ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी: Difference between revisions
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'''ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी''' प्रमुख [[ऊर्जा वाहक]], फ़ोनों ( | '''ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी''' प्रमुख [[ऊर्जा वाहक]], फ़ोनों (लैटिस दोलन तरंगों), [[इलेक्ट्रॉन]], मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और फोटॉन द्वारा [[ऊर्जा भंडारण|ऊर्जा संचयन]], ट्रांसपोर्ट और [[ऊर्जा परिवर्तन]] की गतिशीलता का वर्णन करती है।<ref name=GernerBook>{{cite book|editor1-last = Tien | editor1-first = Chang-Lin | editor2-last = Majumdar | editor2-first = Arunava | editor3-last = Gerner | editor3-first = Frank M. | title=सूक्ष्म ऊर्जा परिवहन| year=1998 | publisher = Taylor & Francis|location=Washington, D.C.|isbn=978-1560324591}}</ref><ref name=ChenBook>{{cite book|last=Chen|first=G.|title=Nanoscale energy transport and conversion: a parallel treatment of electrones, molecules, phonons, and photons | year=2004|publisher=Oxford|location=New York|isbn=978-0195159424}}</ref><ref name=ZhangBook>{{cite book|last=Zhang|first=Z. M.|title=Nano/microscale heat transfer| year=2007|publisher=McGraw-Hill|location=New York|isbn=978-0071436748|edition=[Online-Ausg.].}}</ref><ref name=VolzBook>{{cite book|last=Volz|first=S.| title=माइक्रोस्केल और नैनोस्केल हीट ट्रांसफर (एप्लाइड फिजिक्स में विषय)| year=2010 | publisher=Springer | isbn=978-3642071584}}</ref><ref name=HTPbook>{{cite book|last=Kaviany|first=M. |title=ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी| year=2014|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-1-107041783|edition=2nd}}</ref> ऊष्मा इलेक्ट्रॉनों, परमाणु नाभिकों, व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं सहित कणों की तापमान-निर्भर [[गति (भौतिकी)]] में संग्रहीत ऊर्जा है। मुख्य ऊर्जा वाहकों द्वारा पदार्थ से ऊष्मा स्थानांतरित की जाती है। पदार्थ के अन्दर संग्रहीत या वाहकों द्वारा ट्रांसपोर्ट की गई ऊर्जा की स्थिति को पारंपरिक और [[क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी]] के संयोजन द्वारा वर्णित किया गया है। विभिन्न वाहकों के मध्य ऊर्जा भिन्न-भिन्न बनती (रूपांतरित) होती है। | ||
गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाएं (या बल गतिकी) उन दरों से नियंत्रित होती हैं जिन पर विभिन्न संबंधित भौतिक घटनाएं घटित होती हैं, जैसे (उदाहरण के लिए) [[शास्त्रीय यांत्रिकी|पारंपरिक यांत्रिकी]] में कण टकराव की दर। ये विभिन्न अवस्थाएँ और गतिकी ऊष्मा स्थानांतरण, अर्थात् ऊर्जा संचयन या ट्रांसपोर्ट की शुद्ध दर निर्धारित करती हैं। इन प्रक्रियाओं को परमाणु स्तर (परमाणु या अणु लंबाई मानक) से मैक्रोस्केल तक नियंत्रित करना [[ऊर्जा संरक्षण]] सहित थर्मोडायनामिक्स के नियम हैं। | गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाएं (या बल गतिकी) उन दरों से नियंत्रित होती हैं जिन पर विभिन्न संबंधित भौतिक घटनाएं घटित होती हैं, जैसे (उदाहरण के लिए) [[शास्त्रीय यांत्रिकी|पारंपरिक यांत्रिकी]] में कण टकराव की दर। ये विभिन्न अवस्थाएँ और गतिकी ऊष्मा स्थानांतरण, अर्थात् ऊर्जा संचयन या ट्रांसपोर्ट की शुद्ध दर निर्धारित करती हैं। इन प्रक्रियाओं को परमाणु स्तर (परमाणु या अणु लंबाई मानक) से मैक्रोस्केल तक नियंत्रित करना [[ऊर्जा संरक्षण]] सहित थर्मोडायनामिक्स के नियम हैं। | ||
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==फ़ोनोन== | ==फ़ोनोन== | ||
फोनन ( | फोनन (क्वांटित लैटिस दोलन तरंग) एक केंद्रीय थर्मल ऊर्जा वाहक है जो गर्मी क्षमता (सेंसिबल गर्मी संचयन) और संघनित चरण में प्रवाहकीय गर्मी हस्तांतरण में योगदान देता है, और थर्मल ऊर्जा रूपांतरण में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके परिवहन गुणों को बल्क पदार्थ के लिए फोनन चालकता टेंसर ''K<sub>p</sub>'' (W/m-K, फूरियर कानून q''<sub>k,p</sub>'' = -K''<sub>p</sub>''⋅∇ T से) और फोनन सीमा प्रतिरोध AR''<sub>p,b</sub>'' [K/(W/m<sup>2</sup>) द्वारा दर्शाया जाता है। ठोस इंटरफेस के लिए, जहां A इंटरफ़ेस क्षेत्र है। फोनन विशिष्ट ऊष्मा क्षमता c''<sub>v,p</sub>'' (J/kg-K) में क्वांटम प्रभाव सम्मिलित है। फोनन से जुड़ी तापीय ऊर्जा रूपांतरण दर <math>\dot{s}_{i\mbox{-}j}</math> में सम्मिलित है। ऊष्मा अंतरण भौतिकी परमाणु-स्तर के गुणों के आधार पर c''<sub>v,p</sub>'', K<sub>''p''</sub>, R''<sub>p,b</sub>'' (या चालन G''<sub>p,b</sub>'') और <math>\dot{s}_{i\mbox{-}j}</math> का वर्णन और भविष्यवाणी करती है। | ||
संतुलन क्षमता के लिए ⟨φ⟩<sub>o</sub> | संतुलन क्षमता के लिए ⟨φ⟩<sub>o</sub> N परमाणुओं वाले प्रणाली में, कुल क्षमता ⟨φ⟩ संतुलन पर टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा पाई जाती है और इसे दूसरे डेरिवेटिव (हार्मोनिक निकटता) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है | ||
<math display="block">\begin{align} | <math display="block">\begin{align} | ||
\langle\varphi\rangle &= \langle\varphi\rangle_\mathrm{o} + \left.\sum_i\sum_\alpha\frac{\partial\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}}\right|_\mathrm{o}d_{i\alpha} + \left.\frac{1}{2}\sum_{i,j}\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial^2\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}\partial d_{j\beta}}\right|_\mathrm{o}d_{i\alpha}d_{j\beta} + \left.\frac{1}{6}\sum_{i,j,k}\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\partial^3\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}\partial d_{j\beta}\partial d_{k\gamma}}\right|_\mathrm{o} d_{i\alpha}d_{j\beta}d_{k\gamma}+ \cdots \\ | \langle\varphi\rangle &= \langle\varphi\rangle_\mathrm{o} + \left.\sum_i\sum_\alpha\frac{\partial\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}}\right|_\mathrm{o}d_{i\alpha} + \left.\frac{1}{2}\sum_{i,j}\sum_{\alpha,\beta}\frac{\partial^2\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}\partial d_{j\beta}}\right|_\mathrm{o}d_{i\alpha}d_{j\beta} + \left.\frac{1}{6}\sum_{i,j,k}\sum_{\alpha,\beta,\gamma}\frac{\partial^3\langle\varphi\rangle}{\partial d_{i\alpha}\partial d_{j\beta}\partial d_{k\gamma}}\right|_\mathrm{o} d_{i\alpha}d_{j\beta}d_{k\gamma}+ \cdots \\ | ||
&\approx \langle\varphi\rangle_\mathrm{o} + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\sum_{\alpha,\beta}\Gamma_{\alpha\beta}d_{i\alpha}d_{j\beta}, | &\approx \langle\varphi\rangle_\mathrm{o} + \frac{1}{2}\sum_{i,j}\sum_{\alpha,\beta}\Gamma_{\alpha\beta}d_{i\alpha}d_{j\beta}, | ||
\end{align} </math> | \end{align} </math> | ||
जहां | जहां '''''d'''<sub>i</sub>'' परमाणु i का विस्थापन वेक्टर है, और Γ विभव के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में स्प्रिंग (या बल) स्थिरांक है। परमाणुओं के विस्थापन के संदर्भ में लैटिस दोलन के लिए गति का समीकरण ['''d'''(''jl'',''t'')): समय टी पर ''l''-वें इकाई सेल में ''J''-वें परमाणु का विस्थापन वेक्टर] है | ||
<math display="block">m_j\frac{d^2\mathbf{d}(jl,t)}{dt^2} = -\sum_{j'l'} \boldsymbol{\Gamma} \binom{j \ j^\prime}{l \ l'}\cdot \mathbf{d} (j' l', T), </math> | <math display="block">m_j\frac{d^2\mathbf{d}(jl,t)}{dt^2} = -\sum_{j'l'} \boldsymbol{\Gamma} \binom{j \ j^\prime}{l \ l'}\cdot \mathbf{d} (j' l', T), </math> | ||
जहां m परमाणु द्रव्यमान है और 'Γ' बल स्थिरांक टेंसर है। परमाणु विस्थापन [[सामान्य मोड]] का योग | जहां m परमाणु द्रव्यमान है और 'Γ' बल स्थिरांक टेंसर है। परमाणु विस्थापन [[सामान्य मोड]] का योग ['s'<sub>''α''</sub>: मोड α, ω का यूनिट वेक्टर<sub>p</sub>: तरंग की कोणीय आवृत्ति, और 'κ'<sub>''p''</sub>: तरंग वेक्टर] है। इस समतल-तरंग विस्थापन का उपयोग करते हुए, गति का समीकरण आइगेनवैल्यू समीकरण बन जाता है<ref name=AMSolidStatePhysics>{{cite book | last1 = Ashcroft | first1 = Neil W. | last2 = Mermin | first2 = N. David |title=भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था| year=1977| publisher=Holt, Rinehart and Winston|location=New York|isbn=978-0030839931|edition=27. repr.|url=https://archive.org/details/solidstatephysic00ashc}}</ref><ref name=ZimanSolid>{{cite book|last=Ziman|first=J.M.|title=ठोसों के सिद्धांत के सिद्धांत|year=1985|publisher=Cambridge University Press | location=Cambridge| isbn=978-0521297332|edition=2nd}}</ref> | ||
<math display="block">\mathbf{M} \omega_p^2 (\boldsymbol{\kappa}_p,\alpha) \mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p) = \mathbf{D} (\boldsymbol{\kappa}_p) \mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p), </math> | <math display="block">\mathbf{M} \omega_p^2 (\boldsymbol{\kappa}_p,\alpha) \mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p) = \mathbf{D} (\boldsymbol{\kappa}_p) \mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p), </math> | ||
जहां M विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स है और D हार्मोनिक डायनेमिक मैट्रिक्स है। इस | |||
जहां '''''M''''' विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स है और '''''D''''' हार्मोनिक डायनेमिक मैट्रिक्स है। इस आइगेनवैल्यू समीकरण को समाधान करने से कोणीय आवृत्ति '''''ω<sub>p</sub>''''' और तरंग वेक्टर 'κ'<sub>''p''</sub>, के बीच संबंध मिलता है, और इस संबंध को फोनन विक्षेपण संबंध कहा जाता है। इस प्रकार, फोनन विक्षेपण संबंध मैट्रिक्स '''''M''''' और '''''D''''' द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो परमाणु संरचना और घटक (इंटरेक्शन जितना शक्तिशाली होगा और परमाणु जितने हल्के होंगे, फोनन आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी और प्रवणता ''dω<sub>p</sub>/''dk''<sub>p</sub>) परमाणुओं के मध्य इंटरैक्शन की शक्ति पर निर्भर करता है। हार्मोनिक निकटता के साथ फोनन प्रणाली का हैमिल्टनियन है<ref name="AMSolidStatePhysics" /><ref name="DoveLD">{{cite book|last=Dove|first=M. T.|title=जाली गतिशीलता का परिचय|year=2005|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-0521398947|edition=Digitally printed 1st pbk. version.}}</ref><ref name="Greegor1979">{{cite journal|last=Greegor|first=R.|author2=Lytle, F.|title=Extended x-ray absorption fine structure determination of thermal disorder in Cu: Comparison of theory and experiment|journal=Physical Review B|year=1979|volume=20|issue=12|pages=4902–4907|doi=10.1103/PhysRevB.20.4902|bibcode = 1979PhRvB..20.4902G }}</ref>'' | |||
<math display="block">\mathrm{H}_p = \sum_x \frac{1}{2m} \mathbf{p}^2(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{x},\mathbf{x}'}\mathbf{d}_i(\mathbf{x})D_{ij}(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\mathbf{d}_j(\mathbf{x}'),</math> | <math display="block">\mathrm{H}_p = \sum_x \frac{1}{2m} \mathbf{p}^2(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}\sum_{\mathbf{x},\mathbf{x}'}\mathbf{d}_i(\mathbf{x})D_{ij}(\mathbf{x}-\mathbf{x}')\mathbf{d}_j(\mathbf{x}'),</math> | ||
जहां | जहां ''D<sub>ij</sub>'' परमाणुओं ''i'' और ''j'', और '''d''<nowiki/>' के मध्य गतिशील मैट्रिक्स तत्व है<sub>''i''</sub> (डी<sub>''j''</sub>) i (j) परमाणु का विस्थापन है, और 'p' संवेग है। इससे और विक्षेपण संबंध के समाधान से, क्वांटम क्रिया के लिए फोनन विनाश ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है | ||
<math display="block">b_{\kappa,\alpha} = \frac{1}{N^{1/2}}\sum_{\kappa_p,\alpha} e^{-i(\boldsymbol{\kappa}_p\cdot\mathbf{x})}\mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p)\cdot \left[\left(\frac{m\omega_{p,\alpha}}{2\hbar}\right)^{1/2}\mathbf{d}(\mathbf{x}) + i\left(\frac{1}{2\hbar m\omega_{p,\alpha}}\right)^{1/2}\mathbf{p}(\mathbf{x})\right],</math> | <math display="block">b_{\kappa,\alpha} = \frac{1}{N^{1/2}}\sum_{\kappa_p,\alpha} e^{-i(\boldsymbol{\kappa}_p\cdot\mathbf{x})}\mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p)\cdot \left[\left(\frac{m\omega_{p,\alpha}}{2\hbar}\right)^{1/2}\mathbf{d}(\mathbf{x}) + i\left(\frac{1}{2\hbar m\omega_{p,\alpha}}\right)^{1/2}\mathbf{p}(\mathbf{x})\right],</math> | ||
जहां N, α द्वारा विभाजित सामान्य मोड की संख्या है और ħ कम प्लैंक स्थिरांक है। सृजन संचालिका संहार संचालिका का सहायक है, | जहां N, α द्वारा विभाजित सामान्य मोड की संख्या है और ħ कम प्लैंक स्थिरांक है। सृजन संचालिका संहार संचालिका का सहायक है, | ||
<math display="block"> b_{\kappa,\alpha}^\dagger = \frac{1}{N^{1/2}}\sum_{\kappa_p,\alpha} e^{i(\boldsymbol{\kappa}_p\cdot\mathbf{x})}\mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p)\cdot \left[\left(\frac{m\omega_{p,\alpha}}{2\hbar} \right)^{1/2}\mathbf{d}(\mathbf{x})-i\left(\frac{1}{2\hbar m\omega_{p,\alpha}}\right)^{1/2} \mathbf{p}(\mathbf{x})\right].</math> | <math display="block"> b_{\kappa,\alpha}^\dagger = \frac{1}{N^{1/2}}\sum_{\kappa_p,\alpha} e^{i(\boldsymbol{\kappa}_p\cdot\mathbf{x})}\mathbf{s}_\alpha(\boldsymbol{\kappa}_p)\cdot \left[\left(\frac{m\omega_{p,\alpha}}{2\hbar} \right)^{1/2}\mathbf{d}(\mathbf{x})-i\left(\frac{1}{2\hbar m\omega_{p,\alpha}}\right)^{1/2} \mathbf{p}(\mathbf{x})\right].</math> | ||
