चक्राकार स्थान: Difference between revisions

Revision as of 12:14, 9 July 2023

गणित में, एक रिंग्ड स्पेस (कम्यूटेटिव) वलय का एक वर्ग है, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के विवर्त उपसमुच्चय द्वारा वलय होमोमोर्फिज्म के साथ पैरामीट्रिज्ड होता है जो प्रतिबंधों की भूमिका निभाता है। संक्षेप में यह एक टोपोलॉजिकल स्थान है जो वलय के एक समूह से सुसज्जित है जिसे संरचना शीफ कहा जाता है। यह विवर्त उपसमुच्चय पर निरंतर (अदिश-मूल्यवान) कार्यों के वलय की अवधारणा का एक अमूर्तन है।

चक्राकार स्थानों में, विशेष रूप से महत्वपूर्ण और प्रमुख स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है: एक चक्राकार स्थान जिसमें एक बिंदु पर डंठल और एक बिंदु पर कार्यों के रोगाणुओं की वलय के बीच सादृश्य मान्य है।

चक्राकार रिक्त स्थान विश्लेषण के साथ-साथ जटिल बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति के योजना सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं।

ध्यान दें: वलय वाले स्थान की परिभाषा में अधिकांश व्याख्याएं वलय को क्रमविनिमेय वलय तक ही सीमित रखती हैं, जिनमें हार्टशोर्न और विकिपीडिया भी सम्मिलित हैं। दूसरी ओर, एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक, क्रमविनिमेयता धारणा को प्रयुक्त नहीं करता है, चूँकि पुस्तक अधिकत्तर क्रमविनिमेय स्थिति पर विचार करती है।^[1]

परिभाषाएँ

एक चक्राकार स्थान $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक टोपोलॉजिकल स्थान $X$ है, साथ में $X$ पर वलय का एक समूह ${\mathcal {O}}_{X}$ है। शीफ ${\mathcal {O}}_{X}$ को $X$ का स्ट्रक्चर शीफ कहा जाता है।

स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान एक चक्राकार स्थान है https://alpha.indicwiki.in/index.php?title=Special:MathShowImage&hash=ede646a06c89ec0fd3f2a8eb672f4164&mode=mathml इस प्रकार कि ${\mathcal {O}}_{X}$ के सभी डंठल स्थानीय वलय हैं (अर्थात उनके पास अद्वितीय अधिकतम आदर्श हैं)। ध्यान दें कि यह आवश्यक नहीं है कि ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ प्रत्येक विवर्त सेट $U$ के लिए एक स्थानीय वलय हो; वास्तव में, ऐसा लगभग कभी नहीं होता है।

उदाहरण

एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ को ${\mathcal {O}}_{X}$ लेकर स्थानीय रूप से वलय वाला स्पेस माना जा सविवर्त $X$ के विवर्त उपसमुच्चय पर वास्तविक-मूल्यवान (या जटिल-मूल्यवान) निरंतर कार्यो का समूह होना। एक बिं $x$ पर डंठल $x$ पर निरंतर कार्य करने वाले सभी रोगाणुओं के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है; यह अद्वितीय अधिकतम आदर्श वाला एक स्थानीय वलय है जिसमें वे रोगाणु सम्मिलित हैं जिनका $x$ पर मान 0 है।

यदि $X$ कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ एक मैनिफोल्ड विभेदक कार्य, या होलोमोर्फिक फलन या जटिल-विश्लेषणात्मक फलन का शीफ भी ले सकते हैं। ये दोनों स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों को जन्म देते हैं।

यदि $X$ एक बीजगणितीय विविधता है जो ज़ारिस्की टोपोलॉजी को ले जाती है, हम ज़ारिस्की-ओपन सेट $U$ पर परिभाषित तर्कसंगत मैपिंग की वलय के रूप में ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ लेकर स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान को परिभाषित कर सकते हैं। $U$ के अंदर विस्फोट न हो (अनंत हो जाए)। इस उदाहरण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण किसी भी क्रमविनिमेय वलय के स्पेक्ट्रम का है; ये स्पेक्ट्रा स्थानीय रूप से चक्रित स्थान भी हैं। योजनाएं स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान हैं जो क्रमविनिमेय वलयो के स्पेक्ट्रा को "एक साथ चिपकाकर" प्राप्त की जाती हैं।

