फूरियर संख्या: Difference between revisions
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ऊष्मा चालन के अध्ययन में, फूरियर संख्या, ऊष्मा प्रसार के लिए | ऊष्मा चालन के अध्ययन में, फूरियर संख्या, ऊष्मा प्रसार के लिए विशिष्ट समय मापदंड के लिए समय, <math> t </math> का अनुपात है, जो कि <math> t_d </math> इस आयामहीन समूह का नाम जे.बी.जे. के सम्मान में रखा गया है। फूरियर, जिन्होंने ऊष्मा चालन की आधुनिक समझ तैयार की गई थी<ref>{{cite book |last1=Fourier |first1=Jean Baptiste Joseph |title=Théorie Analytique de la Chaleur (Analytical theory of heat) |date=1822 |publisher=Firmin Didot, Père et Fils |location=Paris |url=https://books.google.com/books?id=1TUVAAAAQAAJ }}</ref> जिसे विसरण के लिए समय का मापदंड ऊष्मा को <math> L </math> दूरी तक फैलने के लिए आवश्यक समय को दर्शाता है। जो कि तापीय विसरणशीलता वाले माध्यम के लिए, <math> \alpha </math>, यह समय का मापदंड <math> t_d = L^2/\alpha </math> है, जिससे फूरियर संख्या <math> t/t_d = \alpha t/L^2 </math> होता है। जिसमे फूरियर संख्या को अधिकांशत: <math> \mathrm{Fo} </math> या <math> \mathrm{Fo}_L </math> के रूप में दर्शाया जाता है।<ref name="lienhard">{{cite book |last1=Lienhard |first1=John H., IV |last2=Lienhard |first2=John H., V |title=एक हीट ट्रांसफर पाठ्यपुस्तक|date=2019 |publisher=Dover Publications |location=Mineola, NY |isbn=9780486837352 |edition=5th |url=https://ahtt.mit.edu |access-date=January 2, 2023 |chapter=Chapter 5: Transient and multidimensional heat conduction}}</ref> | ||
इस प्रकार फूरियर संख्या का उपयोग फ़िक के प्रसार के नियमों के अध्ययन में भी किया जा सकता है, जिसमें थर्मल प्रसार को द्रव्यमान प्रसार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। | इस प्रकार फूरियर संख्या का उपयोग फ़िक के प्रसार के नियमों के अध्ययन में भी किया जा सकता है, जिसमें थर्मल प्रसार को द्रव्यमान प्रसार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। | ||
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फूरियर संख्या की सामान्य परिभाषा, {{math|Fo}}, है:<ref>{{cite book |last1=Glicksman |first1=Leon R. |last2=Lienhard |first2=John H. |title=हीट ट्रांसफर में मॉडलिंग और अनुमान|date=2016 |publisher=Cambridge University Press |location=New York, NY |isbn=978-1-107-01217-2 |pages=67 |chapter=Section 3.2.4}}</ref> | फूरियर संख्या की सामान्य परिभाषा, {{math|Fo}}, है:<ref>{{cite book |last1=Glicksman |first1=Leon R. |last2=Lienhard |first2=John H. |title=हीट ट्रांसफर में मॉडलिंग और अनुमान|date=2016 |publisher=Cambridge University Press |location=New York, NY |isbn=978-1-107-01217-2 |pages=67 |chapter=Section 3.2.4}}</ref> | ||
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=== फूरियर संख्या की व्याख्या=== | === फूरियर संख्या की व्याख्या=== | ||
इसमें मोटाई <math> L </math> के | इसमें मोटाई <math> L </math> के स्लैब में क्षणिक ताप संचालन पर विचार करें जो प्रारंभ में समान तापमान <math> T_0 </math> पर है। स्लैब के तरफ को समय <math> t=0 </math> पर उच्च तापमान <math> T_h > T_0 </math> तक उष्म किया जाता है। दूसरा पक्ष रुद्धोष्म है। वस्तु के दूसरी ओर महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन दिखाने के लिए आवश्यक समय प्रसार समय <math> t_d </math> है। | ||
जब <math> \mathrm{Fo} \ll 1 </math>, दूसरी तरफ तापमान बदलने के लिए पर्याप्त समय नहीं बीता है। इस स्थिति में, महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन केवल उष्म पक्ष के समीप होता है, और जिसमे यह अधिकांश स्लैब तापमान <math> T_0 </math> पर रहता है . | जब <math> \mathrm{Fo} \ll 1 </math>, दूसरी तरफ तापमान बदलने के लिए पर्याप्त समय नहीं बीता है। इस स्थिति में, महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन केवल उष्म पक्ष के समीप होता है, और जिसमे यह अधिकांश स्लैब तापमान <math> T_0 </math> पर रहता है . | ||
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== व्युत्पत्ति और उपयोग == | == व्युत्पत्ति और उपयोग == | ||
फूरियर संख्या को समय-निर्भर प्रसार समीकरण को गैर-आयामी बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के रूप से, लंबाई <math> L </math> की | फूरियर संख्या को समय-निर्भर प्रसार समीकरण को गैर-आयामी बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के रूप से, लंबाई <math> L </math> की छड़ पर विचार करें जिसे समय <math> t=0 </math> और स्थिति <math> x=L </math> (छड़ की धुरी के साथ <math> x </math> के साथ) पर तापमान <math> T_L>T_0 </math> का ताप स्रोत लगाकर प्रारंभिक तापमान <math> T_0 </math> से गर्म किया जा रहा है ). स्थानिक आयाम, <math> x </math> में ताप समीकरण प्रयुक्त किया जा सकता है। | ||