''b<sub>κ,α</sub>''<sup>†</sup> और ''b<sub>κ,α</sub>'' के संदर्भ में हैमिल्टनियन H''<sub>p</sub>'' = Σ<sub>''κ'',''α''</sub>''ħω<sub>p,α</sub>''[''b<sub>κ,α</sub>''<sup>†</sup>''b<sub>κ,α</sub>'' + 1/2] है और ''b<sub>κ,α</sub>''<sup>†</sup>''b<sub>κ,α</sub>'' फोनन [[नंबर ऑपरेटर|संख्या ऑपरेटर]] है। क्वांटम-हार्मोनिक ऑसिलेटर की ऊर्जा ''E<sub>p</sub>'' = Σ<sub>''κ'',''α''</sub> [''f<sub>p</sub>''(''κ'',''α'') + 1/2]''ħω<sub>p,α</sub>''('''κ'''<sub>''p''</sub>) है, और इस प्रकार फोनन ऊर्जा की मात्रा ħω''<sub>p</sub>'' है। | |||
फ़ोनन फैलाव संबंध [[ब्रिलोइन जोन]] ([[पारस्परिक स्थान]] में [[आदिम कोशिका]] के अन्दर का क्षेत्र) और अवस्थाओं | फ़ोनन फैलाव संबंध [[ब्रिलोइन जोन]] ([[पारस्परिक स्थान]] में [[आदिम कोशिका|प्रिमिटिव सेल]] के अन्दर का क्षेत्र) और अवस्थाओं के फ़ोनन घनत्व '''''D<sub>p</sub>''''' (संभावित फ़ोनन मोड की संख्या घनत्व) के अन्दर सभी संभावित फ़ोनन मोड देता है। फ़ोनन [[समूह वेग]] ''u<sub>p,g</sub>'' विक्षेपण वक्र, dω''<sub>p</sub>''/dκ''<sub>p</sub>'' का प्रवणता है। चूंकि फोनन एक बोसोन कण है, इसलिए इसका ऑक्यूपेंसी बोस-आइंस्टीन वितरण {''f<sub>p</sub>''<sup>o</sup> = [exp(''ħω<sub>p</sub>''/''k''<sub>B</sub>''T'')-1]<sup>−1</sup>, k''<sub>B</sub>'': [[बोल्ट्ज़मान स्थिरांक]]} का अनुसरण करता है। अवस्थाओं के फोनन घनत्व और इस ऑक्यूपेंसी वितरण का उपयोग करते हुए, फोनन ऊर्जा ''E<sub>p</sub>''(''T'') = '''∫'''''D<sub>p</sub>''(''ω<sub>p</sub>'')''f<sub>p</sub>''(''ω<sub>p</sub>,T'')''ħω<sub>p</sub>dω<sub>p</sub>'' है, और फोनन घनत्व ''n<sub>p</sub>''(''T'') = '''∫'''''D<sub>p</sub>''(''ω<sub>p</sub>'')''f<sub>p</sub>''(''ω<sub>p</sub>,T'')''dω<sub>p</sub>'' है। फ़ोनन ताप क्षमता ''c<sub>v,p</sub>'' (ठोस ''c<sub>v,p</sub> = c<sub>p,p</sub>, c<sub>v,p</sub>'' में: स्थिर-मात्रा ताप क्षमता, ''c<sub>p,p</sub>'': स्थिर-दबाव ताप क्षमता) डेबी मॉडल (रैखिक फैलाव मॉडल) के लिए फ़ोनन ऊर्जा का तापमान व्युत्पन्न है,<ref name=KittelSolidStatePhysics>{{cite book|last=Kittel|first=C.|title=[[Introduction to Solid State Physics]]|year=2005|publisher=John Wiley & Sons|location=Hoboken, New Jersey|isbn=978-0471415268|edition=8th}}</ref> | ||
<math display="block">c_{v,p} = \left.\frac{dE_p}{dT}\right|_v = \frac{9k_\mathrm{B}}{m} \left(\frac{T}{T_D} \right)^3 n \int_0^{T_D/T} \frac{x^4 e^x}{\left(e^x - 1 \right)^2} dx \qquad (x = \frac{\hbar\omega}{k_\mathrm{B}T}),</math> | <math display="block">c_{v,p} = \left.\frac{dE_p}{dT}\right|_v = \frac{9k_\mathrm{B}}{m} \left(\frac{T}{T_D} \right)^3 n \int_0^{T_D/T} \frac{x^4 e^x}{\left(e^x - 1 \right)^2} dx \qquad (x = \frac{\hbar\omega}{k_\mathrm{B}T}),</math> | ||
गैसों के गतिज सिद्धांत से,<ref name=MillatBook>{{cite book|editor1-last = Millat | editor1-first = J. | editor2-last = Nieto de Castro | editor2-first = C. A. | title = Transport properties of fluids: their correlation, prediction and estimation|year=1996|publisher=Univ. Press|location=Cambridge|isbn=978-0521461788}}</ref> प्रमुख वाहक की तापीय चालकता i (p, e, f और ph) है | |||
जहां '''''T''<sub>D</sub>''' [[डेबी मॉडल|डिबाई तापमान]] है, ''m'' परमाणु द्रव्यमान है, और ''n'' परमाणु संख्या घनत्व (क्रिस्टल 3''n'' के लिए फोनन मोड की संख्या घनत्व) है। यह कम तापमान पर डेबी '''''T<sup>3</sup>''''' नियम और उच्च तापमान पर डुलोंग-पेटिट नियम देता है। | |||
गैसों के गतिज सिद्धांत से,<ref name="MillatBook">{{cite book|editor1-last = Millat | editor1-first = J. | editor2-last = Nieto de Castro | editor2-first = C. A. | title = Transport properties of fluids: their correlation, prediction and estimation|year=1996|publisher=Univ. Press|location=Cambridge|isbn=978-0521461788}}</ref> प्रमुख वाहक की तापीय चालकता ''i'' (''p'', ''e'', ''f'' और ''ph'') है | |||
<math display="block"> k_i = \frac{1}{3} n_i c_{v,i}u_i\lambda_i,</math> | <math display="block"> k_i = \frac{1}{3} n_i c_{v,i}u_i\lambda_i,</math> | ||
जहां ''n<sub>i</sub>'' वाहक घनत्व है और ऊष्मा क्षमता प्रति वाहक है, ''u<sub>i</sub>'' वाहक गति है और ''λ<sub>i</sub>'' माध्य मुक्त पथ है (प्रकीर्णन घटना से पहले वाहक द्वारा तय की गई दूरी)। इस प्रकार, वाहक घनत्व, ताप क्षमता और गति जितनी अधिक होगी और प्रकीर्णन जितना कम होगा, चालकता उतनी ही अधिक होगी। फोनन के लिए λp फोनन के इंटरेक्शन (स्कैटरिंग) कैनेटीक्स का प्रतिनिधित्व करता है और ''λ<sub>p</sub>''= ''u<sub>p</sub>τ<sub>p</sub>'' के माध्यम से स्कैटरिंग विश्राम समय ''τ<sub>p</sub>'' या दर (= 1/''τ<sub>p</sub>'') से संबंधित है। फोनन अन्य फोनन के साथ, और इलेक्ट्रॉनों, सीमाओं, अशुद्धियों आदि के साथ इंटरैक्शन करते हैं, और λ''<sub>p</sub>'' इन इंटरैक्शन तंत्रों को मैथिएसेन नियम के माध्यम से जोड़ता है। कम तापमान पर, सीमाओं द्वारा प्रकीर्णन प्रमुख होता है और तापमान में वृद्धि के साथ अशुद्धियों, इलेक्ट्रॉन और अन्य फोनन के साथ संपर्क दर महत्वपूर्ण हो जाती है, और अंत में T > 0.2'''''T<sub>D</sub>''''' के लिए फोनन-फोनन प्रकीर्णन प्रमुख हो जाता है। इंटरेक्शन दरों की समीक्षा<ref name="Holland1963">{{cite journal| last=Holland|first=M.| title=जाली तापीय चालकता का विश्लेषण|journal=Physical Review|year=1963|volume=132|issue=6|pages=2461–2471|doi=10.1103/PhysRev.132.2461|bibcode = 1963PhRv..132.2461H }}</ref> में की गई है और इसमें क्वांटम पर्टर्बेशन सिद्धांत और MD सम्मिलित हैं। | |||
विक्षेपण और λ<sub>p</sub> के संबंध में अनुमान के साथ कई चालकता मॉडल उपलब्ध हैं।<ref name="DoveLD" /><ref name="KittelSolidStatePhysics" /><ref name="Holland1963" /><ref name="Nilsson1971">{{cite journal|last=Nilsson|first=G.|author2=Nelin, G.|title=Phonon Dispersion Relations in Ge at 80 K|journal=Physical Review B|year=1971|volume=3|issue=2|pages=364–369|doi=10.1103/PhysRevB.3.364|bibcode = 1971PhRvB...3..364N }}</ref><ref name="Tiwari1971">{{cite journal| last=Tiwari|first=M. |author2=Agrawal, B.|title=जर्मेनियम की जाली तापीय चालकता का विश्लेषण|journal=Physical Review B|year=1971| volume=4| issue=10| pages=3527–3532|doi=10.1103/PhysRevB.4.3527|bibcode = 1971PhRvB...4.3527T }}</ref><ref name="McGaughey2004">{{cite journal|last=McGaughey|first=A.|author2=Kaviany, M.| title=एकल-मोड विश्राम समय सन्निकटन के तहत बोल्ट्ज़मान परिवहन समीकरण फोनन तापीय चालकता मॉडल का मात्रात्मक सत्यापन| journal=Physical Review B|year=2004|volume=69|issue=9|pages=094303|doi=10.1103/PhysRevB.69.094303|bibcode = 2004PhRvB..69i4303M }}</ref><ref name="Ziman1972">{{cite book| last=Ziman|first=J.M. | title=Electrons and phonons : the theory of transport phenomena in solids|year=1972|publisher=Oxford University Press|location=London| isbn=978-0198512356|edition=[2e éd. corrigée]}}</ref> एकल-मोड विश्राम समय निकटता (∂''f<sub>p</sub>''<sup>′</sup>/∂''t''|<sub>''s''</sub> = −''f<sub>p</sub>''<sup>′</sup>/''τ<sub>p</sub>'') का उपयोग करना और गैस गतिज सिद्धांत, कैलावे फोनन (लैटिस) चालकता मॉडल के रूप में<ref name="Holland1963" /><ref name="Callaway1959">{{cite journal|last=Callaway|first=J.|title=कम तापमान पर जाली तापीय चालकता के लिए मॉडल|journal=Physical Review| year=1959| volume=113| issue=4|pages=1046–1051|doi=10.1103/PhysRev.113.1046|bibcode = 1959PhRv..113.1046C }}</ref> | |||
<math display="block"> k_{p,\mathbf{s}} = \frac{1}{8\pi^3}\sum_{\alpha}\int c_{v,p}\tau_p(\mathbf{u}_{p,g}\cdot\mathbf{s})^2d\kappa \ \ \ \ \ \text{ for component along } \mathbf{s},</math> | <math display="block"> k_{p,\mathbf{s}} = \frac{1}{8\pi^3}\sum_{\alpha}\int c_{v,p}\tau_p(\mathbf{u}_{p,g}\cdot\mathbf{s})^2d\kappa \ \ \ \ \ \text{ for component along } \mathbf{s},</math> | ||
<math display="block"> k_p = \frac{1}{6\pi^3}\sum_{\alpha}\int c_{v,p}\tau_p {u}_{p,g}^2\kappa^2d\kappa \ \ \ \ \ \ \ \ \text{for isotropic conductivity}.</math> | <math display="block"> k_p = \frac{1}{6\pi^3}\sum_{\alpha}\int c_{v,p}\tau_p {u}_{p,g}^2\kappa^2d\kappa \ \ \ \ \ \ \ \ \text{for isotropic conductivity}.</math> | ||
डेबी मॉडल के साथ (एकल समूह वेग | डेबी मॉडल के साथ (एकल समूह वेग ''u<sub>p,g</sub>'', और ऊपर गणना की गई विशिष्ट ताप क्षमता), यह बन जाती है | ||
<math display="block"> k_p = \left(48\pi^2\right)^{1/3} \frac{k_\mathrm{B}^3 T^3}{a h_\mathrm{P}^2 T_\mathrm{D}} \int_0^{T/T_\mathrm{D}}\tau_p \frac{x^4 e^x}{\left(e^x-1\right) ^2}dx,</math> | <math display="block"> k_p = \left(48\pi^2\right)^{1/3} \frac{k_\mathrm{B}^3 T^3}{a h_\mathrm{P}^2 T_\mathrm{D}} \int_0^{T/T_\mathrm{D}}\tau_p \frac{x^4 e^x}{\left(e^x-1\right) ^2}dx,</math> | ||
जहाँ a जालक स्थिरांक a = n | |||
जहाँ a घन लैटिस के लिए जालक स्थिरांक a = n<sup>−1/3</sup> हैं, और n परमाणु क्रमांक घनत्व है। सुस्त फोनन चालकता मॉडल मुख्य रूप से ध्वनिक फोनन प्रकीर्णन (तीन-फोनन इंटरैक्शन) पर विचार करते हुए दिया गया है<ref name="BermanConductivity">{{cite book|last=Berman|first=R.|title=ठोस पदार्थों में तापीय चालकता|year=1979|publisher=Clarendon Press|location=Oxford|isbn=978-0198514305}}</ref><ref name="SlackModel">{{cite book|editor1 = Seitz, F. | editor2 = Ehrenreich, H. | editor3 = Turnbull, D.|title=Solid state physics: advances in research and applications|year=1979|publisher=Academic Press|location=New York | isbn=978-0-12-607734-6 | pages=1–73}}</ref> | |||
<math display="block"> k_p = k_{p,S} = \frac{3.1\times10^{12}\langle M\rangle V_a^{1/3}T_{D,\infty}^3}{T\langle\gamma_G^2\rangle N_o^{2/3}}\qquad \text{ high temperatures } ( T > 0.2 T_D,\text{ phonon-phonon scattering only)},</math> | <math display="block"> k_p = k_{p,S} = \frac{3.1\times10^{12}\langle M\rangle V_a^{1/3}T_{D,\infty}^3}{T\langle\gamma_G^2\rangle N_o^{2/3}}\qquad \text{ high temperatures } ( T > 0.2 T_D,\text{ phonon-phonon scattering only)},</math> | ||
जहां {{math|⟨''M''⟩}} प्रिमिटिव सेल में परमाणुओं का औसत परमाणु भार है, Va=1/n प्रति परमाणु औसत आयतन है, T<sub>D,∞</sub> उच्च तापमान डिबाई तापमान है, T तापमान है, N<sub>o</sub> प्रिमिटिव सेल में परमाणुओं की संख्या है, और ⟨γ<sup>''2''</sup>G⟩ उच्च तापमान पर ग्रुनेसेन स्थिरांक या पैरामीटर का मोड-औसत वर्ग है। इस मॉडल का व्यापक रूप से शुद्ध गैर-धातु क्रिस्टल के साथ परीक्षण किया गया है, और समग्र समझौता जटिल क्रिस्टल के लिए भी अच्छा है। | |||
बल गतिकी और परमाणु संरचना विचार के आधार पर, उच्च क्रिस्टलीय और | बल गतिकी और परमाणु संरचना विचार के आधार पर, उच्च क्रिस्टलीय और शक्तिशाली इंटरैक्शन वाली पदार्थ, जो हल्के परमाणुओं (जैसे हीरे और ग्राफीन) से बनी होती है, में बड़ी फोनन चालकता होने की अपेक्षा है। लैटिस का प्रतिनिधित्व करने वाली सबसे छोटी इकाई सेल में से अधिक परमाणु वाले ठोस में दो प्रकार के फोनन होते हैं, अर्थात् ध्वनिक और ऑप्टिकल। (ध्वनिक फोनन अपने संतुलन की स्थिति के बारे में परमाणुओं के चरण-चरण आंदोलन हैं, जबकि ऑप्टिकल फोनन लैटिस में आसन्न परमाणुओं के चरण-बाहर आंदोलन हैं।) ऑप्टिकल फोनन में उच्च ऊर्जा (आवृत्ति) होती है, किन्तु उनके छोटे समूह वेग और ऑक्यूपेंसी के कारण, संचालन गर्मी हस्तांतरण में छोटा योगदान होता है। | ||
सीमा प्रकीर्णन निकटता के अनुसार हेटेरो-संरचना सीमाओं (आरपी, बी, [[इंटरफेशियल थर्मल प्रतिरोध]] के साथ दर्शाया गया) में फोनन परिवहन को ध्वनिक और फैलाना बेमेल मॉडल के रूप में तैयार किया गया है।<ref name="SwartzBoundary">{{cite journal|last=Swartz|first=E.|author2=Pohl, R.|title=थर्मल सीमा प्रतिरोध|journal=Reviews of Modern Physics|year=1989|volume=61|issue=3|pages=605–668|doi=10.1103/RevModPhys.61.605|bibcode = 1989RvMP...61..605S }}</ref> बड़ा फोनन ट्रांसमिशन (छोटा R<sub>''p,b''</sub>) उन सीमाओं पर होता है जहां सामग्री जोड़े में समान फोनन गुण (''u<sub>p</sub>'', ''D<sub>p</sub>'', आदि) होते हैं, और अनुबंध में बड़ा ''R<sub>p,b</sub>'' तब होता है जब कुछ सामग्री दूसरे की तुलना में नरम (कम कट-ऑफ फोनन आवृत्ति) होती है। | |||
== इलेक्ट्रॉन == | == इलेक्ट्रॉन == | ||
