दृढ़ता मॉड्यूल

एक दृढ़ता मॉड्यूल लगातार सजातीय और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की सांस्थितिक विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अक्सर सांस्थितिक रिक्त स्थान के निस्पंदन (गणित) के अनुरूप सजातीय (गणित) (या कार्यक्षेत्र गुणांक का उपयोग करने पर वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित रैखिक मानचित्रों का संग्रह होता है। दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार शास्त्रीय विनिमेय बीजगणित सिद्धांत से लगातार सजातीय की स्थापना के लिए अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था। तब से, दृढ़ता मॉड्यूल लागू टोपोलॉजी के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।

परिभाषा

एकल पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल

होने देना $P$ आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया श्रेणी (पोसेट) हो और चलो $K$ एक क्षेत्र हो। पोसेट $P$ को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ एक पदाधिकारी है $M:P\to \mathbf {Vec} _{K}$ पोसेट श्रेणी (गणित) से $P$ सदिश स्थानों की श्रेणी में $K$ और रैखिक मानचित्र। पूर्णांक जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दर्शाया जा सकता है:

$$\cdots \to M_{-1}\to M_{0}\to M_{1}\to M_{2}\to \cdots$$

उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण श्रेणी पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया $P$ को कभी-कभी a कहा जाता है $P$-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक $P$-मॉड्यूल। कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है $(V,\pi )$ कहाँ $V$ एक संग्रह है $\{V_{z}\}_{z\in P}$ का $K$-वेक्टर रिक्त स्थान और $\pi$ एक संग्रह है $\{\pi _{y,z}\}_{y\leq z\in P}$ रैखिक मानचित्रों का जहाँ $\pi _{y,z}:V_{y}\to V_{z}$ प्रत्येक के लिए $y\leq z\in P$, ऐसा कि $\pi _{y,z}\circ \pi _{x,y}=\pi _{x,z}$ किसी के लिए भी$x\leq y\leq z\in P$ (अर्थात, सभी मानचित्र चलते हैं)।

मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल

ए के मामले में $P$-मापांक $M$ कहाँ $P$ एक एकल आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, $\mathbb {R} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {N}$, आदि), हम कहते हैं $M$ एक एकल या 1-पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि इसके अतिरिक्त $P$ का एक उत्पाद है $n$ पूरी तरह से ऑर्डर,किए गए सेट, यानी, $P=T_{1}\times \dots \times T_{n}$ कुछ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के लिए $T_{i}$, फिर दान देकर $P$ द्वारा उत्पाद का आंशिक ऑर्डर दिया गया $(s_{1},\dots ,s_{n})\leq (t_{1},\dots ,t_{n})$ केवल यदि $s_{i}\leq t_{i}$ सभी के लिए $i=1,\dots ,n$, हम अनुक्रमित एक मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $P$.

इस मामले में, ए $P$-दृढ़ता मॉड्यूल को एक के रूप में जाना जाता है $n$-आयामी या $n$-पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक मल्टीपैरामीटर या बहुआयामी मॉड्यूल यदि पैरामीटर की संख्या संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है।

5x5 ग्रिड पर अनुक्रमित दो-पैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण, जिसे एक परिमित पोसेट माना जाता है।

बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पहली बार 2009 में कार्लसन और ज़ोमोरोडियन द्वारा पेश किए गए थे। तब से, बहुआयामी मॉड्यूल के साथ काम करने के सिद्धांत और अभ्यास में महत्वपूर्ण मात्रा में शोध हुआ है, क्योंकि वे डेटा के आकार का अध्ययन करने के लिए अधिक संरचना प्रदान करते हैं। अर्थात्, मल्टीपैरामीटर मॉड्यूल में एकल-पैरामीटर मॉड्यूल की तुलना में आउटलेर्स के लिए अधिक घनत्व संवेदनशीलता और मजबूती हो सकती है, जो उन्हें डेटा विश्लेषण के लिए संभावित रूप से उपयोगी उपकरण बनाती है।

मल्टीपैरामीटर दृढ़ता का एक नकारात्मक पहलू इसकी अंतर्निहित जटिलता है। इससे मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल से संबंधित गणना करना कठिन हो जाता है। सबसे खराब स्थिति में, बहुआयामी सतत समरूपता की कम्प्यूटेशनल जटिलता घातीय है। दो मल्टीपैरामीटर दृढ़ता मॉड्यूल की समानता को मापने का सबसे आम तरीका इंटरलीविंग दूरी का उपयोग करना है, जो टोंटी दूरी का विस्तार है।