आकारिकी

$(X,{\mathcal {O}}_{X})$ से $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ तक एक रूपवाद एक जोड़ी $(f,\varphi )$ है, जहां $f:X\to Y$ अंतर्निहित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक सतत मानचित्र है, और $\varphi :{\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}$ $Y$ के संरचना शीफ से प्रत्यक्ष तक एक रूपवाद है $X$ के संरचना शीफ की छवि। दूसरे शब्दों में, $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ से $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$ तक एक रूपवाद निम्नलिखित डेटा द्वारा दिया गया है:

एक सतत कार्य (टोपोलॉजी) $f:X\to Y$
वलय समरूपताओं का एक वर्ग $\varphi _{V}:{\mathcal {O}}_{Y}(V)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(V))$ प्रत्येक विवर्त सेट के लिए $V$ का $Y$ जो प्रतिबंध मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। अर्थात यदि $V_{1}\subseteq V_{2}$ के दो विवर्त उपसमुच्चय हैं $Y$ , तो निम्नलिखित आरेख को क्रमविनिमेय आरेख होना चाहिए (ऊर्ध्वाधर मानचित्र प्रतिबंध समरूपताएं हैं):

स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों के बीच आकारिकी के लिए एक अतिरिक्त आवश्यकता है:

$Y$ के डंठलों और X के डंठलों के बीच $\varphi$ द्वारा प्रेरित वलय समरूपताएं स्थानीय समरूपताएं होनी चाहिए, अथार्त प्रत्येक $x\in X$ के लिए $f(x)\in Y$ पर स्थानीय वलय (डंठल) का अधिकतम आदर्श $x\in X$ पर स्थानीय वलय के अधिकतम आदर्श में मैप किया जाता है।

एक नया रूपवाद बनाने के लिए दो रूपवादों की रचना की जा सकती है, और हम चक्राकार स्थानों की श्रेणी (गणित) और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। इन श्रेणियों में समरूपता को सदैव की तरह परिभाषित किया गया है।

स्पर्शरेखा रिक्त स्थान

स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों में स्पर्शरेखा स्थान की सार्थक परिभाषा की अनुमति देने के लिए पर्याप्त संरचना होती है। होने देना $X$ संरचना शीफ के साथ स्थानीय रूप से ${\mathcal {O}}_{X}$ रिंगित स्थान बनें हम स्पर्शरेखा $T_{x}(X)$ स्थान को परिभाषित करना चाहते हैं बिंदु पर $x\in X$ . स्थानीय वलय (डंठल) लें $R_{x}$ बिंदु पर $x$ , अधिकतम आदर्श के साथ ${\mathfrak {m}}_{x}$ . तब $k_{x}:=R_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}$ एक क्षेत्र (गणित) है और ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ उस क्षेत्र (कोटैंजेंट स्थान) पर एक सदिश स्थल है। स्पर्शरेखा स्थान $T_{x}(X)$ इस सदिश समष्टि के दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है।

विचार निम्नलिखित है: $x$ पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर आपको बताएगा कि $x$ पर "फ़ंक्शंस" को कैसे "अंतरित" किया जाए, अथार्त $R_{x}$ के तत्व में अब यह जानना पर्याप्त है कि उन फलन को कैसे अलग किया जाए जिनका मान $x$ पर शून्य है, क्योंकि अन्य सभी फलन इनसे केवल एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं, और हम जानते हैं कि स्थिरांकों को कैसे अलग किया जाए। इसलिए हमें केवल ${\mathfrak {m}}_{x}$ पर विचार करने की आवश्यकता है।.इसके अतिरिक्त, यदि दो फ़ंक्शन $x$ पर मान शून्य के साथ दिए गए हैं, तो उत्पाद नियम के अनुसार, उनके उत्पाद का $x$ पर व्युत्पन्न 0 है। इसलिए हमें केवल यह जानने की जरूरत है कि ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ के तत्वों को "नंबर" कैसे निर्दिष्ट किया जाए, और दोहरा स्थान यही करता है।

