जटिल विभेदक रूप: Difference between revisions

Revision as of 13:37, 9 July 2023

गणित में, जटिल विभेदक रूप मैनिफोल्ड (सामान्यतः जटिल मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें जटिल संख्या गुणांक रखने की अनुमति होती है।

विभेदक ज्यामिति में जटिल रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश बीजगणितीय ज्यामिति, काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और हॉज सिद्धांत के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे लगभग जटिल संरचनाओं, स्पिनरों के सिद्धांत और सीआर संरचनाओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।

सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण जटिल रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी जटिल k-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (P, Q)-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, K वेजेस P होलोमोर्फिक का बाहरी व्युत्पन्न उनके जटिल संयुग्मों के Q विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (P, Q)-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह K-रूपों की तुलना में कई गुना उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत लागू होता है, वहाँ पर और भी बेहतर संरचनाएं मौजूद होती हैं|

मान लीजिए कि M जटिल आयाम N का एक जटिल मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें N जटिल-मूल्य वाले फलन z¹, ..., zⁿ शामिल होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|

एकरूप

हम एकरूप के स्थितियों से प्रारम्भ करते हैं।और सबसे पहले जटिल निर्देशांकों को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों में विघटित करते हैं:और z^j = x^j + iy^j प्रत्येक j के लिए दे सकते हैं |

dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},

इस प्रकार कोई देखता है कि जटिल गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|

\sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).

केवल युक्त जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है| $dz$ 's और Ω^0,1 केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान $d{\bar {z}}$ 's हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω^1.0और Ω^0,1होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है_i तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω^1,0 के तत्व टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω^0,1 के तत्वों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω^0.1और Ω^1,0 जटिल मैनिफोल्ड पर जटिल सदिश बंडल निर्धारित करते हैं ।

उच्च-डिग्री फॉर्म

जटिल विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि p और q गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।

(p, q)-रूपों का स्थान Ω^p,q , Ω^1,0 से p तत्वों और Ω^0,1 से q तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।

\Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}

जहां Ω^1,0 के p कारक और Ω^0,1 के q कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।

यदि E^k की कुल डिग्री k के सभी जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर E^k का प्रत्येक तत्व को रिक्त स्थान Ω^p,q के बीच से तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में p + q = k के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|

E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.

क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए

विशेष रूप से,यह प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के लिए p + q = k के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है|

\pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.

डॉल्बुल्ट ऑपरेटर्स

सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है और इसके $d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}$ के जरिए

d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}

बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर और जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।

d और पिछले उपधारा में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव होता है:

\partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}

स्थानीय निर्देशांक में इन ऑपरेटरों का वर्णन करने के लिए, आइए

\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}

और जहां I और J बहु-सूचकांक|बहु-सूचकांक हैं। तब

\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}

{\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.

निम्नलिखित गुणों को धारण करते हुए देखा जाता है:

d=\partial +{\bar {\partial }}

\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.

ये ऑपरेटर और उनके गुण डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी और हॉज सिद्धांत के कई पहलुओं का आधार बनाते रहते हैं।

एक इस प्रकार जटिल मैनिफोल्ड के स्टार डोमेन| स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं ^[1] और यह पोंकारे की लेम्मा के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है $d$ .^[1]और यह जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री होती है।

पोंकारे लेम्मा के लिए ${\bar {\partial }}$ और $\partial$ को आंशिकऔर स्थानीय ddbar lemma|local में और सुधार किया जा सकता है और इस प्रकार $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा, जो दर्शाता है कि यह प्रत्येक $d$ -सटीक जटिल विभेदक रूप वास्तव में होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -बिल्कुल सही हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा होल्ड हैं, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से भी जाना जाता है| यह $\partial {\bar {\partial }}$ -लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम होता है, और इस प्रकार ये यह बताता है कि जटिल विभेदक रूप होता हैं जो विश्व स्तर पर होता है $d$ -सटीक (दूसरे शब्दों में होता है , जिसका डॉ कहलमज गर्भाशय में वर्ग शून्य होता है) और यह विश्व स्तर पर होता है और यह $\partial {\bar {\partial }}$ -एकदम सही होता हैं।

होलोमोर्फिक रूप

प्रत्येक p के लिए, 'होलोमोर्फिक p-रूप' बंडल Ω^p,0 का होलोमोर्फिक खंड होता है जिसे स्थानीय निर्देशांक में, होलोमोर्फिक p-रूप को रूप में लिखा जा सकता है|

\alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}

जहां $f_{I}$ होलोमोर्फिक फलन होता हैं। और इस प्रकार समान रूप से, और जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता के कारण (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक होता है और यह केवल कॉची-रीमैन समीकरणों में होता है |के कारण या जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि

{\bar {\partial }}\alpha =0.

होलोमोर्फिक p- रूप का शीफ (गणित) को अक्सर Ω^p,लिखा जाता है, हालांकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की भी प्रवृत्ति रखते हैं।

यह भी देखें

डोल्बौल्ट कॉम्प्लेक्स
फ्रोलिचर वर्णक्रमीय अनुक्रम
पहले प्रकार का विभेदक

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

P. Griffiths; J. Harris (1994). Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. pp. 23–25. ISBN 0-471-05059-8.
Wells, R. O. (1973). Differential analysis on complex manifolds. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
Voisin, Claire (2008). Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.