उदाहरण

होमोलॉजी मॉड्यूल

किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांकों के साथ होमोलॉजी (गणित) का उपयोग करते समय, एक होमोलॉजी समूह (गणित) में एक वेक्टर स्थान की संरचना होती है। इसलिए, रिक्त स्थान का एक निस्पंदन (गणित) दिया गया है $F:P\to \mathbf {Top}$, प्रत्येक सूचकांक पर होमोलॉजी फ़ैक्टर को लागू करके हम एक दृढ़ता मॉड्यूल प्राप्त करते हैं $H_{i}(F):P\to \mathbf {Vec} _{K}$ प्रत्येक के लिए $i=1,2,\dots$ इसको कॉल किया गया ($i$वें-आयामी) होमोलॉजी मॉड्यूल $F$. होमोलॉजी मॉड्यूल के वेक्टर रिक्त स्थान को सूचकांक-वार परिभाषित किया जा सकता है $H_{i}(F)_{z}=H_{i}(F_{z})$ सभी के लिए $z\in P$, और रैखिक मानचित्र समावेशन मानचित्रों द्वारा प्रेरित समरूपता हैं $F$.

होमोलॉजी मॉड्यूल दृढ़ता मॉड्यूल के सबसे सर्वव्यापी उदाहरण हैं, क्योंकि वे किसी वस्तु की टोपोलॉजिकल विशेषताओं की संख्या और पैमाने के बारे में जानकारी को पूरी तरह से बीजगणितीय संरचना में एन्कोड करते हैं (आमतौर पर एक बिंदु क्लाउड पर निस्पंदन के निर्माण से प्राप्त होते हैं), इस प्रकार के आकार को समझते हैं बीजगणितीय तकनीकों के लिए उपयुक्त डेटा, गणित के सुविकसित क्षेत्रों जैसे कि क्रमविनिमेय बीजगणित और प्रतिनिधित्व सिद्धांत से आयातित।

अंतराल मॉड्यूल

दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में एक प्राथमिक चिंता यह है कि क्या मॉड्यूल को मोटे तौर पर सरल टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और कम्प्यूटेशनल रूप से सुविधाजनक है यदि एक दृढ़ता मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल के रूप में ज्ञात छोटे मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

होने देना $J$ किसी पोसेट का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय बनें $P$. तब $J$ 'में एक अंतराल है$P$ अगर

• हरएक के लिए $x,z\in J$ अगर $x\leq y\leq z\in P$ तब $y\in J$
• हरएक के लिए $x,z\in J$ तत्वों का एक क्रम है $p_{1},p_{2},\dots ,p_{n}\in J$ ऐसा है कि $p_{1}=x$, $p_{n}=z$, और $p_{i},p_{j}$ सभी के लिए तुलनीय हैं $i,j\in \{1,\dots ,n\}$.

अब एक अंतराल दिया गया है $J\subseteq P$ हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $\mathbb {I} ^{J}$सूचकांक-वार इस प्रकार है:

$\mathbb {I} _{z}^{J}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$; $\mathbb {I} _{y,z}^{J}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}y\leq z\in J\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$.

मॉड्यूल $\mathbb {I} ^{J}$ अंतराल मॉड्यूल कहा जाता है.

नि:शुल्क मॉड्यूल

होने देना $a\in P$. तब हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $Q^{a}$ इसके संबंध में $a$ जहां रिक्त स्थान दिए गए हैं

$Q_{z}^{a}:={\begin{cases}K&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$, और मानचित्रों के माध्यम से परिभाषित $Q_{y,z}^{a}:={\begin{cases}\operatorname {id} _{K}&{\text{if }}z\geq a\\0&{\text{otherwise }}\end{cases}}$.