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इलेक्ट्रॉन के लिए क्वांटम इलेक्ट्रॉन ऊर्जा अवस्थाएं इलेक्ट्रॉन क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं, जो आम तौर पर गतिज (-ħ) से बना होता है<sup>2</sup>∇<sup>2</sup>/2m<sub>e</sub>) और संभावित ऊर्जा शब्द (φ)।<sub>e</sub>). परमाणु कक्षक, [[फ़ंक्शन (गणित)]] जो परमाणु में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉनों की जोड़ी के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है, इस इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन के साथ श्रोडिंगर समीकरण से पाया जा सकता है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु (नाभिक और इलेक्ट्रॉन) इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (कूलम्ब कानून) के साथ श्रोडिंगर समीकरण के बंद-रूप समाधान की अनुमति देते हैं। से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं या परमाणु आयनों के श्रोडिंगर समीकरण को इलेक्ट्रॉनों के मध्य कूलम्ब इंटरैक्शन के कारण विश्लेषणात्मक रूप से समाधान नहीं किया गया है। इस प्रकार, संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग किया जाता है, और इलेक्ट्रॉन विन्यास को सरल हाइड्रोजन-जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स (पृथक इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स) के उत्पाद के रूप में अनुमानित किया जाता है। एकाधिक परमाणुओं (नाभिक और उनके इलेक्ट्रॉन) वाले अणुओं में [[आणविक कक्षीय]] (एमओ, अणु में [[ऋणावेशित सूक्ष्म अणु का विन्यास]] तरंग-जैसे व्यवहार के लिए गणितीय कार्य) होता है, और परमाणु कक्षाओं के रैखिक संयोजन (एलसीएओ) जैसी सरलीकृत समाधान तकनीकों से प्राप्त होते हैं। . आणविक कक्षक का उपयोग रासायनिक और भौतिक गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है, और उच्चतम व्याप्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) और सबसे कम रिक्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) के मध्य का अंतर अणुओं की उत्तेजित अवस्था का माप है। | इलेक्ट्रॉन के लिए क्वांटम इलेक्ट्रॉन ऊर्जा अवस्थाएं इलेक्ट्रॉन क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं, जो आम तौर पर गतिज (-ħ) से बना होता है<sup>2</sup>∇<sup>2</sup>/2m<sub>e</sub>) और संभावित ऊर्जा शब्द (φ)।<sub>e</sub>). परमाणु कक्षक, [[फ़ंक्शन (गणित)]] जो परमाणु में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉनों की जोड़ी के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है, इस इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन के साथ श्रोडिंगर समीकरण से पाया जा सकता है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु (नाभिक और इलेक्ट्रॉन) इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (कूलम्ब कानून) के साथ श्रोडिंगर समीकरण के बंद-रूप समाधान की अनुमति देते हैं। से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं या परमाणु आयनों के श्रोडिंगर समीकरण को इलेक्ट्रॉनों के मध्य कूलम्ब इंटरैक्शन के कारण विश्लेषणात्मक रूप से समाधान नहीं किया गया है। इस प्रकार, संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग किया जाता है, और इलेक्ट्रॉन विन्यास को सरल हाइड्रोजन-जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स (पृथक इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स) के उत्पाद के रूप में अनुमानित किया जाता है। एकाधिक परमाणुओं (नाभिक और उनके इलेक्ट्रॉन) वाले अणुओं में [[आणविक कक्षीय]] (एमओ, अणु में [[ऋणावेशित सूक्ष्म अणु का विन्यास]] तरंग-जैसे व्यवहार के लिए गणितीय कार्य) होता है, और परमाणु कक्षाओं के रैखिक संयोजन (एलसीएओ) जैसी सरलीकृत समाधान तकनीकों से प्राप्त होते हैं। . आणविक कक्षक का उपयोग रासायनिक और भौतिक गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है, और उच्चतम व्याप्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) और सबसे कम रिक्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) के मध्य का अंतर अणुओं की उत्तेजित अवस्था का माप है। | ||
धात्विक ठोसों की क्रिस्टल संरचना में, [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] (शून्य क्षमता, φ<sub>e</sub>= 0) संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार के लिए प्रयोग किया जाता है। हालाँकि, क्रिस्टल संरचना | आवधिक | धात्विक ठोसों की क्रिस्टल संरचना में, [[मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल]] (शून्य क्षमता, φ<sub>e</sub>= 0) संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार के लिए प्रयोग किया जाता है। हालाँकि, क्रिस्टल संरचना | आवधिक लैटिस (क्रिस्टल) में, आवधिक क्रिस्टल क्षमता होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन बन जाता है<ref name=KittelSolidStatePhysics /> | ||
<math display="block"> \mathrm{H}_e = - \frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2 + \varphi_c(\mathbf{x}),</math> | <math display="block"> \mathrm{H}_e = - \frac{\hbar^2}{2m_e}\nabla^2 + \varphi_c(\mathbf{x}),</math> | ||
कहां एम<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और आवधिक क्षमता φ के रूप में व्यक्त की जाती है<sub>c</sub>(एक्स) = एस<sub>''g''</sub> φ<sub>g</sub>exp[i('g'∙'x')] ('g': व्युत्क्रम | कहां एम<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और आवधिक क्षमता φ के रूप में व्यक्त की जाती है<sub>c</sub>(एक्स) = एस<sub>''g''</sub> φ<sub>g</sub>exp[i('g'∙'x')] ('g': व्युत्क्रम लैटिस वेक्टर)। इस हैमिल्टनियन के साथ समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण (आइजेनवैल्यू समीकरण) के रूप में दिया गया है | ||
<math display="block"> \mathrm{H}_e \psi_{e,\mathbf{x}}(\mathbf{x}) = E_e(\boldsymbol{\kappa}_e) \psi_{e,\mathbf{x}}(\mathbf{x}),</math> | <math display="block"> \mathrm{H}_e \psi_{e,\mathbf{x}}(\mathbf{x}) = E_e(\boldsymbol{\kappa}_e) \psi_{e,\mathbf{x}}(\mathbf{x}),</math> | ||
जहां eigenfunction ψ<sub>e,κ</sub>इलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन है, और | जहां eigenfunction ψ<sub>e,κ</sub>इलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन है, और आइगेनवैल्यू E<sub>e</sub>('क'<sub>''e''</sub>), इलेक्ट्रॉन ऊर्जा है (κ<sub>''e''</sub>: इलेक्ट्रॉन वेववेक्टर)। वेववेक्टर, κ के मध्य संबंध<sub>''e''</sub> और ऊर्जा ई<sub>e</sub>[[इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना]] प्रदान करता है। व्यवहार में, अनेक-निकाय समस्या के रूप में लैटिस | अनेक-निकाय प्रणालियों में क्षमता में इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के मध्य परस्पर क्रिया सम्मिलित होती है, किन्तु यह गणना बहुत जटिल हो सकती है। इस प्रकार, कई अनुमानित तकनीकों का सुझाव दिया गया है और उनमें से है घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डीएफटी), पूर्ण इंटरैक्शन के बजाय स्थानिक रूप से निर्भर [[इलेक्ट्रॉनिक घनत्व]] के कार्यात्मक का उपयोग करता है। डीएफटी का व्यापक रूप से एबी इनिटियो सॉफ्टवेयर ([[ABINIT]], CASTEP, क्वांटम एस्प्रेसो, SIESTA (कंप्यूटर प्रोग्राम), VASP, डब्ल्यूआईईएन2के, आदि) में उपयोग किया जाता है। इलेक्ट्रॉन विशिष्ट ऊष्मा ऊर्जा अवस्थाओं और ऑक्यूपेंसी वितरण (फ़र्मी-डिराक आँकड़े) पर आधारित है। सामान्य तौर पर, इलेक्ट्रॉन की ताप क्षमता बहुत उच्च तापमान को छोड़कर छोटी होती है जब वे फोनन (लैटिस) के साथ थर्मल संतुलन में होते हैं। इलेक्ट्रॉन ठोस में, विशेष रूप से धातुओं में, ताप संचालन (आवेश वहन के अलावा) में योगदान करते हैं। ठोस में तापीय चालकता टेंसर विद्युत और फोनन तापीय चालकता टेंसरों का योग है 'K' = 'K'<sub>''e''</sub> + के<sub>''p''</sub>. | ||
इलेक्ट्रॉन दो थर्मोडायनामिक बलों से प्रभावित होते हैं [आवेश से, ∇(E<sub>F</sub>/यह है<sub>c</sub>) जहां ई<sub>F</sub> [[फर्मी स्तर]] और ई है<sub>c</sub>प्राथमिक आवेश और तापमान प्रवणता है, ∇(1/T)] क्योंकि उनमें आवेश और तापीय ऊर्जा दोनों होती है, और इस प्रकार विद्युत धारा 'जे' होती है।<sub>''e''</sub> और ताप प्रवाह q को थर्मोइलेक्ट्रिक टेंसर (ए) के साथ वर्णित किया गया है<sub>''ee''</sub>, ए<sub>''et''</sub>, ए<sub>''te''</sub>, और ए<sub>''tt''</sub>) [[ऑनसागर पारस्परिक संबंध]]ों से<ref name=Onsager1931>{{cite journal | last=Onsager | first=L. | title = अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं में पारस्परिक संबंध। मैं| journal=Physical Review | year=1931 | volume=37 | issue=4|pages=405–426|doi=10.1103/PhysRev.37.405|bibcode = 1931PhRv...37..405O |doi-access=free}}</ref> जैसा | इलेक्ट्रॉन दो थर्मोडायनामिक बलों से प्रभावित होते हैं [आवेश से, ∇(E<sub>F</sub>/यह है<sub>c</sub>) जहां ई<sub>F</sub> [[फर्मी स्तर]] और ई है<sub>c</sub>प्राथमिक आवेश और तापमान प्रवणता है, ∇(1/T)] क्योंकि उनमें आवेश और तापीय ऊर्जा दोनों होती है, और इस प्रकार विद्युत धारा 'जे' होती है।<sub>''e''</sub> और ताप प्रवाह q को थर्मोइलेक्ट्रिक टेंसर (ए) के साथ वर्णित किया गया है<sub>''ee''</sub>, ए<sub>''et''</sub>, ए<sub>''te''</sub>, और ए<sub>''tt''</sub>) [[ऑनसागर पारस्परिक संबंध]]ों से<ref name=Onsager1931>{{cite journal | last=Onsager | first=L. | title = अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं में पारस्परिक संबंध। मैं| journal=Physical Review | year=1931 | volume=37 | issue=4|pages=405–426|doi=10.1103/PhysRev.37.405|bibcode = 1931PhRv...37..405O |doi-access=free}}</ref> जैसा | ||
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विद्युत चालकता/प्रतिरोधकता σ<sub>e</sub>(ओह<sup>−1</sup>m<sup>−1</sup>)/ पी<sub>''e''</sub> (Ω-m), विद्युत तापीय चालकता k<sub>e</sub>(डब्ल्यू/एम-के) और सीबेक/पेल्टियर गुणांक α<sub>S</sub> (वी/के)/ए<sub>P</sub> (वी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, | विद्युत चालकता/प्रतिरोधकता σ<sub>e</sub>(ओह<sup>−1</sup>m<sup>−1</sup>)/ पी<sub>''e''</sub> (Ω-m), विद्युत तापीय चालकता k<sub>e</sub>(डब्ल्यू/एम-के) और सीबेक/पेल्टियर गुणांक α<sub>S</sub> (वी/के)/ए<sub>P</sub> (वी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है, | ||
<math display="block"> \sigma_e = \frac{1}{\rho_e}=\alpha_{ee}, \ \ k_e = \frac{\alpha_{tt}-\alpha_{te}\alpha_{ee}^{-1}\alpha_{et}}{T^2},\mathrm{and} \ \alpha_\mathrm{S} = \frac{\alpha_{et}\alpha_{ee}^{-1}}{T^2} \ \ (\alpha_\mathrm{S} = \alpha_\mathrm{P}T). </math> | <math display="block"> \sigma_e = \frac{1}{\rho_e}=\alpha_{ee}, \ \ k_e = \frac{\alpha_{tt}-\alpha_{te}\alpha_{ee}^{-1}\alpha_{et}}{T^2},\mathrm{and} \ \alpha_\mathrm{S} = \frac{\alpha_{et}\alpha_{ee}^{-1}}{T^2} \ \ (\alpha_\mathrm{S} = \alpha_\mathrm{P}T). </math> | ||
विभिन्न वाहक (इलेक्ट्रॉन, [[मैग्नन]], फोनन और पोलरॉन) और उनकी परस्पर क्रियाएं सीबेक गुणांक को काफी हद तक प्रभावित करती हैं।<ref name=Emin1987>{{cite journal|last=Emin|first=D.|title=इकोसाहेड्रल बोरोन-समृद्ध ठोस|journal=Physics Today|year=1987|volume=40|issue=1|pages=55–62|doi=10.1063/1.881112|bibcode = 1987PhT....40a..55E |url=https://zenodo.org/record/1232085}}</ref><ref name=Kanatzidis2003>{{cite book|editor1-last = Kanatzidis|editor1-first=M.G. | editor2-last = Mahanti | editor2-first = S. D. | editor3-last = Hogan | editor3-first = T. P.|title=Chemistry, physics, and materials science of thermoelectric materials : beyond bismuth telluride|year=2003|publisher=Kluwer Academic/Plenum Publ.|location=New York [u.a.]|isbn=978-0306477386}}</ref> सीबेक गुणांक को दो योगदानों, α के साथ विघटित किया जा सकता है<sub>S</sub> = ए<sub>S,pres</sub> + ए<sub>S,trans</sub>, कहां α<sub>S,pres</sub> वाहक-प्रेरित एन्ट्रापी परिवर्तन में योगदान का योग है, अर्थात, α<sub>S,pres</sub> = ए<sub>S,mix</sub> + ए<sub>S,spin</sub> + ए<sub>S,vib</sub> (ए<sub>S,mix</sub>: मिश्रण की एन्ट्रॉपी, α<sub>S,spin</sub>: स्पिन एन्ट्रापी, और α<sub>S,vib</sub>: | विभिन्न वाहक (इलेक्ट्रॉन, [[मैग्नन]], फोनन और पोलरॉन) और उनकी परस्पर क्रियाएं सीबेक गुणांक को काफी हद तक प्रभावित करती हैं।<ref name=Emin1987>{{cite journal|last=Emin|first=D.|title=इकोसाहेड्रल बोरोन-समृद्ध ठोस|journal=Physics Today|year=1987|volume=40|issue=1|pages=55–62|doi=10.1063/1.881112|bibcode = 1987PhT....40a..55E |url=https://zenodo.org/record/1232085}}</ref><ref name=Kanatzidis2003>{{cite book|editor1-last = Kanatzidis|editor1-first=M.G. | editor2-last = Mahanti | editor2-first = S. D. | editor3-last = Hogan | editor3-first = T. P.|title=Chemistry, physics, and materials science of thermoelectric materials : beyond bismuth telluride|year=2003|publisher=Kluwer Academic/Plenum Publ.|location=New York [u.a.]|isbn=978-0306477386}}</ref> सीबेक गुणांक को दो योगदानों, α के साथ विघटित किया जा सकता है<sub>S</sub> = ए<sub>S,pres</sub> + ए<sub>S,trans</sub>, कहां α<sub>S,pres</sub> वाहक-प्रेरित एन्ट्रापी परिवर्तन में योगदान का योग है, अर्थात, α<sub>S,pres</sub> = ए<sub>S,mix</sub> + ए<sub>S,spin</sub> + ए<sub>S,vib</sub> (ए<sub>S,mix</sub>: मिश्रण की एन्ट्रॉपी, α<sub>S,spin</sub>: स्पिन एन्ट्रापी, और α<sub>S,vib</sub>: दोलन एन्ट्रापी)। अन्य योगदान α<sub>S,trans</sub> किसी वाहक को हिलाने में हस्तांतरित शुद्ध ऊर्जा को qT (q: वाहक आवेश) से विभाजित किया जाता है। सीबेक गुणांक में इलेक्ट्रॉन का योगदान अधिकतर α में होता है<sub>S,pres</sub>. α<sub>S,mix</sub> आमतौर पर हल्के डोप किए गए अर्धचालकों में प्रमुख होता है। किसी प्रणाली में इलेक्ट्रॉन जोड़ने पर मिश्रण की एन्ट्रापी में परिवर्तन तथाकथित हेइक्स सूत्र है | ||
<math display="block"> \alpha_\mathrm{S,mix} = \frac{1}{q} \frac{\partial S_\mathrm{mix}}{\partial N} = \frac{k_\mathrm{B}}{q}\ln\left(\frac{1 - f_e^\mathrm{o}}{f_e^\mathrm{o}}\right),</math> | <math display="block"> \alpha_\mathrm{S,mix} = \frac{1}{q} \frac{\partial S_\mathrm{mix}}{\partial N} = \frac{k_\mathrm{B}}{q}\ln\left(\frac{1 - f_e^\mathrm{o}}{f_e^\mathrm{o}}\right),</math> | ||
