अवतल फलन: Difference between revisions

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गणित में, अवतल फलन उत्तल फलन का योगात्मक व्युत्क्रम होता है। अवतल फलन को पर्यायवाची रूप से नीचे की ओर अवतल, नीचे की ओर अवतल, ऊपर की ओर उत्तल, उत्तल कैप या ऊपरी उत्तल भी कहा जाता है।
गणित में, अवतल कार्य उत्तल कार्य का योगात्मक व्युत्क्रम होता है। अवतल फलन को पर्यायवाची रूप से अवतल नीचे की ओर, नीचे की ओर अवतल, ऊपर की ओर उत्तल, उत्तल कैप या ऊपरी उत्तल भी कहा जाता है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
एक वास्तविक-मूल्यवान [[फ़ंक्शन (गणित)]] <math>f</math> एक अंतराल पर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, वेक्टर स्थान में एक [[उत्तल सेट]]) को अवतल कहा जाता है यदि, किसी के लिए <math>x</math> और <math>y</math> अंतराल में और किसी के लिए <math>\alpha \in [0,1]</math>,<ref>{{cite book |last1=Lenhart |first1=S. |last2=Workman |first2=J. T. |title=जैविक मॉडल पर लागू इष्टतम नियंत्रण|publisher=Chapman & Hall/ CRC |series=Mathematical and Computational Biology Series |year=2007 |isbn=978-1-58488-640-2 }}</ref>
एक वास्तविक-मूल्यवान [[फ़ंक्शन (गणित)]] <math>f</math> एक अंतराल पर (गणित) (या अधिक सामान्यतः सदिश क्षेत्र में एक [[उत्तल सेट]]) को अवतल कहा जाता है यदि, किसी के लिए <math>x</math> और <math>y</math> अंतराल में और किसी के लिए <math>\alpha \in [0,1]</math>,<ref>{{cite book |last1=Lenhart |first1=S. |last2=Workman |first2=J. T. |title=जैविक मॉडल पर लागू इष्टतम नियंत्रण|publisher=Chapman & Hall/ CRC |series=Mathematical and Computational Biology Series |year=2007 |isbn=978-1-58488-640-2 }}</ref>
:<math>f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha ) f(x)+\alpha f(y)</math>
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किसी फ़ंक्शन को सख्ती से अवतल कहा जाता है यदि
किसी कार्य को सख्ती से अवतल कहा जाता है यदि


:<math>f((1-\alpha )x + \alpha y) > (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y)\,</math>
:<math>f((1-\alpha )x + \alpha y) > (1-\alpha) f(x) + \alpha f(y)\,</math>
किसी के लिए <math>\alpha \in (0,1)</math> और <math>x \neq y</math>.
किसी के लिए <math>\alpha \in (0,1)</math> और <math>x \neq y</math>


एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फ़ंक्शन]] के लिए <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, यह दूसरी परिभाषा केवल यह बताती है कि प्रत्येक के लिए <math>z</math> सख्ती से बीच में <math>x</math> और <math>y</math>, बिंदु <math>(z, f(z))</math> के ग्राफ पर <math>f</math> बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा के ऊपर है <math>(x, f(x))</math> और <math>(y, f(y))</math>.
एक कार्य के लिए <math>f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>, दूसरी परिभाषा केवल यह बताती है कि प्रत्येक के लिए <math>z</math> सख्ती से बीच में <math>x</math> और <math>y</math>, बिंदु <math>(z, f(z))</math> के ग्राफ पर <math>f</math> बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा के ऊपर है <math>(x, f(x))</math> और <math>(y, f(y))</math>


