वर्ण (गणित)

गणित में, एक वर्ण (आमतौर पर) एक समूह से एक क्षेत्र तक एक विशेष प्रकार का फलन होता है (जैसे कि जटिल संख्याएं)। कम से कम दो भिन्न, लेकिन अतिव्यापी अर्थ हैं। शब्द "वर्ण " के अन्य उपयोग लगभग हमेशा योग्य होते हैं।

गुणनात्मक वर्ण

Main article: गुणनात्मक वर्ण

समूह G पर एक गुणक वर्ण (या रैखिक वर्ण, या बस वर्ण) G से एक फ़ील्ड के गुणक समूह (आर्टिन1966) तक एक समूह समरूपता है, जो आमतौर पर जटिल संख्याओं का क्षेत्र होता है। यदि G कोई समूह है, तो इन आकारिकी का सेट Ch(G) बिंदुवार गुणन के तहत एक एबेलियन समूह बनाता है।

इस समूह को G के वर्ण समूह के रूप में जाना जाता है। कभी-कभी केवल एकात्मक वर्णों पर विचार किया जाता है (इस प्रकार छवि इकाई वृत्त में होती है); ऐसी अन्य समरूपताएँ अर्ध-वर्ण कहलाती हैं। डिरिचलेट वर्णों को इस परिभाषा के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।

गुणक वर्ण रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, अर्थात यदि समूह G पर $\chi _{1},\chi _{2},\ldots ,\chi _{n}$अलग-अलग वर्ण हैं तो $a_{1}\chi _{1}+a_{2}\chi _{2}+\dots +a_{n}\chi _{n}=0$ से यह निम्नानुसार है कि $a_{1}=a_{2}=\cdots =a_{n}=0$

प्रतिनिधित्व का वर्ण

Main article: Character theory

वर्ण $\chi :G\to F$ एक समूह का प्रतिनिधित्व $\phi \colon G\to \mathrm {GL} (V)$ एक आयाम (सदिश स्थल ) पर समूह जी का | फ़ील्ड एफ पर परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस वी प्रतिनिधित्व का ट्रेस (मैट्रिक्स) है $\phi$ (Serre 1977), अर्थात।

$\chi _{\phi }(g)=\operatorname {Tr} (\phi (g))$ के लिए $g\in G$

सामान्य तौर पर, ट्रेस एक समूह समरूपता नहीं है, न ही ट्रेस का सेट एक समूह बनाता है। एक-आयामी निरूपण के वर्ण एक-आयामी निरूपण के समान होते हैं, इसलिए गुणक वर्ण की उपरोक्त धारणा को उच्च-आयामी वर्णों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। वर्णों का उपयोग करके अभ्यावेदन के अध्ययन को वर्ण सिद्धांत कहा जाता है और इस संदर्भ में एक-आयामी वर्णों को रैखिक वर्ण भी कहा जाता है।

वैकल्पिक परिभाषा

यदि परिमित समूह एबेलियन समूह तक सीमित है $1\times 1$ में प्रतिनिधित्व $\mathbb {C}$ (अर्थात। $\mathrm {GL} (V)=\mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )$), निम्नलिखित वैकल्पिक परिभाषा उपरोक्त के बराबर होगी (एबेलियन समूहों के लिए, प्रत्येक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है) $1\times 1$ अभ्यावेदन. गैर-एबेलियन समूहों के लिए, मूल परिभाषा इससे अधिक सामान्य होगी):

एक वर्ण $\chi$ समूह का $(G,\cdot )$ एक समूह समरूपता है $\chi :G\rightarrow \mathbb {C} ^{*}$ अर्थात। $\chi (x\cdot y)=\chi (x)\chi (y)$ सभी के लिए $x,y\in G.$ अगर $G$ एक सीमित एबेलियन समूह है, पात्र हार्मोनिक्स की भूमिका निभाते हैं। अनंत एबेलियन समूहों के लिए, उपरोक्त को प्रतिस्थापित किया जाएगा $\chi :G\to \mathbb {T}$ कहाँ $\mathbb {T}$ वृत्त समूह है.

यह भी देखें

• वर्ण समूह
• डिरिचलेट वर्ण
• हरीश-चन्द्र वर्ण
• हेके वर्ण
• अनंतिमल वर्ण
• वैकल्पिक वर्ण
• लक्षण वर्णन (गणित)
• पोंट्रीगिन द्वंद्व

संदर्भ

• Artin, Emil (1966), Galois Theory, Notre Dame Mathematical Lectures, number 2, Arthur Norton Milgram (Reprinted Dover Publications, 1997), ISBN 978-0-486-62342-9 Lectures Delivered at the University of Notre Dame
• Serre, Jean-Pierre (1977), Linear Representations of Finite Groups, Graduate Texts in Mathematics, vol. 42, Translated from the second French edition by Leonard L. Scott, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4684-9458-7, ISBN 0-387-90190-6, MR 0450380

बाहरी संबंध

• "Character of a group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]