जहाँ एफ<sub>e</sub><sup>ओ</sup> = एन/एन<sub>a</sub>साइटों (वाहक एकाग्रता) के लिए इलेक्ट्रॉनों का अनुपात है। रासायनिक क्षमता (μ) का उपयोग करते हुए, तापीय ऊर्जा (k<sub>B</sub>टी) और फर्मी फ़ंक्शन, उपरोक्त समीकरण को वैकल्पिक रूप, α में व्यक्त किया जा सकता है<sub>S,mix</sub> = (के<sub>B</sub>/क्यू)[(ई<sub>e</sub>- μ)/(k<sub>B</sub>टी)]। | जहाँ एफ<sub>e</sub><sup>ओ</sup> = एन/एन<sub>a</sub>साइटों (वाहक एकाग्रता) के लिए इलेक्ट्रॉनों का अनुपात है। रासायनिक क्षमता (μ) का उपयोग करते हुए, तापीय ऊर्जा (k<sub>B</sub>टी) और फर्मी फ़ंक्शन, उपरोक्त समीकरण को वैकल्पिक रूप, α में व्यक्त किया जा सकता है<sub>S,mix</sub> = (के<sub>B</sub>/क्यू)[(ई<sub>e</sub>- μ)/(k<sub>B</sub>टी)]। | ||
सीबेक प्रभाव को स्पिन तक विस्तारित करते हुए, लौहचुंबकीय मिश्र धातु अच्छा उदाहरण हो सकता है। सीबेक गुणांक में योगदान, जो | सीबेक प्रभाव को स्पिन तक विस्तारित करते हुए, लौहचुंबकीय मिश्र धातु अच्छा उदाहरण हो सकता है। सीबेक गुणांक में योगदान, जो प्रणाली की स्पिन एन्ट्रापी को बदलने वाले इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के परिणामस्वरूप होता है, α द्वारा दिया जाता है<sub>S,spin</sub> = एस<sub>spin</sub>/क्यू = (के<sub>B</sub>/q)ln[(2s + 1)/(2s<sub>0</sub> +1)], जहां एस<sub>0</sub> और एस क्रमशः वाहक की अनुपस्थिति और उपस्थिति में चुंबकीय स्थल के शुद्ध स्पिन हैं। इलेक्ट्रॉनों के साथ कई दोलन प्रभाव भी सीबेक गुणांक में योगदान करते हैं। दोलन आवृत्तियों का नरम होना दोलन एन्ट्रापी में परिवर्तन उत्पन्न करता है, इसका उदाहरण है। दोलन एन्ट्रापी मुक्त ऊर्जा का नकारात्मक व्युत्पन्न है, अर्थात, | ||
<math display="block"> S_\mathrm{vib} = -\frac{\partial F_\mathrm{mix}}{\partial T} = 3Nk_\mathrm{B}T\int_0^\omega \left\{\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\right) - \ln \left[2\sinh\left(\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\right)\right] \right\}D_p(\omega)d\omega,</math> | <math display="block"> S_\mathrm{vib} = -\frac{\partial F_\mathrm{mix}}{\partial T} = 3Nk_\mathrm{B}T\int_0^\omega \left\{\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\right) - \ln \left[2\sinh\left(\frac{\hbar\omega}{2k_\mathrm{B}T}\right)\right] \right\}D_p(\omega)d\omega,</math> | ||
जहां घ<sub>p</sub>(ω) संरचना के लिए फ़ोनन घनत्व की स्थिति है। उच्च तापमान सीमा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की श्रृंखला विस्तार के लिए, उपरोक्त को α के रूप में सरल बनाया गया है<sub>S,vib</sub> = (ΔS<sub>vib</sub>/क्यू) = (के<sub>B</sub>/क्यू)एस<sub>i</sub>(-देखना<sub>i</sub>/ओ<sub>i</sub>). | जहां घ<sub>p</sub>(ω) संरचना के लिए फ़ोनन घनत्व की स्थिति है। उच्च तापमान सीमा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की श्रृंखला विस्तार के लिए, उपरोक्त को α के रूप में सरल बनाया गया है<sub>S,vib</sub> = (ΔS<sub>vib</sub>/क्यू) = (के<sub>B</sub>/क्यू)एस<sub>i</sub>(-देखना<sub>i</sub>/ओ<sub>i</sub>). | ||
उपरोक्त ऑनसेगर फॉर्मूलेशन में प्राप्त सीबेक गुणांक मिश्रण घटक α है<sub>S,mix</sub>, जो अधिकांश अर्धचालकों पर हावी है। हाई-बैंड गैप | उपरोक्त ऑनसेगर फॉर्मूलेशन में प्राप्त सीबेक गुणांक मिश्रण घटक α है<sub>S,mix</sub>, जो अधिकांश अर्धचालकों पर हावी है। हाई-बैंड गैप पदार्थ जैसे बी में दोलन घटक<sub>13</sub>C<sub>2</sub> बहुत महत्वपूर्ण है।<br /> | ||
सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट को ध्यान में रखते हुए (ट्रांसपोर्ट किसी संतुलन का परिणाम नहीं है), | सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट को ध्यान में रखते हुए (ट्रांसपोर्ट किसी संतुलन का परिणाम नहीं है), | ||
<math display="block"> \mathbf{j}_e = -\frac{e_c}{\hbar^3}\sum_p\mathbf{u}_e f_e^\prime = -\frac{e_c}{\hbar^3k_\mathrm{B}T}\sum_p\mathbf{u}_e\tau_e \left(-\frac{\partial f_e^\mathrm{o}}{\partial E_e}\right)(\mathbf{u}_e\cdot\mathbf{F}_{te}),</math> | <math display="block"> \mathbf{j}_e = -\frac{e_c}{\hbar^3}\sum_p\mathbf{u}_e f_e^\prime = -\frac{e_c}{\hbar^3k_\mathrm{B}T}\sum_p\mathbf{u}_e\tau_e \left(-\frac{\partial f_e^\mathrm{o}}{\partial E_e}\right)(\mathbf{u}_e\cdot\mathbf{F}_{te}),</math> | ||
<math display="block"> \mathbf{q}=\frac{1}{\hbar^3}\sum_p(E_e-E_\mathrm{F})\mathbf{u}_ef_e^\prime = \frac{1}{\hbar^3k_\mathrm{B}T}\sum_p \mathbf{u}_e \tau_e \left(-\frac{\partial f_e^\mathrm{o}}{\partial E_e}\right)(E_e-E_\mathrm{F})(\mathbf{u}_e\cdot\mathbf{F}_{te}),</math> | <math display="block"> \mathbf{q}=\frac{1}{\hbar^3}\sum_p(E_e-E_\mathrm{F})\mathbf{u}_ef_e^\prime = \frac{1}{\hbar^3k_\mathrm{B}T}\sum_p \mathbf{u}_e \tau_e \left(-\frac{\partial f_e^\mathrm{o}}{\partial E_e}\right)(E_e-E_\mathrm{F})(\mathbf{u}_e\cdot\mathbf{F}_{te}),</math> | ||
जहां तुम<sub>''e''</sub> इलेक्ट्रॉन वेग वेक्टर है, एफ<sub>e</sub>(एफ<sub>e</sub><sup>o</sup>) इलेक्ट्रॉन नोक्विलिब्रियम (संतुलन) वितरण है, τ<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन समय है, ई<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन ऊर्जा है, और 'एफ'<sub>''te''</sub> ∇(E) से विद्युत और तापीय बल है<sub>F</sub>/यह है<sub>c</sub>) और ∇(1/T). | जहां तुम<sub>''e''</sub> इलेक्ट्रॉन वेग वेक्टर है, एफ<sub>e</sub>(एफ<sub>e</sub><sup>o</sup>) इलेक्ट्रॉन नोक्विलिब्रियम (संतुलन) वितरण है, τ<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन समय है, ई<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन ऊर्जा है, और 'एफ'<sub>''te''</sub> ∇(E) से विद्युत और तापीय बल है<sub>F</sub>/यह है<sub>c</sub>) और ∇(1/T). | ||
जे के लिए थर्मोइलेक्ट्रिक गुणांक को सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट समीकरणों से संबंधित करना<sub>e</sub>और क्यू, थर्मल, इलेक्ट्रिक और थर्मोइलेक्ट्रिक गुणों की गणना की जाती है। इस प्रकार, के<sub>e</sub>विद्युत चालकता σe और तापमान T के साथ बढ़ती है, जैसा कि विडेमैन-फ्रांज कानून प्रस्तुत करता है [k<sub>e</sub>/(पी<sub>e</sub>T<sub>e</sub>) = (1/3)(πk<sub>B</sub>/यह है<sub>c</sub>)<sup>2</sup>= {{val|2.44e-8|u=W-Ω/K<sup>2</sup>}}]. इलेक्ट्रॉन ट्रांसपोर्ट (σ के रूप में दर्शाया गया है<sub>e</sub>) वाहक घनत्व n का फलन है<sub>e,c</sub>और इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μ<sub>e</sub>(पी<sub>e</sub>= और<sub>c</sub>n<sub>e,c</sub>μ<sub>e</sub>). एम<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन दर द्वारा निर्धारित होता है <math>\dot{\gamma}_e</math> (या विश्राम का समय, <math>\tau_e = 1/\dot{\gamma}_e </math>) अन्य इलेक्ट्रॉनों, फोनन, अशुद्धियों और सीमाओं के साथ | जे के लिए थर्मोइलेक्ट्रिक गुणांक को सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट समीकरणों से संबंधित करना<sub>e</sub>और क्यू, थर्मल, इलेक्ट्रिक और थर्मोइलेक्ट्रिक गुणों की गणना की जाती है। इस प्रकार, के<sub>e</sub>विद्युत चालकता σe और तापमान T के साथ बढ़ती है, जैसा कि विडेमैन-फ्रांज कानून प्रस्तुत करता है [k<sub>e</sub>/(पी<sub>e</sub>T<sub>e</sub>) = (1/3)(πk<sub>B</sub>/यह है<sub>c</sub>)<sup>2</sup>= {{val|2.44e-8|u=W-Ω/K<sup>2</sup>}}]. इलेक्ट्रॉन ट्रांसपोर्ट (σ के रूप में दर्शाया गया है<sub>e</sub>) वाहक घनत्व n का फलन है<sub>e,c</sub>और इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μ<sub>e</sub>(पी<sub>e</sub>= और<sub>c</sub>n<sub>e,c</sub>μ<sub>e</sub>). एम<sub>e</sub>इलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन दर द्वारा निर्धारित होता है <math>\dot{\gamma}_e</math> (या विश्राम का समय, <math>\tau_e = 1/\dot{\gamma}_e </math>) अन्य इलेक्ट्रॉनों, फोनन, अशुद्धियों और सीमाओं के साथ इंटरैक्शन सहित विभिन्न इंटरैक्शन तंत्रों में। | ||
इलेक्ट्रॉन अन्य प्रमुख ऊर्जा वाहकों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित किए गए इलेक्ट्रॉनों को फोनन (अर्धचालकों में, ज्यादातर ऑप्टिकल फोनन) में ऊर्जा रूपांतरण के माध्यम से आराम दिया जाता है, जिसे [[जूल तापन]] कहा जाता है। पेल्टियर कूलिंग और थर्मोइलेक्ट्रिक जनरेटर जैसे [[थर्मोइलेक्ट्रिक्स]] में विद्युत क्षमता और फोनन ऊर्जा के मध्य ऊर्जा रूपांतरण पर विचार किया जाता है। इसके अलावा, [[ Optoelectronics ]] अनुप्रयोगों (अर्थात् [[प्रकाश उत्सर्जक डायोड]], [[सौर फोटोवोल्टिक सेल]], आदि) में फोटॉन के साथ | इलेक्ट्रॉन अन्य प्रमुख ऊर्जा वाहकों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित किए गए इलेक्ट्रॉनों को फोनन (अर्धचालकों में, ज्यादातर ऑप्टिकल फोनन) में ऊर्जा रूपांतरण के माध्यम से आराम दिया जाता है, जिसे [[जूल तापन]] कहा जाता है। पेल्टियर कूलिंग और थर्मोइलेक्ट्रिक जनरेटर जैसे [[थर्मोइलेक्ट्रिक्स]] में विद्युत क्षमता और फोनन ऊर्जा के मध्य ऊर्जा रूपांतरण पर विचार किया जाता है। इसके अलावा, [[ Optoelectronics ]] अनुप्रयोगों (अर्थात् [[प्रकाश उत्सर्जक डायोड]], [[सौर फोटोवोल्टिक सेल]], आदि) में फोटॉन के साथ इंटरैक्शन का अध्ययन केंद्रीय है। एब इनिटियो दृष्टिकोण के साथ फर्मी गोल्डन नियम (परटर्बेशन सिद्धांत से) का उपयोग करके इंटरेक्शन दर या ऊर्जा रूपांतरण दर का मूल्यांकन किया जा सकता है। | ||
== द्रव कण == | == द्रव कण == | ||
द्रव कण किसी भी रासायनिक बंधन को तोड़े बिना द्रव चरण (गैस, तरल या प्लाज्मा) में सबसे छोटी इकाई (परमाणु या अणु) है। द्रव कण की ऊर्जा को संभावित, इलेक्ट्रॉनिक, ट्रांसलेशनल, | द्रव कण किसी भी रासायनिक बंधन को तोड़े बिना द्रव चरण (गैस, तरल या प्लाज्मा) में सबसे छोटी इकाई (परमाणु या अणु) है। द्रव कण की ऊर्जा को संभावित, इलेक्ट्रॉनिक, ट्रांसलेशनल, दोलनात्मक और घूर्णी ऊर्जा में विभाजित किया गया है। द्रव कण में ऊष्मा (थर्मल) ऊर्जा का संचयन तापमान पर निर्भर कण गति (अनुवादात्मक, दोलनात्मक और घूर्णी ऊर्जा) के माध्यम से होता है। इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा को केवल तभी सम्मिलित किया जाता है जब तापमान तरल कणों को आयनित करने या भिन्न करने या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त उच्च हो। द्रव कणों की ये क्वांटम ऊर्जा अवस्थाएँ उनके संबंधित क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं। ये हैं एच<sub>''f'',''t''</sub> = −(एच<sup>2</sup>/2m)∇<sup>2</sup>, एच<sub>f,v</sub>= −(एच<sup>2</sup>/2m)∇<sup>2</sup> + Γx<sup>2</sup>/2 और एच<sub>''f'',''r''</sub> = −(एच<sup>2</sup>/2I<sub>f</sub>)∇<sup>2</sup>ट्रांसलेशनल, वाइब्रेशनल और रोटेशनल मोड के लिए। (Γ: हुक का नियम, I<sub>f</sub>: अणु के लिए जड़ता का क्षण)। हैमिल्टनियन से, परिमाणित द्रव कण ऊर्जा अवस्था ई<sub>f</sub>और विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) Z<sub>f</sub>[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के साथ|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन (एमबी) ऑक्यूपेंसी वितरण] के रूप में पाए जाते हैं<ref name=CareyBook>{{cite book|author1-link=Van Carey|last=Carey|first=V. P.|title=सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स और सूक्ष्म पैमाने थर्मोफिजिक्स|year=1999 | publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge|isbn=978-0521654203}}</ref> | ||
* अनुवादात्मक <math display="block"> E_{f,t,n} = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m} \left(\frac{n_x^2}{L^2}+\frac{n_y^2}{L^2}+\frac{n_z^2}{L^2}\right) \ \ \ \text{and} \ \ \ Z_{f,t} \sum_{i = 0}^\infty g_{f,t,i} \exp \left(-\frac{E_{f,t,i}}{k_\mathrm{B}T}\right) = V \left(\frac{m k_\mathrm{B}T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2},</math> | * अनुवादात्मक <math display="block"> E_{f,t,n} = \frac{\pi^2\hbar^2}{2m} \left(\frac{n_x^2}{L^2}+\frac{n_y^2}{L^2}+\frac{n_z^2}{L^2}\right) \ \ \ \text{and} \ \ \ Z_{f,t} \sum_{i = 0}^\infty g_{f,t,i} \exp \left(-\frac{E_{f,t,i}}{k_\mathrm{B}T}\right) = V \left(\frac{m k_\mathrm{B}T}{2\pi\hbar^2}\right)^{3/2},</math> | ||
* | * दोलनात्मक <math display="block"> E_{f,v,l} = \hbar\omega_{f,v}\left(1 + \frac{1}{2}\right) \ \ \text{and} \ \ Z_{f,v}\sum_{j = 0}^\infty \exp\left[-\left(l+\frac{1}{2}\right)\frac{\hbar\omega_{f,v}}{k_\mathrm{B}T}\right] = \frac{\exp(-T_{f,v}/2T)}{1-\exp(-T_{f,v}/T)},</math> | ||
* घूर्णी <math display="block"> E_{f,r,j} = \frac{\hbar^2}{2I_f} \ \ \text{and} \ \ Z_{f,r}\sum_{j = 0}^\infty (2j+1)\exp \left[-\frac{-\hbar^2j(j+1)}{2I_f k_\mathrm{B}T}\right] \approx \frac{T}{T_{f,r}} \left(1 + \frac{T_{f,r}}{3T} + \frac{T_{f,r}^2}{15T^2}+ \cdots\right),</math> | * घूर्णी <math display="block"> E_{f,r,j} = \frac{\hbar^2}{2I_f} \ \ \text{and} \ \ Z_{f,r}\sum_{j = 0}^\infty (2j+1)\exp \left[-\frac{-\hbar^2j(j+1)}{2I_f k_\mathrm{B}T}\right] \approx \frac{T}{T_{f,r}} \left(1 + \frac{T_{f,r}}{3T} + \frac{T_{f,r}^2}{15T^2}+ \cdots\right),</math> | ||
* कुल <math display="block"> E_{f} = \sum_i E_{f,i} = E_{f,t} + E_{f,v} + E_{f,r} + \dots \ \ \text{and} \ \ Z_{f}=\prod_{i}Z_{f,i} = Z_{f,t}Z_{f,v}Z_{f,r}\dots .</math> | * कुल <math display="block"> E_{f} = \sum_i E_{f,i} = E_{f,t} + E_{f,v} + E_{f,r} + \dots \ \ \text{and} \ \ Z_{f}=\prod_{i}Z_{f,i} = Z_{f,t}Z_{f,v}Z_{f,r}\dots .</math> | ||
यहाँ, जी<sub>f</sub>अध:पतन है, n, l, और j संक्रमणकालीन, | यहाँ, जी<sub>f</sub>अध:पतन है, n, l, और j संक्रमणकालीन, दोलनात्मक और घूर्णी क्वांटम संख्याएँ हैं, T<sub>f,v</sub>दोलन के लिए विशिष्ट तापमान है (= ħω<sub>f,v</sub>/क<sub>B</sub>, : दोलन आवृत्ति), और टी<sub>f,r</sub>घूर्णी तापमान है [= ħ<sup>2</sup>/(2आई<sub>f</sub>k<sub>B</sub>)]. औसत विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा Z के माध्यम से विभाजन फ़ंक्शन से संबंधित है<sub>f</sub>, <math> e_f = (k_\mathrm{B}T^2/m)(\partial \mathrm{ln}Z_f/\partial T)|_{N,V}.</math> | ||