[[Image:ConcaveDef.png]]एक फ़ंक्शन <math>f</math> यदि फ़ंक्शन का ऊपरी समोच्च सेट होता है तो [[क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन]] होता है <math>S(a)=\{x: f(x)\geq a\}</math> उत्तल समुच्चय हैं।<ref name=":0">{{Cite book|last=Varian, Hal R.|url=https://www.worldcat.org/oclc/24847759|title=सूक्ष्म आर्थिक विश्लेषण|date=1992|publisher=Norton|isbn=0-393-95735-7|edition=3rd|location=New York|pages=489|oclc=24847759}}</ref>
[[Image:ConcaveDef.png]]एक फलन <math>f</math> यदि कार्य का ऊपरी समोच्च संग्रह होता है तो [[क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन]] होता है <math>S(a)=\{x: f(x)\geq a\}</math> उत्तल समुच्चय हैं।<ref name=":0">{{Cite book|last=Varian, Hal R.|url=https://www.worldcat.org/oclc/24847759|title=सूक्ष्म आर्थिक विश्लेषण|date=1992|publisher=Norton|isbn=0-393-95735-7|edition=3rd|location=New York|pages=489|oclc=24847759}}</ref>




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===एकल चर के कार्य===
===एकल चर के कार्य===
# एक अवकलनीय फ़ंक्शन {{mvar|f}} एक अंतराल (गणित) पर (सख्ती से) अवतल होता है यदि इसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन {{mvar|f &prime;}} उस अंतराल पर (सख्ती से) [[नीरस रूप से घट रहा है]], अर्थात, एक अवतल फ़ंक्शन में गैर-बढ़ती (घटती) [[ढलान]] होती है।<ref>{{Cite book| last=Rudin| first=Walter| title=विश्लेषण| year=1976| pages= 101}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Gradshteyn|first1=I. S.| last2=Ryzhik|first2=I. M.| last3=Hays|first3=D. F.| date=1976-07-01| title=इंटीग्रल्स, श्रृंखला और उत्पादों की तालिका| journal=Journal of Lubrication Technology| volume=98|issue=3|pages=479| doi=10.1115/1.3452897|issn=0022-2305 |doi-access=free}}</ref>
# अवकलनीय कार्य {{mvar|f}} एक अंतराल (गणित) पर (सख्ती से) अवतल होता है यदि इसका व्युत्पन्न कार्य  {{mvar|f &prime;}} उस अंतराल पर (सख्ती से) [[नीरस रूप से घट रहा है]], अर्थात अवतल कार्य में गैर-बढ़ती (घटती) [[ढलान]] होती है।<ref>{{Cite book| last=Rudin| first=Walter| title=विश्लेषण| year=1976| pages= 101}}</ref><ref>{{Cite journal |last1=Gradshteyn|first1=I. S.| last2=Ryzhik|first2=I. M.| last3=Hays|first3=D. F.| date=1976-07-01| title=इंटीग्रल्स, श्रृंखला और उत्पादों की तालिका| journal=Journal of Lubrication Technology| volume=98|issue=3|pages=479| doi=10.1115/1.3452897|issn=0022-2305 |doi-access=free}}</ref>
# [[बिंदु (ज्यामिति)]] जहां अवतलता बदलती है (अवतल और उत्तल फलन के बीच) विभक्ति बिंदु हैं।<ref>{{Cite book|last=Hass, Joel |url=https://www.worldcat.org/oclc/965446428| title=थॉमस की गणना| others=Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006.|date=13 March 2017| isbn=978-0-13-443898-6| edition=Fourteenth| location=[United States]| pages=203| oclc=965446428}}</ref>
# [[बिंदु (ज्यामिति)]] जहां अवतलता बदलती है (अवतल और उत्तल फलन के बीच) विभक्ति बिंदु हैं।<ref>{{Cite book|last=Hass, Joel |url=https://www.worldcat.org/oclc/965446428| title=थॉमस की गणना| others=Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006.