लघु (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

Revision as of 20:28, 22 July 2023

रैखिक बीजगणित में, आव्यूह (गणित) A का लघु, A की अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर A से काटे गए कुछ छोटे वर्ग आव्यूह का निर्धारक होता है। वर्ग आव्यूहों (पहले अवयस्कों) से केवल एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए गए अवयस्कों की आवश्यकता आव्यूह सहकारकों की गणना के लिए होती है, जो बदले में वर्ग आव्यूहों के निर्धारक और व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। परिभाषा में यह आवश्यकता अक्सर छोड़ दी जाती है कि वर्ग आव्यूह मूल आव्यूह से छोटा हो।

परिभाषा और चित्रण

पहले नाबालिग

यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो i में प्रविष्टि का मामूलीवीं पंक्ति और जेवां कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या पहला माइनर भी कहा जाता है^[1]) i को हटाकर बनने वाले सबआव्यूह का निर्धारक हैवीं पंक्ति और जेवाँ स्तंभ. इस संख्या को अक्सर M से दर्शाया जाता है_i,j. (i, j) सहकारक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है $(-1)^{i+j}$ .

इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,

{\begin{bmatrix}1&4&7\\3&0&5\\-1&9&11\\\end{bmatrix}}

लघु एम की गणना करने के लिए_2,3 और सहकारक सी_2,3, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को हटाकर उपरोक्त आव्यूह का निर्धारक पाते हैं।

M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}1&4&\Box \\\Box &\Box &\Box \\-1&9&\Box \\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}1&4\\-1&9\\\end{bmatrix}}=9-(-4)=13

तो (2,3) प्रविष्टि का सहकारक है

\ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.

सामान्य परिभाषा

मान लीजिए A एक m × n आव्यूह है और k 0 < k ≤ m, और k ≤ n के साथ एक पूर्णांक है '. A k × k A का लघु, जिसे A के क्रम k का लघु निर्धारक भी कहा जाता है या, यदि m = n, (' 'n−k)A का वां लघु निर्धारक (निर्धारक शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी ऑर्डर के बजाय डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) k × का निर्धारक है k आव्यूह m-k पंक्तियों और n-k कॉलम को हटाकर A से प्राप्त किया गया है। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त k × k आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ('m−k पंक्तियों और n− को हटाकर) k कॉलम), लेकिन इस आव्यूह को A के (वर्ग) सबआव्यूह के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़ दिया जाना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह ए के लिए, कुल हैं ${\textstyle {m \choose k}\cdot {n \choose k}}$ k × k आकार के नाबालिग। क्रम शून्य के लघु को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का निर्धारक होता है।^[2]^[3]

होने देना $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq m$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमित अनुक्रमों का क्रम दिया जाए (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि नाबालिगों के बारे में बात करते समय हमेशा माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहें। नाबालिग ${\textstyle \det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)}$ अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप निरूपित किया जाता है $\det _{I,J}A$ या $\det A_{I,J}$ या $[A]_{I,J}$ या $M_{I,J}$ या $M_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}$ या $M_{(i),(j)}$ (जहां $(i)$ स्रोत के आधार पर, सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है। इसके अलावा, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से जुड़े छोटे द्वारा, कुछ लेखक^[4] आव्यूह के निर्धारक का मतलब है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल आव्यूह से बने आव्यूह का निर्धारक।^[2]किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसकी जांच हमेशा संबंधित स्रोत से की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले माइनर या (i, j)-माइनर का मामला है; उस मामले में, विशेष अर्थ ${\textstyle M_{i,j}=\det \left(\left(A_{p,q}\right)_{p\neq i,q\neq j}\right)}$ साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।

पूरक

पूरक, बी_{ijk...,pqr...}, एक नाबालिग का, एम_{ijk...,pqr...}, एक वर्ग आव्यूह का, 'ए', आव्यूह 'ए' के निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम से जुड़ी सभी पंक्तियाँ (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)_{ijk...,pqr...}हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम अवयस्क का पूरक a_ijबस वह तत्व है.^[5]

नाबालिगों और सहकारकों के अनुप्रयोग

निर्धारक का सहकारक विस्तार

लाप्लास विस्तार में सहकारकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है|निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया गया n × n आव्यूह $A=(a_{ij})$ , ए का निर्धारक, जिसे डेट (ए) कहा जाता है, को आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहकारकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना $C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ फिर जे के साथ सहकारक विस्तारवां कॉलम देता है:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+\cdots +a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

I के साथ सहकारक विस्तारवीं पंक्ति देती है:

\ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+\cdots +a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(-1)^{i+j}M_{ij}

आव्यूह का व्युत्क्रम

क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके सहकारकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार लिख सकता है। उलटा आव्यूह A के सभी सहकारकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहकारक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहकारकों का आव्यूह भी कहा जाता है या, कभी-कभी, कोआव्यूह भी कहा जाता है):

\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}

फिर A का व्युत्क्रम A के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा सहकारक आव्यूह का स्थानान्तरण है:

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.

