स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (सांख्यिकी): Difference between revisions

Revision as of 17:57, 21 July 2023

सांख्यिकी में, स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (असिम्प्टोटिक थ्योरी), या श्रेष्ठ नमूना सिद्धांत, अनुमानकर्ताओं और सांख्यिकीय परीक्षणों के गुणों का आकलन करने के लिए एक रूपरेखा है। इस फ्रेमवर्क के भीतर, प्रायः यह माना जाता है कि नमूना आकार $n$ अनिश्चित काल तक बढ़ सकता है; फिर अनुमानकों और परीक्षणों के गुणों का मूल्यांकन $n \to \infty$ की सीमा के तहत किया जाता है। व्यवहार में, एक सीमा मूल्यांकन को श्रेष्ठ सीमित नमूना आकारों के लिए भी लगभग मान्य माना जाता है।^[1]

अवलोकन

अधिकांश सांख्यिकीय समस्याएं $n$ आकार के डेटासेट से प्रारंभ होती हैं। स्पर्शोन्मुख सिद्धांत यह मानकर आगे बढ़ता है कि अतिरिक्त डेटा एकत्र करना (सैद्धांतिक रूप से) संभव है, इस प्रकार नमूना आकार अनंत रूप से बढ़ता है, $n \to \infty$ . धारणा के तहत, कई परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो सीमित आकार के नमूनों के लिए अनुपलब्ध हैं। इसका एक उदाहरण बड़ी संख्या का नियम है। कानून कहता है कि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (आईआईडी) के अनुक्रम के लिए यादृच्छिक चर $X 1, X 2, ...$ , यदि प्रत्येक यादृच्छिक चर से एक मान निकाला जाता है और पहले का औसत $n$ मानों की गणना इस प्रकार की जाती है $X n$ , फिर $X n$ यादृच्छिक चरों का अभिसरण जनसंख्या माध्य की संभाव्यता में अभिसरण $E[X i]$ जैसा $n \to \infty$ .^[2]

स्पर्शोन्मुख सिद्धांत में, मानक दृष्टिकोण है $n \to \infty$ . कुछ सांख्यिकीय मॉडलों के लिए, स्पर्शोन्मुख्स के थोड़े अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पैनल डेटा के साथ, प्रायः यह माना जाता है कि डेटा में एक आयाम स्थिर रहता है, जबकि दूसरा आयाम बढ़ता है: $T = constant$ और $N \to \infty$ , या विपरीत है।^[2]

स्पर्शोन्मुखता के लिए मानक दृष्टिकोण के अलावा, अन्य वैकल्पिक दृष्टिकोण उपस्थित हैं:

स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता फ्रेमवर्क के भीतर, यह माना जाता है कि मॉडल में वास्तविक पैरामीटर का मान थोड़ा भिन्न होता है $n$ , जैसे कि $n$ -वें मॉडल से मेल खाता है $θ n = θ + h / \sqrt n$ . यह दृष्टिकोण हमें नियमित अनुमानक का अध्ययन करने देता है।
जब सांख्यिकीय परीक्षणों का अध्ययन उन विकल्पों के विरुद्ध अंतर करने की उनकी शक्ति के लिए किया जाता है जो शून्य परिकल्पना के निकट हैं, तो यह तथाकथित स्थानीय विकल्प फ्रेमवर्क के भीतर किया जाता है: शून्य परिकल्पना है $H 0 : θ = θ 0$ और विकल्प है $H 1 : θ = θ 0 + h / \sqrt n$ . यह दृष्टिकोण यूनिट रूट परीक्षणों के लिए विशेष रूप से लोकप्रिय है।
ऐसे मॉडल हैं जहां पैरामीटर स्थान का आयाम $Θ n$ के साथ धीरे-धीरे विस्तार होता है $n$ , इस तथ्य को दर्शाते हुए कि जितने अधिक अवलोकन होंगे, मॉडल में उतने ही अधिक संरचनात्मक प्रभावों को संभवतः सम्मिलित किया जा सकता है।
कर्नेल घनत्व अनुमान और कर्नेल प्रतिगमन में, एक अतिरिक्त पैरामीटर माना जाता है - बैंडविड्थ $h$ . उन मॉडलों में, यह प्रायः लिया जाता है $h \to 0$ जैसा $n \to \infty$ . हालाँकि, प्रायः अभिसरण की दर सावधानी से चुनी जानी चाहिए $h \propto n -1/5$ .