${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल

स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ को देखते हुए, $X$ पर मॉड्यूल के कुछ संग्रह अनुप्रयोगों, ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल में होते हैं। उन्हें परिभाषित करने के लिए, $X$ पर एबेलियन समूहों के एक शीफ F पर विचार करें। यदि F(U) $X$ में प्रत्येक खुले सेट $U$ के लिए वलय ${\mathcal {O}}_{X}(U)$ पर एक मॉड्यूल है, और प्रतिबंध मानचित्र मॉड्यूल संरचना के साथ संगत हैं, तो हम कॉल करते हैं $F$ एक ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल इस स्थिति में, x पर $F$ का डंठल प्रत्येक $x\in X$ के लिए स्थानीय वलय (डंठल) $R_{x}$ पर एक मॉड्यूल होगा।

ऐसे दो के बीच एक रूपवाद ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल शीव्स या मॉर्फिज्म का एक मॉर्फिज्म है जो दिए गए मॉड्यूल संरचनाओं के साथ संगत है। की श्रेणी ${\mathcal {O}}_{X}$ -एक निश्चित स्थानीय वलय वाले स्थान पर मॉड्यूल $(X,{\mathcal {O}}_{X})$ एक एबेलियन श्रेणी है।

${\mathcal {O}}_{X}$ मॉड्यूल की श्रेणी की एक महत्वपूर्ण उपश्रेणी $X$ पर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी है। ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल के एक समूह को अर्ध-सुसंगत कहा जाता है यदि यह, स्थानीय रूप से, मुक्त ${\mathcal {O}}_{X}$ -मॉड्यूल के बीच के मानचित्र के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है। एक सुसंगत शीफ F एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, जो, स्थानीय रूप से, परिमित प्रकार का है $U$ और $X$ के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय के लिए एक मुक्त से किसी भी रूपवाद का कर्नेल है मूल ${\mathcal {O}}_{U}$ -परिमित रैंक के मॉड्यूल $F_{U}$ यह भी परिमित प्रकार का है।

उद्धरण

↑ EGA, Ch 0, 4.1.1.

संदर्भ

Section 0.4 of Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1960). "Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas". Publications Mathématiques de l'IHÉS. 4. doi:10.1007/bf02684778. MR 0217083.
Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157

बाहरी संबंध

Onishchik, A.L. (2001) [1994], "Ringed space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[1] EGA, Ch 0, 4.1.1.

[1]