सहकारक आव्यूह के स्थानान्तरण को 'ए' का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: चलो $1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n$ और $1\leq j_{1}<j_{2}<\ldots <j_{k}\leq n$ अनुक्रमितों के क्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिए जाएं (यहां A एक n × n आव्यूह है)। तब^[6]

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}=\pm {\frac {[\mathbf {A} ]_{J',I'}}{\det \mathbf {A} }},

जहां I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है), ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में बिल्कुल एक बार दिखाई दे। ', लेकिन दोनों में नहीं (समान रूप से जे और जे' के लिए) और $[\mathbf {A} ]_{I,J}$ इंडेक्स सेट I की पंक्तियों और इंडेक्स सेट J के कॉलम को चुनकर गठित ए के सबआव्यूह के निर्धारक को दर्शाता है। भी, $[\mathbf {A} ]_{I,J}=\det \left((A_{i_{p},j_{q}})_{p,q=1,\ldots ,k}\right)$ . वेज उत्पाद का उपयोग करके एक सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} ^{-1}e_{j_{k}})\wedge e_{i'_{1}}\wedge \ldots \wedge e_{i'_{n-k}},

कहाँ $e_{1},\ldots ,e_{n}$ आधार सदिश हैं। ए द्वारा दोनों तरफ से कार्य करने पर एक मिलता है

[\mathbf {A} ^{-1}]_{I,J}\det \mathbf {A} (e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n})=\pm (e_{j_{1}})\wedge \ldots \wedge (e_{j_{k}})\wedge (\mathbf {A} e_{i'_{1}})\wedge \ldots \wedge (\mathbf {A} e_{i'_{n-k}})=\pm [\mathbf {A} ]_{J',I'}(e_{1}\wedge \ldots \wedge e_{n}).

संकेत पर काम किया जा सकता है $(-1)^{\sum _{s=1}^{k}i_{s}-\sum _{s=1}^{k}j_{s}}$ , इसलिए चिह्न I और J में तत्वों के योग से निर्धारित होता है।

अन्य अनुप्रयोग

वास्तविक संख्या प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और रैंक (आव्यूह सिद्धांत) r के साथ एक m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।

हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे: यदि 'ए' एक एम × एन आव्यूह है, तो मैं के तत्वों के साथ {1,...,एम} का एक उपसमुच्चय है, और जे, {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, फिर हम लिखते हैं ['A']_I,J के लिए k × k A का माइनर जो I में इंडेक्स वाली पंक्तियों और J में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।

यदि मैं = जे, तो [ए]_I,J प्रधान अवयस्क कहा जाता है।
यदि आव्यूह जो एक प्रिंसिपल माइनर से मेल खाता है वह एक वर्गाकार ऊपरी-बाएँ आव्यूह है (गणित) # बड़े आव्यूह का सबआव्यूह (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे एक अग्रणी प्रिंसिपल सबआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल माइनर को लीडिंग प्रिंसिपल माइनर (ऑर्डर k का) या कॉर्नर (प्रिंसिपल) माइनर (ऑर्डर k का) कहा जाता है।^[3] n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n प्रमुख प्रमुख अवयस्क हैं।
आव्यूह का एक बुनियादी माइनर एक वर्ग सबआव्यूह का निर्धारक होता है जो गैर-शून्य निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।^[3]* हर्मिटियन आव्यूह के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।

साधारण आव्यूह गुणन के लिए सूत्र और दो आव्यूह के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट फॉर्मूला दोनों दो आव्यूह के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं। मान लीजिए कि A एक m × n आव्यूह है, B एक n × p आव्यूह है, I {1,..., का एक उपसमुच्चय है m} k तत्वों के साथ और J k तत्वों के साथ {1,...,p} का एक उपसमुच्चय है। तब

[\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,

जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का सीधा विस्तार है।

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में माइनरों का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-माइनर, kth बाहरी पावर मैप में प्रविष्टियाँ हैं।

यदि आव्यूह के कॉलम को एक समय में एक साथ जोड़ा जाता है, तो k × k माइनर परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 माइनर्स

{\begin{pmatrix}1&4\\3&\!\!-1\\2&1\\\end{pmatrix}}

हैं −13 (पहली दो पंक्तियों से), −7 (पहली और आखिरी पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से)। अब वेज उत्पाद पर विचार करें

(\mathbf {e} _{1}+3\mathbf {e} _{2}+2\mathbf {e} _{3})\wedge (4\mathbf {e} _{1}-\mathbf {e} _{2}+\mathbf {e} _{3})

जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से मेल खाती हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह द्विरेखीय मानचित्र और वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र है,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{i}=0,

और प्रतिसंक्रामकता,

\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\wedge \mathbf {e} _{i},

हम इस अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं

-13\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}-7\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{3}+5\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3}

जहां गुणांक पहले गणना किए गए नाबालिगों से सहमत हैं।

विभिन्न संकेतन के बारे में एक टिप्पणी

कुछ पुस्तकों में सहकारक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है।^[7] इसके अलावा, इसे ए के रूप में दर्शाया गया है_ij और सहकारक के समान ही परिभाषित किया गया है:

\mathbf {A} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}

इस नोटेशन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार लिखा जाता है:

\mathbf {M} ^{-1}={\frac {1}{\det(M)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdots &A_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{1n}&A_{2n}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}

ध्यान रखें कि सहायक सहायक या सहायक नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का उप अक्सर संबंधित सहायक संचालिका को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

सबआव्यूह

संदर्भ

↑ Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.
↑ ^2.0 ^2.1 Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 "Minor". गणित का विश्वकोश.
↑ Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9
↑ Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.
↑ Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.
↑ Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

बाहरी संबंध

MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
PlanetMath entry of Cofactors
Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

[1] Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form.

