उरीसोहन और पूर्ण हॉसडॉर्फ समष्टि: Difference between revisions

Separation axioms
in topological spaces
Separation axioms; in topological spaces
Kolmogorov classification
T0	(Kolmogorov)
T1	(Fréchet)
T2	(Hausdorff)
T2½	(Urysohn)
completely T2	(completely Hausdorff)
T3	(regular Hausdorff)
T3½	(Tychonoff)
T4	(normal Hausdorff)
T5	(completely normal; Hausdorff)
T6	(perfectly normal; Hausdorff)
	History;

Revision as of 10:59, 14 July 2023

टोपोलॉजी में, गणित के भीतर एक अनुशासन, एक उरीसोहन समष्टि, या T_2½ समष्टि, एक टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को सवृत प्रतिवैस (नेबरहुड) द्वारा अलग किया जा सकता है। पूर्ण हॉसडॉर्फ़ समष्टि, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ समष्टि, एक टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फलन द्वारा अलग किया जा सकता है। ये स्थितियाँ पृथक्करण अभिगृहीत हैं जो अधिक परिचित हॉसडॉर्फ अभिगृहीत T₂ से कुछ हद तक अधिक मजबूत हैं।

परिभाषाएँ

मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल समष्टि है। मान लीजिए कि x और y, X में बिंदु हैं।

हम कहते हैं कि x और y को सवृत नेबरहुड से अलग किया जा सकता है यदि x का एक सवृत समुच्चय नेबरहुड (टोपोलॉजी) U और y का एक सवृत नेबरहुड V उपस्थित है, जैसे कि U और V असंयुक्त समुच्चय हैं (U ∩ V = ∅)। (ध्यान दें कि x का एक सवृत नेबरहुड एक सवृत समुच्चय है जिसमें x युक्त एक विवृत समुच्चय होता है।)
हम कहते हैं कि यदि f(x) = 0 और f(y) = 1 के साथ निरंतरता (टोपोलॉजी) f: X → [0,1] (इकाई अंतराल) उपस्थित है तो x और y को एक फलन द्वारा अलग किया जा सकता है।

'उरीसोहन समष्टि', जिसे 'T_2½' भी कहा जाता है अंतरिक्ष, एक ऐसा समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है।

पूर्ण हॉसडॉर्फ़ समष्टि, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ समष्टि, एक ऐसा समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फलन द्वारा अलग किया जा सकता है।

नामकरण परंपरा

पृथक्करण अभिगृहीत का अध्ययन प्रयुक्त नामकरण परंपराओं के साथ संघर्ष के लिए लोकप्रसिध्द है। इस लेख में उपयोग की गई परिभाषाएँ विलार्ड (1970) द्वारा दी गई हैं और अधिक आधुनिक परिभाषाएँ हैं। स्टीन और सीबैक (1970) और कई अन्य लेखक पूर्ण हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि और उरीसोहन रिक्त समष्टि की परिभाषा को उलट देते हैं। टोपोलॉजी में पाठ्यपुस्तकों के पाठकों को लेखक द्वारा उपयोग की गई परिभाषाओं की जांच अवश्य करनी चाहिए। इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास देखें।

अन्य पृथक्करण सिद्धांतों से संबंध

किन्हीं दो बिंदुओं को एक फलन द्वारा अलग किया जा सकता है जिन्हें सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है। यदि उन्हें सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है तो स्पष्ट रूप से उन्हें नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक पूर्णतः हॉसडॉर्फ़ समष्टि उरीसोहन है और प्रत्येक उरीसोहन समष्टि हॉसडॉर्फ़ है।

कोई यह भी दिखा सकता है कि प्रत्येक नियमित हॉसडॉर्फ़ समष्टि उरीसोहन है और प्रत्येक टाइकोनॉफ़ समष्टि (=पूर्ण नियमित हॉसडॉर्फ़ समष्टि) पूर्ण हॉसडॉर्फ़ है। संक्षेप में हमारे पास निम्नलिखित निहितार्थ हैं:

Tychonoff (T_3½)	$\Rightarrow$	regular Hausdorff (T₃)
$\Downarrow$		$\Downarrow$
completely Hausdorff	$\Rightarrow$	Urysohn (T_2½)	$\Rightarrow$	Hausdorff (T₂)	$\Rightarrow$	T₁

कोई भी ऐसे प्रति-उदाहरण पा सकता है जो दर्शाता है कि इनमें से कोई भी निहितार्थ क्रम बदला हुआ नहीं है।^[1]

उदाहरण

कोकाउंटेबल (सहगणनीय टोपोलॉजी) एक्सटेंशन टोपोलॉजी सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी और कोकाउंटेबल टोपोलॉजी के मिलन से उत्पन्न वास्तविक रेखा पर टोपोलॉजी है। इस टोपोलॉजी में समुच्चय केवल तभी खुले होते हैं जब वे U \ A के रूप में होते हैं, जहां यूक्लिडियन टोपोलॉजी में U विवृत होता है और A गणनीय होता है। यह समष्टि पूर्ण हॉसडॉर्फ़ और उरीसोहन है, लेकिन नियमित नहीं है (और इस प्रकार टाइकोनॉफ़ नहीं है)।

ऐसे समष्टि उपस्थित हैं जो हौसडॉर्फ़ हैं लेकिन उरीसोहन नहीं हैं, और ऐसे समष्टि भी उपस्थित हैं जो उरीसोहन हैं लेकिन पूर्ण हॉसडॉर्फ़ या नियमित हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं। उदाहरण गैर तुच्छ हैं; विवरण के लिए स्टीन और सीबैक देखें।

संदर्भ

Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, 1970. Reprinted by Dover Publications, New York, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Dover edition).
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.
"Completely Hausdorff". PlanetMath.