ऊर्जा अवस्थाओं और विभाजन फ़ंक्शन के साथ, द्रव कण विशिष्ट ताप क्षमता c<sub>v,f</sub>विभिन्न गतिज ऊर्जाओं के योगदान का योग है (गैर-आदर्श गैस के लिए संभावित ऊर्जा भी जोड़ी जाती है)। क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की कुल डिग्री परमाणु विन्यास द्वारा निर्धारित होती है, c<sub>v,f</sub>कॉन्फ़िगरेशन के आधार पर भिन्न-भिन्न सूत्र हैं,<ref name=CareyBook /> | ऊर्जा अवस्थाओं और विभाजन फ़ंक्शन के साथ, द्रव कण विशिष्ट ताप क्षमता c<sub>v,f</sub>विभिन्न गतिज ऊर्जाओं के योगदान का योग है (गैर-आदर्श गैस के लिए संभावित ऊर्जा भी जोड़ी जाती है)। क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की कुल डिग्री परमाणु विन्यास द्वारा निर्धारित होती है, c<sub>v,f</sub>कॉन्फ़िगरेशन के आधार पर भिन्न-भिन्न सूत्र हैं,<ref name=CareyBook /> | ||
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जहां तुम<sub>f</sub><sup>2</sup>⟩<sup>1/2</sup>आरएमएस (मूल माध्य वर्ग) थर्मल वेग (3k) है<sub>B</sub>एमबी वितरण फ़ंक्शन से टी/एम, एम: परमाणु द्रव्यमान) और τ<sub>f-f</sub>विश्राम का समय है (या अंतर्टकराव समय अवधि) [(2<sup>1/2</sup>π डी<sup>2</sup>n<sub>f</sub>⟨में<sub>f</sub>⟩)<sup>−1</sup>गैस गतिज सिद्धांत से, ⟨u<sub>f</sub>⟩: औसत तापीय गति (8k<sub>B</sub>टी/πm)<sup>1/2</sup>, d: द्रव कण (परमाणु या अणु) का टकराव व्यास, n<sub>f</sub>: द्रव संख्या घनत्व]। | जहां तुम<sub>f</sub><sup>2</sup>⟩<sup>1/2</sup>आरएमएस (मूल माध्य वर्ग) थर्मल वेग (3k) है<sub>B</sub>एमबी वितरण फ़ंक्शन से टी/एम, एम: परमाणु द्रव्यमान) और τ<sub>f-f</sub>विश्राम का समय है (या अंतर्टकराव समय अवधि) [(2<sup>1/2</sup>π डी<sup>2</sup>n<sub>f</sub>⟨में<sub>f</sub>⟩)<sup>−1</sup>गैस गतिज सिद्धांत से, ⟨u<sub>f</sub>⟩: औसत तापीय गति (8k<sub>B</sub>टी/πm)<sup>1/2</sup>, d: द्रव कण (परमाणु या अणु) का टकराव व्यास, n<sub>f</sub>: द्रव संख्या घनत्व]। | ||
क<sub>f</sub>[[आणविक गतिशीलता]] (एमडी) का उपयोग करके भी गणना की जाती है, जो न्यूटन के गति (पारंपरिक) और [[बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान)]] (एबी इनिटियो या प्रयोगसिद्ध गुणों से) के नियमों के साथ द्रव कणों की गति (भौतिकी) का अनुकरण करता है। के की गणना के लिए<sub>f</sub>, ग्रीन-क्यूबो संबंधों के साथ संतुलन एमडी, जो समय सहसंबंध कार्यों (उतार-चढ़ाव पर विचार करते हुए) के अभिन्न अंग के संदर्भ में ट्रांसपोर्ट गुणांक व्यक्त करते हैं, या कोई भी संतुलन एमडी (सिम्युलेटेड | क<sub>f</sub>[[आणविक गतिशीलता]] (एमडी) का उपयोग करके भी गणना की जाती है, जो न्यूटन के गति (पारंपरिक) और [[बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान)]] (एबी इनिटियो या प्रयोगसिद्ध गुणों से) के नियमों के साथ द्रव कणों की गति (भौतिकी) का अनुकरण करता है। के की गणना के लिए<sub>f</sub>, ग्रीन-क्यूबो संबंधों के साथ संतुलन एमडी, जो समय सहसंबंध कार्यों (उतार-चढ़ाव पर विचार करते हुए) के अभिन्न अंग के संदर्भ में ट्रांसपोर्ट गुणांक व्यक्त करते हैं, या कोई भी संतुलन एमडी (सिम्युलेटेड प्रणाली में गर्मी प्रवाह या तापमान अंतर निर्धारित करना) आमतौर पर नियोजित नहीं होते हैं। | ||
द्रव कण अन्य प्रमुख कणों के साथ परस्पर क्रिया कर सकते हैं। | द्रव कण अन्य प्रमुख कणों के साथ परस्पर क्रिया कर सकते हैं। दोलन या घूर्णी मोड, जिनमें अपेक्षाकृत उच्च ऊर्जा होती है, फोटॉन के साथ इंटरैक्शन के माध्यम से उत्तेजित या क्षय होते हैं। [[गैस लेजर]] द्रव कणों और फोटॉन के मध्य इंटरेक्शन बल गतिकी को नियोजित करते हैं, और सीओ में लेजर कूलिंग पर भी विचार किया गया है<sub>2</sub> गैस लेजर.<ref name=Djeu1981>{{cite journal|last=Djeu|first=N.|author2=Whitney, W.|title=स्पॉन्टेनियस एंटी-स्टोक्स स्कैटरिंग द्वारा लेजर कूलिंग| journal=Physical Review Letters|year=1981|volume=46|issue=4|pages=236–239|doi=10.1103/PhysRevLett.46.236|bibcode = 1981PhRvL..46..236D }}</ref><ref name=Shin2009>{{cite journal|last=Shin|first=S.|author2=Kaviany, M.|title=Enhanced laser cooling of CO<sub>2</sub>–Xe gas using (02<sup>0</sup>0) excitation|journal=Journal of Applied Physics | year=2009|volume=106|issue=12|pages=124910–124910–6|doi=10.1063/1.3273488|bibcode = 2009JAP...106l4910S }}</ref> इसके अलावा, तरल पदार्थ के कण ठोस सतहों (फिसिसोरेशन और केमिसोरेशन) पर सोख सकते हैं, और सोखने वाले (द्रव कण) में कुंठित दोलन मोड ई बनाकर क्षय हो जाते हैं<sup>−</sup>-ज<sup>+</sup>जोड़े या फ़ोनन। इन अंतःक्रिया दरों की गणना द्रव कण और फर्मी गोल्डन नियम पर एब इनिटियो गणना के माध्यम से भी की जाती है।<ref name=Sakong2008>{{cite journal|last=Sakong|first=S.|author2=Kratzer, P. |author3=Han, X. |author4=Laß, K. |author5=Weingart, O. |author6= Hasselbrink, E. |title=Si(100) पर उत्तेजना को खींचकर CO के कंपन संबंधी विश्राम का घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत अध्ययन|journal=The Journal of Chemical Physics| year=2008 |volume=129|issue=17|pages=174702|doi=10.1063/1.2993254|pmid=19045365|bibcode = 2008JChPh.129q4702S }}</ref> | ||
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कहां ई<sub>''e''</sub> और बी<sub>''e''</sub> ईएम विकिरण के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, ε<sub>o</sub> और μ<sub>o</sub> मुक्त-स्थान पारगम्यता और पारगम्यता हैं, वी इंटरैक्शन वॉल्यूम है, ω<sub>ph,α</sub>α मोड और c के लिए फोटॉन कोणीय आवृत्ति है<sub>α</sub><sup>†</sup>और सी<sub>α</sub>फोटॉन निर्माण और विनाश संचालक हैं। वेक्टर क्षमता 'ए'<sub>''e''</sub> ईएम क्षेत्रों की (उदा<sub>''e''</sub> = −∂a<sub>''e''</sub>/∂t और 'बी'<sub>''e''</sub> = ∇×a<sub>''e''</sub>) है | कहां ई<sub>''e''</sub> और बी<sub>''e''</sub> ईएम विकिरण के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, ε<sub>o</sub> और μ<sub>o</sub> मुक्त-स्थान पारगम्यता और पारगम्यता हैं, वी इंटरैक्शन वॉल्यूम है, ω<sub>ph,α</sub>α मोड और c के लिए फोटॉन कोणीय आवृत्ति है<sub>α</sub><sup>†</sup>और सी<sub>α</sub>फोटॉन निर्माण और विनाश संचालक हैं। वेक्टर क्षमता 'ए'<sub>''e''</sub> ईएम क्षेत्रों की (उदा<sub>''e''</sub> = −∂a<sub>''e''</sub>/∂t और 'बी'<sub>''e''</sub> = ∇×a<sub>''e''</sub>) है | ||
<math display="block"> \mathbf{a}_{e} (\mathbf{x},t) = \sum_\alpha \left(\frac{\hbar}{2\varepsilon_\mathrm{o}\omega_{ph,\alpha}V}\right)^{1/2} \mathbf{s}_{ph,\alpha} \left(c_\alpha e^{i \boldsymbol{\kappa}_\alpha \cdot \mathbf{x}} + c_\alpha^\dagger e^{-i\boldsymbol{\kappa}_\alpha\cdot\mathbf{x}}\right), </math> | <math display="block"> \mathbf{a}_{e} (\mathbf{x},t) = \sum_\alpha \left(\frac{\hbar}{2\varepsilon_\mathrm{o}\omega_{ph,\alpha}V}\right)^{1/2} \mathbf{s}_{ph,\alpha} \left(c_\alpha e^{i \boldsymbol{\kappa}_\alpha \cdot \mathbf{x}} + c_\alpha^\dagger e^{-i\boldsymbol{\kappa}_\alpha\cdot\mathbf{x}}\right), </math> | ||
जहाँ एस<sub>''ph,α''</sub> इकाई ध्रुवीकरण वेक्टर है, κ<sub>''α''</sub> तरंग सदिश | जहाँ एस<sub>''ph,α''</sub> इकाई ध्रुवीकरण वेक्टर है, κ<sub>''α''</sub> तरंग सदिश है। | ||
विभिन्न प्रकार के फोटॉन उत्सर्जन के मध्य ब्लैकबॉडी विकिरण इंटरफोटॉन इंटरैक्शन के बिना थर्मल ऊर्जा वितरण के साथ [[फोटॉन गैस]] मॉडल को नियोजित करता है। रैखिक | विभिन्न प्रकार के फोटॉन उत्सर्जन के मध्य ब्लैकबॉडी विकिरण इंटरफोटॉन इंटरैक्शन के बिना थर्मल ऊर्जा वितरण के साथ [[फोटॉन गैस]] मॉडल को नियोजित करता है। रैखिक विक्षेपण संबंध (अर्थात्, विक्षेपण रहित) से, चरण और समूह गति बराबर हैं (यू)।<sub>ph</sub>= डी ω<sub>ph</sub>/dk = ω<sub>ph</sub>/के, यू<sub>ph</sub>: फोटॉन गति) और डिबाई (विक्षेपण रहित फोटॉन के लिए प्रयुक्त) अवस्थाओं का घनत्व डी है<sub>ph,b,ω</sub>dω = ω<sub>ph</sub><sup>2</sup>dω<sub>ph</sub>/पी<sup>2</sup>u<sub>ph</sub><sup>3</sup>. डी के साथ<sub>ph,b,ω</sub>और संतुलन वितरण एफ<sub>ph</sub>, फोटॉन ऊर्जा वर्णक्रमीय वितरण डी.आई<sub>b,ω</sub>या डी.आई<sub>b,λ</sub>(एल<sub>ph</sub>: तरंग दैर्ध्य) और कुल उत्सर्जक शक्ति ई<sub>b</sub>के रूप में व्युत्पन्न हैं | ||
<math display="block"> dI_{b,\omega} = \frac{D_{ph,b,\omega}f_{ph}u_{ph}d\omega_{ph}}{4\pi} =\frac{\hbar\omega_{ph}^3}{4\pi^3u_{ph}^2} \frac{1}{e^{\hbar\omega_{ph}/k_\mathrm{B}T}-1} d\omega_{ph} \ \text{or} \ d I_{b,\lambda} = \frac{4\pi\hbar u_{ph}^2 d \lambda_{ph}}{\lambda_{ph}^5(e^{2\pi\hbar | <math display="block"> dI_{b,\omega} = \frac{D_{ph,b,\omega}f_{ph}u_{ph}d\omega_{ph}}{4\pi} =\frac{\hbar\omega_{ph}^3}{4\pi^3u_{ph}^2} \frac{1}{e^{\hbar\omega_{ph}/k_\mathrm{B}T}-1} d\omega_{ph} \ \text{or} \ d I_{b,\lambda} = \frac{4\pi\hbar u_{ph}^2 d \lambda_{ph}}{\lambda_{ph}^5(e^{2\pi\hbar | ||
u_{ph} / \lambda_{ph}k_\mathrm{B}T}-1)} </math> (प्लैंक का नियम), | u_{ph} / \lambda_{ph}k_\mathrm{B}T}-1)} </math> (प्लैंक का नियम), | ||
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L लंबाई के वैकल्पिक रूप से मोटे माध्यम के मामले में, अर्थात्, σ<sub>ph</sub>एल >> 1, और गैस गतिज सिद्धांत का उपयोग करते हुए, फोटॉन चालकता k<sub>ph</sub>16σ है<sub>SB</sub>T<sup>3</sup>/3σ<sub>ph</sub>(पी<sub>SB</sub>: स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान स्थिरांक, σ<sub>ph</sub>: औसत फोटॉन अवशोषण), और फोटॉन ताप क्षमता एन<sub>ph</sub>c<sub>v,ph</sub>16σ है<sub>SB</sub>T<sup>3</sup>/u<sub>ph</sub>. | L लंबाई के वैकल्पिक रूप से मोटे माध्यम के मामले में, अर्थात्, σ<sub>ph</sub>एल >> 1, और गैस गतिज सिद्धांत का उपयोग करते हुए, फोटॉन चालकता k<sub>ph</sub>16σ है<sub>SB</sub>T<sup>3</sup>/3σ<sub>ph</sub>(पी<sub>SB</sub>: स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान स्थिरांक, σ<sub>ph</sub>: औसत फोटॉन अवशोषण), और फोटॉन ताप क्षमता एन<sub>ph</sub>c<sub>v,ph</sub>16σ है<sub>SB</sub>T<sup>3</sup>/u<sub>ph</sub>. | ||
फोटॉन में ऊर्जा की सबसे बड़ी श्रृंखला होती है और यह विभिन्न प्रकार के ऊर्जा रूपांतरणों में केंद्रीय होता है। फोटॉन विद्युत और चुंबकीय संस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत द्विध्रुव जो बदले में ऑप्टिकल फोनन या द्रव कण | फोटॉन में ऊर्जा की सबसे बड़ी श्रृंखला होती है और यह विभिन्न प्रकार के ऊर्जा रूपांतरणों में केंद्रीय होता है। फोटॉन विद्युत और चुंबकीय संस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत द्विध्रुव जो बदले में ऑप्टिकल फोनन या द्रव कण दोलन, या इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के संक्रमण द्विध्रुव क्षणों से उत्तेजित होते हैं। ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी में, फोनन के इंटरेक्शन बल गतिकी का इलाज परटर्बेशन सिद्धांत (फर्मी गोल्डन रूल) और इंटरेक्शन हैमिल्टनियन का उपयोग करके किया जाता है। फोटॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन है<ref name=Bartolo2010>{{cite book|last=Di Bartolo|first=B.|title=ठोस पदार्थों में ऑप्टिकल इंटरैक्शन|year=2010|publisher=World Scientific|location=New Jersey| isbn=978-9814295741| edition=2nd}}</ref> | ||
<math display="block"> \mathrm{H}_{ph-e} = -\frac{e_c}{m_e} \left(a + a^\dagger\right)\mathbf{a}_e\cdot\mathbf{p}_e = -\left(\frac{\hbar\omega_{ph,\alpha}}{2\varepsilon_o V}\right)^{1/2} (\mathbf{s}_{ph,\alpha}\cdot e_c \mathbf{x}_e)\left(a + a^\dagger\right)\left(ce^{i\mathrm{\kappa}\cdot\mathrm{x}}+c^\dagger e^{-i\mathrm{\kappa}\cdot\mathrm{x}}\right), </math> | <math display="block"> \mathrm{H}_{ph-e} = -\frac{e_c}{m_e} \left(a + a^\dagger\right)\mathbf{a}_e\cdot\mathbf{p}_e = -\left(\frac{\hbar\omega_{ph,\alpha}}{2\varepsilon_o V}\right)^{1/2} (\mathbf{s}_{ph,\alpha}\cdot e_c \mathbf{x}_e)\left(a + a^\dagger\right)\left(ce^{i\mathrm{\kappa}\cdot\mathrm{x}}+c^\dagger e^{-i\mathrm{\kappa}\cdot\mathrm{x}}\right), </math> | ||
