सघनता प्रमेय

गणितीय तर्क में, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय बताता है कि पहले क्रम के वाक्यों के एक समुच्चय में एक मॉडल होता है यदि और केवल तभी जब इसके प्रत्येक परिमित समुच्चय में एक मॉडल हो। यह प्रमेय मॉडल सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण उपकरण है, क्योंकि यह वाक्यों के किसी भी समुच्चय के मॉडल के निर्माण के लिए एक उपयोगी (लेकिन प्रायः प्रभावी नहीं) विधि प्रदान करता है जो कि अंतिम रूप से सुसंगत है।

प्रोपोज़िशनल कैलकुलस के लिए कॉम्पैक्टनेस प्रमेय टाइकोनोफ़ के प्रमेय का परिणाम है (जो कहता है कि सघन समष्टि (कॉम्पैक्ट स्पेस) का उत्पाद कॉम्पैक्ट है) कॉम्पैक्ट स्टोन समष्टि पर लागू होता है, इसलिए प्रमेय का नाम है। इसी तरह, यह टोपोलॉजिकल समष्टि में कॉम्पैक्टनेस के परिमित प्रतिच्छेदन गुण लक्षण वर्णन के अनुरूप है: एक कॉम्पैक्ट समष्टि में संवृत समुच्चयों के संग्रह में एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है यदि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह में एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन होता है।

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय दो प्रमुख गुणों में से एक है, साथ ही डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के साथ, जिसका उपयोग लिंडस्ट्रॉम के प्रमेय में प्रथम-क्रम तर्क को चित्रित करने के लिए किया जाता है। यद्यपि गैर-प्रथम-क्रम तर्कों के लिए कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के कुछ सामान्यीकरण हैं, लेकिन बहुत सीमित संख्या में उदाहरणों को छोड़कर, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय स्वयं उनमें सम्मिलित नहीं है।

इतिहास

कर्ट गोडेल ने 1930 में गणनीय सघनता प्रमेय को सिद्ध किया था। अनातोली माल्टसेव ने 1936 में अगणनीय मामले को सिद्ध किया था।

अनुप्रयोग

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के मॉडल सिद्धांत में कई अनुप्रयोग हैं; कुछ विशिष्ट परिणाम यहां दर्शाए गए हैं।

रॉबिन्सन का सिद्धांत

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय निम्नलिखित परिणाम को दर्शाता है, जिसे अब्राहम रॉबिन्सन ने अपने 1949 के शोध प्रबंध में कहा था।

रॉबिन्सन का सिद्धांत: यदि प्रथम क्रम का वाक्य विशेषता (बीजगणित) के प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में शून्य रखता है, तो वहां एक स्थिरांक उपस्थित होता है $p$ इस प्रकार कि यह वाक्य विशेषता के प्रत्येक क्षेत्र के लिए बड़ा है $p.$ इसे इस प्रकार देखा जा सकता है: मान लीजिए $\varphi$ एक ऐसा वाक्य है जो प्रत्येक क्षेत्र में विशेषता शून्य रखता है। फिर उसका निषेध $\lnot \varphi ,$ क्षेत्र स्वयंसिद्धों और वाक्यों के अनंत अनुक्रम के साथ

$$1+1\neq 0,\;\;1+1+1\neq 0,\;\ldots$$

संतुष्टि प्रदता नहीं है (क्योंकि इसमें विशेषता 0 का कोई क्षेत्र नहीं है)। $\lnot \varphi$ धारण करता है, और वाक्यों का अनंत क्रम यह सुनिश्चित करता है कि कोई भी मॉडल विशेषता 0 का क्षेत्र होगा)। इसलिए, एक परिमित उपसमुच्चय है $A$ इन वाक्यों का जो संतोषजनक नहीं है। $A$ सम्मिलित होना चाहिए $\lnot \varphi$ क्योंकि अन्यथा यह संतोषजनक होगा। क्योंकि इसमें और वाक्य जोड़ रहे हैं $A$ असंतोषजनकता नहीं बदलती, ऐसा हम मान सकते हैं $A$ कुछ के लिए फ़ील्ड स्वयंसिद्ध और, सम्मिलित हैं $k,$ पहला $k$ प्रपत्र के वाक्य $1+1+\cdots +1\neq 0.$ होने देना $B$ के सभी वाक्य सम्मिलित हैं $A$ के अलावा $\lnot \varphi .$ फिर कोई भी क्षेत्र जिसकी विशेषता इससे अधिक हो $k$ का एक मॉडल है $B,$ और $\lnot \varphi$ के साथ साथ $B$ संतुष्ट करने योग्य नहीं है. इस का मतलब है कि $\varphi$ के प्रत्येक मॉडल में होना चाहिए $B,$ जिसका मतलब बिल्कुल यही है $\varphi$ विशेषता के प्रत्येक क्षेत्र में श्रेष्ठता रखता है $k.$ इससे प्रमाण पूर्ण हो जाता है।

