मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल

ठोस-अवस्था भौतिकी में, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल एक धात्विक ठोस में आवेश वाहकों के व्यवहार के लिए एक परिमाण यांत्रिकी प्रतिरूप है। इसे 1927 में विकसित किया गया था, मुख्य रूप से अर्नोल्ड सोमरफेल्ड द्वारा, जिन्होंने शास्त्रीय भौतिकी ड्रूड प्रतिरूप को परिमाण यांत्रिक फर्मी-डिराक सांख्यिकी के साथ जोड़ा और इसलिए इसे ड्रूड-सोमरफेल्ड प्रतिरूप के रूप में भी जाना जाता है।

इसकी सरलता को देखते हुए यह विशेष रूप से अनेक प्रायोगिक परिघटनाओं की व्याख्या करने में आश्चर्यजनक रूप से सफल है

• विडेमैन-फ्रांज कानून जो विद्युत चालकता और तापीय चालकता से संबंधित है;
• अतिसूक्ष्म परमाणु ताप क्षमता की तापमान निर्भरता;
• स्थितियों के अतिसूक्ष्म परमाणुिक घनत्व का आकार;
• बाध्यकारी ऊर्जा मूल्यों की सीमा;
• विद्युत चालकता;
• तापविद्युत् प्रभाव का सीबेक गुणांक;
• थोक धातुओं से ऊष्मीय अतिसूक्ष्म परमाणु उत्सर्जन और क्षेत्र अतिसूक्ष्म परमाणु उत्सर्जन

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल ने ड्रूड प्रतिरूप से संबंधित कई विसंगतियों को हल किया और धातुओं के कई अन्य गुणों की जानकारी दी। मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल मानता है कि धातु एक परिमाण अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य से बने होते हैं जहां आयन लगभग कोई भूमिका नहीं निभाते हैं। क्षार धातु और महान धातुओं पर लागू होने पर प्रतिरूप बहुत भविष्य कहनेवाला हो सकता है।

विचार और धारणाएं

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में चार मुख्य मान्यताओं को ध्यान में रखा जाता है:

• मुक्त अतिसूक्ष्म परमाणु सन्निकटन: सीमा स्थितियों को छोड़कर, आयनों और रासायनिक संयोजन अतिसूक्ष्म परमाणुों के बीच के पारस्परिक प्रभाव को ज्यादातर उपेक्षित किया जाता है। आयन केवल धातु में आवेश की तटस्थता बनाए रखते हैं। ड्रूड प्रतिरूप के विपरीत, आयन आवश्यक रूप से टकराव का स्रोत नहीं हैं।
• स्वतंत्र अतिसूक्ष्म परमाणु सन्निकटन: अतिसूक्ष्म परमाणुों के बीच के पारस्परिक प्रभाव को नजरअंदाज कर दिया जाता है। प्रतिच्छादन प्रभाव के कारण धातुओं में स्थिर वैद्युत विक्षेप क्षेत्र कमजोर होते हैं।
• विश्राम-समय सन्निकटन: कुछ अज्ञात प्रकीर्णन तंत्र है जैसे कि टकराव की अतिसूक्ष्म परमाणु संभावना विश्राम समय $\tau$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है, जो टक्करों के बीच औसत समय का प्रतिनिधित्व करता है। टकराव इलेक्ट्रॉनिक विन्यास पर निर्भर नहीं करते हैं।
• पाउली अपवर्जन सिद्धांत: प्रणाली के प्रत्येक परिमाण स्तिथितियों को केवल एक अतिसूक्ष्म परमाणु द्वारा अधिकृत किया जा सकता है। उपलब्ध अतिसूक्ष्म परमाणु स्तिथितियों के इस प्रतिबंध को फर्मी-डिराक सांख्यिकी (फर्मी वायुरूप द्रव्य भी देखें) द्वारा ध्यान में रखा गया है। मुक्त-अतिसूक्ष्म परमाणु प्रतिरूप की मुख्य भविष्यवाणियां फर्मी स्तर के आसपास ऊर्जा के लिए फर्मी-डिराक अधिभोग के सोमरफेल्ड विस्तार से प्राप्त होती हैं।

