बायोट संख्या

बायोट संख्या (बीआई) मुख्यतः ऊष्मा के परिवर्तन की गणना में उपयोग की जाने वाली विमाहीन मात्रा है, जिसका नाम अठारहवीं शताब्दी के फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी जीन-बैप्टिस्ट बायोट (1774-1862) के नाम पर रखा गया है। इस प्रकार बायोट संख्या किसी भौतिक स्वरूप के अंदर संचालन के लिए ऊष्मीय प्रतिरोध और भौतिक स्वरूप की सतह पर संवहन के प्रतिरोध का अनुपात है। यह अनुपात मुख्य रूप से यह इंगित करता है कि क्या किसी पिंड के अंदर का तापमान किसी समतल से अधिक भिन्न होता है, जब भौतिक स्वरूप अपनी सतह पर ऊष्मा के प्रवाह से समय के साथ गर्म या ठंडा होता है।

सामान्यतः किसी भौतिक स्वरूप के अंदर लगभग समान तापमान क्षेत्रों के परिणामस्वरूप, छोटी बायोट संख्याओं को जो 1 से बहुत छोटी होती हैं, इस प्रकार इससे जुड़ी समस्याएं विश्लेषणात्मक रूप से सरल होती हैं। जिसके कारण इससे अधिक क्रम की बायोट संख्याएं भौतिक स्वरूप के अंदर असमान तापमान क्षेत्रों के साथ अधिक कठिन समस्याओं का संकेत देती हैं।

बायोट संख्या कई ऊष्मा परिवर्तन से जुड़ी समस्याओं में दिखाई देता है, जिसमें क्षणिक ऊष्मा चालन और फिन (विस्तारित सतह) ऊष्मा परिवर्तन गणना सम्मिलित है।

परिभाषा

बायोट संख्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\mathrm {Bi} ={\frac {h}{k}}L$

जहां:

• ${k}$ भौतिक स्वरूप की तापीय चालकता [W/(m·K)] है।
• ${h}$ संवहन ताप अंतरण गुणांक [W/(m²·K)] है।
• ${L}$ मानी गई ज्यामिति की विशिष्ट लंबाई [m] है।

(बायोट संख्या को नुसेल्ट संख्या के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, जो भौतिक स्वरूप के अतिरिक्त तरल पदार्थ की तापीय चालकता को नियोजित करता है।)अधिकांश प्रासंगिक समस्याओं में विशेषता लंबाई ऊष्मा विशेषता लंबाई बन जाती है, अर्ताथ इस प्रकार भौतिक स्वरूप की मात्रा और भौतिक स्वरूप की गर्म (या ठंडी) सतह के बीच का अनुपात:

$$L={\frac {V}{A_{\mathrm {Q} }}}$$

यहाँ पर ऊष्मा के लिए सबस्क्रिप्ट क्यू का उपयोग यह दर्शाने के लिए किया जाता है कि जिस सतह पर विचार किया जाना है वह कुल सतह का केवल वह भाग है जिसके माध्यम से ऊष्मा गुजरती है।

बायोट संख्या के भौतिक महत्व को पूल में अचानक डूबे छोटे से गर्म धातु के गोले से आसपास के तरल पदार्थ में ऊष्मा के प्रवाह की कल्पना करके समझा जा सकता है। ऊष्मा प्रवाह दो प्रतिरोधों का अनुभव करता है: पहला ठोस धातु के भीतर संचालन के लिए उपलब्ध होता हैं, जो गोले के आकार और संरचना दोनों से प्रभावित होता है, और इस प्रकार दूसरा गोले की सतह पर संवहन के लिए उपयोगी होता हैं। यदि द्रव/गोले इंटरफ़ेस का ऊष्मीय प्रतिरोध धातु क्षेत्र के आंतरिक भाग द्वारा प्रस्तुत किए गए ऊष्मीय प्रतिरोध से अधिक है, तो बायोट संख्या से कम होगी। इस प्रकार उन प्रणालियों के लिए जहां यह से बहुत कम है, गोले के आंतरिक भाग को समान तापमान माना जा सकता है, चूंकि यह तापमान समय के साथ बदल सकता है क्योंकि सतह से गोले में ऊष्मा गुजरती है। इस प्रकार उपयुक्त वस्तु के अंदर (अपेक्षाकृत एकसमान) तापमान में इस परिवर्तन का वर्णन करने वाला समीकरण, न्यूटन के शीतलन के नियम द्वारा वर्णित सरल घातांकीय समीकरण है।

