अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर कुछ वस्तुओं से समान प्रकार की वस्तु तक का प्रकार का मानचित्र (गणित) होता है। ये ऑब्जेक्ट आमतौर पर Function (गणित) पर होते हैं $\mathbb {R} ^{n}$, कई गुना पर कार्य, वेक्टर (ज्यामितीय) मूल्यवान फ़ंक्शन, वेक्टर फ़ील्ड, या, अधिक सामान्यतः, वेक्टर बंडल का अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)।

एक अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर में $D$, विभेदक ऑपरेटर शब्द इंगित करता है कि मूल्य $Df$ मानचित्र का केवल पर निर्भर करता है $f(x)$ और के व्युत्पन्न $f$ में $x$. इनवेरिएंट (गणित) शब्द इंगित करता है कि ऑपरेटर में गणित में कुछ समरूपता शामिल है। इसका मतलब है कि समूह है (गणित) $G$ फ़ंक्शंस (या प्रश्न में अन्य ऑब्जेक्ट) पर समूह क्रिया (गणित) के साथ और यह क्रिया ऑपरेटर द्वारा संरक्षित है:

$D(g\cdot f)=g\cdot (Df).$

आमतौर पर, समूह की कार्रवाई में निर्देशांक के परिवर्तन (पर्यवेक्षक के परिवर्तन) का अर्थ होता है और अपरिवर्तनीयता का अर्थ है कि ऑपरेटर के पास सभी स्वीकार्य निर्देशांक में समान अभिव्यक्ति होती है।

सजातीय स्थानों पर अपरिवर्तनीयता

मान लीजिए M = G/H Lie समूह G और Lie उपसमूह H के लिए सजातीय स्थान है। प्रत्येक प्रतिनिधित्व (गणित) $\rho :H\rightarrow \mathrm {Aut} (\mathbb {V} )$ वेक्टर बंडल को जन्म देता है

$V=G\times _{H}\mathbb {V} \;{\text{where}}\;(gh,v)\sim (g,\rho (h)v)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\;{\text{and}}\;v\in \mathbb {V} .$

धारा $\varphi \in \Gamma (V)$ से पहचाना जा सकता है

$\Gamma (V)=\{\varphi :G\rightarrow \mathbb {V} \;:\;\varphi (gh)=\rho (h^{-1})\varphi (g)\;\forall \;g\in G,\;h\in H\}.$

इस रूप में समूह जी अनुभागों पर कार्य करता है

$(\ell _{g}\varphi )(g')=\varphi (g^{-1}g').$

अब मान लीजिए कि V और W, M के ऊपर दो वेक्टर बंडल हैं। फिर डिफरेंशियल ऑपरेटर

$d:\Gamma (V)\rightarrow \Gamma (W)$

जो V के अनुभागों को W के अनुभागों में मैप करता है उसे अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि

$d(\ell _{g}\varphi )=\ell _{g}(d\varphi ).$

सभी वर्गों के लिए $\varphi$ में $\Gamma (V)$ और जी में तत्व जी। सजातीय परवलयिक ज्यामिति (विभेदक ज्यामिति) पर सभी रैखिक अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर, यानी जब जी अर्ध-सरल है और एच परवलयिक उपसमूह है, सामान्यीकृत वर्मा मॉड्यूल के समरूपता द्वारा दोहरे रूप से दिए गए हैं।

अमूर्त सूचकांकों के संदर्भ में अपरिवर्तनीयता

दो कनेक्शन दिए गए (गणित) $\nabla$ और ${\hat {\nabla }}$ और रूप $\omega$, अपने पास

$\nabla _{a}\omega _{b}={\hat {\nabla }}_{a}\omega _{b}-Q_{ab}{}^{c}\omega _{c}$

कुछ टेंसर के लिए $Q_{ab}{}^{c}$. कनेक्शनों का समतुल्य वर्ग दिया गया है $[\nabla ]$, हम कहते हैं कि ऑपरेटर अपरिवर्तनीय है यदि समतुल्य वर्ग में कनेक्शन से दूसरे कनेक्शन में बदलने पर ऑपरेटर का रूप नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सभी मरोड़ टेंसर कनेक्शनों के समतुल्य वर्ग पर विचार करते हैं, तो टेंसर Q अपने निचले सूचकांकों में सममित है, अर्थात। $Q_{ab}{}^{c}=Q_{(ab)}{}^{c}$. इसलिए हम गणना कर सकते हैं

$\nabla _{[a}\omega _{b]}={\hat {\nabla }}_{[a}\omega _{b]},$

जहां कोष्ठक तिरछा समरूपता दर्शाते हैं। यह किसी रूप पर कार्य करते समय बाहरी व्युत्पन्न की अपरिवर्तनीयता को दर्शाता है। अंतर ज्यामिति में कनेक्शन के समतुल्य वर्ग स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, उदाहरण के लिए:

• अनुरूप ज्यामिति में अनुरूप वर्ग में सभी मीट्रिक (गणित) के लेवी सिविता कनेक्शन द्वारा कनेक्शन का समतुल्य वर्ग दिया जाता है;
• प्रक्षेप्य ज्यामिति में कनेक्शन का समतुल्य वर्ग उन सभी कनेक्शनों द्वारा दिया जाता है जिनकी जियोडेसिक्स समान होती है;
• सीआर ज्यामिति में स्यूडोहर्मिटियन संरचना के प्रत्येक विकल्प के लिए तनाका-वेबस्टर कनेक्शन द्वारा कनेक्शन का समतुल्य वर्ग दिया जाता है

उदाहरण

1. सामान्य ग्रेडियेंट ऑपरेटर $\nabla$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर वास्तविक मूल्यवान कार्यों पर कार्य करना सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है।
2. बाहरी व्युत्पन्न एक-रूप में मानों के साथ कई गुना कार्यों पर कार्य करता है # विभेदक एक-रूप | 1-रूप (इसकी अभिव्यक्ति
   है)$d=\sum _{j}\partial _{j}\,dx_{j}$
   किसी भी स्थानीय निर्देशांक में) मैनिफोल्ड के सभी सुचारू परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है (विभेदक रूपों पर परिवर्तन की क्रिया केवल पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) है)।
3. अधिक सामान्यतः, बाहरी व्युत्पन्न
   $d:\Omega ^{n}(M)\rightarrow \Omega ^{n+1}(M)$
   जो किसी भी स्मूथ मैनिफोल्ड एम के एन-रूपों पर कार्य करता है, वह सभी स्मूथ परिवर्तनों के संबंध में अपरिवर्तनीय है। यह दिखाया जा सकता है कि बाहरी व्युत्पन्न उन बंडलों के बीच एकमात्र रैखिक अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर है।
4. भौतिकी में डिराक ऑपरेटर पोंकारे समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है (यदि हम स्पिनर मूल्यवान कार्यों पर पोंकारे समूह की उचित समूह कार्रवाई (गणित) चुनते हैं। हालांकि, यह सूक्ष्म प्रश्न है और यदि हम इसे गणितीय रूप से कठोर बनाना चाहते हैं, तो हमें कहना चाहिए कि यह उस समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है जो पोंकारे समूह का डबल कवरिंग समूह है)
5. अनुरूप हत्या समीकरण
   $X^{a}\mapsto \nabla _{(a}X_{b)}-{\frac {1}{n}}\nabla _{c}X^{c}g_{ab}$
   वेक्टर फ़ील्ड और सममित ट्रेस-मुक्त टेंसर के बीच अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय रैखिक अंतर ऑपरेटर है।

अनुरूप अपरिवर्तन

• 

  गोला (यहां एक लाल वृत्त के रूप में दिखाया गया है) एक अनुरूप सजातीय मैनिफोल्ड के रूप में।

एक मीट्रिक दिया गया

$g(x,y)=x_{1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{1}+\sum _{i=2}^{n+1}x_{i}y_{i}$

पर $\mathbb {R} ^{n+2}$, हम गोला लिख ​​सकते हैं $S^{n}$ नल शंकु के जनरेटर के स्थान के रूप में

$S^{n}=\{[x]\in \mathbb {RP} _{n+1}\;:\;g(x,x)=0\}.$

इस प्रकार अनुरूप ज्यामिति का समतल मॉडल गोला है $S^{n}=G/P$ साथ $G=SO_{0}(n+1,1)$ और पी बिंदु का स्टेबलाइजर है $\mathbb {R} ^{n+2}$. गोले पर सभी रैखिक अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटरों का वर्गीकरण ज्ञात है (ईस्टवुड और राइस, 1987)।

यह भी देखें

• विभेदक ऑपरेटर
• लाप्लास अपरिवर्तनीय
• एलपीडीओ का अपरिवर्तनीय गुणनखंडन

संदर्भ

• Slovák, Jan (1993). Invariant Operators on Conformal Manifolds. Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation). {{cite book}}: External link in |title= (help)
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993). Natural operators in differential geometry (PDF). Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York. Archived from the original (PDF) on 2017-03-30. Retrieved 2011-01-05.
• Eastwood, M. G.; Rice, J. W. (1987). "Conformally invariant differential operators on Minkowski space and their curved analogues". Commun. Math. Phys. 109 (2): 207–228. Bibcode:1987CMaPh.109..207E. doi:10.1007/BF01215221. S2CID 121161256.
• Kroeske, Jens (2008). "Invariant bilinear differential pairings on parabolic geometries". PhD Thesis from the University of Adelaide. arXiv:0904.3311. Bibcode:2009PhDT.......274K.