लेफ्शेट्ज़ सिद्धांत, समष्टिांतरण सिद्धांत के पहले उदाहरणों में से एक, इस परिणाम का विस्तार करता है। प्रथम कोटि का वाक्य $\varphi$ वलय (रिंग गणित) की भाषा में सत्य है some (या समकक्ष, में every) विशेषता 0 का बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र (जैसे कि उदाहरण के लिए सम्मिश्र संख्याएं) यदि और केवल तभी जब अनंत रूप से कई अभाज्य संख्याएँ उपस्थित हों $p$ जिसके लिए $\varphi$ में सच है some विशेषता का बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र $p,$ किस स्थिति में $\varphi$ में सच है allपर्याप्त रूप से बड़े गैर-0 विशेषता वाले बीजगणितीय रूप से $p.$संवृत फ़ील्ड है।

एक परिणाम X-ग्रोथेंडिक प्रमेय का निम्नलिखित विशेष मामला है: सभी इंजेक्शन मानचित्र सम्मिश्र संख्या बहुपद $\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ प्रक्षेपात्मक मानचित्र हैं (वास्तव में, यह भी दिखाया जा सकता है कि इसका व्युत्क्रम भी एक बहुपद होगा)। वास्तव में, किसी भी विशेषण बहुपद के लिए प्रक्षेप्यता निष्कर्ष सत्य रहता है $F^{n}\to F^{n}$ कहाँ $F$ एक परिमित क्षेत्र या ऐसे क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है।

अपवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के दूसरे अनुप्रयोग से पता चलता है कि कोई भी सिद्धांत जिसमें स्वेच्छया से बड़े परिमित मॉडल या एकल अनंत मॉडल होते हैं, उसमें स्वेच्छया से बड़ी प्रमुखता के मॉडल होते हैं (यह अपवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय है)। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित के गैर-मानक मॉडल हैं जिनमें अनगिनत 'प्राकृतिक संख्याएँ' हैं। इसे हासिल करने के लिए आइए $T$ प्रारंभिक सिद्धांत हो और चलो $\kappa$ कोई भी कार्डिनल संख्या हो. की भाषा में जोड़ें $T$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक स्थिर प्रतीक $\kappa .$ फिर जोड़ें $T$ वाक्यों का एक संग्रह जो कहता है कि नए संग्रह से किन्हीं दो अलग-अलग स्थिर प्रतीकों द्वारा दर्शाई गई वस्तुएं अलग-अलग हैं (यह एक संग्रह है) $\kappa ^{2}$ वाक्य) है। चूंकि प्रत्येक परिमित (फिनिट) इस नए सिद्धांत का उपसमुच्चय पर्याप्त रूप से बड़े परिमित मॉडल द्वारा संतुष्ट है $T,$ या किसी अनंत मॉडल द्वारा, संपूर्ण विस्तारित सिद्धांत संतोषजनक है। लेकिन विस्तारित सिद्धांत के किसी भी मॉडल में कम से कम प्रमुखता होती है $\kappa$.

गैर-मानक विश्लेषण

कॉम्पैक्टनेस प्रमेय का तीसरा अनुप्रयोग वास्तविक संख्याओं के गैर-मानक विश्लेषण का निर्माण है, अर्थात, वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का लगातार विस्तार जिसमें अनंत संख्याएँ होती हैं। इसे देखने के लिए आइए $\Sigma$ वास्तविक संख्याओं के सिद्धांत का प्रथम-क्रम स्वयंसिद्धीकरण बनें। एक नया अचर प्रतीक जोड़कर प्राप्त सिद्धांत पर विचार करें $\varepsilon$ भाषा से और उससे समीप हुए $\Sigma$ स्वयंसिद्ध $\varepsilon >0$ और स्वयंसिद्ध $\varepsilon <{\tfrac {1}{n}}$ सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए $n.$ स्पष्टतः, मानक वास्तविक संख्याएँ $\mathbb {R}$ इन स्वयंसिद्धों के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय के लिए एक मॉडल हैं, क्योंकि वास्तविक संख्याएँ हर विषय को संतुष्ट करती हैं $\Sigma$ और, उपयुक्त विकल्प द्वारा $\varepsilon ,$ के बारे में सिद्धांतों के किसी भी सीमित उपसमुच्चय को संतुष्ट करने के लिए बनाया जा सकता है $\varepsilon .$ सघनता प्रमेय के अनुसार, एक मॉडल है ${}^{*}\mathbb {R}$ जो संतुष्ट करता है $\Sigma$ और इसमें एक अतिसूक्ष्म तत्व भी सम्मिलित है $\varepsilon .$ इसी तरह का एक तर्क, इस बार स्वयंसिद्धों से जुड़ा हुआ है $\omega >0,\;\omega >1,\ldots ,$ आदि से पता चलता है कि असीम रूप से बड़े परिमाण वाली संख्याओं के अस्तित्व को वास्तविकताओं के किसी भी स्वयंसिद्धीकरण $\Sigma$ द्वारा अस्वीकृत नहीं किया जा सकता है