[1] "Hausdorff space not completely Hausdorff". PlanetMath.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{redirect-confuse|Urysohn space|Urysohn universal space}}
 {{Separation axioms}}
-[[टोपोलॉजी]] में, गणित के भीतर एक अनुशासन, एक उरीसोहन स्पेस, या टी<sub>2½</sub> स्पेस, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है। ये स्थितियां पृथक्करण सिद्धांत हैं जो अधिक परिचित [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] टी से कुछ हद तक मजबूत हैं<sub>2</sub>.
+[[टोपोलॉजी]] में, [[गणित]] के भीतर एक अनुशासन, एक '''उरीसोहन समष्टि''', या '''T<sub>2½</sub>''' '''समष्टि''', एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल समष्टि]] है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को सवृत प्रतिवैस (नेबरहुड) द्वारा अलग किया जा सकता है। '''पूर्ण हॉसडॉर्फ़ समष्टि''', या कार्यात्मक रूप से '''हॉसडॉर्फ़ समष्टि''', एक टोपोलॉजिकल समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फलन द्वारा अलग किया जा सकता है। ये स्थितियाँ पृथक्करण अभिगृहीत हैं जो अधिक परिचित हॉसडॉर्फ अभिगृहीत T<sub>2</sub> से कुछ हद तक अधिक मजबूत हैं।
 ==परिभाषाएँ==
-मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। माना कि X में x और y बिंदु हैं।
+मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल समष्टि है। मान लीजिए कि x और y, X में बिंदु हैं।
-*हम कहते हैं कि x और y को बंद पड़ोस से अलग किया जा सकता है यदि x का एक [[बंद सेट]] [[पड़ोस (टोपोलॉजी)]] U और y का एक बंद पड़ोस V मौजूद है, जैसे कि U और V [[असंयुक्त सेट]] हैं (U ∩ V = ∅)। (ध्यान दें कि x का एक बंद पड़ोस एक बंद सेट है जिसमें x युक्त एक [[खुला सेट]] होता है।)
+*हम कहते हैं कि x और y को सवृत नेबरहुड से अलग किया जा सकता है यदि x का एक [[बंद सेट|सवृत समुच्चय]] नेबरहुड (टोपोलॉजी) U और y का एक सवृत नेबरहुड V उपस्थित है, जैसे कि U और V [[असंयुक्त सेट|असंयुक्त समुच्चय]] हैं (U ∩ V = ∅)। (ध्यान दें कि x का एक सवृत नेबरहुड एक सवृत समुच्चय है जिसमें x युक्त एक [[खुला सेट|विवृत समुच्चय]] होता है।)
-*हम कहते हैं कि यदि f(x) = 0 और f(y) = 1 के साथ [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] f : X → [0,1] ([[इकाई अंतराल]]) मौजूद है तो x और y को एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है।
+*हम कहते हैं कि यदि f(x) = 0 और f(y) = 1 के साथ [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] f: X → [0,1] ([[इकाई अंतराल]]) उपस्थित है तो x और y को एक फलन द्वारा अलग किया जा सकता है।
-'उरीसोहन स्पेस', जिसे 'टी' भी कहा जाता है<sub>2½</sub> अंतरिक्ष, एक ऐसा स्थान है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है।
+'उरीसोहन समष्टि', जिसे ''''T<sub>2½</sub>'''<nowiki/>' भी कहा जाता है अंतरिक्ष, एक ऐसा समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है।
-पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, या कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ स्पेस, एक ऐसा स्थान है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है।
+पूर्ण '''हॉसडॉर्फ़ समष्टि''', या '''कार्यात्मक रूप से हॉसडॉर्फ़ समष्टि''', एक ऐसा समष्टि है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को एक सतत फलन द्वारा अलग किया जा सकता है।
 ==नामकरण परंपरा==
-पृथक्करण स्वयंसिद्धों का अध्ययन प्रयुक्त नामकरण परंपराओं के साथ टकराव के लिए कुख्यात है। इस लेख में प्रयुक्त परिभाषाएँ विलार्ड (1970) द्वारा दी गई हैं और अधिक आधुनिक परिभाषाएँ हैं। स्टीन और सीबैक (1970) और कई अन्य लेखक पूरी तरह से हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान और उरीसोहन रिक्त स्थान की परिभाषा को उलट देते हैं। टोपोलॉजी में पाठ्यपुस्तकों के पाठकों को लेखक द्वारा उपयोग की गई परिभाषाओं की जांच अवश्य करनी चाहिए। इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए [[पृथक्करण सिद्धांतों का इतिहास]] देखें।
