN}}(0,1)}
(Eq.3 )
सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश यदि X = ( X 1 , … , X n ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} Y = ( Y 1 , … , Y n ) T {\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\mathrm {T} }} यादृच्छिक सदिश हैं R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]} 2 n {\displaystyle 2n} सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश
Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} \,} एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश या एक सम्मिश्र गाऊसी यादृच्छिक सदिश है।
Z complex normal random vector ⟺ ( ℜ ( Z T ) , ℑ ( Z T ) ) T = ( ℜ ( Z 1 ) , … , ℜ ( Z n ) , ℑ ( Z 1 ) , … , ℑ ( Z n ) ) T real normal random vector {\displaystyle \mathbf {Z} {\text{ complex normal random vector}}\quad \iff \quad (\Re (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }),\Im (\mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }))^{\mathrm {T} }=(\Re (Z_{1}),\ldots ,\Re (Z_{n}),\Im (Z_{1}),\ldots ,\Im (Z_{n}))^{\mathrm {T} }{\text{ real normal random vector}}}
(Eq.4 )
माध्य, सहप्रसरण, और संबंध सम्मिश्र गाऊसी वितरण को 3 मापदंडों के साथ वर्णित किया जा सकता है:[5]
μ = E [ Z ] , Γ = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) H ] , C = E [ ( Z − μ ) ( Z − μ ) T ] , {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ],\quad \Gamma =\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )({\mathbf {Z} }-\mu )^{\mathrm {H} }],\quad C=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\mu )(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }],} जहाँ Z T {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {T} }} आव्यूह स्थानान्तरण को दर्शाता है Z {\displaystyle \mathbf {Z} } Z H {\displaystyle \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }} [3] : p. 504 [4] : pp. 500
यहां स्थान पैरामीटर है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } हर्मिटियन आव्यूह और ऋणेतर निश्चित है; और, संबंध आव्यूह या छद्म सहप्रसरण आव्यूह C {\displaystyle C} सममित आव्यूह है। सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश Z {\displaystyle \mathbf {Z} }
Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) . {\displaystyle \mathbf {Z} \ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\ \Gamma ,\ C).} इसके अतिरिक्त, आव्यूह
Γ {\displaystyle \Gamma } और
C {\displaystyle C} ऐसे हैं जो आव्यूह हैं
P = Γ ¯ − C H Γ − 1 C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-{C}^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}C} यह ऋणेतर निश्चितता भी है जहां Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma } [5]
सहप्रसरण आव्यूहों के बीच संबंध जहां तक किसी सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश का सवाल है, आव्यूह Γ {\displaystyle \Gamma } C {\displaystyle C} X = ℜ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {X} =\Re (\mathbf {Z} )} Y = ℑ ( Z ) {\displaystyle \mathbf {Y} =\Im (\mathbf {Z} )}
V X X ≡ E [ ( X − μ X ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Re [ Γ + C ] , V X Y ≡ E [ ( X − μ X ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Im [ − Γ + C ] , V Y X ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( X − μ X ) T ] = 1 2 Im [ Γ + C ] , V Y Y ≡ E [ ( Y − μ Y ) ( Y − μ Y ) T ] = 1 2 Re [ Γ − C ] , {\displaystyle {\begin{aligned}&V_{XX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma +C],\quad V_{XY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {X} -\mu _{X})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [-\Gamma +C],\\&V_{YX}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {X} -\mu _{X})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Im} [\Gamma +C],\quad \,V_{YY}\equiv \operatorname {E} [(\mathbf {Y} -\mu _{Y})(\mathbf {Y} -\mu _{Y})^{\mathrm {T} }]={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Re} [\Gamma -C],\end{aligned}}} और इसके विपरीत
