क्लासेन फलन

क्लॉज़ेन फ़ंक्शन का ग्राफ़ Cl₂(θ)

गणित में, थॉमस क्लाजेंन (1832) द्वारा प्रस्तुत क्लॉजेन फंक्शन, एकल चर का एक विशेष फंक्शन है। इसे विभिन्न प्रकार से एक निश्चित समाकलित, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला और विभिन्न प्रकारों में व्यक्त किया जा सकता है। यह पॉलीलॉगरिदम, व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन, पॉलीगामा फंक्शन,रीमैन जेटा फंक्शन, डिरिचलेट एटा फंक्शन और डिरिचलेट बीटा फंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है।

क्रम 2 का क्लॉजेन फंक्शन - कई वर्गों में से एक होने के अतिरिक्त भी इसे अक्सर क्लॉजेन फंक्शन के रूप में संदर्भित किया जाता है - समाकलन द्वारा दिया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:$

सीमा में $0<\varphi <2\pi \,$ निरपेक्ष मान चिह्न के अंदर साइन फंक्शन धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान चिह्न छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फंक्शन में फूरियर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व भी है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\varphi }{4^{2}}}+\cdots$

विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों, लॉगरिदमिक और पॉलीलॉगरिदमिक समाकलन के कई वर्गों के मूल्यांकन के संबंध में क्लॉजेन फंक्शन, फंक्शन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के योग, केंद्रीय द्विपद गुणांक के व्युत्क्रम से जुड़े योग, पॉलीगामा फंक्शन के योग और डिरिचलेट L -श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं।

बुनियादी गुण

क्लॉजेन फंक्शन (क्रम 2 के) में $\pi ,\,$सभी (पूर्णांक) गुणकों में सरल शून्य होते हैं यदि $k\in \mathbb {Z} \,$ एक पूर्णांक है, तो $\sin k\pi =0$

$\operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots$

इसमें मैक्सिमा है $\theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1.01494160\ldots$

और मिनिमा पर $\theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]$

$\operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1.01494160\ldots$

निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के तत्काल परिणाम हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

$\operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

देखना लू & पेरेज (1992).

सामान्य परिभाषा

Standard Clausen functions

Glaisher–Clausen functions

सामान्यतः कोई दो सामान्यीकृत क्लॉजेन फंक्शन को परिभाषित करता है:

$\operatorname {S} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}$

$\operatorname {C} _{z}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}$

जो Re z >1 के साथ जटिल z के लिए मान्य हैं। विश्लेषणात्मक निरंतरता के माध्यम से परिभाषा को पूरे जटिल स्तर तक बढ़ाया जा सकता है।

जब z को एक नकारात्मक पूर्णांक से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो 'मानक क्लॉजेन फंक्शन' को निम्नलिखित फूरियर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है:

$\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}$

$\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}$

N.B. SL-प्रकार क्लॉजेन फंक्शन में वैकल्पिक $\operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,$ अंकन होता है और कभी-कभी इन्हें ग्लैशर-क्लॉजेन फंक्शन (जेम्स व्हिटब्रेड ली ग्लैशर के बाद, इसलिए GL-अंकन) के रूप में जाना जाता है।

बर्नौली बहुपद से संबंध

SL-प्रकार क्लॉजेन फंक्शन $\,\theta \,$ बहुपद हैं,और बर्नौली बहुपद से निकटता से संबंधित हैं। यह संबंध बर्नौली बहुपदों के फूरियर श्रृंखला निरूपण से स्पष्ट है:

$B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi )^{2n-1}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.$

$B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.$

समायोजन $\,x=\theta /2\pi \,$ उपरोक्त में, और फिर पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से निम्नलिखित बंद रूप (बहुपद) अभिव्यक्तियाँ मिलती हैं:

$\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

$\operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),$

जहां बर्नौली बहुपद $\,B_{n}(x)\,$को $\,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,$संबंध के द्वारा: बर्नौली संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है

$B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.$

उपरोक्त से प्राप्त स्पष्ट मूल्यांकन शामिल हैं:

$\operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},$

$\operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},$

$\operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},$

$\operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.$

दोहराव सूत्र

$0<\theta <\pi$ के लिय दोहराव सूत्र को समाकलन परिभाषा से सीधे सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम के लिए लू & पेरेज (1992). भी देखें - हालांकि कोई प्रमाण नहीं दिया गया है):