[Hohn-2] 2.0 ^2.1 Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, ISBN 978-0-02-355950-1

[Encyclopedia_of_Mathematics-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 "Minor". गणित का विश्वकोश.

[4] Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich, Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, ISBN 978-3-642-30993-9

[5] Bertha Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, p.135, Cambridge University Press, 1999 ISBN 0-521-66402-0.

[Prasolov1994-6] Viktor Vasil_evich Prasolov (13 June 1994). रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय. American Mathematical Soc. pp. 15–. ISBN 978-0-8218-0236-6.

[7] Felix Gantmacher, Theory of matrices (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Determinant of a subsection of a square matrix}}
-{{About|a concept in linear algebra|the concept of "minor" in graph theory|Graph minor}}
+{{About|रैखिक बीजगणित में अवधारणा|ग्राफ़ सिद्धांत में "लघु" की अवधारणा|ग्राफ लघु}}
-रैखिक बीजगणित में, [[मैट्रिक्स (गणित)]] ए का एक छोटा सा कुछ छोटे [[उलटा मैट्रिक्स]] का निर्धारक होता है, जो इसकी एक या अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर ए से काटा जाता है। वर्ग आव्यूहों (पहले अवयस्कों) से केवल एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए गए अवयस्कों की आवश्यकता मैट्रिक्स सहकारकों की गणना के लिए होती है, जो बदले में वर्ग आव्यूहों के निर्धारक और व्युत्क्रम मैट्रिक्स दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। परिभाषा में यह आवश्यकता अक्सर छोड़ दी जाती है कि [[वर्ग मैट्रिक्स]] मूल मैट्रिक्स से छोटा हो।
+रैखिक बीजगणित में, [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] A का लघु, A की अधिक पंक्तियों और स्तंभों को हटाकर A से काटे गए कुछ छोटे [[उलटा मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] का निर्धारक होता है। वर्ग आव्यूहों (पहले अवयस्कों) से केवल एक पंक्ति और एक स्तंभ को हटाकर प्राप्त किए गए अवयस्कों की आवश्यकता आव्यूह सहकारकों की गणना के लिए होती है, जो बदले में वर्ग आव्यूहों के निर्धारक और व्युत्क्रम आव्यूह दोनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं। परिभाषा में यह आवश्यकता अक्सर छोड़ दी जाती है कि [[वर्ग मैट्रिक्स|वर्ग आव्यूह]] मूल आव्यूह से छोटा हो।
 ==परिभाषा और चित्रण==
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 ===पहले नाबालिग===
-यदि A एक वर्ग मैट्रिक्स है, तो ''i'' में प्रविष्टि का ''मामूली''वीं पंक्ति और जेवां कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या पहला माइनर भी कहा जाता है<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) i को हटाकर बनने वाले [[सबमैट्रिक्स]] का निर्धारक हैवीं पंक्ति और जेवाँ स्तंभ. इस संख्या को अक्सर M से दर्शाया जाता है<sub>''i,j''</sub>. (i, j) सहकारक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है <math>(-1)^{i+j}</math>.
+यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो ''i'' में प्रविष्टि का ''मामूली''वीं पंक्ति और जेवां कॉलम (जिसे (i, j) माइनर या पहला माइनर भी कहा जाता है<ref>Burnside, William Snow & Panton, Arthur William (1886) ''[https://books.google.com/books?id=BhgPAAAAIAAJ&pg=PA239 Theory of Equations: with an Introduction to the Theory of Binary Algebraic Form]''.</ref>) i को हटाकर बनने वाले [[सबमैट्रिक्स|सबआव्यूह]] का निर्धारक हैवीं पंक्ति और जेवाँ स्तंभ. इस संख्या को अक्सर M से दर्शाया जाता है<sub>''i,j''</sub>. (i, j) सहकारक लघु को गुणा करके प्राप्त किया जाता है <math>(-1)^{i+j}</math>.
-इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 मैट्रिक्स पर विचार करें,
+इन परिभाषाओं को स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित 3 बटा 3 आव्यूह पर विचार करें,
 :<math>\begin{bmatrix}
@@ Line 17: / Line 17: @@
 -1 & 9 & 11 \\
 \end{bmatrix}</math>
-लघु एम की गणना करने के लिए<sub>2,3</sub> और सहकारक सी<sub>2,3</sub>, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को हटाकर उपरोक्त मैट्रिक्स का निर्धारक पाते हैं।
+लघु एम की गणना करने के लिए<sub>2,3</sub> और सहकारक सी<sub>2,3</sub>, हम पंक्ति 2 और स्तंभ 3 को हटाकर उपरोक्त आव्यूह का निर्धारक पाते हैं।
 :<math> M_{2,3} = \det \begin{bmatrix}
@@ Line 33: / Line 33: @@
 '''सामान्य परिभाषा'''
-मान लीजिए A एक ''m'' × ''n'' मैट्रिक्स है और ''k'' 0 < ''k'' ≤ ''m'', और ''k'' ≤ ''n'' के साथ एक [[पूर्णांक]] है '. A ''k'' × ''k'' ''A का लघु'', जिसे A के क्रम k का लघु निर्धारक भी कहा जाता है या, यदि ''m'' = ''n'', (' 'n''−''k'')A का ''वां लघु निर्धारक'' (निर्धारक शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी ऑर्डर के बजाय डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) ''k'' × का निर्धारक है ''k'' मैट्रिक्स ''m''-''k'' पंक्तियों और ''n''-''k'' कॉलम को हटाकर A से प्राप्त किया गया है। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त ''k'' × ''k'' मैट्रिक्स को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ('m''−''k'' पंक्तियों और ''n''−'' को हटाकर) k'' कॉलम), लेकिन इस मैट्रिक्स को A के ''(वर्ग) सबमैट्रिक्स'' के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस मैट्रिक्स के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़ दिया जाना चाहिए। उपरोक्त मैट्रिक्स ए के लिए, कुल हैं <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> k × k आकार के नाबालिग। क्रम शून्य के लघु को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए, शून्यवां लघु केवल मैट्रिक्स का निर्धारक होता है।<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