जहां पी<sub>''e''</sub> द्विध्रुव आघूर्ण सदिश है और a<sup>†</sup>और ए इलेक्ट्रॉन की आंतरिक गति का निर्माण और विनाश है। फोटॉन टर्नरी इंटरैक्शन में भी भाग लेते हैं, उदाहरण के लिए, फोनन-सहायता वाले फोटॉन अवशोषण/उत्सर्जन (इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर का संक्रमण)।<ref name=Garcia2006>{{cite journal|last=Garcia|first=H.|author2=Kalyanaraman, R.|title=Phonon-assisted two-photon absorption in the presence of a dc-field: the nonlinear Franz–Keldysh effect in indirect gap semiconductors|journal=Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics|year=2006|volume=39|issue=12|pages=2737–2746|doi=10.1088/0953-4075/39/12/009|bibcode = 2006JPhB...39.2737G }}</ref><ref name=Kim2008>{{cite journal|last=Kim|first=J.|author2=Kapoor, A. |author3=Kaviany, M. |title=ठोस पदार्थों के लेजर शीतलन के लिए सामग्री मेट्रिक्स|journal=Physical Review B|year=2008|volume=77|issue=11|pages=115127|doi=10.1103/PhysRevB.77.115127|bibcode = 2008PhRvB..77k5127K }}</ref> द्रव कणों में | जहां पी<sub>''e''</sub> द्विध्रुव आघूर्ण सदिश है और a<sup>†</sup>और ए इलेक्ट्रॉन की आंतरिक गति का निर्माण और विनाश है। फोटॉन टर्नरी इंटरैक्शन में भी भाग लेते हैं, उदाहरण के लिए, फोनन-सहायता वाले फोटॉन अवशोषण/उत्सर्जन (इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर का संक्रमण)।<ref name=Garcia2006>{{cite journal|last=Garcia|first=H.|author2=Kalyanaraman, R.|title=Phonon-assisted two-photon absorption in the presence of a dc-field: the nonlinear Franz–Keldysh effect in indirect gap semiconductors|journal=Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics|year=2006|volume=39|issue=12|pages=2737–2746|doi=10.1088/0953-4075/39/12/009|bibcode = 2006JPhB...39.2737G }}</ref><ref name=Kim2008>{{cite journal|last=Kim|first=J.|author2=Kapoor, A. |author3=Kaviany, M. |title=ठोस पदार्थों के लेजर शीतलन के लिए सामग्री मेट्रिक्स|journal=Physical Review B|year=2008|volume=77|issue=11|pages=115127|doi=10.1103/PhysRevB.77.115127|bibcode = 2008PhRvB..77k5127K }}</ref> द्रव कणों में दोलन मोड फोटॉन उत्सर्जित या अवशोषित करके क्षय या उत्तेजित हो सकता है। उदाहरण ठोस और आणविक गैस लेजर शीतलन हैं।<ref name=Phillips1998>{{cite journal|last=Phillips|first=W. D.|title=Nobel Lecture: Laser cooling and trapping of neutral atoms|journal=Reviews of Modern Physics|year=1998|volume=70|issue=3|pages=721–741|doi=10.1103/RevModPhys.70.721|bibcode = 1998RvMP...70..721P |url=https://zenodo.org/record/1233967|doi-access=free}}</ref><ref name=Chan2011>{{cite journal|last=Chan|first=J.|author2=Alegre, T. P. Mayer |author3=Safavi-Naeini, Amir H. |author4=Hill, Jeff T. |author5=Krause, Alex |author6=Gröblacher, Simon |author7=Aspelmeyer, Markus |author8= Painter, Oskar |title=एक नैनोमैकेनिकल ऑसिलेटर को उसकी क्वांटम ग्राउंड अवस्था में लेज़र द्वारा ठंडा करना|journal=Nature|year=2011|volume=478|issue=7367|pages=89–92|doi=10.1038/nature10461|pmid=21979049|arxiv = 1106.3614 |bibcode = 2011Natur.478...89C |s2cid=4382148 }}</ref><ref name=Hehlen2007>{{cite journal|last=Hehlen|first=M.|author2=Epstein, R. |author3=Inoue, H. |title=Model of laser cooling in the Yb3+-doped fluorozirconate glass ZBLAN|journal=Physical Review B|year=2007|volume=75|issue=14|pages=144302|doi=10.1103/PhysRevB.75.144302|bibcode = 2007PhRvB..75n4302H |url=https://zenodo.org/record/1233753}}</ref> | ||
ईएम सिद्धांत के साथ पहले सिद्धांतों के आधार पर एबी इनिटियो गणनाओं का उपयोग करते हुए, विभिन्न विकिरण गुण जैसे कि ढांकता हुआ फ़ंक्शन ([[विद्युत पारगम्यता]], ε)<sub>e,ω</sub>), वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक (σ<sub>ph,ω</sub>), और जटिल अपवर्तन सूचकांक (एम<sub>ω</sub>), पदार्थ में फोटॉन और विद्युत/चुंबकीय संस्थाओं के मध्य विभिन्न इंटरैक्शन के लिए गणना की जाती है।<ref>{{cite journal|last=Bao|first=H.|author2=Ruan, X.|title=Ab initio calculations of thermal radiative properties: The semiconductor GaAs|journal=International Journal of Heat and Mass Transfer|year=2009|volume=53|issue=7–8 |pages=1308–1312 |doi=10.1016/j.ijheatmasstransfer.2009.12.033}}</ref><ref>{{cite journal|last=Bao|first=H.|author2=Qiu, B. |author3=Zhang, Y. |author4= Ruan, X. |title=ऑप्टिकल फोनन जीवनकाल और ध्रुवीय सामग्रियों के दूर-अवरक्त परावर्तन की भविष्यवाणी के लिए एक प्रथम-सिद्धांत आणविक गतिशीलता दृष्टिकोण|journal=Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer|year=2012|volume=113|issue=13|pages=1683–1688|doi=10.1016/j.jqsrt.2012.04.018|bibcode = 2012JQSRT.113.1683B }}</ref> उदाहरण के लिए, काल्पनिक भाग (ε<sub>e,c,ω</sub>) जटिल ढांकता हुआ फ़ंक्शन (ε<sub>e,ω</sub>= ई<sub>e,r,ω</sub>+ मैं ई<sub>e,c,ω</sub>) बैंडगैप में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए है<ref name=ZhangBook /><br/> | ईएम सिद्धांत के साथ पहले सिद्धांतों के आधार पर एबी इनिटियो गणनाओं का उपयोग करते हुए, विभिन्न विकिरण गुण जैसे कि ढांकता हुआ फ़ंक्शन ([[विद्युत पारगम्यता]], ε)<sub>e,ω</sub>), वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक (σ<sub>ph,ω</sub>), और जटिल अपवर्तन सूचकांक (एम<sub>ω</sub>), पदार्थ में फोटॉन और विद्युत/चुंबकीय संस्थाओं के मध्य विभिन्न इंटरैक्शन के लिए गणना की जाती है।<ref>{{cite journal|last=Bao|first=H.|author2=Ruan, X.|title=Ab initio calculations of thermal radiative properties: The semiconductor GaAs|journal=International Journal of Heat and Mass Transfer|year=2009|volume=53|issue=7–8 |pages=1308–1312 |doi=10.1016/j.ijheatmasstransfer.2009.12.033}}</ref><ref>{{cite journal|last=Bao|first=H.|author2=Qiu, B. |author3=Zhang, Y. |author4= Ruan, X. |title=ऑप्टिकल फोनन जीवनकाल और ध्रुवीय सामग्रियों के दूर-अवरक्त परावर्तन की भविष्यवाणी के लिए एक प्रथम-सिद्धांत आणविक गतिशीलता दृष्टिकोण|journal=Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer|year=2012|volume=113|issue=13|pages=1683–1688|doi=10.1016/j.jqsrt.2012.04.018|bibcode = 2012JQSRT.113.1683B }}</ref> उदाहरण के लिए, काल्पनिक भाग (ε<sub>e,c,ω</sub>) जटिल ढांकता हुआ फ़ंक्शन (ε<sub>e,ω</sub>= ई<sub>e,r,ω</sub>+ मैं ई<sub>e,c,ω</sub>) बैंडगैप में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए है<ref name=ZhangBook /><br/> | ||
<math display="block"> \varepsilon_{e,c,\omega} = \frac{4\pi^2}{\omega^2V}\sum_{i\isin \mathrm{VB},j\isin \mathrm{CB}}\sum_{\kappa} w_\kappa |p_{ij}|^2 \delta(E_{\kappa,j}-E_{\kappa,i}-\hbar\omega), </math> | <math display="block"> \varepsilon_{e,c,\omega} = \frac{4\pi^2}{\omega^2V}\sum_{i\isin \mathrm{VB},j\isin \mathrm{CB}}\sum_{\kappa} w_\kappa |p_{ij}|^2 \delta(E_{\kappa,j}-E_{\kappa,i}-\hbar\omega), </math> | ||
Revision as of 06:26, 10 August 2023
ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी प्रमुख ऊर्जा वाहक, फ़ोनों (लैटिस दोलन तरंगों), इलेक्ट्रॉन, मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण और फोटॉन द्वारा ऊर्जा संचयन, ट्रांसपोर्ट और ऊर्जा परिवर्तन की गतिशीलता का वर्णन करती है।[1][2][3][4][5] ऊष्मा इलेक्ट्रॉनों, परमाणु नाभिकों, व्यक्तिगत परमाणुओं और अणुओं सहित कणों की तापमान-निर्भर गति (भौतिकी) में संग्रहीत ऊर्जा है। मुख्य ऊर्जा वाहकों द्वारा पदार्थ से ऊष्मा स्थानांतरित की जाती है। पदार्थ के अन्दर संग्रहीत या वाहकों द्वारा ट्रांसपोर्ट की गई ऊर्जा की स्थिति को पारंपरिक और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी के संयोजन द्वारा वर्णित किया गया है। विभिन्न वाहकों के मध्य ऊर्जा भिन्न-भिन्न बनती (रूपांतरित) होती है।
गर्मी हस्तांतरण प्रक्रियाएं (या बल गतिकी) उन दरों से नियंत्रित होती हैं जिन पर विभिन्न संबंधित भौतिक घटनाएं घटित होती हैं, जैसे (उदाहरण के लिए) पारंपरिक यांत्रिकी में कण टकराव की दर। ये विभिन्न अवस्थाएँ और गतिकी ऊष्मा स्थानांतरण, अर्थात् ऊर्जा संचयन या ट्रांसपोर्ट की शुद्ध दर निर्धारित करती हैं। इन प्रक्रियाओं को परमाणु स्तर (परमाणु या अणु लंबाई मानक) से मैक्रोस्केल तक नियंत्रित करना ऊर्जा संरक्षण सहित थर्मोडायनामिक्स के नियम हैं।
परिचय
File:Equilibrium Particle distribution function.jpg
विभिन्न ऊर्जा वाहकों के लिए ऊर्जा के संबंध में संतुलन कण वितरण फ़ंक्शन में भिन्नता।
File:Kinetics of atomic-level energy transport and transition interaction, Interaction times spectrum1.jpg
परमाणु-स्तर के ऊर्जा ट्रांसपोर्ट और संक्रमण अंतःक्रिया की गतिकी[5]
File:Time-length scale regimes.jpg
एब इनिटियो, एमडी, बोल्ट्ज़मैन ट्रांसपोर्ट और गर्मी हस्तांतरण के मैक्रोस्कोपिक क्रिया के लिए लंबाई-समय मानक के नियम।[5]
ऊष्मा कणों की तापमान-निर्भर गति से जुड़ी तापीय ऊर्जा है। ऊष्मा अंतरण विश्लेषण में प्रयुक्त अतिसूक्ष्म आयतन के लिए मैक्रोस्कोपिक ऊर्जा समीकरण है[6]
जहाँ q ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है, −ρcp(∂T/∂t) आंतरिक ऊर्जा (ρ घनत्व है, cp स्थिर दबाव पर विशिष्ट ताप क्षमता है, T तापमान है और t समय है) का अस्थायी परिवर्तन है, और थर्मल ऊर्जा (i और j प्रमुख ऊर्जा वाहकों के लिए हैं) से ऊर्जा रूपांतरण है। इसलिए ये शब्द ऊर्जा ट्रांसपोर्ट, संचयन और परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऊष्मा प्रवाह वेक्टर q तीन मैक्रोस्कोपिक मौलिक मोड से बना है, जो थर्मल चालन (qk = −k∇T, k: तापीय चालकता), संवहन (qu = ρcpuT, u: वेग), और विकिरण (, ω: कोणीय आवृत्ति, θ : ध्रुवीय कोण, Iph,ω: वर्णक्रमीय, दिशात्मक विकिरण तीव्रता, s: यूनिट वेक्टर) है। अर्थात्, q = qk + qu + qr.
एक बार ऊर्जा रूपांतरण और थर्मोफिजिकल गुणों की स्थिति और गतिकी ज्ञात हो जाने पर गर्मी हस्तांतरण के भाग्य का वर्णन उपरोक्त समीकरण द्वारा किया जाता है। इन परमाणु-स्तर के तंत्रों और गतिकी को ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी में संबोधित किया जाता है। सूक्ष्म तापीय ऊर्जा को प्रमुख ऊर्जा वाहक फोनन (p), इलेक्ट्रॉन (e), द्रव कण (f), और फोटॉन (ph) द्वारा संग्रहीत, ट्रांसपोर्ट और परिवर्तित किया जाता है।[7]
लंबाई और समय का पैमाना
पदार्थ के थर्मोफिजिकल गुण और प्रमुख वाहकों के मध्य परस्पर क्रिया और ऊर्जा विनिमय की गतिशीलता परमाणु-स्तर के विन्यास और अंतःक्रिया पर आधारित होती है।[1] तापीय चालकता जैसे ट्रांसपोर्ट गुणों की गणना पारंपरिक और क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके इन परमाणु-स्तर के गुणों से की जाती है।[5][8] प्रमुख वाहकों की क्वांटम अवस्थाएँ (उदाहरण के लिए संवेग, ऊर्जा) श्रोडिंगर समीकरण (जिसे प्रथम सिद्धांत या एबी इनिटियो कहा जाता है) से प्राप्त की जाती हैं और इंटरैक्शन दर (कैनेटिक्स के लिए) की गणना क्वांटम अवस्थाओं और क्वांटम पर्टर्बेशन सिद्धांत ((फर्मी स्वर्णिम नियम के रूप में तैयार किया गया)) का उपयोग करके की जाती है।[9] एब इनिटियो (प्रारंभ से लैटिन) सॉल्वर (सॉफ्टवेयर) की विविधता उपस्थित (उदाहरण के लिए, एबिनिट, कैस्टेप, गाऊसी (सॉफ्टवेयर) , क्यू केम, एस्प्रेसो जितना , सिएस्टा (कंप्यूटर प्रोग्राम), वीएएसपी, डब्ल्यूआईईएन2के) है। आंतरिक कोश (कोर) में इलेक्ट्रॉन गर्मी हस्तांतरण में सम्मिलित नहीं होते हैं, और आंतरिक-कोश इलेक्ट्रॉनों के बारे में उचित अनुमान से गणना बहुत कम हो जाती है।[10]
क्वांटम क्रिया, जिसमें संतुलन और नॉनक्विलिब्रियम एब इनिटियो आणविक गतिशीलता (एमडी) सम्मिलित हैं, जिसमें बड़ी लंबाई और समय सम्मिलित है, गणना संसाधनों द्वारा सीमित हैं, इसलिए सरलीकृत मान्यताओं के साथ विभिन्न वैकल्पिक क्रियाों और बल गतिकी का उपयोग किया गया है।[11] पारंपरिक (न्यूटोनियन) एमडी में, परमाणु या अणु (कण) की गति प्रयोगसिद्ध या प्रभावी अंतःक्रिया क्षमता पर आधारित होती है, जो बदले में एबी इनिटियो गणना के वक्र-फिट या थर्मोफिजिकल गुणों के वक्र-फिट पर आधारित हो सकती है। अनुरूपित कणों के समुच्चय से, स्थैतिक या गतिशीलता थर्मल गुण या प्रकीर्णन की दर प्राप्त होती है।[12][13]
अभी भी बड़े लंबाई के मानक (मेसोस्केल, जिसमें कई माध्य मुक्त पथ सम्मिलित हैं) पर, बोल्ट्ज़मैन ट्रांसपोर्ट समीकरण समीकरण (बीटीई) प्रायुक्त किया जाता है जो पारंपरिक हैमिल्टनियन-सांख्यिकीय यांत्रिकी पर आधारित है। बीटीई स्थिति और गति वैक्टर (x, p) के संदर्भ में कण अवस्थाओं पर विचार करता है और इसे अवस्था ऑक्यूपेशन संभावना के रूप में दर्शाया जाता है। व्यवसाय में संतुलन वितरण (ज्ञात बोसॉन, फ़र्मियन और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन कण) हैं और ऊर्जा (गर्मी) का ट्रांसपोर्ट किसी भी संतुलन (प्रेरक बल या क्षमता के कारण) के कारण होता है। ट्रांसपोर्ट के केंद्र में प्रकीर्णन की भूमिका है जो वितरण को संतुलन की ओर मोड़ती है। प्रकीर्णन संबंध समय या माध्य मुक्त पथ द्वारा प्रस्तुत किया जाता है। विश्राम का समय (या इसका व्युत्क्रम जो अंतःक्रिया दर है) अन्य गणनाओं (अब इनिटियो या एमडी) या प्रयोगसिद्ध रूप से पाया जाता है। बीटीई को मोंटे कार्लो विधि आदि से संख्यात्मक रूप से समाधान किया जा सकता है।[14]
लंबाई और समय के मानक के आधार पर, क्रिया का उचित स्तर (एबी इनिटियो, एमडी, या बीटीई) चुना जाता है। ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी विश्लेषण में थर्मल ऊर्जा संचयन, ट्रांसपोर्ट और परिवर्तन से संबंधित अवस्थाओं और गतिज के साथ कई मानक (उदाहरण के लिए, एबी इनिटियो या पारंपरिक एमडी से इंटरैक्शन दर का उपयोग करके बीटीई) सम्मिलित हो सकते हैं।
तो, ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी पारंपरिक और क्वांटम यांत्रिक दृष्टिकोण से चार प्रमुख ऊर्जा वहन और उनकी गतिकी को कवर करती है। यह निम्न-आयामीता और आकार प्रभावों सहित मल्टीस्केल (एबी इनिटियो, एमडी, बीटीई और मैक्रोस्केल) विश्लेषण को सक्षम बनाता है।[2]
फ़ोनोन
फोनन (क्वांटित लैटिस दोलन तरंग) एक केंद्रीय थर्मल ऊर्जा वाहक है जो गर्मी क्षमता (सेंसिबल गर्मी संचयन) और संघनित चरण में प्रवाहकीय गर्मी हस्तांतरण में योगदान देता है, और थर्मल ऊर्जा रूपांतरण में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसके परिवहन गुणों को बल्क पदार्थ के लिए फोनन चालकता टेंसर Kp (W/m-K, फूरियर कानून qk,p = -Kp⋅∇ T से) और फोनन सीमा प्रतिरोध ARp,b [K/(W/m2) द्वारा दर्शाया जाता है। ठोस इंटरफेस के लिए, जहां A इंटरफ़ेस क्षेत्र है। फोनन विशिष्ट ऊष्मा क्षमता cv,p (J/kg-K) में क्वांटम प्रभाव सम्मिलित है। फोनन से जुड़ी तापीय ऊर्जा रूपांतरण दर में सम्मिलित है। ऊष्मा अंतरण भौतिकी परमाणु-स्तर के गुणों के आधार पर cv,p, Kp, Rp,b (या चालन Gp,b) और का वर्णन और भविष्यवाणी करती है।
संतुलन क्षमता के लिए ⟨φ⟩o N परमाणुओं वाले प्रणाली में, कुल क्षमता ⟨φ⟩ संतुलन पर टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा पाई जाती है और इसे दूसरे डेरिवेटिव (हार्मोनिक निकटता) द्वारा अनुमानित किया जा सकता है