+पृथक्करण अभिगृहीत का अध्ययन प्रयुक्त नामकरण परंपराओं के साथ संघर्ष के लिए लोकप्रसिध्द है। इस लेख में उपयोग की गई परिभाषाएँ विलार्ड (1970) द्वारा दी गई हैं और अधिक आधुनिक परिभाषाएँ हैं। स्टीन और सीबैक (1970) और कई अन्य लेखक पूर्ण हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि और उरीसोहन रिक्त समष्टि की परिभाषा को उलट देते हैं। टोपोलॉजी में पाठ्यपुस्तकों के पाठकों को लेखक द्वारा उपयोग की गई परिभाषाओं की जांच अवश्य करनी चाहिए। इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास देखें।
 ==अन्य पृथक्करण सिद्धांतों से संबंध==
-किन्हीं दो बिंदुओं को एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जा सकता है जिन्हें बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। यदि उन्हें बंद पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है तो स्पष्ट रूप से उन्हें पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक पूर्णतः हॉसडॉर्फ़ स्थान उरीसोहन है और प्रत्येक उरीसोहन स्थान हॉसडॉर्फ़ स्थान है।
+किन्हीं दो बिंदुओं को एक फलन द्वारा अलग किया जा सकता है जिन्हें सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है। यदि उन्हें सवृत नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है तो स्पष्ट रूप से उन्हें नेबरहुड द्वारा अलग किया जा सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक पूर्णतः हॉसडॉर्फ़ समष्टि उरीसोहन है और प्रत्येक उरीसोहन समष्टि हॉसडॉर्फ़ है।
-कोई यह भी दिखा सकता है कि प्रत्येक [[नियमित हॉसडॉर्फ़ स्थान]] उरीसोहन है और प्रत्येक [[टाइकोनोफ़ स्थान]] (=पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ स्थान) पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ है। संक्षेप में हमारे पास निम्नलिखित निहितार्थ हैं:
+कोई यह भी दिखा सकता है कि प्रत्येक नियमित हॉसडॉर्फ़ समष्टि उरीसोहन है और प्रत्येक टाइकोनॉफ़ समष्टि (=पूर्ण नियमित हॉसडॉर्फ़ समष्टि) पूर्ण हॉसडॉर्फ़ है। संक्षेप में हमारे पास निम्नलिखित निहितार्थ हैं:
 {| style="text-align: center; margin:1em auto;"
 |-
@@ Line 35: / Line 34: @@
 | [[T1 space|T<sub>1</sub>]]
 |}
-कोई भी ऐसे प्रति-उदाहरण पा सकता है जो दर्शाता है कि इनमें से कोई भी निहितार्थ उलटा नहीं है।<ref>{{planetmath reference|urlname=HausdorffSpaceNotCompletelyHausdorff|title=Hausdorff space not completely Hausdorff}}</ref>
+कोई भी ऐसे प्रति-उदाहरण पा सकता है जो दर्शाता है कि इनमें से कोई भी निहितार्थ क्रम बदला हुआ नहीं है।<ref>{{planetmath reference|urlname=HausdorffSpaceNotCompletelyHausdorff|title=Hausdorff space not completely Hausdorff}}</ref>
 ==उदाहरण==
-सह[[गणनीय]] विस्तार टोपोलॉजी सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] और [[सहगणनीय टोपोलॉजी]] के मिलन (सेट सिद्धांत) द्वारा उत्पन्न वास्तविक रेखा पर टोपोलॉजी है। इस टोपोलॉजी में सेट खुले सेट हैं यदि और केवल यदि वे फॉर्म यू \ ए के हैं जहां यू यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुला है और ए गणनीय है। यह स्थान पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ और उरीसोहन है, लेकिन नियमित नहीं है (और इस प्रकार टाइकोनॉफ़ नहीं है)।
+कोकाउंटेबल ([[सहगणनीय टोपोलॉजी]]) एक्सटेंशन टोपोलॉजी सामान्य [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] और कोकाउंटेबल टोपोलॉजी के मिलन से उत्पन्न वास्तविक रेखा पर टोपोलॉजी है। इस टोपोलॉजी में समुच्चय केवल तभी खुले होते हैं जब वे ''U'' \ ''A'' के रूप में होते हैं, जहां यूक्लिडियन टोपोलॉजी में ''U'' विवृत होता है और ''A'' गणनीय होता है। यह समष्टि पूर्ण हॉसडॉर्फ़ और उरीसोहन है, लेकिन नियमित नहीं है (और इस प्रकार टाइकोनॉफ़ नहीं है)।
-ऐसे स्थान मौजूद हैं जो हौसडॉर्फ़ हैं लेकिन उरीसोहन नहीं हैं, और ऐसे स्थान हैं जो उरीसोहन हैं लेकिन पूरी तरह से हॉसडॉर्फ़ या नियमित हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं। उदाहरण गैर तुच्छ हैं; विवरण के लिए स्टीन और सीबैक देखें।
+ऐसे समष्टि उपस्थित हैं जो हौसडॉर्फ़ हैं लेकिन उरीसोहन नहीं हैं, और ऐसे समष्टि भी उपस्थित हैं जो उरीसोहन हैं लेकिन पूर्ण हॉसडॉर्फ़ या नियमित हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं। उदाहरण गैर तुच्छ हैं; विवरण के लिए स्टीन और सीबैक देखें।
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