तब $Q^{a}$ एक मुफ़्त (दृढ़ता) मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है। कोई अंतराल मॉड्यूल में अपघटन के संदर्भ में एक मुक्त मॉड्यूल को भी परिभाषित कर सकता है। प्रत्येक के लिए $a\in P$ अंतराल को परिभाषित करें $a^{\llcorner }:=\{b\in P\mid b\geq a\}$, जिसे कभी-कभी मुक्त अंतराल भी कहा जाता है।फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $F$ यदि कोई मल्टीसेट मौजूद है तो यह एक निःशुल्क मॉड्यूल है ${\mathfrak {J}}(F)\subseteq P$ ऐसा है कि $F=\bigoplus _{a\in {\mathfrak {J}}(F)}\mathbb {I} ^{a^{\llcorner }}$.दूसरे शब्दों में, एक मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है यदि इसे मुक्त अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है।

गुण

परिमित प्रकार की शर्तें

एक दृढ़ता मॉड्यूल $M$ पर अनुक्रमित किया गया $\mathbb {N}$ इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है यदि निम्नलिखित स्थितियाँ सभी के लिए लागू होती हैं $n\in \mathbb {N}$:

1. प्रत्येक सदिश स्थान $M_{n}$ परिमित-आयामी है.
2. एक पूर्णांक मौजूद है $N$ ऐसा कि नक्शा $M_{N,n}$ सभी के लिए एक समरूपता है $n\geq N$.

अगर $M$ तो, पहली शर्त को पूरा करता है $M$ आमतौर पर इसे बिंदुवार परिमित-आयामी (पी.एफ.डी.)' कहा जाता है।' बिंदुवार परिमित-आयामीता की धारणा तुरंत मनमाने अनुक्रमण सेट तक विस्तारित होती है।

परिमित प्रकार की परिभाषा को निरंतर अनुक्रमण सेटों के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है। अर्थात्, एक मॉड्यूल $M$ पर अनुक्रमित किया गया $\mathbb {R}$ यदि परिमित प्रकार का है $M$ पी.एफ.डी. है, और $M$ इसमें अद्वितीय वेक्टर रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या होती है। औपचारिक रूप से कहें तो, इसके लिए सीमित संख्या को छोड़कर सभी के लिए अंकों की आवश्यकता होती है $x\in \mathbb {R}$ वहाँ एक पड़ोस है $N$ का $x$ ऐसा है कि $M_{y}\cong M_{z}$ सभी के लिए $y,z\in N$, और यह भी कि कुछ है $w\in \mathbb {R}$ ऐसा है कि $M_{v}=0$ सभी के लिए $v\leq w$.केवल पूर्व संपत्ति को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को कभी-कभी अनिवार्य रूप से असतत लेबल किया जाता है, जबकि दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को अनिवार्य रूप से परिमित के रूप में जाना जाता है।' एक $\mathbb {R}$-दृढ़ता मॉड्यूल को यदि किसी के लिए अर्ध-निरंतर कहा जाता है $x\in \mathbb {R}$ और कोई भी $y\leq x$ पर्याप्त रूप से करीब $x$, वो नक्शा $M_{y,x}:M_{y}\to M_{x}$ एक समरूपता है. ध्यान दें कि यदि उपरोक्त अन्य परिमित प्रकार की शर्तें संतुष्ट हैं तो यह शर्त अनावश्यक है, इसलिए यह आम तौर पर परिभाषा में शामिल नहीं है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में प्रासंगिक है।

संरचना प्रमेय

दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में प्राथमिक लक्ष्यों में से एक मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल में उनकी विघटनशीलता के अनुसार वर्गीकृत करना है। एक दृढ़ता मॉड्यूल जो अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में एक अपघटन को स्वीकार करता है उसे अक्सर अंतराल विघटित करने योग्य कहा जाता है। इस दिशा में प्राथमिक परिणामों में से एक यह है कि कोई भी पी.एफ.डी. पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर अनुक्रमित दृढ़ता मॉड्यूल अंतराल विघटित होता है। इसे कभी-कभी दृढ़ता मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

इसके अंतराल अपघटन के साथ विमान में 2-डी दृढ़ता मॉड्यूल का एक उदाहरण।

मामला जब $P$ परिमित एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है। मॉड्यूल के लिए ऊपर अनुक्रमित $\mathbb {Z}$संरचना प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण वेब के कारण है। प्रमेय को के मामले में विस्तारित किया गया था $\mathbb {R}$ (या कोई भी पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सबसेट जिसमें एक गणनीय सेट उपसमुच्चय होता है जो सघन सेट होता है $\mathbb {R}$ 2015 में क्रॉली-बोवे द्वारा ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ)। संरचना प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण, यानी, पी.एफ.डी. के लिए। मनमाने ढंग से पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों पर अनुक्रमित मॉड्यूल, 2019 में बोटनान और क्रॉली-बोवे द्वारा स्थापित किया गया था।