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )$

कैटलन स्थिरांक को $K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)$के द्वारा निरूपित करना, दोहराव सूत्र के तत्काल परिणामों में संबंध शामिल हैं:

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}$

$2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)$

उच्च क्रम के क्लॉजेन फंक्शन के लिए, दोहराव सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र से प्राप्त किए जा सकते हैं; बस $\,\theta \,$ को डमी वेरिएबल $x$ से बदलें, और अंतराल $\,[0,\theta ].\,$ पर एकीकृत करें एक ही प्रक्रिया को बार-बार लागू करने से निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं:

$\operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )$

$\operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )$

और अधिक सामान्यतः, $\,m,\;m\geq 1$ पर शामिल होने पर

$\operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]$

$\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$ के लिय सामान्यीकृत दोहराव सूत्र का उपयोग कैटलन के स्थिरांक को शामिल करते हुए ऑर्डर 2 के क्लॉजेन फंक्शन के परिणाम के विस्तार की अनुमति देता है।

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)$

जहाँ $\,\beta (x)\,$ डिरिचलेट बीटा फंक्शन है।

दोहराव सूत्र का प्रमाण

समाकलन परिभाषा से,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

$\sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}$ प्राप्त करने के लिए साइन फंक्शन के लिए दोहराव सूत्र लागू करें,

${\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}$

$x=2y,dx=2\,dy$ दोनों समाकलन पर प्रतिस्थापन लागू करें:

${\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}$

उस अंतिम पूर्णांक पर, संयोजन करें $y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy$, और $\cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें उसे दिखाने के लिए:

${\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}$

$\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,$

इसलिए,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box$

सामान्य-क्रम क्लॉजेन फंक्शन के व्युत्पन्न

क्लॉजेन फंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला विस्तार का प्रत्यक्ष अवकलन देता है:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )$

गणना के प्रथम मौलिक प्रमेय की अपील करके, हमारे पास यह भी है:

${\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )$

प्रतिलोम स्पर्शरेखा समाकलन से संबंध

$0<z<1$ द्वारा व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन को अंतराल पर परिभाषित किया गया है

$\operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}$

क्लॉजेन फंक्शन के संदर्भ में इसका निम्नलिखित बंद रूप है:

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

प्रतिलोम स्पर्शरेखा समाकलन संबंध का प्रमाण

व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन की समाकलन परिभाषा से, हमारे पास है

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx$

भागों द्वारा एकीकरण करना

$\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=$

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx$

$x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,$ प्राप्त करने के लिए प्रतिस्थापन लागू करें

$\theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy$

$y=x/2,\,dy=dx/2\,$ प्राप्त करने और उस अंतिम पूर्णांक के लिए परिवर्तन लागू करें:

${\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}$

अंत में, दोहराव सूत्र के प्रमाण के साथ, प्रतिस्थापन $x=(\pi -y)\,$ उस अंतिम पूर्णांक को कम कर देता है

$\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

इस प्रकार

$\operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box$

बार्न्स G-फंक्शन से संबंध

वास्तव में $0<z<1$, दूसरे क्रम के क्लॉजेन फंक्शन को बार्न्स G-फंक्शन और (यूलर) गामा फंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

या समकक्ष

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

देखना एडमचिक (2003).

बहुगणित से संबंध

क्लॉजेन फंक्शन इकाई चक्र पर पॉलीलॉगरिदम के वास्तविक और काल्पनिक भागों का प्रतिनिधित्व करते हैं:

$\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0$

इसे बहुगणित की श्रृंखला परिभाषा की लागु करके आसानी से देखा जा सकता है।

$\operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}$

यूलर प्रमेय द्वारा,

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

और डी मोइवर के प्रमेय द्वारा (डी मोइवर का सूत्र)

$(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}$

इस तरह

$\operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )$

$\operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

पॉलीगामा फंक्शन से संबंध

क्लॉजेन फंक्शन, पॉलीगामा फंक्शन से एक दुसरे रूप से जुड़े हुए हैं। वास्तव क्लॉजेन फंक्शन को साइन फंक्शन और पॉलीगामा फंक्शन के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है। ऐसा ही एक संबंध यहां दिखाया गया है, और नीचे सिद्ध किया गया है:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