जहां di परमाणु i का विस्थापन वेक्टर है, और Γ विभव के दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में स्प्रिंग (या बल) स्थिरांक है। परमाणुओं के विस्थापन के संदर्भ में लैटिस दोलन के लिए गति का समीकरण [d(jl,t)): समय टी पर l-वें इकाई सेल में J-वें परमाणु का विस्थापन वेक्टर] है
जहां m परमाणु द्रव्यमान है और 'Γ' बल स्थिरांक टेंसर है। परमाणु विस्थापन सामान्य मोड का योग ['s'α: मोड α, ω का यूनिट वेक्टरp: तरंग की कोणीय आवृत्ति, और 'κ'p: तरंग वेक्टर] है। इस समतल-तरंग विस्थापन का उपयोग करते हुए, गति का समीकरण आइगेनवैल्यू समीकरण बन जाता है[15][16]
जहां M विकर्ण द्रव्यमान मैट्रिक्स है और D हार्मोनिक डायनेमिक मैट्रिक्स है। इस आइगेनवैल्यू समीकरण को समाधान करने से कोणीय आवृत्ति ωp और तरंग वेक्टर 'κ'p, के बीच संबंध मिलता है, और इस संबंध को फोनन विक्षेपण संबंध कहा जाता है। इस प्रकार, फोनन विक्षेपण संबंध मैट्रिक्स M और D द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो परमाणु संरचना और घटक (इंटरेक्शन जितना शक्तिशाली होगा और परमाणु जितने हल्के होंगे, फोनन आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी और प्रवणता dωp/dkp) परमाणुओं के मध्य इंटरैक्शन की शक्ति पर निर्भर करता है। हार्मोनिक निकटता के साथ फोनन प्रणाली का हैमिल्टनियन है[15][17][18]
जहां Dij परमाणुओं i और j, और 'd' के मध्य गतिशील मैट्रिक्स तत्व हैi (डीj) i (j) परमाणु का विस्थापन है, और 'p' संवेग है। इससे और विक्षेपण संबंध के समाधान से, क्वांटम क्रिया के लिए फोनन विनाश ऑपरेटर को परिभाषित किया गया है
जहां N, α द्वारा विभाजित सामान्य मोड की संख्या है और ħ कम प्लैंक स्थिरांक है। सृजन संचालिका संहार संचालिका का सहायक है,
bκ,α† और bκ,α के संदर्भ में हैमिल्टनियन Hp = Σκ,αħωp,α[bκ,α†bκ,α + 1/2] है और bκ,α†bκ,α फोनन संख्या ऑपरेटर है। क्वांटम-हार्मोनिक ऑसिलेटर की ऊर्जा Ep = Σκ,α [fp(κ,α) + 1/2]ħωp,α(κp) है, और इस प्रकार फोनन ऊर्जा की मात्रा ħωp है।
फ़ोनन फैलाव संबंध ब्रिलोइन जोन (पारस्परिक स्थान में प्रिमिटिव सेल के अन्दर का क्षेत्र) और अवस्थाओं के फ़ोनन घनत्व Dp (संभावित फ़ोनन मोड की संख्या घनत्व) के अन्दर सभी संभावित फ़ोनन मोड देता है। फ़ोनन समूह वेग up,g विक्षेपण वक्र, dωp/dκp का प्रवणता है। चूंकि फोनन एक बोसोन कण है, इसलिए इसका ऑक्यूपेंसी बोस-आइंस्टीन वितरण {fpo = [exp(ħωp/kBT)-1]−1, kB: बोल्ट्ज़मान स्थिरांक} का अनुसरण करता है। अवस्थाओं के फोनन घनत्व और इस ऑक्यूपेंसी वितरण का उपयोग करते हुए, फोनन ऊर्जा Ep(T) = ∫Dp(ωp)fp(ωp,T)ħωpdωp है, और फोनन घनत्व np(T) = ∫Dp(ωp)fp(ωp,T)dωp है। फ़ोनन ताप क्षमता cv,p (ठोस cv,p = cp,p, cv,p में: स्थिर-मात्रा ताप क्षमता, cp,p: स्थिर-दबाव ताप क्षमता) डेबी मॉडल (रैखिक फैलाव मॉडल) के लिए फ़ोनन ऊर्जा का तापमान व्युत्पन्न है,[19]
जहां TD डिबाई तापमान है, m परमाणु द्रव्यमान है, और n परमाणु संख्या घनत्व (क्रिस्टल 3n के लिए फोनन मोड की संख्या घनत्व) है। यह कम तापमान पर डेबी T3 नियम और उच्च तापमान पर डुलोंग-पेटिट नियम देता है।
गैसों के गतिज सिद्धांत से,[20] प्रमुख वाहक की तापीय चालकता i (p, e, f और ph) है
जहां ni वाहक घनत्व है और ऊष्मा क्षमता प्रति वाहक है, ui वाहक गति है और λi माध्य मुक्त पथ है (प्रकीर्णन घटना से पहले वाहक द्वारा तय की गई दूरी)। इस प्रकार, वाहक घनत्व, ताप क्षमता और गति जितनी अधिक होगी और प्रकीर्णन जितना कम होगा, चालकता उतनी ही अधिक होगी। फोनन के लिए λp फोनन के इंटरेक्शन (स्कैटरिंग) कैनेटीक्स का प्रतिनिधित्व करता है और λp= upτp के माध्यम से स्कैटरिंग विश्राम समय τp या दर (= 1/τp) से संबंधित है। फोनन अन्य फोनन के साथ, और इलेक्ट्रॉनों, सीमाओं, अशुद्धियों आदि के साथ इंटरैक्शन करते हैं, और λp इन इंटरैक्शन तंत्रों को मैथिएसेन नियम के माध्यम से जोड़ता है। कम तापमान पर, सीमाओं द्वारा प्रकीर्णन प्रमुख होता है और तापमान में वृद्धि के साथ अशुद्धियों, इलेक्ट्रॉन और अन्य फोनन के साथ संपर्क दर महत्वपूर्ण हो जाती है, और अंत में T > 0.2TD के लिए फोनन-फोनन प्रकीर्णन प्रमुख हो जाता है। इंटरेक्शन दरों की समीक्षा[21] में की गई है और इसमें क्वांटम पर्टर्बेशन सिद्धांत और MD सम्मिलित हैं।
विक्षेपण और λp के संबंध में अनुमान के साथ कई चालकता मॉडल उपलब्ध हैं।[17][19][21][22][23][24][25] एकल-मोड विश्राम समय निकटता (∂fp′/∂t|s = −fp′/τp) का उपयोग करना और गैस गतिज सिद्धांत, कैलावे फोनन (लैटिस) चालकता मॉडल के रूप में[21][26]
डेबी मॉडल के साथ (एकल समूह वेग up,g, और ऊपर गणना की गई विशिष्ट ताप क्षमता), यह बन जाती है
जहाँ a घन लैटिस के लिए जालक स्थिरांक a = n−1/3 हैं, और n परमाणु क्रमांक घनत्व है। सुस्त फोनन चालकता मॉडल मुख्य रूप से ध्वनिक फोनन प्रकीर्णन (तीन-फोनन इंटरैक्शन) पर विचार करते हुए दिया गया है[27][28]
जहां ⟨M⟩ प्रिमिटिव सेल में परमाणुओं का औसत परमाणु भार है, Va=1/n प्रति परमाणु औसत आयतन है, TD,∞ उच्च तापमान डिबाई तापमान है, T तापमान है, No प्रिमिटिव सेल में परमाणुओं की संख्या है, और ⟨γ2G⟩ उच्च तापमान पर ग्रुनेसेन स्थिरांक या पैरामीटर का मोड-औसत वर्ग है। इस मॉडल का व्यापक रूप से शुद्ध गैर-धातु क्रिस्टल के साथ परीक्षण किया गया है, और समग्र समझौता जटिल क्रिस्टल के लिए भी अच्छा है।
बल गतिकी और परमाणु संरचना विचार के आधार पर, उच्च क्रिस्टलीय और शक्तिशाली इंटरैक्शन वाली पदार्थ, जो हल्के परमाणुओं (जैसे हीरे और ग्राफीन) से बनी होती है, में बड़ी फोनन चालकता होने की अपेक्षा है। लैटिस का प्रतिनिधित्व करने वाली सबसे छोटी इकाई सेल में से अधिक परमाणु वाले ठोस में दो प्रकार के फोनन होते हैं, अर्थात् ध्वनिक और ऑप्टिकल। (ध्वनिक फोनन अपने संतुलन की स्थिति के बारे में परमाणुओं के चरण-चरण आंदोलन हैं, जबकि ऑप्टिकल फोनन लैटिस में आसन्न परमाणुओं के चरण-बाहर आंदोलन हैं।) ऑप्टिकल फोनन में उच्च ऊर्जा (आवृत्ति) होती है, किन्तु उनके छोटे समूह वेग और ऑक्यूपेंसी के कारण, संचालन गर्मी हस्तांतरण में छोटा योगदान होता है।
सीमा प्रकीर्णन निकटता के अनुसार हेटेरो-संरचना सीमाओं (आरपी, बी, इंटरफेशियल थर्मल प्रतिरोध के साथ दर्शाया गया) में फोनन परिवहन को ध्वनिक और फैलाना बेमेल मॉडल के रूप में तैयार किया गया है।[29] बड़ा फोनन ट्रांसमिशन (छोटा Rp,b) उन सीमाओं पर होता है जहां सामग्री जोड़े में समान फोनन गुण (up, Dp, आदि) होते हैं, और अनुबंध में बड़ा Rp,b तब होता है जब कुछ सामग्री दूसरे की तुलना में नरम (कम कट-ऑफ फोनन आवृत्ति) होती है।
इलेक्ट्रॉन
इलेक्ट्रॉन के लिए क्वांटम इलेक्ट्रॉन ऊर्जा अवस्थाएं इलेक्ट्रॉन क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं, जो आम तौर पर गतिज (-ħ) से बना होता है2∇2/2me) और संभावित ऊर्जा शब्द (φ)।e). परमाणु कक्षक, फ़ंक्शन (गणित) जो परमाणु में इलेक्ट्रॉन या इलेक्ट्रॉनों की जोड़ी के तरंग-जैसे व्यवहार का वर्णन करता है, इस इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन के साथ श्रोडिंगर समीकरण से पाया जा सकता है। हाइड्रोजन जैसे परमाणु (नाभिक और इलेक्ट्रॉन) इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता (कूलम्ब कानून) के साथ श्रोडिंगर समीकरण के बंद-रूप समाधान की अनुमति देते हैं। से अधिक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणुओं या परमाणु आयनों के श्रोडिंगर समीकरण को इलेक्ट्रॉनों के मध्य कूलम्ब इंटरैक्शन के कारण विश्लेषणात्मक रूप से समाधान नहीं किया गया है। इस प्रकार, संख्यात्मक तकनीकों का उपयोग किया जाता है, और इलेक्ट्रॉन विन्यास को सरल हाइड्रोजन-जैसे परमाणु ऑर्बिटल्स (पृथक इलेक्ट्रॉन ऑर्बिटल्स) के उत्पाद के रूप में अनुमानित किया जाता है। एकाधिक परमाणुओं (नाभिक और उनके इलेक्ट्रॉन) वाले अणुओं में आणविक कक्षीय (एमओ, अणु में ऋणावेशित सूक्ष्म अणु का विन्यास तरंग-जैसे व्यवहार के लिए गणितीय कार्य) होता है, और परमाणु कक्षाओं के रैखिक संयोजन (एलसीएओ) जैसी सरलीकृत समाधान तकनीकों से प्राप्त होते हैं। . आणविक कक्षक का उपयोग रासायनिक और भौतिक गुणों की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है, और उच्चतम व्याप्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) और सबसे कम रिक्त आणविक कक्षक (HOMO/LUMO) के मध्य का अंतर अणुओं की उत्तेजित अवस्था का माप है।
धात्विक ठोसों की क्रिस्टल संरचना में, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल (शून्य क्षमता, φe= 0) संयोजकता इलेक्ट्रॉनों के व्यवहार के लिए प्रयोग किया जाता है। हालाँकि, क्रिस्टल संरचना | आवधिक लैटिस (क्रिस्टल) में, आवधिक क्रिस्टल क्षमता होती है, इसलिए इलेक्ट्रॉन हैमिल्टनियन बन जाता है[19]
कहां एमeइलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और आवधिक क्षमता φ के रूप में व्यक्त की जाती हैc(एक्स) = एसg φgexp[i('g'∙'x')] ('g': व्युत्क्रम लैटिस वेक्टर)। इस हैमिल्टनियन के साथ समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण (आइजेनवैल्यू समीकरण) के रूप में दिया गया है
जहां eigenfunction ψe,κइलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन है, और आइगेनवैल्यू Ee('क'e), इलेक्ट्रॉन ऊर्जा है (κe: इलेक्ट्रॉन वेववेक्टर)। वेववेक्टर, κ के मध्य संबंधe और ऊर्जा ईeइलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना प्रदान करता है। व्यवहार में, अनेक-निकाय समस्या के रूप में लैटिस | अनेक-निकाय प्रणालियों में क्षमता में इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के मध्य परस्पर क्रिया सम्मिलित होती है, किन्तु यह गणना बहुत जटिल हो सकती है। इस प्रकार, कई अनुमानित तकनीकों का सुझाव दिया गया है और उनमें से है घनत्व कार्यात्मक सिद्धांत (डीएफटी), पूर्ण इंटरैक्शन के बजाय स्थानिक रूप से निर्भर इलेक्ट्रॉनिक घनत्व के कार्यात्मक का उपयोग करता है। डीएफटी का व्यापक रूप से एबी इनिटियो सॉफ्टवेयर (ABINIT, CASTEP, क्वांटम एस्प्रेसो, SIESTA (कंप्यूटर प्रोग्राम), VASP, डब्ल्यूआईईएन2के, आदि) में उपयोग किया जाता है। इलेक्ट्रॉन विशिष्ट ऊष्मा ऊर्जा अवस्थाओं और ऑक्यूपेंसी वितरण (फ़र्मी-डिराक आँकड़े) पर आधारित है। सामान्य तौर पर, इलेक्ट्रॉन की ताप क्षमता बहुत उच्च तापमान को छोड़कर छोटी होती है जब वे फोनन (लैटिस) के साथ थर्मल संतुलन में होते हैं। इलेक्ट्रॉन ठोस में, विशेष रूप से धातुओं में, ताप संचालन (आवेश वहन के अलावा) में योगदान करते हैं। ठोस में तापीय चालकता टेंसर विद्युत और फोनन तापीय चालकता टेंसरों का योग है 'K' = 'K'e + केp.
इलेक्ट्रॉन दो थर्मोडायनामिक बलों से प्रभावित होते हैं [आवेश से, ∇(EF/यह हैc) जहां ईF फर्मी स्तर और ई हैcप्राथमिक आवेश और तापमान प्रवणता है, ∇(1/T)] क्योंकि उनमें आवेश और तापीय ऊर्जा दोनों होती है, और इस प्रकार विद्युत धारा 'जे' होती है।e और ताप प्रवाह q को थर्मोइलेक्ट्रिक टेंसर (ए) के साथ वर्णित किया गया हैee, एet, एte, और एtt) ऑनसागर पारस्परिक संबंधों से[30] जैसा
इन समीकरणों को j में परिवर्तित करनाe विद्युत क्षेत्र के संदर्भ में समीकरण ईe और ∇T और 'q' समीकरण 'j' के साथe और ∇T, (आइसोट्रोपिक ट्रांसपोर्ट के लिए अदिश गुणांक का उपयोग करते हुए, αee, एet, एte, और αttके बजाय एक'ee, एet, एte, और एtt)
विद्युत चालकता/प्रतिरोधकता σe(ओह−1m−1)/ पीe (Ω-m), विद्युत तापीय चालकता ke(डब्ल्यू/एम-के) और सीबेक/पेल्टियर गुणांक αS (वी/के)/एP (वी) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है,
विभिन्न वाहक (इलेक्ट्रॉन, मैग्नन, फोनन और पोलरॉन) और उनकी परस्पर क्रियाएं सीबेक गुणांक को काफी हद तक प्रभावित करती हैं।[31][32] सीबेक गुणांक को दो योगदानों, α के साथ विघटित किया जा सकता हैS = एS,pres + एS,trans, कहां αS,pres वाहक-प्रेरित एन्ट्रापी परिवर्तन में योगदान का योग है, अर्थात, αS,pres = एS,mix + एS,spin + एS,vib (एS,mix: मिश्रण की एन्ट्रॉपी, αS,spin: स्पिन एन्ट्रापी, और αS,vib: दोलन एन्ट्रापी)। अन्य योगदान αS,trans किसी वाहक को हिलाने में हस्तांतरित शुद्ध ऊर्जा को qT (q: वाहक आवेश) से विभाजित किया जाता है। सीबेक गुणांक में इलेक्ट्रॉन का योगदान अधिकतर α में होता हैS,pres. αS,mix आमतौर पर हल्के डोप किए गए अर्धचालकों में प्रमुख होता है। किसी प्रणाली में इलेक्ट्रॉन जोड़ने पर मिश्रण की एन्ट्रापी में परिवर्तन तथाकथित हेइक्स सूत्र है
जहाँ एफeओ = एन/एनaसाइटों (वाहक एकाग्रता) के लिए इलेक्ट्रॉनों का अनुपात है। रासायनिक क्षमता (μ) का उपयोग करते हुए, तापीय ऊर्जा (kBटी) और फर्मी फ़ंक्शन, उपरोक्त समीकरण को वैकल्पिक रूप, α में व्यक्त किया जा सकता हैS,mix = (केB/क्यू)[(ईe- μ)/(kBटी)]।
सीबेक प्रभाव को स्पिन तक विस्तारित करते हुए, लौहचुंबकीय मिश्र धातु अच्छा उदाहरण हो सकता है। सीबेक गुणांक में योगदान, जो प्रणाली की स्पिन एन्ट्रापी को बदलने वाले इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के परिणामस्वरूप होता है, α द्वारा दिया जाता हैS,spin = एसspin/क्यू = (केB/q)ln[(2s + 1)/(2s0 +1)], जहां एस0 और एस क्रमशः वाहक की अनुपस्थिति और उपस्थिति में चुंबकीय स्थल के शुद्ध स्पिन हैं। इलेक्ट्रॉनों के साथ कई दोलन प्रभाव भी सीबेक गुणांक में योगदान करते हैं। दोलन आवृत्तियों का नरम होना दोलन एन्ट्रापी में परिवर्तन उत्पन्न करता है, इसका उदाहरण है। दोलन एन्ट्रापी मुक्त ऊर्जा का नकारात्मक व्युत्पन्न है, अर्थात,
जहां घp(ω) संरचना के लिए फ़ोनन घनत्व की स्थिति है। उच्च तापमान सीमा और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की श्रृंखला विस्तार के लिए, उपरोक्त को α के रूप में सरल बनाया गया हैS,vib = (ΔSvib/क्यू) = (केB/क्यू)एसi(-देखनाi/ओi).
उपरोक्त ऑनसेगर फॉर्मूलेशन में प्राप्त सीबेक गुणांक मिश्रण घटक α हैS,mix, जो अधिकांश अर्धचालकों पर हावी है। हाई-बैंड गैप पदार्थ जैसे बी में दोलन घटक13C2 बहुत महत्वपूर्ण है।
सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट को ध्यान में रखते हुए (ट्रांसपोर्ट किसी संतुलन का परिणाम नहीं है),
जहां तुमe इलेक्ट्रॉन वेग वेक्टर है, एफe(एफeo) इलेक्ट्रॉन नोक्विलिब्रियम (संतुलन) वितरण है, τeइलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन समय है, ईeइलेक्ट्रॉन ऊर्जा है, और 'एफ'te ∇(E) से विद्युत और तापीय बल हैF/यह हैc) और ∇(1/T).