प्रतिरूप का नाम पहली दो धारणाओं से आता है, क्योंकि प्रत्येक अतिसूक्ष्म परमाणु को ऊर्जा और संवेग के बीच संबंधित द्विघात संबंध के साथ मुक्त कण के रूप में माना जा सकता है।

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में स्फटिक जाली को स्पष्ट रूप से ध्यान में नहीं रखा गया है, लेकिन बलोच के प्रमेय द्वारा एक साल बाद (1928) एक परिमाण-यांत्रिक औचित्य दिया गया था: एक निःसीम अतिसूक्ष्म परमाणु निर्वात में एक मुक्त अतिसूक्ष्म परमाणु के रूप में एक आवधिक क्षमता में गति करता है, सिवाय इसके कि अतिसूक्ष्म परमाणु द्रव्यमान m_e एक प्रभावी द्रव्यमान m* बन जाता है जो m_e से काफी विचलित हो सकता है (अतिसूक्ष्म परमाणु छिद्रों द्वारा चालन का वर्णन करने के लिए कोई भी नकारात्मक प्रभावी द्रव्यमान का उपयोग कर सकता है)। प्रभावी द्रव्यमान बैंड संरचना संगणनाओं से प्राप्त किए जा सकते हैं जिन्हें मूल रूप से मुक्त अतिसूक्ष्म परमाणु छेद में ध्यान में नहीं रखा गया था।

ड्रूड प्रतिरूप से

Main article: ड्रूड प्रतिरूप

कई भौतिक गुण सीधे ड्रूड प्रतिरूप से अनुसरण करते हैं, क्योंकि कुछ समीकरण कणों के सांख्यिकीय वितरण पर निर्भर नहीं करते हैं। एक आदर्श वायुरूप द्रव्य के वेग सदिश के लिए वितरण या फर्मी वायुरूप द्रव्य के वेग वितरण में केवल अतिसूक्ष्म परमाणुों की गति से संबंधित परिणाम बदलते हैं।

मुख्य रूप से, मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल और ड्रूड प्रतिरूप ओम के नियम के लिए समान DC विद्युत चालकता σ की भविष्यवाणी करते हैं, अर्थात

$\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E} \quad$ साथ $\quad \sigma ={\frac {ne^{2}\tau }{m_{e}}},$

जहाँ पर $\mathbf {J}$ वर्तमान घनत्व है, $\mathbf {E}$ बाहरी विद्युत क्षेत्र है, $n$ अतिसूक्ष्म परमाणुिक घनत्व (अतिसूक्ष्म परमाणुों / मात्रा की संख्या) है, $\tau$ औसत खाली समय है और $e$ प्राथमिक शुल्क है।

अन्य मात्राएं जो ड्रूड के मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के तहत समान रहती हैं, एसी संवेदनशीलता, प्लाज्मा दोलन, चुंबकीय प्रतिरोध और हॉल प्रभाव से संबंधित हॉल गुणांक हैं।

एक अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य के गुण

Main article: फर्मी वायुरूप द्रव्य

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के कई गुण फर्मी वायुरूप द्रव्य से संबंधित समीकरणों से सीधे अनुसरण करते हैं, क्योंकि स्वतंत्र अतिसूक्ष्म परमाणु सन्निकटन गैर-अंतःक्रियात्मक अतिसूक्ष्म परमाणुों के एक समूह की ओर जाता है। त्रि-आयामी अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य के लिए हम फर्मी ऊर्जा को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं

$E_{\rm {F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left(3\pi ^{2}n\right)^{\frac {2}{3}},$

जहाँ पर $\hbar$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है। फर्मी ऊर्जा शून्य तापमान पर उच्चतम ऊर्जा अतिसूक्ष्म परमाणु की ऊर्जा को परिभाषित करती है। धातुओं के लिए फर्मी ऊर्जा मुक्त अतिसूक्ष्म परमाणु बैंड न्यूनतम ऊर्जा के ऊपर अतिसूक्ष्म परमाणु वोल्ट की इकाइयों के क्रम में होती है।