कई मामलों में, परिमित नमूनों के लिए अत्यधिक सटीक परिणाम संख्यात्मक तरीकों (यानी कंप्यूटर) के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं; हालाँकि, ऐसे मामलों में भी, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण उपयोगी हो सकता है। द्वारा यह बात कही गई Small (2010, §1.4), निम्नलिखित है।

A primary goal of asymptotic analysis is to obtain a deeper qualitative understanding of quantitative tools. The conclusions of an asymptotic analysis often supplement the conclusions which can be obtained by numerical methods.

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण का प्राथमिक लक्ष्य मात्रात्मक उपकरणों की गहरी गुणात्मक समझ प्राप्त करना है। एक स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के निष्कर्ष प्रायः उन निष्कर्षों के पूरक होते हैं जिन्हें संख्यात्मक तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।

यादृच्छिक चरों के अभिसरण के तरीके

स्पर्शोन्मुख गुण

आकलनकर्ता

संगत अनुमानक

अनुमानों के अनुक्रम को सुसंगत कहा जाता है, यदि यह अनुमान लगाए जा रहे पैरामीटर के वास्तविक मूल्य में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है:

{\hat {\theta }}_{n}\ \xrightarrow {\overset {}{p}} \ \theta _{0}.

अर्थात्, साधारणतया डेटा की अनंत मात्रा के साथ बोलते हुए अनुमानक (अनुमान उत्पन्न करने का सूत्र) लगभग निश्चित रूप से अनुमानित पैरामीटर के लिए सही परिणाम देगा।^[2]

स्पर्शोन्मुख वितरण

यदि गैर-यादृच्छिक स्थिरांकों का अनुक्रम खोजना संभव है ${a n$ }, ${b n$ } (संभवतः के मूल्य पर निर्भर करता है $θ 0$ ), और एक गैर-विक्षिप्त वितरण $G$ ऐसा है कि

b_{n}({\hat {\theta }}_{n}-a_{n})\ \xrightarrow {d} \ G,

फिर अनुमानकर्ताओं का क्रम $\textstyle {\hat {\theta }}_{n}$ कहा जाता है कि इसमें स्पर्शोन्मुख वितरण जी है।

प्रायः, व्यवहार में आने वाले अनुमानक अनुमानक#स्पर्शोन्मुख सामान्यता होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका स्पर्शोन्मुख वितरण सामान्य वितरण है, साथ में $a n = θ 0$ , $b n = \sqrt n$ , और $G = N (0, V)$ :

{\sqrt {n}}({\hat {\theta }}_{n}-\theta _{0})\ \xrightarrow {d} \ {\mathcal {N}}(0,V).

स्पर्शोन्मुख आत्मविश्वास क्षेत्र

स्पर्शोन्मुख प्रमेय

केंद्रीय सीमा प्रमेय
सतत मानचित्रण प्रमेय
ग्लिवेंको-कैंटेली प्रमेय
बड़ी संख्या का नियम
पुनरावृत्त लघुगणक का नियम
स्लटस्की का प्रमेय
डेल्टा विधि

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 pag. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 A. DasGupta (2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer. ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