+मान लीजिए A एक ''m'' × ''n'' आव्यूह है और ''k'' 0 < ''k'' ≤ ''m'', और ''k'' ≤ ''n'' के साथ एक [[पूर्णांक]] है '. A ''k'' × ''k'' ''A का लघु'', जिसे A के क्रम k का लघु निर्धारक भी कहा जाता है या, यदि ''m'' = ''n'', (' 'n''−''k'')A का ''वां लघु निर्धारक'' (निर्धारक शब्द अक्सर छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी ऑर्डर के बजाय डिग्री शब्द का उपयोग किया जाता है) ''k'' × का निर्धारक है ''k'' आव्यूह ''m''-''k'' पंक्तियों और ''n''-''k'' कॉलम को हटाकर A से प्राप्त किया गया है। कभी-कभी इस शब्द का उपयोग उपरोक्त A से प्राप्त ''k'' × ''k'' आव्यूह को संदर्भित करने के लिए किया जाता है ('m''−''k'' पंक्तियों और ''n''−'' को हटाकर) k'' कॉलम), लेकिन इस आव्यूह को A के ''(वर्ग) सबआव्यूह'' के रूप में संदर्भित किया जाना चाहिए, इस आव्यूह के निर्धारक को संदर्भित करने के लिए माइनर शब्द को छोड़ दिया जाना चाहिए। उपरोक्त आव्यूह ए के लिए, कुल हैं <math display="inline">{m \choose k} \cdot {n \choose k}</math> k × k आकार के नाबालिग। क्रम शून्य के लघु को अक्सर 1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक वर्ग आव्यूह के लिए, शून्यवां लघु केवल आव्यूह का निर्धारक होता है।<ref name="Hohn">Elementary Matrix Algebra (Third edition), Franz E. Hohn, The Macmillan Company, 1973, {{isbn|978-0-02-355950-1}}</ref><ref name="Encyclopedia of Mathematics" />
-होने देना <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> अनुक्रमित अनुक्रमों का क्रम दिया जाए (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि नाबालिगों के बारे में बात करते समय हमेशा माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहें। नाबालिग <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप निरूपित किया जाता है <math>\det_{I,J} A</math> या <math>\det A_{I, J}</math> या <math>[A]_{I,J}</math> या <math>M_{I,J}</math> या <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> या <math>M_{(i),(j)}</math> (जहां <math>(i)</math> स्रोत के आधार पर, सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है। इसके अलावा, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से जुड़े छोटे द्वारा, कुछ लेखक<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> मैट्रिक्स के निर्धारक का मतलब है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल मैट्रिक्स के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल मैट्रिक्स से बने मैट्रिक्स का निर्धारक।<ref name="Hohn" />किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसकी जांच हमेशा संबंधित स्रोत से की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले माइनर या (i, j)-माइनर का मामला है; उस मामले में, विशेष अर्थ <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।
+होने देना <math>1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le m</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \cdots < j_k \le n</math> अनुक्रमित अनुक्रमों का क्रम दिया जाए (प्राकृतिक क्रम में, जैसा कि नाबालिगों के बारे में बात करते समय हमेशा माना जाता है जब तक कि अन्यथा न कहा गया हो), उन्हें क्रमशः I और J कहें। नाबालिग <math display="inline">\det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math> अनुक्रमणिका के इन विकल्पों के अनुरूप निरूपित किया जाता है <math>\det_{I,J} A</math> या <math>\det A_{I, J}</math> या <math>[A]_{I,J}</math> या <math>M_{I,J}</math> या <math>M_{i_1, i_2, \ldots, i_k, j_1, j_2, \ldots, j_k}</math> या <math>M_{(i),(j)}</math> (जहां <math>(i)</math> स्रोत के आधार पर, सूचकांक I, आदि के अनुक्रम को दर्शाता है। इसके अलावा, साहित्य में उपयोग में आने वाले दो प्रकार के संकेत हैं: सूचकांक I और J के क्रमबद्ध अनुक्रमों से जुड़े छोटे द्वारा, कुछ लेखक<ref>Linear Algebra and Geometry, Igor R. Shafarevich,  Alexey O. Remizov, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013, {{isbn|978-3-642-30993-9}}</ref> आव्यूह के निर्धारक का मतलब है जो उपरोक्त के रूप में बनता है, मूल आव्यूह के तत्वों को उन पंक्तियों से लेकर जिनके सूचकांक I में हैं और जिन स्तंभों के सूचकांक J में हैं, जबकि कुछ अन्य लेखकों का मतलब I और J से जुड़े एक नाबालिग से है I में पंक्तियों और J में स्तंभों को हटाकर मूल आव्यूह से बने आव्यूह का निर्धारक।<ref name="Hohn" />किस नोटेशन का उपयोग किया गया है इसकी जांच हमेशा संबंधित स्रोत से की जानी चाहिए। इस लेख में, हम I की पंक्तियों और J के स्तंभों से तत्वों को चुनने की समावेशी परिभाषा का उपयोग करते हैं। असाधारण मामला ऊपर वर्णित पहले माइनर या (i, j)-माइनर का मामला है; उस मामले में, विशेष अर्थ <math display="inline">M_{i,j} = \det \left( \left( A_{p,q} \right)_{p \neq i, q \neq j} \right)</math> साहित्य में हर जगह मानक है और इस लेख में भी इसका उपयोग किया गया है।