तीन आयामों में, वायुरूप द्रव्य की अवस्थाओं का घनत्व कणों की गतिज ऊर्जा के वर्गमूल के समानुपाती होता है।

स्तिथितियों का घनत्व

गैर-अंतःक्रियात्मक अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य के स्तिथितियों की 3 D घनत्व (ऊर्जा स्तिथितियों की संख्या, प्रति ऊर्जा प्रति मात्रा) द्वारा दी गई है:

$g(E)={\frac {m_{e}}{\pi ^{2}\hbar ^{3}}}{\sqrt {2m_{e}E}}={\frac {3}{2}}{\frac {n}{E_{\rm {F}}}}{\sqrt {\frac {E}{E_{\rm {F}}}}},$

जहाँ पर ${\textstyle E\geq 0}$ किसी दिए गए अतिसूक्ष्म परमाणु की ऊर्जा है। यह सूत्र घुमाव अध: पतन को ध्यान में रखता है लेकिन रासायनिक संयोजन और चालन बैंड के तल के कारण संभावित ऊर्जा बदलाव पर विचार नहीं करता है। 2D के लिए स्तिथितियों का घनत्व स्थिर है और 1D के लिए अतिसूक्ष्म परमाणु ऊर्जा के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती है।

फर्मी स्तर

रासायनिक क्षमता $\mu$ एक ठोस में अतिसूक्ष्म परमाणुों की संख्या को फर्मी स्तर के रूप में भी जाना जाता है और, संबंधित फर्मी ऊर्जा $E_{\rm {F}}$ की तरह, प्रायः निरूपित किया जाता है . सोमरफेल्ड विस्तार का उपयोग फर्मी स्तर की गणना के लिए किया जा सकता है ($T>0$) उच्च तापमान पर:

$E_{\rm {F}}(T)=E_{\rm {F}}(T=0)\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{2}-{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {T}{T_{\rm {F}}}}\right)^{4}+\cdots \right],$

जहाँ पे $T$ तापमान है और हम परिभाषित करते हैं ${\textstyle T_{\rm {F}}=E_{\rm {F}}/k_{\rm {B}}}$ फर्मी तापमान के रूप में ($k_{\rm {B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है)। परेशान करने वाला दृष्टिकोण उचित है क्योंकि फर्मी का तापमान आमतौर पर लगभग 10 होता है⁵ K किसी धातु के लिए, इसलिए कमरे के तापमान पर या फर्मी ऊर्जा को कम करता है $E_{\rm {F}}(T=0)$ और रासायनिक क्षमता $E_{\rm {F}}(T>0)$ व्यावहारिक रूप से समतुल्य हैं।

धातुओं की संपीड्यता और अध: पतन दबाव

कुल ऊर्जा प्रति इकाई आयतन (पर ${\textstyle T=0}$) सिस्टम के चरण स्थान पर एकीकृत करके भी गणना की जा सकती है, हम प्राप्त करते हैं

$u(0)={\frac {3}{5}}nE_{\rm {F}},$

जो तापमान पर निर्भर नहीं करता है। एक आदर्श वायुरूप द्रव्य की प्रति अतिसूक्ष्म परमाणु ऊर्जा के साथ तुलना करें: ${\textstyle {\frac {3}{2}}k_{\rm {B}}T}$, जो शून्य तापमान पर शून्य है। एक आदर्श वायुरूप द्रव्य के लिए अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य के समान ऊर्जा होने के लिए, तापमान को फर्मी तापमान के क्रम में होना चाहिए। थर्मोडायनामिक रूप से, अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य की यह ऊर्जा द्वारा दिए गए शून्य-तापमान दबाव से मेल खाती है

$P=-\left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {2}{3}}u(0),$

जहाँ पर ${\textstyle V}$ मात्रा है और ${\textstyle U(T)=u(T)V}$ कुल ऊर्जा है, तापमान और रासायनिक संभावित स्थिरांक पर किया गया व्युत्पन्न। इस दबाव को अतिसूक्ष्म परमाणु अध: पतन दबाव कहा जाता है और यह अतिसूक्ष्म परमाणुों के प्रतिकर्षण या गति से नहीं आता है, बल्कि इस प्रतिबंध से आता है कि दो से अधिक अतिसूक्ष्म परमाणु (स्पिन के दो मूल्यों के कारण) एक ही ऊर्जा स्तर पर कब्जा नहीं कर सकते हैं। यह दबाव धातु की संपीड्यता या थोक मापांक को परिभाषित करता है