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 {{Short description|Sheaf of rings in mathematics}}
-गणित में, एक रिंग्ड स्पेस ([[ क्रमविनिमेय वलय ]]) रिंग (गणित) का एक परिवार है जो [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] के खुले उपसमुच्चय द्वारा [[वलय समरूपता]] के साथ पैरामीट्रिज्ड होता है जो [[प्रतिबंध (गणित)]] की भूमिका निभाते हैं। संक्षेप में, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो रिंगों के एक शीफ (गणित) से सुसज्जित है जिसे स्ट्रक्चर शीफ कहा जाता है। यह खुले उपसमुच्चय पर निरंतर_फ़ंक्शन#कंटीन्युअस_फ़ंक्शन_बिटवीन_टोपोलॉजिकल_स्पेस (स्केलर-वैल्यू) फ़ंक्शंस के छल्ले की अवधारणा का एक अमूर्त है।
+गणित में, एक रिंग्ड स्पेस (कम्यूटेटिव) वलय  का एक वर्ग है, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस के विवर्त उपसमुच्चय द्वारा वलय होमोमोर्फिज्म के साथ पैरामीट्रिज्ड होता है जो प्रतिबंधों की भूमिका निभाता है। संक्षेप में यह एक टोपोलॉजिकल स्थान है जो वलय के एक समूह से सुसज्जित है जिसे संरचना शीफ कहा जाता है। यह विवर्त उपसमुच्चय पर निरंतर (अदिश-मूल्यवान) कार्यों के वलय की अवधारणा का एक अमूर्तन है।
-चक्राकार स्थानों के बीच, विशेष रूप से महत्वपूर्ण और प्रमुख स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है: एक चक्राकार स्थान जिसमें एक बिंदु पर डंठल और एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन के रोगाणु की अंगूठी के बीच सादृश्य मान्य है।
+चक्राकार स्थानों में, विशेष रूप से महत्वपूर्ण और प्रमुख स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है: एक चक्राकार स्थान जिसमें एक बिंदु पर डंठल और एक बिंदु पर कार्यों के रोगाणुओं की वलय के बीच सादृश्य मान्य है।
-चक्राकार रिक्त स्थान [[गणितीय विश्लेषण]] के साथ-साथ [[जटिल [[बीजगणितीय ज्यामिति]]]] और बीजगणितीय ज्यामिति के [[योजना सिद्धांत]] में भी दिखाई देते हैं।
+चक्राकार रिक्त स्थान विश्लेषण के साथ-साथ जटिल बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति के योजना सिद्धांत में भी दिखाई देते हैं।
-ध्यान दें: रिंग वाले स्थान की परिभाषा में, अधिकांश व्याख्याएं रिंगों को क्रमविनिमेय रिंगों तक ही सीमित रखती हैं, जिनमें हार्टशोर्न और विकिपीडिया भी शामिल हैं। दूसरी ओर, एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक, क्रमविनिमेयता धारणा को लागू नहीं करता है, हालांकि पुस्तक ज्यादातर क्रमविनिमेय मामले पर विचार करती है।<ref>EGA, Ch 0, 4.1.1.</ref>
+ध्यान दें: वलय वाले स्थान की परिभाषा में अधिकांश व्याख्याएं वलय को क्रमविनिमेय वलय तक ही सीमित रखती हैं, जिनमें हार्टशोर्न और विकिपीडिया भी सम्मिलित हैं। दूसरी ओर, एलिमेंट्स डी जियोमेट्री अल्जेब्रिक, क्रमविनिमेयता धारणा को प्रयुक्त नहीं करता है, चूँकि पुस्तक अधिकत्तर क्रमविनिमेय स्थिति पर विचार करती है।<ref>EGA, Ch 0, 4.1.1.</ref>
 ==परिभाषाएँ==
-एक चक्राकार स्थान <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस है<math>X</math>रिंग (गणित) के एक शीफ़ (गणित) के साथ <math>\mathcal{O}_X</math> पर <math>X</math>. पूला <math>\mathcal{O}_X</math> का संरचना शीफ़ कहा जाता है <math>X</math>.
+एक चक्राकार स्थान <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> एक टोपोलॉजिकल स्थान <math>X</math> है, साथ में <math>X</math> पर वलय का एक समूह <math>\mathcal{O}_X</math> है। शीफ <math>\mathcal{O}_X</math> को <math>X</math> का स्ट्रक्चर शीफ कहा जाता है।
-स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान एक चक्राकार स्थान है <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> ऐसा कि एक पूले का पूरा डंठल <math>\mathcal{O}_X</math> स्थानीय वलय हैं (अर्थात् उनके अद्वितीय [[अधिकतम आदर्श]] हैं)। ध्यान दें कि यह आवश्यक नहीं है <math>\mathcal{O}_X(U)</math> प्रत्येक खुले सेट के लिए एक स्थानीय रिंग बनें <math>U</math>; वास्तव में, ऐसा लगभग कभी नहीं होता है।