माना $\,p\,$ और $\,q\,$ धनात्मक पूर्णांक हों, जैसे कि $\,q/p\,$ एक परिमेय संख्या है $\,0<q/p<1\,$, फिर, उच्च क्रम क्लॉजेन फंक्शन (सम सूचकांक के) के लिए श्रृंखला परिभाषा के अनुसार:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(kq\pi /p)}{k^{2m}}}$

हमने इस योग को P-भागों में विभाजित किया है, ताकि पहली श्रृंखला में सभी शामिल हों, और केवल वे पद $\,kp+1,\,$ के सर्वांगसम हैं, दूसरी श्रृंखला में अंतिम p-वें भाग तक $\,kp+2,\,$आदि के सर्वांगसम सभी पद शामिल हैं, जिनमें $\,kp+p\,$ के सर्वांगसम सभी पद शामिल हैं।

हम इन राशियों को दोहरा योग बनाने के लिए अनुक्रमित कर सकते हैं:

${\begin{aligned}&\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(kp+j)^{2m}}}\right\}\\={}&\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}\end{aligned}}$

साइन फंक्शन के लिए अतिरिक्त सूत्र लागू करना, $\,\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y,\,$ अंश में ज्या पद बन जाता है:

$\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=\sin \left(kq\pi +{\frac {qj\pi }{p}}\right)=\sin kq\pi \cos {\frac {qj\pi }{p}}+\cos kq\pi \sin {\frac {qj\pi }{p}}$

$\sin m\pi \equiv 0,\quad \,\cos m\pi \equiv (-1)^{m}\quad \Longleftrightarrow m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\ldots$

$\sin \left[(kp+j){\frac {q\pi }{p}}\right]=(-1)^{kq}\sin {\frac {qj\pi }{p}}$

फलस्वरूप,

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)=\sum _{j=1}^{p}{\frac {1}{p^{2m}}}\sin \left({\frac {qj\pi }{p}}\right)\,\left\{\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}\right\}$

दोहरे योग में आंतरिक योग को एक गैर-परिवर्तनीय योग में बदलने के लिए, ठीक उसी तरह से दो भागों में विभाजित करें जैसे पहले योग को P-भागों में विभाजित किया गया था:

${\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{kq}}{(k+(j/p))^{2m}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k)q}}{((2k)+(j/p))^{2m}}}+\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(2k+1)q}}{((2k+1)+(j/p))^{2m}}}\\={}&\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+(j/p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1+(j/p))^{2m}}}\\={}&{\frac {1}{2^{p}}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+(j/2p))^{2m}}}+(-1)^{q}\,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+\left({\frac {j+p}{2p}}\right))^{2m}}}\right]\end{aligned}}$

के लिए $\,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,$,पॉलीगामा फंक्शन में श्रृंखला प्रतिनिधित्व है

$\psi _{m}(z)=(-1)^{m+1}m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+z)^{m+1}}}$

तो, पॉलीगामा फंक्शन के संदर्भ में, पिछला आंतरिक योग बन जाता है:

${\frac {1}{2^{2m}(2m-1)!}}\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

इसे वापस दोहरे योग में जोड़ने से वांछित परिणाम मिलता है:

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right]$

सामान्यीकृत लॉगसाइन समाकलन से संबंध

सामान्यीकृत लॉगसाइन समाकलन को इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:

${\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx$

इस सामान्यीकृत संकेतन में, क्लॉजेन फंक्शन को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

$\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )$

कुमेर का संबंध

अर्न्स्ट कुमेर और रोजर्स संबंध बताते हैं

$\operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )$

के लिए मान्य $0\leq \theta \leq 2\pi$.