ग्रन्थसूची

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Borovkov, A. A.; Borovkov, K. A. (2010), Asymptotic Analysis of Random Walks, Cambridge University Press
Buldygin, V. V.; Solntsev, S. (1997), Asymptotic Behaviour of Linearly Transformed Sums of Random Variables, Springer, ISBN 9789401155687
Le Cam, Lucien; Yang, Grace Lo (2000), Asymptotics in Statistics (2nd ed.), Springer
Dawson, D.; Kulik, R.; Ould Haye, M.; Szyszkowicz, B.; Zhao, Y., eds. (2015), Asymptotic Laws and Methods in Stochastics, Springer-Verlag
Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter
Lin'kov, Yu. N. (2001), Asymptotic Statistical Methods for Stochastic Processes, American Mathematical Society
Oliveira, P. E. (2012), Asymptotics for Associated Random Variables, Springer
Petrov, V. V. (1995), Limit Theorems of Probability Theory, Oxford University Press
Sen, P. K.; Singer, J. M.; Pedroso de Lima, A. C. (2009), From Finite Sample to Asymptotic Methods in Statistics, Cambridge University Press
Shiryaev, A. N.; Spokoiny, V. G. (2000), Statistical Experiments and Decisions: Asymptotic theory, World Scientific
Small, C. G. (2010), Expansions and Asymptotics for Statistics, Chapman & Hall
van der Vaart, A. W. (1998), Asymptotic Statistics, Cambridge University Press

[1] Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 pag. ISBN 3110250241, ISBN 978-3110250244

[ONE-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 A. DasGupta (2008), Asymptotic Theory of Statistics and Probability, Springer. ISBN 0387759700, ISBN 978-0387759708

[1]

