ब्रांचिंग क्वांटिफायर

ब्रांचिंग क्वांटिफायर एक लॉजिकीय अवधारणा है, जिसे हिंदी में "हेंकिन क्वांटिफायर" भी कहा जाता है। यह एक आंशिक क्रमबद्धता की एक विशेषता है जो लॉजिक में प्रयोग की जाती है। इसे "सीमित आंशिक क्रमबद्ध क्वांटिफायर" या "अनैक लीनियर क्वांटिफायर" भी कहा जाता है।

$\langle Qx_{1}\dots Qx_{n}\rangle$

क्वांटिफायर के बारे में जो Q ∈ {∀, ∃} द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, वे विशेष रूप से सामान्यीकृत क्वांटिफायर के एक विशेष प्रकार हैं। पारंपरिक तर्क में, क्वांटिफायर प्रत्ययांश रूपांतरित करने के लिए रेखांकित विधि से व्यवस्थित होते हैं जिससे क्वांटिफायर Q_m द्वारा बांधी गई चर y_m का मूल्य पिछले क्वांटिफायर द्वारा बांधी गई चर के मूल्य पर निर्भर करता है।

y₁, ..., y_m−1

क्वांटिफायर से बंधा हुआ

Qy₁, ..., Qy_m−1

पूर्ववर्ती Q_m.सीमित या आंशिक क्रमबद्ध परिमाणन वाले तर्क में, क्वांटिफायर प्रत्ययांशों का लगातार व्यवस्थित होने का सामान्य अवधारणा नहीं होता है।

ब्रांचिंग परिमाणन का प्रथम उल्लेख 1959 में लियॉन हेंकिन के एक सम्मेलन पत्र में हुआ था। आंशिक रूप से क्रमबद्ध परिमाणीकरण की प्रणालियाँ पहले-क्रम तर्क और दूसरे-क्रम तर्क के बीच की ताकत में मध्यवर्ती हैं। इन्हें हिंटिका और गेब्रियल सैंडू के स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क के आधार के रूप में उपयोग किया जा रहा है।

परिभाषा और गुण

सबसे सरल हेनकिन परिमाणक $Q_{H}$ है

$(Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})\equiv {\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}).$

यह (वास्तव में हेनकिन उपसर्ग वाला प्रत्येक सूत्र, न कि केवल सबसे सरल सूत्र) इसके दूसरे क्रम के शोलेमाइजेशन के बराबर है, अर्थात।

$\exists f\,\exists g\,\forall x_{1}\forall x_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},f(x_{1}),g(x_{2})).$

यह परिमाणक को परिभाषित करने के लिए भी पर्याप्त शक्तिशाली है $Q_{\geq \mathbb {N} }$ (अर्थात् अपरिमित रूप से अनेक हैं) के रूप में परिभाषित किया गया है

$(Q_{\geq \mathbb {N} }x)\varphi (x)\equiv (\exists a)(Q_{H}x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})[\varphi (a)\land (x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi (x_{1})\rightarrow (\varphi (y_{1})\land y_{1}\neq a))].$

इससे कई बातें सामने आती हैं, जिनमें प्रथम-क्रम तर्क की गैर-अक्सिओमेटिज़ेबिलिटी भी शामिल है $Q_{H}$ (पहली बार नमी का सम्मान करें द्वारा देखा गया), और इसकी समकक्षता $\Sigma _{1}^{1}$-दूसरे क्रम के तर्क का टुकड़ा (अस्तित्वगत दूसरे क्रम का तर्क) - बाद वाला परिणाम 1970 में हर्बर्ट एंडर्टन द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रकाशित हुआ और डब्ल्यू वॉको। निम्नलिखित परिमाणक भी इसके द्वारा परिभाषित किये जा सकते हैं $Q_{H}$.

• रिसचर: φs की संख्या ψs की संख्या से कम या उसके बराबर है

$(Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\equiv \operatorname {Card} (\{x\colon \varphi x\})\leq \operatorname {Card} (\{x\colon \psi x\})\equiv (Q_{H}x_{1}x_{2}y_{1}y_{2})[(x_{1}=x_{2}\leftrightarrow y_{1}=y_{2})\land (\varphi x_{1}\rightarrow \psi y_{1})]$

• हार्टिग: φs, ψs के साथ समसंख्यक हैं

$(Q_{I}x)(\varphi x,\psi x)\equiv (Q_{L}x)(\varphi x,\psi x)\land (Q_{L}x)(\psi x,\varphi x)$

• चांग: मॉडल के डोमेन के साथ φs की संख्या समतुल्य है

$(Q_{C}x)(\varphi x)\equiv (Q_{L}x)(x=x,\varphi x)$

हेनकिन परिमाणक $Q_{H}$ स्वयं को एक प्रकार (4) लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफायर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