+स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान एक चक्राकार स्थान है https://alpha.indicwiki.in/index.php?title=Special:MathShowImage&hash=ede646a06c89ec0fd3f2a8eb672f4164&mode=mathml इस प्रकार कि <math>\mathcal{O}_X</math> के सभी डंठल स्थानीय वलय हैं (अर्थात उनके पास अद्वितीय अधिकतम आदर्श हैं)। ध्यान दें कि यह आवश्यक नहीं है कि<math>\mathcal{O}_X(U)</math> प्रत्येक विवर्त सेट <math>U</math> के लिए एक स्थानीय वलय हो; वास्तव में, ऐसा लगभग कभी नहीं होता है।
 ==उदाहरण==
-एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस<math>X</math>को लेकर स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान माना जा सकता है<math>\mathcal{O}_X</math>[[वास्तविक संख्या]]|वास्तविक-मूल्यवान (या [[जटिल संख्या]]|जटिल-मूल्यवान) के खुले उपसमुच्चय पर निरंतर कार्यों का समूह होना<math>X</math>. एक बिंदु पर डंठल (शेफ)। <math>x</math> इसे निरंतर कार्यों के सभी रोगाणुओं (गणित) के सेट के रूप में सोचा जा सकता है<math>x</math>; यह अद्वितीय अधिकतम आदर्श वाला एक स्थानीय वलय है जिसमें वे रोगाणु शामिल हैं जिनका मूल्य पर है<math>x</math>है <math>0</math>.
+एक मनमाना टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> को<math>\mathcal{O}_X</math>लेकर स्थानीय रूप से वलय वाला स्पेस माना जा सविवर्त <math>X</math> के विवर्त उपसमुच्चय पर वास्तविक-मूल्यवान (या जटिल-मूल्यवान) निरंतर कार्यो  का समूह होना। एक बिं <math>x</math> पर डंठल  <math>x</math> पर निरंतर कार्य करने वाले सभी रोगाणुओं के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है; यह अद्वितीय अधिकतम आदर्श वाला एक स्थानीय वलय है जिसमें वे रोगाणु सम्मिलित हैं जिनका <math>x</math> पर मान 0 है।
-अगर<math>X</math>कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ एक [[ कई गुना ]] है, हम [[विभेदक कार्य]], या [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन]] | जटिल-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का शीफ भी ले सकते हैं। ये दोनों स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों को जन्म देते हैं।
+यदि  <math>X</math> कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ एक मैनिफोल्ड [[विभेदक कार्य]], या [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] या जटिल-विश्लेषणात्मक फलन  का शीफ भी ले सकते हैं। ये दोनों स्थानीय रूप से चक्रित स्थानों को जन्म देते हैं।
-अगर<math>X</math>[[ज़ारिस्की टोपोलॉजी]] को ले जाने वाली एक [[बीजगणितीय विविधता]] है, हम इसे लेकर स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थान को परिभाषित कर सकते हैं <math>\mathcal{O}_X(U)</math> ज़ारिस्की-ओपन सेट पर परिभाषित तर्कसंगत मैपिंग की अंगूठी होना<math>U</math>जो भीतर फूटते (अनन्त नहीं) होते <math>U</math>. इस उदाहरण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण किसी भी क्रमविनिमेय वलय के वलय के स्पेक्ट्रम का है; ये स्पेक्ट्रा स्थानीय रूप से चक्रित स्थान भी हैं। स्कीम (गणित) स्थानीय रूप से रिंग वाले स्थान हैं जो क्रमविनिमेय रिंगों के स्पेक्ट्रा को एक साथ जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।
+यदि  <math>X</math> एक बीजगणितीय विविधता  है जो ज़ारिस्की टोपोलॉजी को ले जाती है, हम ज़ारिस्की-ओपन सेट <math>U</math> पर परिभाषित तर्कसंगत मैपिंग की वलय के रूप में <math>\mathcal{O}_X(U)</math> लेकर स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान को परिभाषित कर सकते हैं। <math>U</math> के अंदर विस्फोट न हो (अनंत हो जाए)। इस उदाहरण का महत्वपूर्ण सामान्यीकरण किसी भी क्रमविनिमेय वलय के स्पेक्ट्रम का है; ये स्पेक्ट्रा स्थानीय रूप से चक्रित स्थान भी हैं। योजनाएं स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थान हैं जो क्रमविनिमेय वलयो के स्पेक्ट्रा को "एक साथ चिपकाकर" प्राप्त की जाती हैं।