$B=-V\left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T,\mu }={\frac {5}{3}}P={\frac {2}{3}}nE_{\rm {F}}.$

यह अभिव्यक्ति क्षार धातुओं और महान धातुओं के लिए बल्क मापांक के परिमाण का सही क्रम देती है, जो दर्शाती है कि यह दबाव धातु के अंदर के अन्य प्रभावों जितना ही महत्वपूर्ण है। अन्य धातुओं के लिए पारदर्शी संरचना को ध्यान में रखना होता है।

अतिरिक्त भविष्यवाणियां

ताप क्षमता

Further information: इलेक्ट्रॉनिक विशिष्ट ताप

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के आने से पहले ठोस-अवस्था भौतिकी में एक खुली समस्या धातुओं की कम ताप क्षमता से संबंधित थी। यहां तक ​​कि जब ड्रूड प्रतिरूप विडेमैन-फ्रांज कानून के लॉरेंज संख्या के लिए एक अच्छा सन्निकटन था, तो शास्त्रीय तर्क इस विचार पर आधारित है कि एक आदर्श वायुरूप द्रव्य की आयतनी ताप क्षमता है

$c_{V}^{\text{Drude}}={\frac {3}{2}}nk_{\rm {B}}$.

यदि ऐसा होता, तो इस अतिसूक्ष्म परमाणुिक योगदान के कारण किसी धातु की ऊष्मा क्षमता बहुत अधिक हो सकती थी। फिर भी, इतनी बड़ी ताप क्षमता को कभी नहीं मापा गया, जिससे तर्क के बारे में संदेह पैदा हुआ। सोमरफेल्ड के विस्तार का उपयोग करके एक परिमित तापमान पर ऊर्जा घनत्व के सुधार प्राप्त कर सकते हैं और एक अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य की ताप क्षमता प्राप्त कर सकते हैं:

$c_{V}=\left({\frac {\partial u}{\partial T}}\right)_{n}={\frac {\pi ^{2}}{2}}{\frac {T}{T_{\rm {F}}}}nk_{\rm {B}}$,

जहां आयतनमितीय $nk_{B}$ में पाए गए ${\textstyle c_{V}^{\text{Drude}}}$ 3/2 से काफी छोटा है, कमरे के तापमान पर लगभग 100 गुना छोटा और कम तापमान ${\textstyle T}$ पर बहुत छोटा है। ड्रूड प्रतिरूप में लॉरेंज संख्या का अच्छा अनुमान परिमाण संस्करण की तुलना में लगभग 100 बड़े अतिसूक्ष्म परमाणु के शास्त्रीय माध्य वेग का परिणाम था, जो शास्त्रीय ताप क्षमता के बड़े मूल्य की भरपाई करता था। लॉरेंज कारक की मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल गणना ड्रूड के मूल्य से लगभग दोगुनी है और यह प्रायोगिक मूल्य के करीब है। इस ताप क्षमता के साथ मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल तापविद्युत् प्रभाव के सीबेक गुणांक के लिए कम T पर परिमाण और तापमान निर्भरता के सही क्रम की भविष्यवाणी करने में भी सक्षम है।

स्पष्ट रूप से, अकेले अतिसूक्ष्म परमाणुिक योगदान डुलोंग-पेटिट कानून की भविष्यवाणी नहीं करता है, यानी अवलोकन कि धातु की गर्मी क्षमता उच्च तापमान पर स्थिर होती है। जाली कंपन योगदान को जोड़कर इस अर्थ में मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में सुधार किया जा सकता है। जाली को समस्या में सम्मिलित करने की दो प्रसिद्ध योजनाएँ आइंस्टीन ठोस प्रतिरूप और डेबी प्रतिरूप हैं। बाद के जोड़ के साथ, कम तापमान पर धातु की आयतनमितीय ताप क्षमता को अधिक सटीक रूप में लिखा जा सकता है,