प्राकृतिक भाषाओं से संबंध

1973 के एक पेपर में हिन्तिक्का इस परिकल्पना को आगे बढ़ाया कि प्राकृतिक भाषाओं में कुछ वाक्यों को शाखा परिमाणकों के संदर्भ में सबसे अच्छी तरह से समझा जाता है, उदाहरण के लिए: प्रत्येक ग्रामीण के कुछ रिश्तेदार और प्रत्येक शहरवासी के कुछ रिश्तेदार एक-दूसरे से नफरत करते हैं, हिंटिका के अनुसार, इसकी व्याख्या इस प्रकार की जानी चाहिए:

${\begin{pmatrix}\forall x_{1}\,\exists y_{1}\\\forall x_{2}\,\exists y_{2}\end{pmatrix}}[(V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))].$

यह ज्ञात है कि इसका कोई प्रथम-क्रम तर्क समतुल्य नहीं है।

शाखाओं में बँटने का विचार आवश्यक रूप से शास्त्रीय परिमाणकों को पत्तियों के रूप में उपयोग करने तक ही सीमित नहीं है। 1979 के एक पेपर में, जॉन बारवाइज ने हिंटिका वाक्यों की विविधताएं प्रस्तावित कीं (जैसा कि ऊपर कभी-कभी कहा जाता है) जिसमें आंतरिक परिमाणक स्वयं सामान्यीकृत परिमाणक होते हैं, उदाहरण के लिए: अधिकांश ग्रामीण और अधिकांश शहरवासी एक-दूसरे से नफरत करते हैं।उसका अवलोकन कर रहे हैं $\Sigma _{1}^{1}$ निषेध के तहत बंद नहीं किया गया है, बारवाइज़ ने यह निर्धारित करने के लिए एक व्यावहारिक परीक्षण का भी प्रस्ताव रखा है कि क्या प्राकृतिक भाषा के वाक्यों में वास्तव में शाखा परिमाणक शामिल हैं, अर्थात् यह परीक्षण करने के लिए कि क्या उनके प्राकृतिक-भाषा निषेध में एक निर्धारित चर पर सार्वभौमिक परिमाणीकरण शामिल है (ए) $\Pi _{1}^{1}$ वाक्य)। हिंटिका के प्रस्ताव को कई तर्कशास्त्रियों ने संदेह के साथ स्वीकार किया क्योंकि नीचे दिए गए जैसे कुछ प्रथम-क्रम वाक्य प्राकृतिक भाषा हिंटिका वाक्य को अच्छी तरह से पकड़ते प्रतीत होते हैं।

$[\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]\wedge [\forall x_{2}\,\exists y_{2}\,\forall x_{1}\,\exists y_{1}\,\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})]$

कहाँ

$\varphi (x_{1},x_{2},y_{1},y_{2})$

अर्थ है

$(V(x_{1})\wedge T(x_{2}))\rightarrow (R(x_{1},y_{1})\wedge R(x_{2},y_{2})\wedge H(y_{1},y_{2})\wedge H(y_{2},y_{1}))$

हालाँकि बहुत अधिक सैद्धांतिक बहस हुई, लेकिन 2009 तक ऐसा नहीं हुआ कि तर्क में प्रशिक्षित छात्रों के साथ कुछ अनुभवजन्य परीक्षणों में पाया गया कि वे कई प्राकृतिक-भाषा निर्माणों के लिए ब्रांचिंग-क्वांटिफायर वाक्य के बजाय द्विदिश प्रथम-क्रम वाक्य से मेल खाने वाले मॉडल निर्दिष्ट करने की अधिक संभावना रखते हैं। हिंटिका वाक्य से लिया गया है। उदाहरण के लिए, छात्रों को अप्रत्यक्ष द्विदलीय ग्राफ़ दिखाए गए - जिसमें वर्ग और वृत्त शीर्ष के रूप में थे - और यह बताने के लिए कहा गया कि क्या 3 से अधिक वृत्त और 3 से अधिक वर्ग रेखाओं से जुड़े हुए हैं, जैसे वाक्य आरेखों का सही वर्णन कर रहे हैं।

यह भी देखें

• खेल शब्दार्थ
• निर्भरता तर्क
• स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क (आईएफ तर्क)
• मोस्टोव्स्की क्वांटिफ़ायर
• लिंडस्ट्रॉम क्वांटिफ़ायर
• नॉनफर्स्टऑर्डरिज़ेबिलिटी

बाहरी संबंध

• Game-theoretical quantifier at PlanetMath.