इसके विपरीत, धातु का गोला बड़ा हो सकता है, जिससे कि विशेषता लंबाई बड़ी हो और बायोट संख्या से अधिक होती हैं। इस प्रकार अब गोले के भीतर तापीय प्रवणता महत्वपूर्ण हो गई है, भले ही गोले की सामग्री अच्छा संवाहक है। समान रूप से, यदि गोला इस प्रकार के खराब संचालन वाले ऊष्मीयी इंसुलेटिंग सामग्री, जैसे लकड़ी या स्टायरोफोम से बना है, तो ऊष्मा प्रवाह के लिए आंतरिक प्रतिरोध द्रव/गोले की सीमा पर संवहन से अधिक होगा, यहां तक ​​कि बहुत छोटे गोले के लिए भी उपलब्ध होता हैं। इस स्थिति में, फिर से, बायोट संख्या से अधिक होगी।

अनुप्रयोग

बायोट संख्या का मान क्षणिक ऊष्मा परिवर्तन समस्याओं को हल करने के कुछ विधियों की प्रयोज्यता (या अनुपयुक्तता) को इंगित कर सकता है। उदाहरण के लिए, लगभग 0.1 से छोटी बायोट संख्या का तात्पर्य है कि भौतिक स्वरूप के अंदर ऊष्मा चालन सतह पर ऊष्मा संवहन की तुलना में बहुत कम तापीय प्रतिरोध प्रदान करता है, जिससे भौतिक स्वरूप के अंदर तापमान प्रवणता नगण्य होती है, इस प्रकार ऐसे पिंडों को कभी-कभी ऊष्मीय रूप से पतला लेबल किया जाता है)। इस स्थिति में, भौतिक स्वरूप के क्षणिक तापमान भिन्नता का मूल्यांकन करने के लिए सरल लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। इसके विपरीत भी सत्य है: लगभग 0.1 से अधिक बायोट संख्या इंगित करती है कि भौतिक स्वरूप के भीतर ऊष्मीय प्रतिरोध नगण्य नहीं है, और भौतिक स्वरूप में या उससे बाहर ऊष्मा परिवर्तन का विश्लेषण करने के लिए अधिक जटिल तरीकों की आवश्यकता होती है, इसके कारण ऐसे उपकरणों को कभी-कभी ऊष्मीयी थिक कहा जाता है।

परिमित बायोट संख्या के लिए ऊष्मा चालन

जब बायोट संख्या 0.1 या उससे अधिक होती है, तो भौतिक स्वरूप के भीतर समय-भिन्न और स्थानिक-गैर-समान तापमान क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए ताप समीकरण को हल किया जाना चाहिए। इन समस्याओं से निपटने के लिए विश्लेषणात्मक विधि जो सरल ज्यामितीय आकृतियों और समान सामग्री ऊष्मीय चालकता के लिए उपस्थित हो सकते हैं, ऊष्मा समीकरण पर लेख में वर्णित हैं। इसके लिए सही संख्यात्मक मानों के साथ सत्यापित विश्लेषणात्मक समाधानों के उदाहरण उपलब्ध हैं।

ऊष्मा परिवर्तन के कंप्यूटर मॉडल के उपयोग के अतिरिक्त, संख्यात्मक रूप से छोड़कर अक्सर ऐसी समस्याओं को हल करना बहुत कठिन होता है।