Γ = V X X + V Y Y + i ( V Y X − V X Y ) , C = V X X − V Y Y + i ( V Y X + V X Y ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma =V_{XX}+V_{YY}+i(V_{YX}-V_{XY}),\\&C=V_{XX}-V_{YY}+i(V_{YX}+V_{XY}).\end{aligned}}} घनत्व फलन सम्मिश्र सामान्य वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फलन की गणना इस प्रकार की जा सकती है
f ( z ) = 1 π n det ( Γ ) det ( P ) exp { − 1 2 ( ( z ¯ − μ ¯ ) ⊺ , ( z − μ ) ⊺ ) ( Γ C C ¯ Γ ¯ ) − 1 ( z − μ z ¯ − μ ¯ ) } = det ( P − 1 ¯ − R ∗ P − 1 R ) det ( P − 1 ) π n e − ( z − μ ) ∗ P − 1 ¯ ( z − μ ) + Re ( ( z − μ ) ⊺ R ⊺ P − 1 ¯ ( z − μ ) ) , {\displaystyle {\begin{aligned}f(z)&={\frac {1}{\pi ^{n}{\sqrt {\det(\Gamma )\det(P)}}}}\,\exp \!\left\{-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}({\overline {z}}-{\overline {\mu }})^{\intercal },&(z-\mu )^{\intercal }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Gamma &C\\{\overline {C}}&{\overline {\Gamma }}\end{pmatrix}}^{\!\!-1}\!{\begin{pmatrix}z-\mu \\{\overline {z}}-{\overline {\mu }}\end{pmatrix}}\right\}\\[8pt]&={\tfrac {\sqrt {\det \left({\overline {P^{-1}}}-R^{\ast }P^{-1}R\right)\det(P^{-1})}}{\pi ^{n}}}\,e^{-(z-\mu )^{\ast }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )+\operatorname {Re} \left((z-\mu )^{\intercal }R^{\intercal }{\overline {P^{-1}}}(z-\mu )\right)},\end{aligned}}} जहाँ R = C H Γ − 1 {\displaystyle R=C^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}} P = Γ ¯ − R C {\displaystyle P={\overline {\Gamma }}-RC}
अभिलक्षणिक फलन सम्मिश्र सामान्य वितरण का विशिष्ट कार्य निम्नलिखित द्वारा दिया गया है[5]
φ ( w ) = exp { i Re ( w ¯ ′ μ ) − 1 4 ( w ¯ ′ Γ w + Re ( w ¯ ′ C w ¯ ) ) } , {\displaystyle \varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu )-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big )}{\big \}},}
जहां तर्क w {\displaystyle w}
गुण यदि Z {\displaystyle \mathbf {Z} } n -सदिश है, A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} b {\displaystyle b} m -सदिश है, तो रैखिक रूपांतरण A Z + b {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\mathbf {Z} +b} Z ∼ C N ( μ , Γ , C ) ⇒ A Z + b ∼ C N ( A μ + b , A Γ A H , A C A T ) {\displaystyle Z\ \sim \ {\mathcal {CN}}(\mu ,\,\Gamma ,\,C)\quad \Rightarrow \quad AZ+b\ \sim \ {\mathcal {CN}}(A\mu +b,\,A\Gamma A^{\mathrm {H} },\,ACA^{\mathrm {T} })} यदि Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 2 [ ( Z − μ ) H P − 1 ¯ ( Z − μ ) − Re ( ( Z − μ ) T R T P − 1 ¯ ( Z − μ ) ) ] ∼ χ 2 ( 2 n ) {\displaystyle 2{\Big [}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {H} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu )-\operatorname {Re} {\big (}(\mathbf {Z} -\mu )^{\mathrm {T} }R^{\mathrm {T} }{\overline {P^{-1}}}(\mathbf {Z} -\mu ){\big )}{\Big ]}\ \sim \ \chi ^{2}(2n)} केंद्रीय सीमा प्रमेय । यदि Z 1 , … , Z T {\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{T}} T ( 1 T ∑ t = 1 T Z t − E [ Z t ] ) → d C N ( 0 , Γ , C ) , {\displaystyle {\sqrt {T}}{\Big (}{\tfrac {1}{T}}\textstyle \sum _{t=1}^{T}Z_{t}-\operatorname {E} [Z_{t}]{\Big )}\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma ,\,C),} जहाँ Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {H} }]} C = E [ Z Z T ] {\displaystyle C=\operatorname {E} [ZZ^{\mathrm {T} }]} एक सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक चर का मापांक एक होयट वितरण का अनुसरण करता है।[6] वृत्ताकार-सममित केंद्रीय स्तिथि परिभाषा एक सम्मिश्र यादृच्छिक वेक्टर Z {\displaystyle \mathbf {Z} } φ ∈ [ − π , π ) {\displaystyle \varphi \in [-\pi ,\pi )} e i φ Z {\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }\mathbf {Z} } Z {\displaystyle \mathbf {Z} } [4]