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:<math display="block">\frac{\partial \Theta}{\partial (\alpha t/L^2)} = \frac{\partial^2 \Theta}{\partial (x/L)^2}</math> | :<math display="block">\frac{\partial \Theta}{\partial (\alpha t/L^2)} = \frac{\partial^2 \Theta}{\partial (x/L)^2}</math> | ||
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परिणामी आयाम रहित समय वेरिएबल फूरियर संख्या, <math> \mathrm{Fo}_L = \alpha t / L^2 </math> है। प्रसार के लिए विशिष्ट समय मापदंड , <math> t_d = L^2/\alpha </math>, सीधे ताप समीकरण के इस स्केलिंग से आता है। | परिणामी आयाम रहित समय वेरिएबल फूरियर संख्या, <math> \mathrm{Fo}_L = \alpha t / L^2 </math> है। प्रसार के लिए विशिष्ट समय मापदंड , <math> t_d = L^2/\alpha </math>, सीधे ताप समीकरण के इस स्केलिंग से आता है। | ||
फूरियर संख्या का उपयोग अधिकांशत: ठोस पदार्थों में क्षणिक ताप संचालन का अध्ययन करने में गैर-आयामी समय के रूप में किया जाता है। | फूरियर संख्या का उपयोग अधिकांशत: ठोस पदार्थों में क्षणिक ताप संचालन का अध्ययन करने में गैर-आयामी समय के रूप में किया जाता है। दूसरा पैरामीटर, बायोट संख्या गैर-आयामीकरण में उत्पन्न होती है जब ऊष्मा समीकरण पर संवहनी सीमा की स्थिति प्रयुक्त होती है।<ref name="lienhard" /> इसके साथ में, फूरियर संख्या और बायोट संख्या संवहन ताप या शीतलन के अधीन किसी ठोस की तापमान प्रतिक्रिया निर्धारित करती है। | ||
== सामूहिक स्थानांतरण के लिए आवेदन == | == सामूहिक स्थानांतरण के लिए आवेदन == | ||
फ़िक के प्रसार के दूसरे नियम के गैर-आयामीकरण द्वारा | फ़िक के प्रसार के दूसरे नियम के गैर-आयामीकरण द्वारा अनुरूप फूरियर संख्या प्राप्त की जा सकती है। परिणाम बड़े मापदंड पर परिवहन के लिए फूरियर संख्या है, जिसमे <math> \mathrm{Fo}_m </math> को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<ref>{{cite book |last1=Ostrogorsky |first1=Aleks G. |last2=Glicksman |first2=Martin E. |editor1-last=Rudolph |editor1-first=Peter |title=क्रिस्टल ग्रोथ की हैंडबुक|date=2015 |publisher=Elsevier |isbn=9780444633033 |page=999 |edition=Second |url=https://doi.org/10.1016/B978-0-444-63303-3.00025-0 |chapter=Chapter 25: Segregation and Component Distribution}}</ref> | ||
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Revision as of 21:21, 21 September 2023
ऊष्मा चालन के अध्ययन में, फूरियर संख्या, ऊष्मा प्रसार के लिए विशिष्ट समय मापदंड के लिए समय, का अनुपात है, जो कि इस आयामहीन समूह का नाम जे.बी.जे. के सम्मान में रखा गया है। फूरियर, जिन्होंने ऊष्मा चालन की आधुनिक समझ तैयार की गई थी[1] जिसे विसरण के लिए समय का मापदंड ऊष्मा को दूरी तक फैलने के लिए आवश्यक समय को दर्शाता है। जो कि तापीय विसरणशीलता वाले माध्यम के लिए, , यह समय का मापदंड है, जिससे फूरियर संख्या होता है। जिसमे फूरियर संख्या को अधिकांशत: या के रूप में दर्शाया जाता है।[2]
इस प्रकार फूरियर संख्या का उपयोग फ़िक के प्रसार के नियमों के अध्ययन में भी किया जा सकता है, जिसमें थर्मल प्रसार को द्रव्यमान प्रसार द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
फूरियर संख्या का उपयोग समय-निर्भर परिवहन घटना के विश्लेषण में किया जाता है, जिसे समान्यत: यदि संवहन उपस्थित है तो बायोट संख्या के साथ संयोजन में होता है। जो कि फूरियर संख्या ऊष्मा समीकरण के गैर-आयामीकरण में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है।
परिभाषा
फूरियर संख्या की सामान्य परिभाषा, Fo, है:[3]
एक विशिष्ट लंबाई मापदंड के साथ ऊष्मा प्रसार के लिए तापीय प्रसार के माध्यम में , प्रसार समय मापदंड है , जिससे
जहाँ :
- तापीय विसरणशीलता (m2/s) है
- समय है
- वह विशेषता लंबाई है जिसके माध्यम से चालन होता है (एम)
फूरियर संख्या की व्याख्या
इसमें मोटाई के स्लैब में क्षणिक ताप संचालन पर विचार करें जो प्रारंभ में समान तापमान पर है। स्लैब के तरफ को समय पर उच्च तापमान तक उष्म किया जाता है। दूसरा पक्ष रुद्धोष्म है। वस्तु के दूसरी ओर महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन दिखाने के लिए आवश्यक समय प्रसार समय है।
जब , दूसरी तरफ तापमान बदलने के लिए पर्याप्त समय नहीं बीता है। इस स्थिति में, महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन केवल उष्म पक्ष के समीप होता है, और जिसमे यह अधिकांश स्लैब तापमान पर रहता है .