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-{{Short description|Study of convergence properties of statistical estimators}}सांख्यिकी में, स्पर्शोन्मुख सिद्धांत, या बड़े नमूना सिद्धांत, अनुमानकर्ताओं और [[सांख्यिकीय परीक्षण]]ों के गुणों का आकलन करने के लिए एक रूपरेखा है। इस ढांचे के भीतर, अक्सर यह माना जाता है कि नमूना आकार {{math|''n''}} अनिश्चित काल तक बढ़ सकता है; फिर अनुमानकों और परीक्षणों के गुणों का मूल्यांकन सीमा के अंतर्गत किया जाता है {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}}. व्यवहार में, एक सीमा मूल्यांकन को बड़े सीमित नमूना आकारों के लिए भी लगभग मान्य माना जाता है।<ref>Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 pag. {{ISBN|3110250241}}, {{ISBN|978-3110250244}}</ref>
+{{Short description|Study of convergence properties of statistical estimators}}
+सांख्यिकी में, '''स्पर्शोन्मुख सिद्धांत (असिम्प्टोटिक थ्योरी)''', या '''श्रेष्ठ नमूना सिद्धांत''', अनुमानकर्ताओं और सांख्यिकीय परीक्षणों के गुणों का आकलन करने के लिए एक रूपरेखा है। इस फ्रेमवर्क के भीतर, प्रायः यह माना जाता है कि नमूना आकार {{math|''n''}} अनिश्चित काल तक बढ़ सकता है; फिर अनुमानकों और परीक्षणों के गुणों का मूल्यांकन {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}} की सीमा के तहत किया जाता है। व्यवहार में, एक सीमा मूल्यांकन को श्रेष्ठ सीमित नमूना आकारों के लिए भी लगभग मान्य माना जाता है।<ref>Höpfner, R. (2014), Asymptotic Statistics, Walter de Gruyter. 286 pag. {{ISBN|3110250241}}, {{ISBN|978-3110250244}}</ref>
 ==अवलोकन==
-अधिकांश सांख्यिकीय समस्याएं नमूना आकार के डेटासेट से शुरू होती हैं {{math|''n''}}. एसिम्प्टोटिक सिद्धांत यह मानकर आगे बढ़ता है कि अतिरिक्त डेटा एकत्र करना (सैद्धांतिक रूप से) संभव है, इस प्रकार नमूना आकार असीमित रूप से बढ़ता है, यानी। {{math|''n'' → ∞}}. धारणा के तहत, कई परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो सीमित आकार के नमूनों के लिए अनुपलब्ध हैं। इसका एक उदाहरण [[बड़ी संख्या का नियम]] है। कानून कहता है कि [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] (आईआईडी) के अनुक्रम के लिए यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}}, यदि प्रत्येक यादृच्छिक चर से एक मान निकाला जाता है और पहले का औसत {{math|''n''}} मानों की गणना इस प्रकार की जाती है {{math|{{overline|''X''}}<sub>''n''</sub>}}, फिर {{math|{{overline|''X''}}<sub>''n''</sub>}} यादृच्छिक चरों का अभिसरण#जनसंख्या माध्य की संभाव्यता में अभिसरण {{math|E[''X<sub>i</sub>'']}} जैसा {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}}.<ref name=ONE>A. DasGupta (2008), ''Asymptotic Theory of Statistics and Probability'', Springer. {{ISBN|0387759700}}, {{ISBN|978-0387759708}}</ref>
+अधिकांश सांख्यिकीय समस्याएं {{math|''n''}} आकार के डेटासेट से प्रारंभ होती हैं। स्पर्शोन्मुख सिद्धांत यह मानकर आगे बढ़ता है कि अतिरिक्त डेटा एकत्र करना (सैद्धांतिक रूप से) संभव है, इस प्रकार नमूना आकार अनंत रूप से बढ़ता है, {{math|''n'' → ∞}}. धारणा के तहत, कई परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं जो सीमित आकार के नमूनों के लिए अनुपलब्ध हैं। इसका एक उदाहरण बड़ी संख्या का नियम है। कानून कहता है कि स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर (आईआईडी) के अनुक्रम के लिए यादृच्छिक चर {{math|''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub>, ...}}, यदि प्रत्येक यादृच्छिक चर से एक मान निकाला जाता है और पहले का औसत {{math|''n''}} मानों की गणना इस प्रकार की जाती है {{math|{{overline|''X''}}<sub>''n''</sub>}}, फिर {{math|{{overline|''X''}}<sub>''n''</sub>}} यादृच्छिक चरों का अभिसरण जनसंख्या माध्य की संभाव्यता में अभिसरण {{math|E[''X<sub>i</sub>'']}} जैसा {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}}.<ref name=ONE>A. DasGupta (2008), ''Asymptotic Theory of Statistics and Probability'', Springer. {{ISBN|0387759700}}, {{ISBN|978-0387759708}}</ref>