जे के लिए थर्मोइलेक्ट्रिक गुणांक को सूक्ष्म ट्रांसपोर्ट समीकरणों से संबंधित करनाeऔर क्यू, थर्मल, इलेक्ट्रिक और थर्मोइलेक्ट्रिक गुणों की गणना की जाती है। इस प्रकार, केeविद्युत चालकता σe और तापमान T के साथ बढ़ती है, जैसा कि विडेमैन-फ्रांज कानून प्रस्तुत करता है [ke/(पीeTe) = (1/3)(πkB/यह हैc)2= 2.44×10−8 W-Ω/K2]. इलेक्ट्रॉन ट्रांसपोर्ट (σ के रूप में दर्शाया गया हैe) वाहक घनत्व n का फलन हैe,cऔर इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μe(पीe= औरcne,cμe). एमeइलेक्ट्रॉन प्रकीर्णन दर द्वारा निर्धारित होता है (या विश्राम का समय, ) अन्य इलेक्ट्रॉनों, फोनन, अशुद्धियों और सीमाओं के साथ इंटरैक्शन सहित विभिन्न इंटरैक्शन तंत्रों में।
इलेक्ट्रॉन अन्य प्रमुख ऊर्जा वाहकों के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। विद्युत क्षेत्र द्वारा त्वरित किए गए इलेक्ट्रॉनों को फोनन (अर्धचालकों में, ज्यादातर ऑप्टिकल फोनन) में ऊर्जा रूपांतरण के माध्यम से आराम दिया जाता है, जिसे जूल तापन कहा जाता है। पेल्टियर कूलिंग और थर्मोइलेक्ट्रिक जनरेटर जैसे थर्मोइलेक्ट्रिक्स में विद्युत क्षमता और फोनन ऊर्जा के मध्य ऊर्जा रूपांतरण पर विचार किया जाता है। इसके अलावा, Optoelectronics अनुप्रयोगों (अर्थात् प्रकाश उत्सर्जक डायोड, सौर फोटोवोल्टिक सेल, आदि) में फोटॉन के साथ इंटरैक्शन का अध्ययन केंद्रीय है। एब इनिटियो दृष्टिकोण के साथ फर्मी गोल्डन नियम (परटर्बेशन सिद्धांत से) का उपयोग करके इंटरेक्शन दर या ऊर्जा रूपांतरण दर का मूल्यांकन किया जा सकता है।
द्रव कण
द्रव कण किसी भी रासायनिक बंधन को तोड़े बिना द्रव चरण (गैस, तरल या प्लाज्मा) में सबसे छोटी इकाई (परमाणु या अणु) है। द्रव कण की ऊर्जा को संभावित, इलेक्ट्रॉनिक, ट्रांसलेशनल, दोलनात्मक और घूर्णी ऊर्जा में विभाजित किया गया है। द्रव कण में ऊष्मा (थर्मल) ऊर्जा का संचयन तापमान पर निर्भर कण गति (अनुवादात्मक, दोलनात्मक और घूर्णी ऊर्जा) के माध्यम से होता है। इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा को केवल तभी सम्मिलित किया जाता है जब तापमान तरल कणों को आयनित करने या भिन्न करने या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संक्रमणों को सम्मिलित करने के लिए पर्याप्त उच्च हो। द्रव कणों की ये क्वांटम ऊर्जा अवस्थाएँ उनके संबंधित क्वांटम हैमिल्टनियन का उपयोग करके पाई जाती हैं। ये हैं एचf,t = −(एच2/2m)∇2, एचf,v= −(एच2/2m)∇2 + Γx2/2 और एचf,r = −(एच2/2If)∇2ट्रांसलेशनल, वाइब्रेशनल और रोटेशनल मोड के लिए। (Γ: हुक का नियम, If: अणु के लिए जड़ता का क्षण)। हैमिल्टनियन से, परिमाणित द्रव कण ऊर्जा अवस्था ईfऔर विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) Zf[मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों के साथ|मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन (एमबी) ऑक्यूपेंसी वितरण] के रूप में पाए जाते हैं[33]
- अनुवादात्मक
- दोलनात्मक
- घूर्णी
- कुल
यहाँ, जीfअध:पतन है, n, l, और j संक्रमणकालीन, दोलनात्मक और घूर्णी क्वांटम संख्याएँ हैं, Tf,vदोलन के लिए विशिष्ट तापमान है (= ħωf,v/कB, : दोलन आवृत्ति), और टीf,rघूर्णी तापमान है [= ħ2/(2आईfkB)]. औसत विशिष्ट आंतरिक ऊर्जा Z के माध्यम से विभाजन फ़ंक्शन से संबंधित हैf, ऊर्जा अवस्थाओं और विभाजन फ़ंक्शन के साथ, द्रव कण विशिष्ट ताप क्षमता cv,fविभिन्न गतिज ऊर्जाओं के योगदान का योग है (गैर-आदर्श गैस के लिए संभावित ऊर्जा भी जोड़ी जाती है)। क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की कुल डिग्री परमाणु विन्यास द्वारा निर्धारित होती है, cv,fकॉन्फ़िगरेशन के आधार पर भिन्न-भिन्न सूत्र हैं,[33]
- मोनोआटोमिक आदर्श गैस
- द्विपरमाणुक आदर्श गैस
- अरैखिक, बहुपरमाणुक आदर्श गैस
जहां आरgगैस स्थिरांक है (= NAkB, एनA: एवोगैड्रो स्थिरांक) और एम आणविक द्रव्यमान (किलो/किलोमीटर) है। (बहुपरमाणुक आदर्श गैस के लिए, एनo अणु में परमाणुओं की संख्या है।) गैस में, स्थिर दबाव विशिष्ट ताप क्षमता सीp,fइसका मान बड़ा है और अंतर तापमान T, वॉल्यूमेट्रिक थर्मल विस्तार गुणांक β और इज़ोटेर्मल संपीड़ितता κ [c पर निर्भर करता है।p,f- सीv,f= टीβ2/(आरfके), आरf: द्रव घनत्व]। सघन तरल पदार्थों के लिए कणों के मध्य परस्पर क्रिया (वैन डेर वाल्स इंटरेक्शन) को सम्मिलित किया जाना चाहिए, और सीv,fऔर सीp,fतदनुसार परिवर्तन होगा. कणों की शुद्ध गति (गुरुत्वाकर्षण या बाहरी दबाव के तहत) संवहन ऊष्मा प्रवाह 'q' को जन्म देती हैu = पीfcp,fमेंfटी. चालन ताप प्रवाह 'क्यू'kआदर्श गैस के लिए गैस गतिज सिद्धांत या बोल्ट्ज़मैन ट्रांसपोर्ट समीकरणों से प्राप्त किया जाता है, और तापीय चालकता होती है
जहां तुमf2⟩1/2आरएमएस (मूल माध्य वर्ग) थर्मल वेग (3k) हैBएमबी वितरण फ़ंक्शन से टी/एम, एम: परमाणु द्रव्यमान) और τf-fविश्राम का समय है (या अंतर्टकराव समय अवधि) [(21/2π डी2nf⟨मेंf⟩)−1गैस गतिज सिद्धांत से, ⟨uf⟩: औसत तापीय गति (8kBटी/πm)1/2, d: द्रव कण (परमाणु या अणु) का टकराव व्यास, nf: द्रव संख्या घनत्व]।
कfआणविक गतिशीलता (एमडी) का उपयोग करके भी गणना की जाती है, जो न्यूटन के गति (पारंपरिक) और बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान) (एबी इनिटियो या प्रयोगसिद्ध गुणों से) के नियमों के साथ द्रव कणों की गति (भौतिकी) का अनुकरण करता है। के की गणना के लिएf, ग्रीन-क्यूबो संबंधों के साथ संतुलन एमडी, जो समय सहसंबंध कार्यों (उतार-चढ़ाव पर विचार करते हुए) के अभिन्न अंग के संदर्भ में ट्रांसपोर्ट गुणांक व्यक्त करते हैं, या कोई भी संतुलन एमडी (सिम्युलेटेड प्रणाली में गर्मी प्रवाह या तापमान अंतर निर्धारित करना) आमतौर पर नियोजित नहीं होते हैं।
द्रव कण अन्य प्रमुख कणों के साथ परस्पर क्रिया कर सकते हैं। दोलन या घूर्णी मोड, जिनमें अपेक्षाकृत उच्च ऊर्जा होती है, फोटॉन के साथ इंटरैक्शन के माध्यम से उत्तेजित या क्षय होते हैं। गैस लेजर द्रव कणों और फोटॉन के मध्य इंटरेक्शन बल गतिकी को नियोजित करते हैं, और सीओ में लेजर कूलिंग पर भी विचार किया गया है2 गैस लेजर.[34][35] इसके अलावा, तरल पदार्थ के कण ठोस सतहों (फिसिसोरेशन और केमिसोरेशन) पर सोख सकते हैं, और सोखने वाले (द्रव कण) में कुंठित दोलन मोड ई बनाकर क्षय हो जाते हैं−-ज+जोड़े या फ़ोनन। इन अंतःक्रिया दरों की गणना द्रव कण और फर्मी गोल्डन नियम पर एब इनिटियो गणना के माध्यम से भी की जाती है।[36]
फोटॉन
फोटॉन विद्युतचुंबकीय विकिरण का क्वांटा है|विद्युतचुंबकीय (ईएम) विकिरण और थर्मल विकिरण के लिए ऊर्जा वाहक है। ईएम तरंग पारंपरिक मैक्सवेल के समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की मात्रा का उपयोग ब्लैक-बॉडी विकिरण (विशेष रूप से पराबैंगनी आपदा को समझाने के लिए) जैसी घटनाओं के लिए किया जाता है। कोणीय आवृत्ति ω की क्वांटा ईएम तरंग (फोटॉन) ऊर्जाphई हैph = hωph, और बोस-आइंस्टीन वितरण फ़ंक्शन (एफ) का अनुसरण करता हैph). परिमाणित विकिरण क्षेत्र (द्वितीय परिमाणीकरण) के लिए फोटॉन हैमिल्टनियन है[37][38]
कहां ईe और बीe ईएम विकिरण के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, εo और μo मुक्त-स्थान पारगम्यता और पारगम्यता हैं, वी इंटरैक्शन वॉल्यूम है, ωph,αα मोड और c के लिए फोटॉन कोणीय आवृत्ति हैα†और सीαफोटॉन निर्माण और विनाश संचालक हैं। वेक्टर क्षमता 'ए'e ईएम क्षेत्रों की (उदाe = −∂ae/∂t और 'बी'e = ∇×ae) है
जहाँ एसph,α इकाई ध्रुवीकरण वेक्टर है, κα तरंग सदिश है।
विभिन्न प्रकार के फोटॉन उत्सर्जन के मध्य ब्लैकबॉडी विकिरण इंटरफोटॉन इंटरैक्शन के बिना थर्मल ऊर्जा वितरण के साथ फोटॉन गैस मॉडल को नियोजित करता है। रैखिक विक्षेपण संबंध (अर्थात्, विक्षेपण रहित) से, चरण और समूह गति बराबर हैं (यू)।ph= डी ωph/dk = ωph/के, यूph: फोटॉन गति) और डिबाई (विक्षेपण रहित फोटॉन के लिए प्रयुक्त) अवस्थाओं का घनत्व डी हैph,b,ωdω = ωph2dωph/पी2uph3. डी के साथph,b,ωऔर संतुलन वितरण एफph, फोटॉन ऊर्जा वर्णक्रमीय वितरण डी.आईb,ωया डी.आईb,λ(एलph: तरंग दैर्ध्य) और कुल उत्सर्जक शक्ति ईbके रूप में व्युत्पन्न हैं
(प्लैंक का नियम),
(स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मैन कानून)।
ब्लैकबॉडी विकिरण की तुलना में, लेजर उत्सर्जन में उच्च दिशात्मकता (छोटा ठोस कोण ΔΩ) और वर्णक्रमीय शुद्धता (संकीर्ण बैंड Δω) होती है। इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा अवस्थाओं के मध्य गुंजयमान संक्रमण (उत्तेजित उत्सर्जन) के आधार पर लेज़रों की रेंज दूर-अवरक्त से लेकर एक्स-रे/γ-किरणों तक होती है।[39] निकट-क्षेत्र विकिरण ताप स्थानांतरण|ऊष्मीय रूप से उत्तेजित द्विध्रुवों और अन्य विद्युत/चुंबकीय संक्रमणों से निकट-क्षेत्र विकिरण उत्सर्जन स्थलों से कम दूरी (तरंग दैर्ध्य के क्रम) के अन्दर बहुत प्रभावी होता है।[40][41][42] फोटॉन कण गति के लिए बीटीई पीph = hωphएस/यूphदिशा के साथ-साथ अवशोषण/उत्सर्जन का अनुभव हो रहा है (=मेंphσph,ω[एफph(ओहph,टी) - एफph('एस')], पीph,ω: वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक), और पीढ़ी/निष्कासन , है[43][44]
विकिरण की तीव्रता के संदर्भ में (Iph,ω= यूphfphभाईphDph,ω/4पी, डीph,ω: अवस्थाओं का फोटॉन घनत्व), इसे विकिरण हस्तांतरण (ईआरटी) का समीकरण कहा जाता है[44]
शुद्ध विकिरणीय ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है
आइंस्टीन गुणांक से, वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक σph,ωईआरटी में है,[45]
जहाँ अंतःक्रिया संभाव्यता (अवशोषण) दर या परमाणु वर्णक्रमीय रेखा बी है12(जे−1m3s−1), जो विकिरण क्षेत्र की प्रति इकाई वर्णक्रमीय ऊर्जा घनत्व (1: जमीनी अवस्था, 2: उत्तेजित अवस्था), और n प्रति इकाई समय की संभावना देता हैeइलेक्ट्रॉन घनत्व (जमीनी अवस्था में) है। इसे संक्रमण द्विध्रुव आघूर्ण 'μ' का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता हैeएफजीआर और आइंस्टीन गुणांक के मध्य संबंध के साथ। औसत σph,ωω से अधिक औसत फोटॉन अवशोषण गुणांक σ देता हैph.
L लंबाई के वैकल्पिक रूप से मोटे माध्यम के मामले में, अर्थात्, σphएल >> 1, और गैस गतिज सिद्धांत का उपयोग करते हुए, फोटॉन चालकता kph16σ हैSBT3/3σph(पीSB: स्टीफ़न-बोल्ट्ज़मान स्थिरांक, σph: औसत फोटॉन अवशोषण), और फोटॉन ताप क्षमता एनphcv,ph16σ हैSBT3/uph.
फोटॉन में ऊर्जा की सबसे बड़ी श्रृंखला होती है और यह विभिन्न प्रकार के ऊर्जा रूपांतरणों में केंद्रीय होता है। फोटॉन विद्युत और चुंबकीय संस्थाओं के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। उदाहरण के लिए, विद्युत द्विध्रुव जो बदले में ऑप्टिकल फोनन या द्रव कण दोलन, या इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के संक्रमण द्विध्रुव क्षणों से उत्तेजित होते हैं। ऊष्मा स्थानांतरण भौतिकी में, फोनन के इंटरेक्शन बल गतिकी का इलाज परटर्बेशन सिद्धांत (फर्मी गोल्डन रूल) और इंटरेक्शन हैमिल्टनियन का उपयोग करके किया जाता है। फोटॉन-इलेक्ट्रॉन इंटरैक्शन है[46]
जहां पीe द्विध्रुव आघूर्ण सदिश है और a†और ए इलेक्ट्रॉन की आंतरिक गति का निर्माण और विनाश है। फोटॉन टर्नरी इंटरैक्शन में भी भाग लेते हैं, उदाहरण के लिए, फोनन-सहायता वाले फोटॉन अवशोषण/उत्सर्जन (इलेक्ट्रॉन ऊर्जा स्तर का संक्रमण)।[47][48] द्रव कणों में दोलन मोड फोटॉन उत्सर्जित या अवशोषित करके क्षय या उत्तेजित हो सकता है। उदाहरण ठोस और आणविक गैस लेजर शीतलन हैं।[49][50][51]
ईएम सिद्धांत के साथ पहले सिद्धांतों के आधार पर एबी इनिटियो गणनाओं का उपयोग करते हुए, विभिन्न विकिरण गुण जैसे कि ढांकता हुआ फ़ंक्शन (विद्युत पारगम्यता, ε)e,ω), वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक (σph,ω), और जटिल अपवर्तन सूचकांक (एमω), पदार्थ में फोटॉन और विद्युत/चुंबकीय संस्थाओं के मध्य विभिन्न इंटरैक्शन के लिए गणना की जाती है।[52][53] उदाहरण के लिए, काल्पनिक भाग (εe,c,ω) जटिल ढांकता हुआ फ़ंक्शन (εe,ω= ईe,r,ω+ मैं ईe,c,ω) बैंडगैप में इलेक्ट्रॉनिक संक्रमण के लिए है[3]
जहां V इकाई-सेल आयतन है, VB और CB वैलेंस और चालन बैंड को दर्शाते हैं, wκκ-बिंदु और पी से जुड़ा वजन हैijसंक्रमण गति मैट्रिक्स तत्व है।
वास्तविक भाग ε हैe,r,ωε से प्राप्त होता हैe,c,ωक्रेमर्स-क्रोनिग संबंध का उपयोग करना[54]
यहाँ, कॉची प्रमुख मूल्य को दर्शाता है।
अन्य उदाहरण में, सुदूर आईआर क्षेत्रों के लिए जहां ऑप्टिकल फोनन सम्मिलित हैं, ढांकता हुआ फ़ंक्शन (εe,ω) के रूप में गणना की जाती है
जहां LO और TO अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ ऑप्टिकल फोनन मोड को दर्शाते हैं, j सभी IR-सक्रिय मोड हैं, और γ ऑसिलेटर मॉडल में तापमान-निर्भर भिगोना शब्द है। εe,∞उच्च आवृत्ति ढांकता हुआ पारगम्यता है, जिसकी गणना डीएफटी गणना की जा सकती है जब आयनों को बाहरी क्षमता के रूप में माना जाता है।
इन ढांकता हुआ फ़ंक्शन से (εe,ω) गणना (उदाहरण के लिए, एबिनिट, वीएएसपी, आदि), जटिल अपवर्तक सूचकांक एमω(=एनω+ मैं श्रीमानω, एनω: अपवर्तन सूचकांक और κω: विलुप्ति सूचकांक) पाया जाता है, अर्थात्, एमω2=ईe,ω= ईe,r,ω+ मैं ईe,c,ω). निर्वात या वायु से सामान्य आपतित आदर्श सतह का सतह परावर्तन R इस प्रकार दिया गया है[55] आर = [(एनω- 1)2+श्रीω2]/[(एनω+ 1)2+श्रीω2]. फिर वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक σ से पाया जाता हैph,ω= 2o कω/मेंph. विभिन्न विद्युत संस्थाओं के लिए वर्णक्रमीय अवशोषण गुणांक नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।[56]
| Mechanism | Relation (σph,ω) |
|---|---|
| Electronic absorption transition (atom, ion or molecule) | , [ne,A: number density of ground state, ωe,g: transition angular frequency, : spontaneous emission rate (s−1), μe: transition dipole moment, : bandwidth] |
| Free carrier absorption (metal) | (ne,c: number density of conduction electrons, : average momentum electron relaxation time, εo: free space electrical permittivity) |
| Direct-band absorption (semiconductor) | (nω: index of refraction, Dph-e: joint density of states) |
| Indirect-band absorption (semiconductor) | with phonon absorption: (aph-e-p,a phonon absorption coupling coefficient, ΔEe,g: bandgap, ωp: phonon energy ) with phonon emission: (aph-e-p,e phonon emission coupling coefficient) |
यह भी देखें
- ऊर्जा अंतरण
- दूरी बदलना
- ऊर्जा परिवर्तन|ऊर्जा परिवर्तन (ऊर्जा रूपांतरण)
- थर्मल भौतिकी
- ताप विज्ञान
- थर्मल इंजीनियरिंग
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