 ===पूरक===
-पूरक, बी<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक नाबालिग का, एम<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक वर्ग मैट्रिक्स का, 'ए', मैट्रिक्स 'ए' के निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम से जुड़ी सभी पंक्तियाँ (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)<sub>ijk...,pqr...</sub>हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम अवयस्क का पूरक a<sub>ij</sub>बस वह तत्व है.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
+पूरक, बी<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक नाबालिग का, एम<sub>ijk...,pqr...</sub>, एक वर्ग आव्यूह का, 'ए', आव्यूह 'ए' के निर्धारक द्वारा बनता है जिसमें से एम से जुड़ी सभी पंक्तियाँ (आईजेके...) और कॉलम (पीक्यूआर...)<sub>ijk...,pqr...</sub>हटा दिया गया है। किसी तत्व के प्रथम अवयस्क का पूरक a<sub>ij</sub>बस वह तत्व है.<ref>Bertha Jeffreys, [https://books.google.com/books?id=Qs-xdYBQ_5wC&pg=PA135 ''Methods of Mathematical Physics''], p.135, Cambridge University Press, 1999 {{isbn|0-521-66402-0}}.</ref>
 == नाबालिगों और सहकारकों के अनुप्रयोग ==
@@ Line 46: / Line 46: @@
 {{main|Laplace expansion}}
-लाप्लास विस्तार में सहकारकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है|निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया गया {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह <math>A = (a_{ij})</math>, ए का निर्धारक, जिसे डेट (ए) कहा जाता है, को मैट्रिक्स की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहकारकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> फिर जे के साथ सहकारक विस्तारवां कॉलम देता है:
+लाप्लास विस्तार में सहकारकों को प्रमुखता से दर्शाया गया है|निर्धारकों के विस्तार के लिए लाप्लास का सूत्र, जो छोटे निर्धारकों के संदर्भ में बड़े निर्धारकों की गणना करने की एक विधि है। एक दिया गया {{nowrap|''n''&thinsp;×&thinsp;''n''}} आव्यूह <math>A = (a_{ij})</math>, ए का निर्धारक, जिसे डेट (ए) कहा जाता है, को आव्यूह की किसी भी पंक्ति या स्तंभ के सहकारकों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, जो उन्हें उत्पन्न करने वाली प्रविष्टियों से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, परिभाषित करना <math>C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}</math> फिर जे के साथ सहकारक विस्तारवां कॉलम देता है:
 :<math>\ \det(\mathbf A) = a_{1j}C_{1j} + a_{2j}C_{2j} + a_{3j}C_{3j} + \cdots + a_{nj}C_{nj} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij} C_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j} M_{ij}  </math>
@@ Line 53: / Line 53: @@
 :<math>\ \det(\mathbf A) = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + a_{i3}C_{i3} + \cdots + a_{in}C_{in} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij} =\sum_{j=1}^{n} a_{ij} (-1)^{i+j} M_{ij} </math>
-'''मैट्रिक्स का व्युत्क्रम'''
+'''आव्यूह का व्युत्क्रम'''
 {{main|Invertible matrix}}
-क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके सहकारकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का व्युत्क्रम इस प्रकार लिख सकता है। [[उलटा मैट्रिक्स]] A के सभी सहकारकों द्वारा निर्मित मैट्रिक्स को सहकारक मैट्रिक्स कहा जाता है (जिसे सहकारकों का मैट्रिक्स भी कहा जाता है या, कभी-कभी, ''कोमैट्रिक्स'' भी कहा जाता है):
+क्रैमर के नियम का उपयोग करके इसके सहकारकों की गणना करके कोई व्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम इस प्रकार लिख सकता है। [[उलटा मैट्रिक्स|उलटा आव्यूह]] A के सभी सहकारकों द्वारा निर्मित आव्यूह को सहकारक आव्यूह कहा जाता है (जिसे सहकारकों का आव्यूह भी कहा जाता है या, कभी-कभी, ''कोआव्यूह'' भी कहा जाता है):
 :<math>\mathbf C=\begin{bmatrix}
@@ Line 64: / Line 64: @@
      C_{n1}  & C_{n2} & \cdots &  C_{nn}
 \end{bmatrix} </math>
-फिर A का व्युत्क्रम ''A'' के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा सहकारक मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है:
+फिर A का व्युत्क्रम ''A'' के निर्धारक के व्युत्क्रम से गुणा सहकारक आव्यूह का स्थानान्तरण है:
 :<math>\mathbf A^{-1} = \frac{1}{\operatorname{det}(\mathbf A)} \mathbf C^\mathsf{T}.</math>
-सहकारक मैट्रिक्स के स्थानान्तरण को 'ए' का सहायक मैट्रिक्स (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।
+सहकारक आव्यूह के स्थानान्तरण को 'ए' का सहायक आव्यूह (जिसे शास्त्रीय सहायक भी कहा जाता है) कहा जाता है।
-उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: चलो <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> अनुक्रमितों के क्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिए जाएं (यहां A एक ''n'' × ''n'' मैट्रिक्स है)। तब<ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|title=रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|date=13 June 1994|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
