अवकल रैखिकता: Difference between revisions
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[[ गणना ]] में, [[फ़ंक्शन (गणित)]] के किसी भी [[रैखिक संयोजन]] का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के [[ यौगिक ]] के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है;<ref>{{citation|title=Calculus: Single Variable, Volume 1|first1=Brian E.|last1=Blank|first2=Steven George|last2=Krantz|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781931914598|page=177|url=https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA177}}.</ref> इस गुण को विभेदन की रैखिकता, रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है,<ref>{{citation|title=Calculus, Volume 1|first=Gilbert|last=Strang|publisher=SIAM|year=1991|isbn=9780961408824|pages=71–72|url=https://books.google.com/books?id=OisInC1zvEMC&pg=PA71}}.</ref> या विभेदन के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत।<ref>{{citation|title=Calculus Using Mathematica|first=K. D.|last=Stroyan|publisher=Academic Press|year=2014|isbn=9781483267975|page=89|url=https://books.google.com/books?id=C8DiBQAAQBAJ&pg=PA89}}.</ref> यह व्युत्पन्न का | [[ गणना |गणना]] में, [[फ़ंक्शन (गणित)]] के किसी भी [[रैखिक संयोजन]] का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के [[ यौगिक |यौगिक]] के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है;<ref>{{citation|title=Calculus: Single Variable, Volume 1|first1=Brian E.|last1=Blank|first2=Steven George|last2=Krantz|publisher=Springer|year=2006|isbn=9781931914598|page=177|url=https://books.google.com/books?id=hMY8lbX87Y8C&pg=PA177}}.</ref> इस गुण को विभेदन की रैखिकता, रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है,<ref>{{citation|title=Calculus, Volume 1|first=Gilbert|last=Strang|publisher=SIAM|year=1991|isbn=9780961408824|pages=71–72|url=https://books.google.com/books?id=OisInC1zvEMC&pg=PA71}}.</ref> या विभेदन के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत।<ref>{{citation|title=Calculus Using Mathematica|first=K. D.|last=Stroyan|publisher=Academic Press|year=2014|isbn=9781483267975|page=89|url=https://books.google.com/books?id=C8DiBQAAQBAJ&pg=PA89}}.</ref> यह व्युत्पन्न का मौलिक गुण है जो विभेदीकरण के दो सरल नियमों को ही नियम में समाविष्ट करता है, [[विभेदन में योग नियम]] (दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और [[विभेदन में स्थिर कारक नियम]] (द) किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)।<ref>{{citation|title=Practical Analysis in One Variable|series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]]|first=Donald|last=Estep|publisher=Springer|year=2002|isbn=9780387954844|pages=259–260|url=https://books.google.com/books?id=trC-jTRffesC&pg=PA259|contribution=20.1 Linear Combinations of Functions}}.</ref><ref>{{citation|title=Understanding Real Analysis|first=Paul|last=Zorn|publisher=CRC Press|year=2010|isbn=9781439894323|page=184|url=https://books.google.com/books?id=1WLNBQAAQBAJ&pg=PA184}}.</ref> इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि विभेदन रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका [[रेखीय मानचित्र]] संचालिका है।<ref>{{citation|title=Finite-Dimensional Linear Algebra|series=Discrete Mathematics and Its Applications|first=Mark S.|last=Gockenbach|publisher=CRC Press|year=2011|isbn=9781439815649|page=103|url=https://books.google.com/books?id=xP0RFUHWQI0C&pg=PA103}}.</ref> | ||
== कथन और व्युत्पत्ति == | |||
==कथन और व्युत्पत्ति== | |||
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== परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न == | |||
हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या, हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां दोनों को दिखाया जाएगा. | |||
रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कारक नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष मामलों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम प्राप्त किया जाता है <math>1</math>. अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है <math>1</math> और दूसरा स्थिरांक गुणांक <math>-1</math>. स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फ़ंक्शन को सेट करके प्राप्त किया जाता है <math>0</math>. (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का तरीका दूसरे फ़ंक्शन को पहले फ़ंक्शन के बराबर और दूसरे निरंतर गुणांक को बराबर सेट करना है <math>0</math>. कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फ़ंक्शन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फ़ंक्शन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फ़ंक्शन का सुपरसेट है।) | |||
रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कारक नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष मामलों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम प्राप्त किया जाता है <math>1</math>. अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है <math>1</math> और दूसरा स्थिरांक गुणांक <math>-1</math>. स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फ़ंक्शन को सेट करके प्राप्त किया जाता है <math>0</math>. (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का | |||