Bi ≪ 1 के लिए ऊष्मा चालन

जैसा कि उल्लेख किया गया है, लगभग 0.1 से छोटी बायोट संख्या दर्शाती है कि भौतिक स्वरूप के अंदर चालन प्रतिरोध सतह पर ताप संवहन की तुलना में बहुत छोटा है, जिससे भौतिक स्वरूप के अंदर तापमान प्रवणता नगण्य होती है। इस स्थिति में क्षणिक ऊष्मा परिवर्तन के लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार 0.1 से कम बायोट संख्या सामान्यतः इंगित करती है कि लम्प्ड-कैपेसिटेंस मॉडल का उपयोग करते समय 3% से कम त्रुटि उपस्थित होगी।

तरल पदार्थ के तापमान में चरण परिवर्तन के लिए सबसे सरल प्रकार की कैलकुलस क्षमता के आधार पर हल प्राप्त कर सकते है कि भौतिक स्वरूप का तापमान समय के साथ तेजी से घटता है (न्यूटोनियन शीतलन या हीटिंग) क्योंकि भौतिक स्वरूप की आंतरिक ऊर्जा भौतिक स्वरूप के तापमान के सीधे आनुपातिक होती है, और इस प्रकार भौतिक स्वरूप के तापमान और तरल पदार्थ के तापमान के बीच का अंतर भौतिक स्वरूप के अंदर या बाहर ऊष्मा परिवर्तन की दर के रैखिक रूप से आनुपातिक होता है। इन संबंधों को ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम के साथ संयोजित करने से सरल प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण प्राप्त होता है। संबंधित समीकरण की क्षमता का हल इस प्रकार लिखा जा सकता है

${\frac {T-T_{\infty }}{T_{0}-T_{\infty }}}=e^{-t/\tau }$

जिसमें $\tau ={\frac {\rho c_{p}V}{hA_{Q}}}$भौतिक स्वरूप का समय स्थिरांक को ऊष्मीय समय स्थिरांक है, जहाँ पर $\rho$ द्रव्यमान घनत्व (किग्रा/मीटर³) है), और $c_{p}$ विशिष्ट ताप क्षमता (J/kg-K) है।

माइक्रो-एनकैप्सुलेटेड चरण-परिवर्तन स्लरीज़ में ऊष्मा परिवर्तन का अध्ययन ऐसा अनुप्रयोग है जहां बायोट संख्या उपयोगी है। माइक्रो-एनकैप्सुलेटेड चरण-परिवर्तन घोल के बिखरे हुए चरण के लिए, माइक्रो-एनकैप्सुलेटेड चरण-परिवर्तन सामग्री ही, बायोट संख्या की गणना 0.1 से नीचे की जाती है और इसलिए यह माना जा सकता है कि बिखरे हुए चरण के भीतर ऊष्मीय ग्रेडिएंट नगण्य हैं।

मास ट्रांसफर एनालॉग

बायोट संख्या का अनुरूप संस्करण जिसे सामान्यतः इसे मास ट्रांसफर बायोट संख्या कहा जाता है, या $\mathrm {Bi} _{m}$ द्वारा प्रदर्शित करते हैं। जिसका उपयोग बड़े पैमाने पर प्रसार प्रक्रियाओं में भी किया जाता है:

$\mathrm {Bi} _{m}={\frac {k_{c}}{D}}L$

जहां:

• ${k_{c}}$ : संवहनी द्रव्यमान स्थानांतरण गुणांक जो ऊष्मा परिवर्तन समस्या के H के अनुरूप होता हैं
• $D$ : द्रव्यमान प्रसार (ऊष्मा परिवर्तन समस्या के k के अनुरूप होता हैं।
• ${L}$ : विशेषता लंबाई

यह भी देखें

• संवहन
• फूरियर संख्या
• ऊष्मा चालन