|date=13 March 2017| isbn=978-0-13-443898-6| edition=Fourteenth| location=[United States]| pages=203| oclc=965446428}}</ref>
# अगर {{mvar|f}}, दो बार-अवकलनीय है तो {{mvar|f}} अवतल है यदि {{mvar|f &prime;&prime;}} गैर-धनात्मक है (या अनौपचारिक रूप से यदि [[त्वरण]] गैर-धनात्मक है)। यदि इसका दूसरा अवकलज ऋणात्मक संख्या है तो यह पूर्णतः अवतल है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है, जैसा कि  {{math|1=''f''(''x'') = &minus;''x''<sup>4</sup>}}द्वारा दर्शाया गया है।
# यदि {{mvar|f}} दो बार-अवकलनीय है तो {{mvar|f}} अवतल है यदि {{mvar|f &prime;&prime;}} गैर-धनात्मक है (या अनौपचारिक रूप से यदि [[त्वरण]] गैर-धनात्मक है) यदि इसका दूसरा अवकलज ऋणात्मक संख्या है तो यह पूर्णतः अवतल है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है, जैसा कि  {{math|1=''f''(''x'') = &minus;''x''<sup>4</sup>}}द्वारा दर्शाया गया है।
# अगर {{mvar|f}} अवतल और अवकलनीय है, तो यह इसके प्रथम-क्रम [[टेलर सन्निकटन]] द्वारा ऊपर से घिरा हुआ है:<ref name=":0" /> <math display="block">f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]</math>
# यदि  {{mvar|f}} अवतल और अवकलनीय है, तो यह इसके प्रथम-क्रम [[टेलर सन्निकटन]] द्वारा ऊपर से घिरा हुआ है:<ref name=":0" /> <math display="block">f(y) \leq f(x) + f'(x)[y-x]</math>
# एक अंतराल पर एक लेब्सेग मापने योग्य फ़ंक्शन {{math|'''C'''}} अवतल है यदि और केवल यदि यह मध्यबिंदु अवतल है, अर्थात किसी के लिए {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में {{math|'''C'''}} <math display="block"> f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2</math>
# अंतराल पर एक लेब्सेग मापने योग्य कार्य  {{math|'''C'''}} अवतल है यदि यह मध्यबिंदु अवतल है, अर्थात किसी के लिए {{mvar|x}} और {{mvar|y}} में {{math|'''C'''}} <math display="block"> f\left( \frac{x+y}2 \right) \ge \frac{f(x) + f(y)}2</math>
# यदि कोई फ़ंक्शन {{mvar|f}} अवतल है और {{math|''f''(0) ≥ 0}}, तो {{mvar|f}} [[उपादेयता|पर उपयोज्य]] है <math>[0,\infty)</math>. सबूत:
# यदि कोई फलन {{mvar|f}} अवतल है और {{math|''f''(0) ≥ 0}}, तो {{mvar|f}} [[उपादेयता|पर उपयोज्य]] है <math>[0,\infty)</math>. सबूत:
#* चूँकि {{mvar|f}} अवतल है और {{math|1 ≥ t ≥ 0}}, मान लीजिए {{math|1=''y'' = 0}} हमारे पास <math display="block">f(tx) = f(tx+(1-t)\cdot 0) \ge t f(x)+(1-t)f(0) \ge t f(x) .</math>
#* चूँकि {{mvar|f}} अवतल है और {{math|1 ≥ t ≥ 0}}, मान लीजिए {{math|1=''y'' = 0}} हमारे पास <math display="block">f(tx) = f(tx+(1-t)\cdot 0) \ge t f(x)+(1-t)f(0) \ge t f(x) .</math>
#* के लिए <math>a,b\in[0,\infty)</math>: <math display="block">f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right)
#* <math>a,b\in[0,\infty)</math> के लिए :<math display="block">f(a) + f(b) = f \left((a+b) \frac{a}{a+b} \right) + f \left((a+b) \frac{b}{a+b} \right)
\ge \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b)</math>
\ge \frac{a}{a+b} f(a+b) + \frac{b}{a+b} f(a+b) = f(a+b)</math>