$c_{V}\approx \gamma T+AT^{3}$,

जहाँ पर $\gamma$ तथा $A$ सामग्री से संबंधित स्थिरांक हैं। रैखिक शब्द अतिसूक्ष्म परमाणुिक योगदान से आता है जबकि घन शब्द डेबी प्रतिरूप से आता है। उच्च तापमान पर यह अभिव्यक्ति अब सही नहीं है, अतिसूक्ष्म परमाणुिक ताप क्षमता की उपेक्षा की जा सकती है, और धातु की कुल ताप क्षमता स्थिर हो जाती है।

मतलब मुक्त पथ

ध्यान दें कि विश्राम समय के सन्निकटन के बिना, अतिसूक्ष्म परमाणुों के पास अपनी गति को विक्षेपित करने का कोई कारण नहीं है, क्योंकि कोई अंतःक्रिया नहीं होती है, इस प्रकार माध्य मुक्त पथ अनंत होना चाहिए। ड्रूड प्रतिरूप ने अतिसूक्ष्म परमाणुों के औसत मुक्त पथ को सामग्री में आयनों के बीच की दूरी के करीब माना, पहले के निष्कर्ष का अर्थ है कि अतिसूक्ष्म परमाणुों का प्रसार आयनों के साथ टकराव के कारण था। इसके बजाय मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में माध्य मुक्त पथ दिए गए हैं ${\textstyle \lambda =v_{\rm {F}}\tau }$ (जहाँ पर ${\textstyle v_{\rm {F}}={\sqrt {2E_{\rm {F}}/m_{e}}}}$ फर्मी गति है) और सैकड़ों एंग्स्ट्रॉम्स के क्रम में हैं, किसी भी संभावित शास्त्रीय गणना से बड़े परिमाण का कम से कम एक क्रम है। माध्य मुक्त पथ तब अतिसूक्ष्म परमाणु-आयन टकराव का परिणाम नहीं होता है, बल्कि इसके स्थान पर सामग्री में कमियों से संबंधित होता है, या तो धातु में दोष और अशुद्धियों के कारण, या ऊष्मीय अस्थिरता के कारण।

अशुद्धियाँ और विस्तार

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल कई अपर्याप्तताओं को प्रस्तुत करता है जो प्रयोगात्मक अवलोकन द्वारा विरोधाभासी हैं। हम कुछ अशुद्धियों को नीचे सूचीबद्ध करते हैं:

तापमान निर्भरता

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल कई भौतिक मात्राओं को प्रस्तुत करता है जिनमें गलत तापमान निर्भरता होती है, या विद्युत चालकता की तरह बिल्कुल भी कोई निर्भरता नहीं होती है। कम तापमान पर क्षार धातुओं के लिए तापीय चालकता और विशिष्ट गर्मी की अच्छी तरह से भविष्यवाणी की जाती है, लेकिन आयन गति और फोनन बिखरने से आने वाले उच्च तापमान व्यवहार की भविष्यवाणी करने में विफल रहता है।

हॉल प्रभाव और चुंबकीय प्रतिरोध

ड्रूड के प्रतिरूप में और मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में हॉल गुणांक का स्थिर मूल्य R_H = –1/(ne) होता है। यह मान तापमान और चुंबकीय क्षेत्र की ताकत से स्वतंत्र है। हॉल गुणांक वास्तव में बैंड संरचना पर निर्भर है और मैग्नीशियम और अल्युमीनियम जैसे मजबूत चुंबकीय क्षेत्र निर्भरता वाले तत्वों का अध्ययन करते समय प्रतिरूप के साथ अंतर काफी नाटकीय हो सकता है। मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल यह भी भविष्यवाणी करता है कि पारगमन चुंबकीय प्रतिरोध, वर्तमान की दिशा में प्रतिरोध, क्षेत्र की ताकत पर निर्भर नहीं करता है। लगभग सभी मामलों में ऐसा होता है।