-स्पर्शोन्मुख सिद्धांत में, मानक दृष्टिकोण है {{math|''n'' → ∞}}. कुछ [[सांख्यिकीय मॉडल]]ों के लिए, एसिम्प्टोटिक्स के थोड़े अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[पैनल डेटा]] के साथ, आमतौर पर यह माना जाता है कि डेटा में एक आयाम स्थिर रहता है, जबकि दूसरा आयाम बढ़ता है: {{math|{{nowrap|''T'' {{=}} constant}}}} और {{math|''N'' → ∞}}, या विपरीत।<ref name=ONE/>
+स्पर्शोन्मुख सिद्धांत में, मानक दृष्टिकोण है {{math|''n'' → ∞}}. कुछ [[सांख्यिकीय मॉडल]]ों के लिए, स्पर्शोन्मुख्स के थोड़े अलग दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[पैनल डेटा]] के साथ, प्रायः यह माना जाता है कि डेटा में एक आयाम स्थिर रहता है, जबकि दूसरा आयाम बढ़ता है: {{math|{{nowrap|''T'' {{=}} constant}}}} और {{math|''N'' → ∞}}, या विपरीत है।<ref name="ONE" />
 स्पर्शोन्मुखता के लिए मानक दृष्टिकोण के अलावा, अन्य वैकल्पिक दृष्टिकोण उपस्थित हैं:
-* स्थानीय एसिम्प्टोटिक सामान्यता ढांचे के भीतर, यह माना जाता है कि मॉडल में वास्तविक पैरामीटर का मान थोड़ा भिन्न होता है {{math|''n''}}, जैसे कि {{math|''n''}}-वें मॉडल से मेल खाता है {{math| ''θ<sub>n</sub>'' {{=}} ''θ'' + ''h''/{{sqrt|''n''}} }}. यह दृष्टिकोण हमें [[नियमित अनुमानक]] का अध्ययन करने देता है।
+* स्थानीय स्पर्शोन्मुख सामान्यता फ्रेमवर्क के भीतर, यह माना जाता है कि मॉडल में वास्तविक पैरामीटर का मान थोड़ा भिन्न होता है {{math|''n''}}, जैसे कि {{math|''n''}}-वें मॉडल से मेल खाता है {{math| ''θ<sub>n</sub>'' {{=}} ''θ'' + ''h''/{{sqrt|''n''}} }}. यह दृष्टिकोण हमें नियमित अनुमानक का अध्ययन करने देता है।
-* जब सांख्यिकीय परीक्षणों का अध्ययन उन विकल्पों के विरुद्ध अंतर करने की उनकी शक्ति के लिए किया जाता है जो शून्य परिकल्पना के करीब हैं, तो यह तथाकथित स्थानीय विकल्प ढांचे के भीतर किया जाता है: शून्य परिकल्पना है {{math|''H''<sub>0</sub>: ''θ'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub>}} और विकल्प है {{math|''H''<sub>1</sub>: ''θ'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub> + ''h''/{{sqrt|''n''}} }}. यह दृष्टिकोण यूनिट रूट परीक्षणों के लिए विशेष रूप से लोकप्रिय है।
+* जब सांख्यिकीय परीक्षणों का अध्ययन उन विकल्पों के विरुद्ध अंतर करने की उनकी शक्ति के लिए किया जाता है जो शून्य परिकल्पना के निकट हैं, तो यह तथाकथित स्थानीय विकल्प फ्रेमवर्क के भीतर किया जाता है: शून्य परिकल्पना है {{math|''H''<sub>0</sub>: ''θ'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub>}} और विकल्प है {{math|''H''<sub>1</sub>: ''θ'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub> + ''h''/{{sqrt|''n''}} }}. यह दृष्टिकोण यूनिट रूट परीक्षणों के लिए विशेष रूप से लोकप्रिय है।
-* ऐसे मॉडल हैं जहां पैरामीटर स्थान का आयाम {{math|Θ<sub>''n''</sub>}} के साथ धीरे-धीरे विस्तार होता है {{math|''n''}}, इस तथ्य को दर्शाते हुए कि जितने अधिक अवलोकन होंगे, मॉडल में उतने ही अधिक संरचनात्मक प्रभावों को संभवतः शामिल किया जा सकता है।
+* ऐसे मॉडल हैं जहां पैरामीटर स्थान का आयाम {{math|Θ<sub>''n''</sub>}} के साथ धीरे-धीरे विस्तार होता है {{math|''n''}}, इस तथ्य को दर्शाते हुए कि जितने अधिक अवलोकन होंगे, मॉडल में उतने ही अधिक संरचनात्मक प्रभावों को संभवतः सम्मिलित किया जा सकता है।
-* [[कर्नेल घनत्व अनुमान]] और [[कर्नेल प्रतिगमन]] में, एक अतिरिक्त पैरामीटर माना जाता है - बैंडविड्थ {{math|''h''}}. उन मॉडलों में, यह आमतौर पर लिया जाता है {{math|{{nowrap|''h'' → 0}}}} जैसा {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}}. हालाँकि, आमतौर पर अभिसरण की दर सावधानी से चुनी जानी चाहिए {{math|''h'' ∝ ''n''<sup>−1/5</sup>}}.
+* [[कर्नेल घनत्व अनुमान]] और कर्नेल प्रतिगमन में, एक अतिरिक्त पैरामीटर माना जाता है - बैंडविड्थ {{math|''h''}}. उन मॉडलों में, यह प्रायः लिया जाता है {{math|{{nowrap|''h'' → 0}}}} जैसा {{math|{{nowrap|''n'' → ∞}}}}. हालाँकि, प्रायः अभिसरण की दर सावधानी से चुनी जानी चाहिए {{math|''h'' ∝ ''n''<sup>−1/5</sup>}}.