यह दिखाया जा सकता है कि अतियथार्थवादी संख्याएँ ${}^{*}\mathbb {R}$ समष्टिांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करें: प्रथम-क्रम वाक्य सत्य है $\mathbb {R}$ यदि और केवल यदि यह सत्य है ${}^{*}\mathbb {R} .$

प्रमाण

कोई गोडेल की पूर्णता प्रमेय का उपयोग करके कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को सिद्ध कर सकता है, जो स्थापित करता है कि वाक्यों का एक समुच्चय तभी संतोषजनक है जब इससे कोई विरोधाभास साबित नहीं किया जा सकता है। चूंकि गणितीय प्रमाण सदैव सीमित होते हैं और इसलिए दिए गए वाक्यों में से केवल सीमित संख्या में ही सम्मिलित होते हैं, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय अनुसरण करता है। वास्तव में, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय गोडेल की पूर्णता प्रमेय के बराबर है, और दोनों बूलियन प्राइम आदर्श प्रमेय के बराबर हैं, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का एक अशक्त रूप है।

गोडेल ने मूल रूप से कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को इसी तरह से सिद्ध किया था, लेकिन बाद में कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के कुछ विशुद्ध अर्थ संबंधी प्रमाण पाए गए; अर्थात्, ऐसे प्रमाण जो संदर्भित करते हैं truth लेकिन नहीं provability. उन प्रमाणों में से एक निम्नानुसार पसंद के सिद्धांत पर निर्भर अल्ट्राप्रोडक्ट्स पर निर्भर करता है:

प्रमाण:

प्रथम-क्रम की भाषा ठीक करें $L,$ और जाने $\Sigma$ $L$-वाक्यों का एक संग्रह बनें जैसे कि प्रत्येक परिमित उपसंग्रह $L$-वाक्य, $i\subseteq \Sigma$ इसका एक मॉडल है ${\mathcal {M}}_{i}.$ चलो भी ${\textstyle \prod _{i\subseteq \Sigma }{\mathcal {M}}_{i}}$ संरचनाओं का प्रत्यक्ष उत्पाद बनें और $I$ के परिमित उपसमुच्चय का संग्रह हो $\Sigma .$ प्रत्येक के लिए $i\in I,$ होने देना $A_{i}=\{j\in I:j\supseteq i\}.$ इन सभी का परिवार समुच्चय है $A_{i}$ एक उचित फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) उत्पन्न करता है, इसलिए एक अल्ट्राफ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) है $U$ जिसमें फॉर्म के सभी समुच्चय सम्मिलित हैं $A_{i}.$

अब किसी भी सूत्र के लिए $\varphi$ में $\Sigma :$

• समुच्चय $A_{\{\varphi \}}$ में है $U$
• जब कभी भी $j\in A_{\{\varphi \}},$ तब $\varphi \in j,$ इस तरह $\varphi$ में रखता है ${\mathcal {M}}_{j}$
• सभी का समुच्चय $j$ उस संपत्ति के साथ $\varphi$ में रखता है ${\mathcal {M}}_{j}$ का एक सुपरसमुच्चय है $A_{\{\varphi \}},$ इसलिए में भी $U$

प्रमेय Łoś's प्रमेय अब इसका तात्पर्य है $\varphi$ अल्ट्राप्रोडक्ट में रहता है ${\textstyle \prod _{i\subseteq \Sigma }{\mathcal {M}}_{i}/U.}$ इसलिए यह अल्ट्राप्रोडक्ट सभी फॉर्मूलों को पूरा करता है $\Sigma .$

यह भी देखें

• Barwise compactness theorem
• Herbrand's theorem
• List of Boolean algebra topics
• Löwenheim–Skolem theorem

संदर्भ

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• Chang, C.C.; Keisler, H. Jerome (1989). Model Theory (third ed.). Elsevier. ISBN 0-7204-0692-7.
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• Truss, John K. (1997). Foundations of Mathematical Analysis. Oxford University Press. ISBN 0-19-853375-6.

बाहरी संबंध

• Compactness Theorem, Internet Encyclopedia of Philosophy.