दिशात्मक

कुछ धातुओं की चालकता विद्युत क्षेत्र के संबंध में नमूने के उन्मुखीकरण पर निर्भर कर सकती है। कभी-कभी विद्युत धारा भी क्षेत्र के समानांतर नहीं होती है। इस संभावना का वर्णन नहीं किया गया है क्योंकि प्रतिरूप धातुओं के पारदर्शीता यानी आयनों की आवधिक जाली के अस्तित्व को एकीकृत नहीं करता है।

चालकता में विविधता

सभी पदार्थ विद्युत के सुचालक नहीं होते हैं, कुछ बहुत अच्छी तरह से बिजली का संचालन नहीं करते हैं (विसंवाहक (बिजली)), कुछ अर्धचालक की तरह अशुद्धियों को जोड़ने पर आचरण कर सकते हैं। अर्द्ध धातु, संकीर्ण चालन बैंड के साथ भी उपस्थित हैं। इस विविधता का प्रतिरूप द्वारा अनुमान नहीं लगाया गया है और केवल रासायनिक संयोजन और प्रवाहकत्त्व बैंड का विश्लेषण करके समझाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, अतिसूक्ष्म परमाणु धातु में एकमात्र आवेश वाहक नहीं होते हैं, अतिसूक्ष्म परमाणु रिक्तियों या अतिसूक्ष्म परमाणु छिद्र को सकारात्मक विद्युत आवेश वाले क्विसीपार्टिकल्स के रूप में देखा जा सकता है।हॉल और सीबेक गुणांकों के लिए छेदों का संचालन मॉडल द्वारा अनुमानित विपरीत संकेत की ओर जाता है।

अन्य कमियां विडेमैन-फ्रांज कानून में मध्यवर्ती तापमान और प्रकाशीय वर्णक्रम में धातुओं की आवृत्ति-निर्भरता में मौजूद हैं।

विद्युत चालकता और विडेमैन-फ्रांज कानून के लिए अधिक सटीक मान बोल्ट्ज़मैन समीकरण या कुबो सूत्र को अपील करके विश्राम-समय सन्निकटन को नरम करके प्राप्त किया जा सकता है।

घुमाव (भौतिकी) को ज्यादातर मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल में उपेक्षित किया जाता है और इसके परिणाम अनुचुंबकत्व और लोह चुंबकत्व जैसी आकस्मिक चुंबकीय घटनाओं को जन्म दे सकते हैं।

खाली जालक सन्निकटन को मानकर मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल की तत्काल निरंतरता प्राप्त की जा सकती है, जो बैंड संरचना प्रतिरूप का आधार है जिसे लगभग मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के रूप में जाना जाता है।

अतिसूक्ष्म परमाणुों के बीच प्रतिकारक अन्योन्यक्रियाओं को जोड़ने से यहां प्रस्तुत चित्र बहुत अधिक नहीं बदलता है। लेव लैंडौ ने दिखाया कि प्रतिकूल पारस्परिक प्रभाव के तहत एक फर्मी वायुरूप द्रव्य को समतुल्य क्वासिपार्टिकल्स की वायुरूप द्रव्य के रूप में देखा जा सकता है जो धातु के गुणों को थोड़ा संशोधित करता है। लैंडौ के प्रतिरूप को अब फर्मी तरल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। अतिचालकता जैसी अधिक विदेशी घटनाएं, जहां पारस्परिक प्रभाव आकर्षक हो सकता है, एक अधिक परिष्कृत सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

• बलोच की प्रमेय
• अतिसूक्ष्म परमाणुिक एन्ट्रापी
• दृढ़ बंधन
• द्वि-आयामी अतिसूक्ष्म परमाणु वायुरूप द्रव्य
• बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी
• फर्मी सतह
• सफेद द्वार्फ
• जेलियम

संदर्भ

General

• Kittel, Charles (1953). Introduction to Solid State Physics. University of Michigan: Wiley.
• Ashcroft, Neil; Mermin, N. David (1976). Solid State Physics. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 978-0-03-083993-1.
• Sommerfeld, Arnold; Bethe, Hans (1933). Elektronentheorie der Metalle. Berlin Heidelberg: Springer Verlag. ISBN 978-3642950025.