जब मोटाई के माध्यम से सभी तरह से महत्वपूर्ण तापमान परिवर्तन होता है। कोई भी स्लैब तापमान पर नहीं रहता है।
जब , स्लैब को स्थिर अवस्था में पहुंचने में पर्याप्त समय बीत चुका है। पूरा स्लैब तापमान के समीप पहुंच जाता है .
व्युत्पत्ति और उपयोग
फूरियर संख्या को समय-निर्भर प्रसार समीकरण को गैर-आयामी बनाकर प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के रूप से, लंबाई की छड़ पर विचार करें जिसे समय और स्थिति (छड़ की धुरी के साथ के साथ) पर तापमान का ताप स्रोत लगाकर प्रारंभिक तापमान से गर्म किया जा रहा है ). स्थानिक आयाम, में ताप समीकरण प्रयुक्त किया जा सकता है।
जहां , और के लिए तापमान है। विभेदक समीकरण को आयामहीन रूप में बढ़ाया जा सकता है। आयामहीन तापमान को के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और समीकरण को से विभाजित किया जा सकता है।
परिणामी आयाम रहित समय वेरिएबल फूरियर संख्या, है। प्रसार के लिए विशिष्ट समय मापदंड , , सीधे ताप समीकरण के इस स्केलिंग से आता है।
फूरियर संख्या का उपयोग अधिकांशत: ठोस पदार्थों में क्षणिक ताप संचालन का अध्ययन करने में गैर-आयामी समय के रूप में किया जाता है। दूसरा पैरामीटर, बायोट संख्या गैर-आयामीकरण में उत्पन्न होती है जब ऊष्मा समीकरण पर संवहनी सीमा की स्थिति प्रयुक्त होती है।[2] इसके साथ में, फूरियर संख्या और बायोट संख्या संवहन ताप या शीतलन के अधीन किसी ठोस की तापमान प्रतिक्रिया निर्धारित करती है।
सामूहिक स्थानांतरण के लिए आवेदन
फ़िक के प्रसार के दूसरे नियम के गैर-आयामीकरण द्वारा अनुरूप फूरियर संख्या प्राप्त की जा सकती है। परिणाम बड़े मापदंड पर परिवहन के लिए फूरियर संख्या है, जिसमे को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:[4]
जहाँ :
- बड़े मापदंड पर परिवहन के लिए फूरियर संख्या है
- द्रव्यमान विसरणशीलता है (m 2/s)
- समय है
- ब्याज की लंबाई का मापदंड है (m)
इस प्रकार मास-ट्रांसफर फूरियर संख्या को कुछ समय-निर्भर द्रव्यमान प्रसार समस्याओं के अध्ययन के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।
यह भी देखें
- बायोट नंबर
- संवहन
- ऊष्मा चालन
- ताप समीकरण
- आणविक प्रसार
संदर्भ
- ↑ Fourier, Jean Baptiste Joseph (1822). Théorie Analytique de la Chaleur (Analytical theory of heat). Paris: Firmin Didot, Père et Fils.
- ↑ 2.0 2.1 Lienhard, John H., IV; Lienhard, John H., V (2019). "Chapter 5: Transient and multidimensional heat conduction". एक हीट ट्रांसफर पाठ्यपुस्तक (5th ed.). Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 9780486837352. Retrieved January 2, 2023.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) - ↑ Glicksman, Leon R.; Lienhard, John H. (2016). "Section 3.2.4". हीट ट्रांसफर में मॉडलिंग और अनुमान. New York, NY: Cambridge University Press. p. 67. ISBN 978-1-107-01217-2.
- ↑ Ostrogorsky, Aleks G.; Glicksman, Martin E. (2015). "Chapter 25: Segregation and Component Distribution". In Rudolph, Peter (ed.). क्रिस्टल ग्रोथ की हैंडबुक (Second ed.). Elsevier. p. 999. ISBN 9780444633033.