===n चर के कार्य===
===n चर के कार्य===
# एक फ़ंक्शन {{mvar|f}} उत्तल सेट पर अवतल है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन {{mvar|−f}} सेट पर एक उत्तल फ़ंक्शन है।
# एक फलन {{mvar|f}} उत्तल सेट पर अवतल है यदि फलन {{mvar|−f}} सेट पर एक उत्तल कार्य है।
# दो अवतल कार्यों का योग स्वयं अवतल होता है और दो अवतल कार्यों का [[बिंदुवार न्यूनतम]] भी अवतल होता है, यानी किसी दिए गए डोमेन पर अवतल कार्यों का सेट एक [[अर्धक्षेत्र]] बनाता है।
# दो अवतल कार्यों का योग स्वयं अवतल होता है और दो अवतल कार्यों का [[बिंदुवार न्यूनतम]] भी अवतल होता है, यानी किसी दिए गए डोमेन पर अवतल कार्यों का सेट एक [[अर्धक्षेत्र]] बनाता है।
# किसी फ़ंक्शन के डोमेन के आंतरिक भाग में एक सख्त [[स्थानीय अधिकतम]] के पास, फ़ंक्शन अवतल होना चाहिए; आंशिक व्युत्क्रम के रूप में, यदि किसी बिंदु पर कड़ाई से अवतल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य है, तो वह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है।
# किसी कार्य के डोमेन के आंतरिक भाग में एक सख्त [[स्थानीय अधिकतम]] के पास फलन अवतल होना चाहिए, आंशिक व्युत्क्रम के रूप में यदि किसी बिंदु पर कड़ाई से अवतल कार्य का व्युत्पन्न शून्य है, तो वह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है।
# अवतल फलन का कोई भी स्थानीय अधिकतम भी एक [[वैश्विक अधिकतम]] होता है। एक सख्ती से अवतल फ़ंक्शन में अधिकतम एक वैश्विक अधिकतम होगा।
# अवतल फलन का कोई भी स्थानीय अधिकतम एक [[वैश्विक अधिकतम]] होता है। सख्ती से अवतल कार्य में अधिकतम एक वैश्विक अधिकतम होगा।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
* फ़ंक्शन <math>f(x)=-x^2</math> और <math>g(x)=\sqrt{x}</math> उनके दूसरे व्युत्पन्न के रूप में, उनके डोमेन पर अवतल हैं <math>f''(x) = -2</math> और <math display="inline">g''(x) =-\frac{1}{4 x^{3/2}}</math> हमेशा नकारात्मक होते हैं.
* फलन <math>f(x)=-x^2</math> और <math>g(x)=\sqrt{x}</math> उनके दूसरे व्युत्पन्न के रूप में उनके डोमेन पर अवतल हैं <math>f''(x) = -2</math> और <math display="inline">g''(x) =-\frac{1}{4 x^{3/2}}</math> हमेशा नकारात्मक होते हैं.
* लघुगणक फलन <math>f(x) = \log{x}</math> अपने डोमेन पर अवतल है <math>(0,\infty)</math>, क्योंकि इसका व्युत्पन्न के रूप में <math>\frac{1}{x}</math> एक सख्ती से घटता हुआ फलन है।
* लघुगणक फलन <math>f(x) = \log{x}</math> अपने डोमेन पर अवतल है <math>(0,\infty)</math>, क्योंकि इसका व्युत्पन्न के रूप में <math>\frac{1}{x}</math> सख्ती से घटता हुआ फलन है।
* कोई भी [[एफ़िन फ़ंक्शन]] <math>f(x)=ax+b</math> अवतल और उत्तल दोनों है, लेकिन न तो सख्ती से-अवतल और न ही सख्ती से-उत्तल।
* कोई भी [[एफ़िन फ़ंक्शन]] <math>f(x)=ax+b</math> अवतल और उत्तल दोनों है, लेकिन न तो सख्ती से-अवतल और न ही सख्ती से-उत्तल।
*<math>[0, \pi]</math> फलन अंतराल पर अवतल होता है।
*<math>[0, \pi]</math> फलन अंतराल पर अवतल होता है।
* फ़ंक्शन <math>f(B) = \log |B|</math>, जहां <math>|B|</math> एक [[गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] B का अवतल है।<ref name="Cover 1988">{{cite journal |author-link=Thomas M. Cover |first1=Thomas M. |last1=Cover |first2=J. A. |last2=Thomas |s2cid=5491763 |title=सूचना सिद्धांत के माध्यम से निर्धारक असमानताएँ| journal=[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]| year=1988| volume=9|number=3| pages=384&ndash;392| doi=10.1137/0609033}}</ref>
* फलन <math>f(B) = \log |B|</math>, जहां <math>|B|</math> एक [[गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] B का अवतल है।<ref name="Cover 1988">{{cite journal |author-link=Thomas M. Cover |first1=Thomas M. |last1=Cover |first2=J. A. |last2=Thomas |s2cid=5491763 |title=सूचना सिद्धांत के माध्यम से निर्धारक असमानताएँ| journal=[[SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications]]| year=1988| volume=9|number=3| pages=384&ndash;392| doi=10.1137/0609033}}</ref>