 ==आकारिकी==
-से एक रूपवाद <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> को <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> एक जोड़ी है <math>(f,\varphi)</math>, कहाँ <math>f:X\to Y</math> अंतर्निहित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक [[सतत मानचित्र]] है, और <math>\varphi:\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X</math> एक शीफ (गणित)#Morphisms की संरचना शीफ से है <math>Y</math> की संरचना शीफ की प्रत्यक्ष छवि फ़ैक्टर के लिए {{math|''X''}}. दूसरे शब्दों में, से एक रूपवाद <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> को <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> निम्नलिखित डेटा द्वारा दिया गया है:
+<math>(X,\mathcal{O}_X)</math> से <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> तक एक रूपवाद एक जोड़ी <math>(f,\varphi)</math> है, जहां <math>f:X\to Y</math> अंतर्निहित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक सतत मानचित्र है, और <math>\varphi:\mathcal{O}_Y\to f_*\mathcal{O}_X</math> <math>Y</math> के संरचना शीफ से प्रत्यक्ष तक एक रूपवाद है {{math|''X''}} के संरचना शीफ की छवि। दूसरे शब्दों में, <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> से <math>(Y,\mathcal{O}_Y)</math> तक एक रूपवाद निम्नलिखित डेटा द्वारा दिया गया है:
 * एक [[सतत कार्य (टोपोलॉजी)]] <math>f:X\to Y</math>
-* वलय समरूपताओं का एक परिवार <math>\varphi_V : \mathcal{O}_Y(V)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(V))</math> प्रत्येक खुले सेट के लिए <math>V</math> का <math>Y</math> जो प्रतिबंध मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। अर्थात यदि <math>V_1\subseteq V_2</math> के दो खुले उपसमुच्चय हैं <math>Y</math>, तो निम्नलिखित आरेख को [[क्रमविनिमेय आरेख]] होना चाहिए (ऊर्ध्वाधर मानचित्र प्रतिबंध समरूपताएं हैं):
+* वलय समरूपताओं का एक वर्ग <math>\varphi_V : \mathcal{O}_Y(V)\to\mathcal{O}_X(f^{-1}(V))</math> प्रत्येक विवर्त सेट के लिए <math>V</math> का <math>Y</math> जो प्रतिबंध मानचित्रों के साथ आवागमन करते हैं। अर्थात यदि <math>V_1\subseteq V_2</math> के दो विवर्त उपसमुच्चय हैं <math>Y</math>, तो निम्नलिखित आरेख को [[क्रमविनिमेय आरेख]] होना चाहिए (ऊर्ध्वाधर मानचित्र प्रतिबंध समरूपताएं हैं):
-[[Image:LocallyRingedSpace-01.png|center]]स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों के बीच आकारिकी के लिए एक अतिरिक्त आवश्यकता है:
+[[Image:LocallyRingedSpace-01.png|center]]स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों के बीच आकारिकी के लिए एक अतिरिक्त आवश्यकता है:
-*वलय समरूपता से प्रेरित <math>\varphi</math> के डंठलों के बीच<math>Y</math>और के डंठल<math>X</math>स्थानीय रिंग होनी चाहिए#कुछ तथ्य और परिभाषाएँ, यानी प्रत्येक के लिए<math>x\in X</math>स्थानीय वलय (डंठल) का अधिकतम आदर्श <math>f(x)\in Y</math> स्थानीय रिंग के अधिकतम आदर्श में मैप किया गया है<math>x\in X</math>.
+*<math>Y</math> के डंठलों और X के डंठलों के बीच <math>\varphi</math> द्वारा प्रेरित वलय समरूपताएं स्थानीय समरूपताएं होनी चाहिए, अथार्त प्रत्येक <math>x\in X</math> के लिए <math>f(x)\in Y</math> पर स्थानीय वलय (डंठल) का अधिकतम आदर्श <math>x\in X</math> पर स्थानीय वलय के अधिकतम आदर्श में मैप किया जाता है।
-एक नया रूपवाद बनाने के लिए दो रूपवादों की रचना की जा सकती है, और हम चक्राकार स्थानों की [[श्रेणी (गणित)]] और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। इन श्रेणियों में समरूपता को हमेशा की तरह परिभाषित किया गया है।
+एक नया रूपवाद बनाने के लिए दो रूपवादों की रचना की जा सकती है, और हम चक्राकार स्थानों की [[श्रेणी (गणित)]] और स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों की श्रेणी प्राप्त करते हैं। इन श्रेणियों में समरूपता को सदैव की तरह परिभाषित किया गया है।