+उपरोक्त सूत्र को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: चलो <math>1 \le i_1 < i_2 < \ldots < i_k \le n</math> और <math>1 \le j_1 < j_2 < \ldots < j_k \le n</math> अनुक्रमितों के क्रम (प्राकृतिक क्रम में) दिए जाएं (यहां A एक ''n'' × ''n'' आव्यूह है)। तब<ref name="Prasolov1994">{{cite book|author=Viktor Vasil_evich Prasolov|title=रैखिक बीजगणित में समस्याएँ और प्रमेय|url=https://books.google.com/books?id=b4yKAwAAQBAJ&pg=PR15|date=13 June 1994|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-0236-6|pages=15–}}</ref>
 :<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J} = \pm\frac{[\mathbf A]_{J',I'}}{\det \mathbf A},</math>
-जहां I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है), ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में बिल्कुल एक बार दिखाई दे। ', लेकिन दोनों में नहीं (समान रूप से जे और जे' के लिए) और <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> इंडेक्स सेट ''I'' की पंक्तियों और इंडेक्स सेट ''J'' के कॉलम को चुनकर गठित ए के सबमैट्रिक्स के निर्धारक को दर्शाता है। भी, <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. वेज उत्पाद का उपयोग करके एक सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,
+जहां I', J', I, J के पूरक सूचकांकों के क्रमबद्ध अनुक्रम को दर्शाते हैं (सूचकांक परिमाण के प्राकृतिक क्रम में हैं, जैसा कि ऊपर है), ताकि प्रत्येक सूचकांक 1, ..., n या तो I या I में बिल्कुल एक बार दिखाई दे। ', लेकिन दोनों में नहीं (समान रूप से जे और जे' के लिए) और <math>[\mathbf A]_{I,J}</math> इंडेक्स सेट ''I'' की पंक्तियों और इंडेक्स सेट ''J'' के कॉलम को चुनकर गठित ए के सबआव्यूह के निर्धारक को दर्शाता है। भी, <math>[\mathbf A]_{I,J} = \det \left( (A_{i_p, j_q})_{p,q = 1, \ldots, k} \right)</math>. वेज उत्पाद का उपयोग करके एक सरल प्रमाण दिया जा सकता है। वास्तव में,
 :<math>[\mathbf A^{-1}]_{I,J}(e_1\wedge\ldots \wedge e_n) = \pm(\mathbf A^{-1}e_{j_1})\wedge \ldots \wedge(\mathbf A^{-1}e_{j_k})\wedge e_{i'_1}\wedge\ldots \wedge e_{i'_{n-k}}, </math>
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 ===अन्य अनुप्रयोग===
-[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)]] r के साथ एक m × n मैट्रिक्स दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।
+[[वास्तविक संख्या]] प्रविष्टियों (या किसी अन्य क्षेत्र (गणित) से प्रविष्टियाँ) और [[रैंक (मैट्रिक्स सिद्धांत)|रैंक (आव्यूह सिद्धांत)]] r के साथ एक m × n आव्यूह दिया गया है, तो कम से कम एक गैर-शून्य r × r माइनर मौजूद है, जबकि सभी बड़े माइनर शून्य हैं।
-हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे: यदि 'ए' एक एम × एन मैट्रिक्स है, तो मैं के तत्वों के साथ {1,...,एम} का एक उपसमुच्चय है, और जे, {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, फिर हम लिखते हैं ['A']<sub>''I'',''J''</sub> के लिए {{nowrap|''k''&thinsp;×&thinsp;''k''}} A का माइनर जो ''I'' में इंडेक्स वाली पंक्तियों और ''J'' में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।
+हम अवयस्कों के लिए निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग करेंगे: यदि 'ए' एक एम × एन आव्यूह है, तो मैं के तत्वों के साथ {1,...,एम} का एक उपसमुच्चय है, और जे, {1,... का एक उपसमुच्चय है। ,n} k तत्वों के साथ, फिर हम लिखते हैं ['A']<sub>''I'',''J''</sub> के लिए {{nowrap|''k''&thinsp;×&thinsp;''k''}} A का माइनर जो ''I'' में इंडेक्स वाली पंक्तियों और ''J'' में इंडेक्स वाले कॉलम से मेल खाता है।
 * यदि ''मैं'' = ''जे'', तो [ए]<sub>''I'',''J''</sub> प्रधान अवयस्क कहा जाता है।
-* यदि मैट्रिक्स जो एक प्रिंसिपल माइनर से मेल खाता है वह एक वर्गाकार ऊपरी-बाएँ मैट्रिक्स है (गणित) # बड़े मैट्रिक्स का सबमैट्रिक्स (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में मैट्रिक्स तत्व होते हैं, जिसे एक अग्रणी प्रिंसिपल सबमैट्रिक्स के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल माइनर को लीडिंग प्रिंसिपल माइनर (ऑर्डर k का) या कॉर्नर (प्रिंसिपल) माइनर (ऑर्डर k का) कहा जाता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book |chapter=Minor |title=गणित का विश्वकोश|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176 }}</ref> n × n वर्ग मैट्रिक्स के लिए, n प्रमुख प्रमुख अवयस्क हैं।
+* यदि आव्यूह जो एक प्रिंसिपल माइनर से मेल खाता है वह एक वर्गाकार ऊपरी-बाएँ आव्यूह है (गणित) # बड़े आव्यूह का सबआव्यूह (यानी, इसमें 1 से k तक पंक्तियों और स्तंभों में आव्यूह तत्व होते हैं, जिसे एक अग्रणी प्रिंसिपल सबआव्यूह के रूप में भी जाना जाता है) ), तो प्रिंसिपल माइनर को लीडिंग प्रिंसिपल माइनर (ऑर्डर k का) या कॉर्नर (प्रिंसिपल) माइनर (ऑर्डर k का) कहा जाता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics">{{cite book |chapter=Minor |title=गणित का विश्वकोश|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Minor&oldid=30176 }}</ref> n × n वर्ग आव्यूह के लिए, n प्रमुख प्रमुख अवयस्क हैं।