-कई मामलों में, परिमित नमूनों के लिए अत्यधिक सटीक परिणाम संख्यात्मक तरीकों (यानी कंप्यूटर) के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं; हालाँकि, ऐसे मामलों में भी, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण उपयोगी हो सकता है। द्वारा यह बात कही गई {{Harvtxt|Small|2010|loc=§1.4}}, निम्नलिखित नुसार।
+कई मामलों में, परिमित नमूनों के लिए अत्यधिक सटीक परिणाम संख्यात्मक तरीकों (यानी कंप्यूटर) के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं; हालाँकि, ऐसे मामलों में भी, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण उपयोगी हो सकता है। द्वारा यह बात कही गई {{Harvtxt|Small|2010|loc=§1.4}}, निम्नलिखित है।
-{{quote|text=A primary goal of asymptotic analysis is to obtain a deeper ''qualitative'' understanding of ''quantitative'' tools. The conclusions of an asymptotic analysis often supplement the conclusions which can be obtained by numerical methods.}}
+{{quote|text=A primary goal of asymptotic analysis is to obtain a deeper ''qualitative'' understanding of ''quantitative'' tools. The conclusions of an asymptotic analysis often supplement the conclusions which can be obtained by numerical methods.
+स्पर्शोन्मुख विश्लेषण का प्राथमिक लक्ष्य ''मात्रात्मक'' उपकरणों की गहरी ''गुणात्मक'' समझ प्राप्त करना है। एक स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के निष्कर्ष प्रायः उन निष्कर्षों के पूरक होते हैं जिन्हें संख्यात्मक तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है।}}
 ==यादृच्छिक चरों के अभिसरण के तरीके==
-{{further|Convergence of random variables}}
+{{further|यादृच्छिक चर का अभिसरण}}
 ==स्पर्शोन्मुख गुण==
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 अनुमानों के अनुक्रम को सुसंगत कहा जाता है, यदि यह अनुमान लगाए जा रहे पैरामीटर के वास्तविक मूल्य में संभाव्यता में परिवर्तित हो जाता है:
 : <math>\hat\theta_n\ \xrightarrow{\overset{}p}\ \theta_0.</math>
-अर्थात्, मोटे तौर पर डेटा की अनंत मात्रा के साथ बोलते हुए अनुमानक (अनुमान उत्पन्न करने का सूत्र) लगभग निश्चित रूप से अनुमानित पैरामीटर के लिए सही परिणाम देगा।<ref name=ONE/>
+अर्थात्, साधारणतया डेटा की अनंत मात्रा के साथ बोलते हुए अनुमानक (अनुमान उत्पन्न करने का सूत्र) लगभग निश्चित रूप से अनुमानित पैरामीटर के लिए सही परिणाम देगा।<ref name=ONE/>
@@ Line 33: / Line 41: @@
 फिर अनुमानकर्ताओं का क्रम <math>\textstyle\hat\theta_n</math> कहा जाता है कि इसमें स्पर्शोन्मुख वितरण जी है।
-अक्सर, व्यवहार में आने वाले अनुमानक अनुमानक#एसिम्प्टोटिक सामान्यता होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका एसिम्प्टोटिक वितरण [[सामान्य वितरण]] है, साथ में {{math|{{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub>}}}}, {{math|''b<sub>n</sub>'' {{=}} {{sqrt|''n''}}}}, और {{math|{{nowrap|''G'' {{=}} [[normal distribution|''N''(0, ''V'')]]}}}}:
+प्रायः, व्यवहार में आने वाले अनुमानक अनुमानक#स्पर्शोन्मुख सामान्यता होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनका स्पर्शोन्मुख वितरण [[सामान्य वितरण]] है, साथ में {{math|{{nowrap|''a<sub>n</sub>'' {{=}} ''θ''<sub>0</sub>}}}}, {{math|''b<sub>n</sub>'' {{=}} {{sqrt|''n''}}}}, और {{math|{{nowrap|''G'' {{=}} [[normal distribution|''N''(0, ''V'')]]}}}}:
 : <math>\sqrt{n}(\hat\theta_n - \theta_0)\ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0, V).</math>
+====''स्पर्शोन्मुख आत्मविश्वास क्षेत्र''====
-====स्पर्शोन्मुख [[आत्मविश्वास क्षेत्र]]====
 ==स्पर्शोन्मुख प्रमेय==
@@ Line 51: / Line 58: @@
 *[[स्पर्शोन्मुख विश्लेषण]]
 *[[सटीक आँकड़े]]
-*[[बड़े विचलन सिद्धांत]]
+*[[बड़े विचलन सिद्धांत|श्रेष्ठ विचलन सिद्धांत]]
 ==संदर्भ==

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