==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==
* [[वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना]] में झुकने वाली किरणों में अवतल कार्य शामिल होते हैं।
* [[वायुमंडल में रेडियो तरंग क्षीणन की गणना]] में झुकने वाली किरणों में अवतल कार्य सम्मिलित होते हैं।
* [[अनिश्चितता के तहत चुनाव]] के लिए [[अपेक्षित उपयोगिता]] सिद्धांत में, [[जोखिम से बचने]] वाले निर्णय निर्माताओं के [[कार्डिनल उपयोगिता]] फ़ंक्शन अवतल होते हैं।
* [[अनिश्चितता के तहत चुनाव|अनिश्चितता के अंतर्गत चुनाव]] के लिए [[अपेक्षित उपयोगिता]] सिद्धांत में, [[जोखिम से बचने]] वाले निर्णय निर्माताओं के [[कार्डिनल उपयोगिता]] कार्य  अवतल होते हैं।
* [[सूक्ष्म आर्थिक सिद्धांत]] में, उत्पादन कार्यों को आमतौर पर उनके कुछ या सभी डोमेन पर अवतल माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इनपुट कारकों पर रिटर्न कम हो जाता है।<ref>{{cite book |first1=Malcolm |last1=Pemberton |first2=Nicholas |last2=Rau |title=Mathematics for Economists: An Introductory Textbook |publisher=Oxford University Press |year=2015 |isbn=978-1-78499-148-7 |pages=363–364 |url=https://books.google.com/books?id=9j5_DQAAQBAJ&pg=PA363 }}</ref>
* [[सूक्ष्म आर्थिक सिद्धांत]] में, उत्पादन कार्यों को सामान्यतौर पर उनके कुछ या सभी डोमेन पर अवतल माना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप इनपुट कारकों पर प्रतिफल कम हो जाता है।<ref>{{cite book |first1=Malcolm |last1=Pemberton |first2=Nicholas |last2=Rau |title=Mathematics for Economists: An Introductory Textbook |publisher=Oxford University Press |year=2015 |isbn=978-1-78499-148-7 |pages=363–364 |url=https://books.google.com/books?id=9j5_DQAAQBAJ&pg=PA363 }}</ref>