लोबचेव्स्की फंक्शन से संबंध

लोबचेव्स्की फंक्शन Λ या Л मूल रूप से चर के परिवर्तन के साथ एक ही फंक्शन है:

$\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2$

हालाँकि लोबचेव्स्की फंक्शन का नाम ऐतिहासिक रूप से सही नहीं है, क्योंकि हाइपरबोलिक आयतन के लिए लोबचेव्स्की के सूत्रों ने थोड़ा अलग फंक्शन का उपयोग किया था

$\int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.$

डिरिचलेट L-फंक्शन से संबंध

$\theta /\pi$ के तर्कसंगत मानों के लिए (अर्थात, कुछ पूर्णांकों p और q के लिए $\theta /\pi =p/q$ के लिए),फंक्शन $\sin(n\theta )$ चक्रीय समूह में किसी तत्व की आवधिक कक्षा का प्रतिनिधित्व करने के लिए समझा जा सकता है, और इस प्रकार $\operatorname {Cl} _{s}(\theta )$ हर्विट्ज जेटा फंक्शन से जुड़े एक साधारण योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इससे कुछ डिरिचलेट L-फंक्शन के बीच संबंधों की आसानी से गणना की जा सकती है।

श्रृंखला त्वरण

क्लॉजेन फंक्शन के लिए एक श्रृंखला त्वरण द्वारा दिया गया है

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}$

जो $|\theta |<2\pi$ को धारण करता है, यहाँ, $\zeta (s)$ रीमैन जेटा फंक्शन है। जिसके द्वारा अधिक तेजी से अभिसरण रूप दिया जाता है

${\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.$

अभिसरण इस तथ्य से सहायता प्राप्त है $\zeta (n)-1$ n के बड़े मानों के लिए तेजी से शून्य की ओर बढ़ता है। दोनों फॉर्म तर्कसंगत जेटा श्रृंखला प्राप्त करने के लिए उपयोग की जाने वाली पुनर्संयोजन तकनीकों के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं (बोर्विन एट अल. 2000).

विशेष मूल्य

बार्न्स जी-फंक्शन और कैटलन के स्थिरांक K को याद करें। कुछ विशेष मान शामिल हैं

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)$

$\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)$

सामान्य तौर पर, बार्न्स G-फंक्शन प्रतिबिंब सूत्र से,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)$

समान रूप से, गामा फंक्शन के लिए यूलर के प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करते हुए,

$\operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}$

सामान्यीकृत विशेष मान

उच्च क्रम क्लॉजेन फंक्शन के लिए कुछ विशेष मान शामिल हैं

$\operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0$

$\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)$

$\operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)$

जंहा $\beta (x)$ डिरिचलेट बीटा फंक्शन है, $\eta (x)$ डिरिचलेट जेटा फंक्शन है (जिसे अल्टरनेटिंग जेटा फंक्शन भी कहा जाता है), और $\zeta (x)$ रीमैन जेटा फंक्शन है।

प्रत्यक्ष फलन के समाकलन

क्लॉजेन फंक्शन के श्रृंखला निरूपण से निम्नलिखित समाकलन आसानी से सिद्ध होते हैं:

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )$

अंतराल $[0,\pi ]$ पर फंक्शन $\operatorname {Cl} _{2}(x)$ के वर्ग के पहले क्षणों को खोजने के लिए फूरियर-विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है:

$\int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),$

$\int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),$

$\int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].$

यहाँ $\zeta$ एकाधिक ज़ेटा फंक्शन को दर्शाता है।

प्रत्यक्ष कार्य को शामिल करने वाला समाकलन मूल्यांकन

क्लॉजेन फंक्शन और विभिन्न सामान्य गणितीय स्थिरांक के संदर्भ में बड़ी संख्या में त्रिकोणमितीय और लघुगणक-त्रिकोणमितीय समाकलन का मूल्यांकन किया जा सकता है $\,K\,$ (कैटलन स्थिरांक), $\,\log 2\,$, और जीटा फंक्शन के विशेष मामले, $\,\zeta (2)\,$ और $\,\zeta (3)\,$.

नीचे सूचीबद्ध उदाहरण क्लॉजेन फंक्शन के समाकलन प्रतिनिधित्व से सीधे अनुसरण करते हैं, और प्रमाणों के लिए बुनियादी त्रिकोणमिति, भागों द्वारा एकीकरण, और क्लॉजेन फंक्शन की फूरियर श्रृंखला परिभाषाओं के कभी-कभी शब्द-दर-टर्म एकीकरण की आवश्यकता होती है।

$\int _{0}^{\theta }\log(\sin x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\cos x)\,dx={\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(\tan x)\,dx=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\cos x)\,dx=2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\cos x)\,dx=-2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1+\sin x)\,dx=2K-2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)-\theta \log 2$

$\int _{0}^{\theta }\log(1-\sin x)\,dx=-2K+2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)-\theta \log 2$

संदर्भ

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