-* मैट्रिक्स का एक बुनियादी माइनर एक वर्ग सबमैट्रिक्स का निर्धारक होता है जो गैर-शून्य निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />* [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]] के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।
+* आव्यूह का एक बुनियादी माइनर एक वर्ग सबआव्यूह का निर्धारक होता है जो गैर-शून्य निर्धारक के साथ अधिकतम आकार का होता है।<ref name="Encyclopedia of Mathematics" />* [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] के लिए, प्रमुख प्रमुख नाबालिगों का उपयोग [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] के परीक्षण के लिए किया जा सकता है और प्रमुख नाबालिगों का उपयोग सकारात्मक-अर्ध-निश्चित आव्यूह के परीक्षण के लिए किया जा सकता है। अधिक विवरण के लिए सिल्वेस्टर का मानदंड देखें।
-साधारण [[मैट्रिक्स गुणन]] के लिए सूत्र और दो मैट्रिक्स के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट फॉर्मूला दोनों दो मैट्रिक्स के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं।
+साधारण [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] के लिए सूत्र और दो आव्यूह के उत्पाद के निर्धारक के लिए कॉची-बिनेट फॉर्मूला दोनों दो आव्यूह के उत्पाद के नाबालिगों के बारे में निम्नलिखित सामान्य कथन के विशेष मामले हैं।
-मान लीजिए कि A एक ''m'' × ''n'' मैट्रिक्स है, B एक ''n'' × ''p'' मैट्रिक्स है, ''I'' {1,..., का एक उपसमुच्चय है ''m''} ''k'' तत्वों के साथ और ''J'' ''k'' तत्वों के साथ {1,...,''p''} का एक उपसमुच्चय है। तब
+मान लीजिए कि A एक ''m'' × ''n'' आव्यूह है, B एक ''n'' × ''p'' आव्यूह है, ''I'' {1,..., का एक उपसमुच्चय है ''m''} ''k'' तत्वों के साथ और ''J'' ''k'' तत्वों के साथ {1,...,''p''} का एक उपसमुच्चय है। तब
 :<math>[\mathbf{AB}]_{I,J} = \sum_{K} [\mathbf{A}]_{I,K} [\mathbf{B}]_{K,J}\,</math>
 जहां योग k तत्वों के साथ {1,...,n} के सभी उपसमुच्चय K पर विस्तारित होता है। यह सूत्र कॉची-बिनेट सूत्र का सीधा विस्तार है।
@@ Line 94: / Line 94: @@
 ==[[बहुरेखीय बीजगणित]] दृष्टिकोण==
-वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में माइनरों का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: मैट्रिक्स के k-माइनर, kth बाहरी पावर मैप में प्रविष्टियाँ हैं।
+वेज उत्पाद का उपयोग करते हुए, बहुरेखीय बीजगणित में माइनरों का अधिक व्यवस्थित, बीजगणितीय उपचार दिया जाता है: आव्यूह के k-माइनर, kth बाहरी पावर मैप में प्रविष्टियाँ हैं।
-यदि मैट्रिक्स के कॉलम को एक समय में एक साथ जोड़ा जाता है, तो k × k माइनर परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स के 2 × 2 माइनर्स
+यदि आव्यूह के कॉलम को एक समय में एक साथ जोड़ा जाता है, तो k × k माइनर परिणामी k-वेक्टर के घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, आव्यूह के 2 × 2 माइनर्स
 :<math>\begin{pmatrix}
 & 4 \\
@@ Line 104: / Line 104: @@
 हैं −13 (पहली दो पंक्तियों से), −7 (पहली और आखिरी पंक्ति से), और 5 (अंतिम दो पंक्तियों से)। अब वेज उत्पाद पर विचार करें
 :<math>(\mathbf{e}_1 + 3\mathbf{e}_2 +2\mathbf{e}_3)\wedge(4\mathbf{e}_1-\mathbf{e}_2+\mathbf{e}_3)</math>
-जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे मैट्रिक्स के दो स्तंभों से मेल खाती हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह [[द्विरेखीय मानचित्र]] और [[वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र]] है,
+जहां दो अभिव्यक्तियां हमारे आव्यूह के दो स्तंभों से मेल खाती हैं। वेज उत्पाद के गुणों का उपयोग करते हुए, अर्थात् यह [[द्विरेखीय मानचित्र]] और [[वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र]] है,
 :<math>\mathbf{e}_i\wedge \mathbf{e}_i = 0,</math>
 और [[प्रतिसंक्रामकता]],
@@ Line 115: / Line 115: @@
 कुछ पुस्तकों में सहकारक के स्थान पर सहायक शब्द का प्रयोग किया जाता है।<ref>[[Felix Gantmacher]], ''Theory of matrices'' (1st ed., original language is Russian), Moscow: State Publishing House of technical and theoretical literature, 1953, p.491,</ref> इसके अलावा, इसे ए के रूप में दर्शाया गया है<sub>''ij''</sub> और सहकारक के समान ही परिभाषित किया गया है:
 ::<math>\mathbf{A}_{ij} = (-1)^{i+j} \mathbf{M}_{ij}</math>
-इस नोटेशन का उपयोग करके व्युत्क्रम मैट्रिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है:
+इस नोटेशन का उपयोग करके व्युत्क्रम आव्यूह को इस प्रकार लिखा जाता है:
 :<math>\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(M)}\begin{bmatrix}
      A_{11}  & A_{21} & \cdots &   A_{n1}   \\
@@ Line 122: / Line 122: @@
      A_{1n}  & A_{2n} & \cdots &  A_{nn}
 \end{bmatrix} </math>
-ध्यान रखें कि सहायक सहायक या सहायक नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, मैट्रिक्स का [[ उप ]] अक्सर संबंधित [[ सहायक संचालिका ]] को संदर्भित करता है।
+ध्यान रखें कि सहायक सहायक या सहायक नहीं है। आधुनिक शब्दावली में, आव्यूह का [[ उप ]] अक्सर संबंधित [[ सहायक संचालिका ]] को संदर्भित करता है।
 ==यह भी देखें==
-* सबमैट्रिक्स
+* सबआव्यूह
 ==संदर्भ==