 ==स्पर्शरेखा रिक्त स्थान==
-{{See also|Zariski tangent space}}
+{{See also|ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान}}
-स्थानीय रूप से रिंग किए गए स्थानों में [[स्पर्शरेखा स्थान]]ों की सार्थक परिभाषा की अनुमति देने के लिए पर्याप्त संरचना होती है। होने देना<math>X</math>संरचना शीफ के साथ स्थानीय रूप से रिंगित स्थान बनें<math>\mathcal{O}_X</math>; हम स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करना चाहते हैं <math>T_x(X)</math> बिंदु पर<math>x\in X</math>. स्थानीय रिंग (डंठल) लें <math>R_x</math> बिंदु पर <math>x</math>, अधिकतम आदर्श के साथ <math>\mathfrak{m}_x</math>. तब <math>k_x := R_x/\mathfrak{m}_x</math> एक क्षेत्र (गणित) है और <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math> उस क्षेत्र ([[कोटैंजेंट स्थान]]) पर एक [[ सदिश स्थल ]] है। स्पर्शरेखा स्थान <math>T_x(X)</math> इस सदिश समष्टि के दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है।
+स्थानीय रूप से वलय किए गए स्थानों में [[स्पर्शरेखा स्थान]] की सार्थक परिभाषा की अनुमति देने के लिए पर्याप्त संरचना होती है। होने देना <math>X</math> संरचना शीफ के साथ स्थानीय रूप से <math>\mathcal{O}_X</math> रिंगित स्थान बनें  हम स्पर्शरेखा <math>T_x(X)</math> स्थान को परिभाषित करना चाहते हैं  बिंदु पर<math>x\in X</math>. स्थानीय वलय (डंठल) लें <math>R_x</math> बिंदु पर <math>x</math>, अधिकतम आदर्श के साथ <math>\mathfrak{m}_x</math>. तब <math>k_x := R_x/\mathfrak{m}_x</math> एक क्षेत्र (गणित) है और <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math> उस क्षेत्र ([[कोटैंजेंट स्थान]]) पर एक [[ सदिश स्थल ]] है। स्पर्शरेखा स्थान <math>T_x(X)</math> इस सदिश समष्टि के दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है।
-विचार निम्नलिखित है: एक स्पर्शरेखा वेक्टर<math>x</math>आपको यह बताना चाहिए कि कार्यों में अंतर कैसे करें<math>x</math>, यानी के तत्व<math>R_x</math>. अब यह जानना पर्याप्त है कि उन कार्यों को कैसे अलग किया जाए जिनका मूल्य है<math>x</math>शून्य है, क्योंकि अन्य सभी फलन इनसे केवल एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं, और हम जानते हैं कि स्थिरांकों में अंतर कैसे किया जाता है। इसलिए हमें सिर्फ विचार करने की जरूरत है<math>\mathfrak{m}_x</math>. इसके अलावा, यदि दो फ़ंक्शन शून्य मान के साथ दिए गए हैं<math>x</math>, तो उनके उत्पाद का व्युत्पन्न 0 है<math>x</math>, उत्पाद नियम द्वारा। इसलिए हमें केवल यह जानने की आवश्यकता है कि तत्वों को संख्याएँ कैसे निर्दिष्ट करें <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math>, और दोहरा स्थान यही करता है।
+विचार निम्नलिखित है: <math>x</math> पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर आपको बताएगा कि <math>x</math> पर "फ़ंक्शंस" को कैसे "अंतरित" किया जाए, अथार्त <math>R_x</math> के तत्व में अब यह जानना पर्याप्त है कि उन फलन को कैसे अलग किया जाए जिनका मान <math>x</math> पर शून्य है, क्योंकि अन्य सभी फलन इनसे केवल एक स्थिरांक द्वारा भिन्न होते हैं, और हम जानते हैं कि स्थिरांकों को कैसे अलग किया जाए। इसलिए हमें केवल <math>\mathfrak{m}_x</math> पर विचार करने की आवश्यकता है।.इसके अतिरिक्त, यदि दो फ़ंक्शन <math>x</math> पर मान शून्य के साथ दिए गए हैं, तो उत्पाद नियम के अनुसार, उनके उत्पाद का <math>x</math> पर व्युत्पन्न 0 है। इसलिए हमें केवल यह जानने की जरूरत है कि <math>\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2</math> के तत्वों को "नंबर" कैसे निर्दिष्ट किया जाए, और  दोहरा स्थान यही करता है।
 ==<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल==
-{{main|Sheaf of modules}}
+{{main|मॉड्यूल का शीफ़}}