Revision as of 14:08, 12 July 2023

गणित में, अवतल कार्य उत्तल कार्य का योगात्मक व्युत्क्रम होता है। अवतल फलन को पर्यायवाची रूप से अवतल नीचे की ओर, नीचे की ओर अवतल, ऊपर की ओर उत्तल, उत्तल कैप या ऊपरी उत्तल भी कहा जाता है।

परिभाषा

एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) एक अंतराल पर (गणित) (या अधिक सामान्यतः सदिश क्षेत्र में एक उत्तल सेट) को अवतल कहा जाता है यदि, किसी के लिए और अंतराल में और किसी के लिए ,[1]

किसी कार्य को सख्ती से अवतल कहा जाता है यदि

किसी के लिए और

एक कार्य के लिए , दूसरी परिभाषा केवल यह बताती है कि प्रत्येक के लिए सख्ती से बीच में और , बिंदु के ग्राफ पर बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा के ऊपर है और

ConcaveDef.pngएक फलन यदि कार्य का ऊपरी समोच्च संग्रह होता है तो क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन होता है उत्तल समुच्चय हैं।[2]


गुण

एकल चर के कार्य

  1. अवकलनीय कार्य f एक अंतराल (गणित) पर (सख्ती से) अवतल होता है यदि इसका व्युत्पन्न कार्य f ′ उस अंतराल पर (सख्ती से) नीरस रूप से घट रहा है, अर्थात अवतल कार्य में गैर-बढ़ती (घटती) ढलान होती है।[3][4]
  2. बिंदु (ज्यामिति) जहां अवतलता बदलती है (अवतल और उत्तल फलन के बीच) विभक्ति बिंदु हैं।[5]
  3. यदि f दो बार-अवकलनीय है तो f अवतल है यदि f ′′ गैर-धनात्मक है (या अनौपचारिक रूप से यदि त्वरण गैर-धनात्मक है) यदि इसका दूसरा अवकलज ऋणात्मक संख्या है तो यह पूर्णतः अवतल है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है, जैसा कि f(x) = −x4द्वारा दर्शाया गया है।
  4. यदि f अवतल और अवकलनीय है, तो यह इसके प्रथम-क्रम टेलर सन्निकटन द्वारा ऊपर से घिरा हुआ है:[2]
  5. अंतराल पर एक लेब्सेग मापने योग्य कार्य C अवतल है यदि यह मध्यबिंदु अवतल है, अर्थात किसी के लिए x और y में C
  6. यदि कोई फलन f अवतल है और f(0) ≥ 0, तो f पर उपयोज्य है . सबूत:
    • चूँकि f अवतल है और 1 ≥ t ≥ 0, मान लीजिए y = 0 हमारे पास
    • के लिए :


n चर के कार्य

  1. एक फलन f उत्तल सेट पर अवतल है यदि फलन −f सेट पर एक उत्तल कार्य है।
  2. दो अवतल कार्यों का योग स्वयं अवतल होता है और दो अवतल कार्यों का बिंदुवार न्यूनतम भी अवतल होता है, यानी किसी दिए गए डोमेन पर अवतल कार्यों का सेट एक अर्धक्षेत्र बनाता है।
  3. किसी कार्य के डोमेन के आंतरिक भाग में एक सख्त स्थानीय अधिकतम के पास फलन अवतल होना चाहिए, आंशिक व्युत्क्रम के रूप में यदि किसी बिंदु पर कड़ाई से अवतल कार्य का व्युत्पन्न शून्य है, तो वह बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है।
  4. अवतल फलन का कोई भी स्थानीय अधिकतम एक वैश्विक अधिकतम होता है। सख्ती से अवतल कार्य में अधिकतम एक वैश्विक अधिकतम होगा।

उदाहरण

  • फलन और उनके दूसरे व्युत्पन्न के रूप में उनके डोमेन पर अवतल हैं और हमेशा नकारात्मक होते हैं.
  • लघुगणक फलन अपने डोमेन पर अवतल है , क्योंकि इसका व्युत्पन्न के रूप में सख्ती से घटता हुआ फलन है।
  • कोई भी एफ़िन फ़ंक्शन अवतल और उत्तल दोनों है, लेकिन न तो सख्ती से-अवतल और न ही सख्ती से-उत्तल।
  • फलन अंतराल पर अवतल होता है।
  • फलन , जहां एक गैर-नकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स B का अवतल है।[6]


अनुप्रयोग


यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Lenhart, S.; Workman, J. T. (2007). जैविक मॉडल पर लागू इष्टतम नियंत्रण. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
  2. ↑ 2.0 2.1 Varian, Hal R. (1992). सूक्ष्म आर्थिक विश्लेषण (3rd ed.). New York: Norton. p. 489. ISBN 0-393-95735-7. OCLC 24847759.
  3. ↑ Rudin, Walter (1976). विश्लेषण. p. 101.
  4. ↑ Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M.; Hays, D. F. (1976-07-01). "इंटीग्रल्स, श्रृंखला और उत्पादों की तालिका". Journal of Lubrication Technology. 98 (3): 479. doi:10.1115/1.3452897. ISSN 0022-2305.
  5. ↑ Hass, Joel (13 March 2017). थॉमस की गणना. Heil, Christopher, 1960-, Weir, Maurice D.,, Thomas, George B., Jr. (George Brinton), 1914-2006. (Fourteenth ed.). [United States]. p. 203. ISBN 978-0-13-443898-6. OCLC 965446428.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
  6. ↑ Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (1988). "सूचना सिद्धांत के माध्यम से निर्धारक असमानताएँ". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033. S2CID 5491763.
  7. ↑ Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. Oxford University Press. pp. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.


आगे सन्दर्भ

  • Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). द न्यू पालग्रेव डिक्शनरी ऑफ इकोनॉमिक्स (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5.
  • Rao, Singiresu S. (2009). इंजीनियरिंग अनुकूलन: सिद्धांत और अभ्यास. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.

श्रेणी:उत्तल विश्लेषण श्रेणी:कार्यों के प्रकार

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