इसके विपरीत, यदि हम पहले स्थिर कारक नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे कार्यों को दो अन्य कार्यों के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम विभेदन करते समय पहले योग कानून का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फ़ंक्शन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फ़ंक्शन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है <math>-1</math>. इसे सरल बनाने पर, हमें विभेदन के लिए अंतर नियम मिलेगा। | इसके विपरीत, यदि हम पहले स्थिर कारक नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे कार्यों को दो अन्य कार्यों के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम विभेदन करते समय पहले योग कानून का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फ़ंक्शन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फ़ंक्शन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है <math>-1</math>. इसे सरल बनाने पर, हमें विभेदन के लिए अंतर नियम मिलेगा। | ||
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===रैखिकता (सीधे)=== | ===रैखिकता (सीधे)=== | ||
होने देना <math>a, b \in \mathbb{R}</math>. होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> | होने देना <math>a, b \in \mathbb{R}</math>. होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = af(x) + bg(x)</math>. | ||
हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math>. | हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)</math>. | ||
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===योग=== | ===योग=== | ||
होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> | होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं. | ||
(दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = f(x) + g(x)</math>. | (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = f(x) + g(x)</math>. | ||
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===अंतर=== | ===अंतर=== | ||
होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> | होने देना <math>f, g</math> कार्य हो. होने देना <math>j</math> समारोह हो, जहां <math>j</math> केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> और <math>g</math> दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन का प्रतिच्छेदन है <math>f</math> और <math>g</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = f(x) - g(x)</math>. | ||
हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math>. | हम यह साबित करना चाहते हैं <math>j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)</math>. | ||
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===स्थिर गुणांक=== | ===स्थिर गुणांक=== | ||
होने देना <math>f</math> | होने देना <math>f</math> समारोह हो. होने देना <math>a \in \mathbb{R}</math>; <math>a</math> स्थिर गुणांक होगा. होने देना <math>j</math> फ़ंक्शन बनें, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है <math>f</math> परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन <math>j</math> के डोमेन के बराबर है <math>f</math>।) होने देना <math>x</math> के क्षेत्र में हो <math>j</math>. होने देना <math>j(x) = af(x)</math>. | ||
हम यह साबित करना चाहते हैं <math> j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math>. | हम यह साबित करना चाहते हैं <math> j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)</math>. | ||
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&= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ | &= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ | ||
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अब, यह दिखाने के लिए स्थिर गुणांकों के लिए | अब, यह दिखाने के लिए स्थिर गुणांकों के लिए सीमा कानून का उपयोग करें | ||
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\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} | \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} | ||
</math> हमें वह दिखाने की जरूरत है <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> मौजूद। | </math> हमें वह दिखाने की जरूरत है <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> मौजूद। | ||
हालाँकि, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>, व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। तो यदि <math>f^{\prime}(x)</math> तो मौजूद है | हालाँकि, <math display="inline">f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math>, व्युत्पन्न की परिभाषा के अनुसार। तो यदि <math>f^{\prime}(x)</math> तो मौजूद है <math display="inline">\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}</math> मौजूद। | ||
इस प्रकार, यदि हम ऐसा मान लें <math>f^{\prime}(x)</math> मौजूद है, हम सीमा कानून का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं। | इस प्रकार, यदि हम ऐसा मान लें <math>f^{\prime}(x)</math> मौजूद है, हम सीमा कानून का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं। |
Revision as of 19:41, 25 July 2023
गणना में, फ़ंक्शन (गणित) के किसी भी रैखिक संयोजन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के यौगिक के समान रैखिक संयोजन के बराबर होता है;[1] इस गुण को विभेदन की रैखिकता, रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है,[2] या विभेदन के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत।[3] यह व्युत्पन्न का मौलिक गुण है जो विभेदीकरण के दो सरल नियमों को ही नियम में समाविष्ट करता है, विभेदन में योग नियम (दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और विभेदन में स्थिर कारक नियम (द) किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)।[4][5] इस प्रकार यह कहा जा सकता है कि विभेदन रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका रेखीय मानचित्र संचालिका है।[6]
कथन और व्युत्पत्ति
होने देना f और g फ़ंक्शंस बनें, साथ α और β स्थिरांक. अब विचार करें
विभेदन में योग नियम के अनुसार, यह है
और विभेदन में स्थिर कारक नियम से, यह कम हो जाता है
इसलिए,
ब्रैकेट (गणित)#Functionss को हटाकर, इसे अक्सर इस प्रकार लिखा जाता है:
परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न
हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या, हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां दोनों को दिखाया जाएगा.
रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कारक नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष मामलों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम प्राप्त किया जाता है . अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है और दूसरा स्थिरांक गुणांक . स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फ़ंक्शन को सेट करके प्राप्त किया जाता है . (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का तरीका दूसरे फ़ंक्शन को पहले फ़ंक्शन के बराबर और दूसरे निरंतर गुणांक को बराबर सेट करना है . कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फ़ंक्शन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फ़ंक्शन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फ़ंक्शन का सुपरसेट है।)
इसके विपरीत, यदि हम पहले स्थिर कारक नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे कार्यों को दो अन्य कार्यों के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम विभेदन करते समय पहले योग कानून का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फ़ंक्शन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फ़ंक्शन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है . इसे सरल बनाने पर, हमें विभेदन के लिए अंतर नियम मिलेगा।
नीचे दिए गए प्रमाण/व्युत्पन्न में,[7][8] गुणांक उपयोग किया जाता है; वे गुणांकों के अनुरूप हैं ऊपर।
रैखिकता (सीधे)
होने देना . होने देना कार्य हो. होने देना समारोह हो, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है और ।) होने देना के क्षेत्र में हो . होने देना .
हम यह साबित करना चाहते हैं .
परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
योग
होने देना कार्य हो. होने देना समारोह हो, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है और ।) होने देना के क्षेत्र में हो . होने देना .
हम यह साबित करना चाहते हैं .
परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं
अंतर
होने देना कार्य हो. होने देना समारोह हो, जहां केवल वहीं परिभाषित किया गया है और दोनों परिभाषित हैं. (दूसरे शब्दों में, का डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है और ।) होने देना के क्षेत्र में हो . होने देना .
हम यह साबित करना चाहते हैं .
परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
स्थिर गुणांक
होने देना समारोह हो. होने देना ; स्थिर गुणांक होगा. होने देना फ़ंक्शन बनें, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में, का डोमेन के डोमेन के बराबर है ।) होने देना के क्षेत्र में हो . होने देना .
हम यह साबित करना चाहते हैं .
परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:
इस प्रकार, यदि हम ऐसा मान लें मौजूद है, हम सीमा कानून का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं।
यह भी देखें
- Differentiation of integrals
- Differentiation of trigonometric functions
- Differentiation rules – Rules for computing derivatives of functions
- Distribution (mathematics)
- General Leibniz rule – Generalization of the product rule in calculus
- Integration by parts
- Inverse functions and differentiation
- Product rule
- Quotient rule
- Table of derivatives
- Vector calculus identities
संदर्भ
- ↑ Blank, Brian E.; Krantz, Steven George (2006), Calculus: Single Variable, Volume 1, Springer, p. 177, ISBN 9781931914598.
- ↑ Strang, Gilbert (1991), Calculus, Volume 1, SIAM, pp. 71–72, ISBN 9780961408824.
- ↑ Stroyan, K. D. (2014), Calculus Using Mathematica, Academic Press, p. 89, ISBN 9781483267975.
- ↑ Estep, Donald (2002), "20.1 Linear Combinations of Functions", Practical Analysis in One Variable, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, pp. 259–260, ISBN 9780387954844.
- ↑ Zorn, Paul (2010), Understanding Real Analysis, CRC Press, p. 184, ISBN 9781439894323.
- ↑ Gockenbach, Mark S. (2011), Finite-Dimensional Linear Algebra, Discrete Mathematics and Its Applications, CRC Press, p. 103, ISBN 9781439815649.
- ↑ "विभेदन नियम". CEMC's Open Courseware. Retrieved 3 May 2022.
- ↑ Dawkins, Paul. "विभिन्न व्युत्पन्न गुणों का प्रमाण". Paul's Online Notes. Retrieved 3 May 2022.