-स्थानीय रूप से रिंगित स्थान दिया गया <math>(X,\mathcal{O}_X)</math>, मॉड्यूल के कुछ शीफ (गणित)।<math>X</math>अनुप्रयोगों में होते हैं,<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल. उन्हें परिभाषित करने के लिए, [[एबेलियन समूह]]ों के एक समूह एफ पर विचार करें<math>X</math>. यदि F(U) रिंग के ऊपर एक [[मॉड्यूल (गणित)]] है<math>\mathcal{O}_X(U)</math>प्रत्येक खुले सेट के लिए<math>U</math>में<math>X</math>, और प्रतिबंध मानचित्र मॉड्यूल संरचना के साथ संगत हैं, तो हम कॉल करते हैं <math>F</math> एक<math>\mathcal{O}_X</math>-मापांक। इस मामले में, का डंठल<math>F</math>पर<math>x</math>स्थानीय रिंग (डंठल) पर एक मॉड्यूल होगा<math>R_x</math>, हरएक के लिए<math>x\in X</math>.
-ऐसे दो के बीच एक रूपवाद<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल शीव्स#मॉर्फिज्म का एक मॉर्फिज्म है जो दिए गए मॉड्यूल संरचनाओं के साथ संगत है। की श्रेणी<math>\mathcal{O}_X</math>-एक निश्चित स्थानीय रिंग वाले स्थान पर मॉड्यूल <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> एक [[एबेलियन श्रेणी]] है।
+स्थानीय रूप से वलय  किए गए स्थान <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> को देखते हुए, <math>X</math> पर मॉड्यूल के कुछ संग्रह अनुप्रयोगों, <math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल में होते हैं। उन्हें परिभाषित करने के लिए, <math>X</math>पर एबेलियन समूहों के एक शीफ ''F'' पर विचार करें। यदि ''F''(''U'')  <math>X</math> में प्रत्येक खुले सेट <math>U</math> के लिए वलय  <math>\mathcal{O}_X(U)</math> पर एक मॉड्यूल है, और प्रतिबंध मानचित्र मॉड्यूल संरचना के साथ संगत हैं, तो हम कॉल करते हैं <math>F</math> एक <math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल इस स्थिति में, x पर <math>F</math> का डंठल प्रत्येक<math>x\in X</math> के लिए स्थानीय वलय  (डंठल) <math>R_x</math>पर एक मॉड्यूल होगा।
-की श्रेणी का एक महत्वपूर्ण उपश्रेणी<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी है<math>X</math>. का एक पूला<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल को अर्ध-सुसंगत कहा जाता है यदि यह, स्थानीय रूप से, मुक्त के बीच के मानचित्र के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल. एक सुसंगत पूला<math>F</math>एक अर्ध-सुसंगत शीफ़ है जो स्थानीय रूप से, परिमित प्रकार का और प्रत्येक खुले उपसमुच्चय के लिए है<math>U</math>का<math>X</math>मुक्त से किसी भी रूपवाद का मूल<math>\mathcal{O}_U</math>-परिमित रैंक के मॉड्यूल<math>F_U</math>यह भी परिमित प्रकार का है।
+ऐसे दो के बीच एक रूपवाद<math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल शीव्स या मॉर्फिज्म का एक मॉर्फिज्म है जो दिए गए मॉड्यूल संरचनाओं के साथ संगत है। की श्रेणी <math>\mathcal{O}_X</math>-एक निश्चित स्थानीय वलय वाले स्थान पर मॉड्यूल <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> एक [[एबेलियन श्रेणी]] है।
+<math>\mathcal{O}_X</math> मॉड्यूल की श्रेणी की एक महत्वपूर्ण उपश्रेणी <math>X</math>पर अर्ध-सुसंगत शीव्स की श्रेणी है। <math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल के एक समूह को अर्ध-सुसंगत कहा जाता है यदि यह, स्थानीय रूप से, मुक्त <math>\mathcal{O}_X</math>-मॉड्यूल के बीच के मानचित्र के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है।  एक सुसंगत शीफ F एक अर्ध-सुसंगत शीफ है,  जो, स्थानीय रूप से, परिमित प्रकार का है <math>U</math>और <math>X</math> के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय के लिए एक मुक्त से किसी भी रूपवाद का कर्नेल है मूल<math>\mathcal{O}_U</math>-परिमित रैंक के मॉड्यूल<math>F_U</math>यह भी परिमित प्रकार का है।
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OX{\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}-मॉड्यूल

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