v t e लीनियर अलजेब्रा
बुनियादी अवधारणाओं	स्केलर वेक्टर सदिश स्थल स्केलर गुणज वेक्टर प्रक्षेपण रैखिक अवधि रैखिक मानचित्र रैखिक प्रक्षेपण रैखिक स्वतंत्रता रैखिक संयोजन आधार आधार का परिवर्तन पंक्ति और स्तंभ वैक्टर पंक्ति और स्तंभ स्थान कर्नेल आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स ट्रांसपोज़ रैखिक समीकरण
मैट्रिसेस	ब्लॉक अपघटन इनवर्टिबल मामूली गुणा रैंक परिवर्तन क्रैमर का नियम गाउस विलोपन
बिलिनियर	Orthogonality डॉट उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान बाहरी उत्पाद क्रोनकर उत्पाद ग्राम -श्मिट प्रक्रिया
मल्टीलिनियर बीजगणित	निर्धारक पार उत्पाद ट्रिपल उत्पाद सात-आयामी क्रॉस उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित बाहरी बीजगणित Bivector मल्टीवेक्टर टेंसर बाहरीता
वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण	दोहरी प्रत्यक्ष योग फ़ंक्शन स्पेस भागफल सबस्पेस टेंसर उत्पाद
संख्यात्मक	फ्लोटिंग-पॉइंट संख्यात्मक स्थिरता बुनियादी रैखिक बीजगणित उपप्रोग्राम विरल मैट्रिक्स रैखिक बीजगणित पुस्तकालयों की तुलना
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लघु (रैखिक बीजगणित): Difference between revisions

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Revision as of 20:28, 22 July 2023

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परिभाषा और चित्रण

पहले नाबालिग

पूरक

नाबालिगों और सहकारकों के अनुप्रयोग

निर्धारक का सहकारक विस्तार

अन्य अनुप्रयोग

बहुरेखीय बीजगणित दृष्टिकोण

विभिन्न संकेतन के बारे में एक टिप्पणी

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संदर्भ

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