केंद्रीय सामान्य सम्मिश्र यादृच्छिक सदिश जो गोलाकार रूप से सममित होते हैं, विशेष रुचि रखते हैं क्योंकि वे सहप्रसरण आव्यूह Γ {\displaystyle \Gamma }
गोलाकार-सममित (केंद्रीय) सम्मिश्र सामान्य वितरण शून्य माध्य और शून्य संबंध आव्यूह के स्तिथि से मेल खाता है, यानी μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} [3] : p. 507 [7]
Z ∼ C N ( 0 , Γ ) {\displaystyle \mathbf {Z} \sim {\mathcal {CN}}(0,\,\Gamma )} वास्तविक और काल्पनिक भागों का वितरण यदि Z = X + i Y {\displaystyle \mathbf {Z} =\mathbf {X} +i\mathbf {Y} } [ X , Y ] {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}
( X Y ) ∼ N ( [ Re μ Im μ ] , 1 2 [ Re Γ − Im Γ Im Γ Re Γ ] ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathbf {X} \\\mathbf {Y} \end{pmatrix}}\ \sim \ {\mathcal {N}}{\Big (}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\mu \\\operatorname {Im} \,\mu \end{bmatrix}},\ {\tfrac {1}{2}}{\begin{bmatrix}\operatorname {Re} \,\Gamma &-\operatorname {Im} \,\Gamma \\\operatorname {Im} \,\Gamma &\operatorname {Re} \,\Gamma \end{bmatrix}}{\Big )}} जहाँ μ = E [ Z ] = 0 {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]=0} Γ = E [ Z Z H ] {\displaystyle \Gamma =\operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\mathrm {H} }]}
संभावना सघनता फलन गैर विलक्षण सहप्रसरण आव्यूह के लिए Γ {\displaystyle \Gamma } [3] : p. 508
f Z ( z ) = 1 π n det ( Γ ) e − ( z − μ ) H Γ − 1 ( z − μ ) {\displaystyle f_{\mathbf {Z} }(\mathbf {z} )={\tfrac {1}{\pi ^{n}\det(\Gamma )}}\,e^{-(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )^{\mathrm {H} }\Gamma ^{-1}(\mathbf {z} -\mathbf {\mu } )}} इसलिए, यदि गैर-शून्य माध्य है μ {\displaystyle \mu } Γ {\displaystyle \Gamma } z {\displaystyle z}
ln ( L ( μ , Γ ) ) = − ln ( det ( Γ ) ) − ( z − μ ) ¯ ′ Γ − 1 ( z − μ ) − n ln ( π ) . {\displaystyle \ln(L(\mu ,\Gamma ))=-\ln(\det(\Gamma ))-{\overline {(z-\mu )}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu )-n\ln(\pi ).} मानक सम्मिश्र सामान्य (में परिभाषित) Eq.1 μ = 0 {\displaystyle \mu =0} C = 0 {\displaystyle C=0} Γ = 1 {\displaystyle \Gamma =1}
f Z ( z ) = 1 π e − z ¯ z = 1 π e − | z | 2 . {\displaystyle f_{Z}(z)={\tfrac {1}{\pi }}e^{-{\overline {z}}z}={\tfrac {1}{\pi }}e^{-|z|^{2}}.} गुण उपरोक्त अभिव्यक्ति दर्शाती है कि क्यों स्तिथि C = 0 {\displaystyle C=0} μ = 0 {\displaystyle \mu =0} z {\displaystyle z} | z | {\displaystyle |z|} रेले वितरण होगा और वर्ग परिमाण | z | 2 {\displaystyle |z|^{2}} [ − π , π ] {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}
यदि { Z 1 , … , Z k } {\displaystyle \left\{\mathbf {Z} _{1},\ldots ,\mathbf {Z} _{k}\right\}} n -आयामी परिपत्र सम्मिश्र सामान्य यादृच्छिक सदिश हैं μ = 0 {\displaystyle \mu =0}
Q = ∑ j = 1 k Z j H Z j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\displaystyle Q=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} _{j}=\sum _{j=1}^{k}\|\mathbf {Z} _{j}\|^{2}} इसमें सामान्यीकृत ची-वर्ग वितरण और यादृच्छिक आव्यूह है।
W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\displaystyle W=\sum _{j=1}^{k}\mathbf {Z} _{j}\mathbf {Z} _{j}^{\mathrm {H} }} इसमें स्वतंत्रता की k {\displaystyle k} सम्मिश्र विशरट वितरण है। इस वितरण का वर्णन घनत्व फलन द्वारा किया जा सकता है।
f ( w ) = det ( Γ − 1 ) k det ( w ) k − n π n ( n − 1 ) / 2 ∏ j = 1 k ( k − j ) ! e − tr ( Γ − 1 w ) {\displaystyle f(w)={\frac {\det(\Gamma ^{-1})^{k}\det(w)^{k-n}}{\pi ^{n(n-1)/2}\prod _{j=1}^{k}(k-j)!}}\ e^{-\operatorname {tr} (\Gamma ^{-1}w)}} जहाँ k ≥ n {\displaystyle k\geq n} w {\displaystyle w} n × n {\displaystyle n\times n}
यह भी देखें संदर्भ अग्रिम पठन
Discrete
with finite with infinite
Continuous
supported on a supported on a supported with support
Mixed
Multivariate Directional Degenerate singular Families