[:0-1] 1.0 ^1.1 Kycia, Radosław Antoni (2020). Section 4. "पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर". Results in Mathematics (in English). 75 (3): 122. doi:10.1007/s00025-020-01247-8. ISSN 1422-6383. S2CID 199472766.

[1]

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 {{short description|Differential form on a manifold which is permitted to have complex coefficients}}
-गणित में, '''जटिल विभेदक रूप''' मैनिफोल्ड (सामान्यतः जटिल मैनिफोल्ड) पर  विभेदक रूप होता है जिसमें [[जटिल संख्या]] गुणांक रखने की अनुमति होती है।
+गणित में, '''जटिल विभेदक रूप''' मैनिफोल्ड (सामान्यतः जटिल मैनिफोल्ड) पर विभेदक रूप होता है जिसमें [[जटिल संख्या]] गुणांक रखने की अनुमति होती है।
-[[विभेदक ज्यामिति]] में जटिल रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे [[लगभग जटिल संरचना]]ओं, [[स्पिनर|स्पिनरों]]  के सिद्धांत और सीआर [[सीआर संरचना|संरचना]]ओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।
+[[विभेदक ज्यामिति]] में जटिल रूपों का व्यापक अनुप्रयोग होता है और जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे मौलिक हैं और अधिकांश [[बीजगणितीय ज्यामिति]], काहलर मीट्रिक काहलर ज्यामिति और [[हॉज सिद्धांत]] के आधार के रूप में कार्य करते रहते हैं।इस प्रकार गैर-जटिल मैनिफोल्ड्स पर, वे [[लगभग जटिल संरचना]]ओं, [[स्पिनर|स्पिनरों]] के सिद्धांत और सीआर [[सीआर संरचना|संरचना]]ओं के अध्ययन में भी भूमिका निभाते रहते हैं।
-सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण जटिल रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी जटिल ''k''-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (''P, Q'')-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस  प्रकार सामान्यतः, ''K'' वेजेस ''P'' होलोमोर्फिक का [[बाहरी व्युत्पन्न]] उनके जटिल संयुग्मों के ''Q'' विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (''P, Q'')-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह ''K''-रूपों की तुलना में [[कई गुना]] उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत लागू होता है, वहाँ पर और भी बेहतर संरचनाएं मौजूद  होती हैं|
+सामान्यतः, कुछ वांछनीय अपघटन के कारण जटिल रूपों पर विचार किया जाता है जिन्हें प्रपत्र स्वीकार करते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफ़ोल्ड पर, किसी भी जटिल ''k''-रूप को विशिष्ट रूप से तथाकथित (''P, Q'')-रूप के योग में विघटित किया जा सकता है: इस प्रकार सामान्यतः, ''K'' वेजेस ''P'' होलोमोर्फिक का [[बाहरी व्युत्पन्न]] उनके जटिल संयुग्मों के ''Q'' विभेदक के साथ समन्वय करता रहता है। और (''P, Q'')-रूपों का समूह अध्ययन की आदिम वस्तु बन जाता है, इस तरह ''K''-रूपों की तुलना में [[कई गुना]] उत्तम ज्यामितीय संरचना निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थितियों में जहां हॉज सिद्धांत लागू होता है, वहाँ पर और भी बेहतर संरचनाएं मौजूद होती हैं|
-मान लीजिए कि ''M'' जटिल आयाम ''N'' का एक जटिल मैनिफोल्ड होता है। और फिर  स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें ''N'' जटिल-मूल्य वाले फलन  ''z''<sup>1</sup>, ..., z<sup>''n''</sup> शामिल होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं।  और जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते  हैं|
+मान लीजिए कि ''M'' जटिल आयाम ''N'' का एक जटिल मैनिफोल्ड होता है। और फिर स्थानीय समन्वय प्रणाली होती है इस प्रकार जिसमें ''N'' जटिल-मूल्य वाले फलन ''z''<sup>1</sup>, ..., z<sup>''n''</sup> शामिल होते हैं जैसे कि एक पैच से दूसरे पैच में समन्वय संक्रमण इन चर के होलोमोर्फिक फलन होते हैं। और जटिल रूपों का स्थान एक समृद्ध संरचना रखता है, जो मूल रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि ये संक्रमण कार्य केवल सुचारू होने के अतिरिक्त होलोमोर्फिक भी होते हैं|
 === एकरूप ===
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 इस प्रकार कोई देखता है कि जटिल गुणांक वाले किसी भी विभेदक रूप को योग के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है|
 :<math>\sum_{j=1}^n\left(f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j\right).</math>
-केवल युक्त जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है| <math>dz</math>'s और Ω<sup>0,1</sup> केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान <math>d\bar{z}</math>'s हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω<sup>1.0</sup>और Ω<sup>0,1</sup>होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि  कि भि कि विकल्प चुनता है<sub>i</sub> तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω<sup>1,0</sup> के तत्व  टेंसरीली रूपांतरित होते  हैं जैसे Ω<sup>0,1</sup> के तत्वों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω<sup>0.1</sup>और Ω<sup>1,0</sup> जटिल मैनिफोल्ड पर जटिल [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] निर्धारित करते हैं ।
+केवल युक्त जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है| <math>dz</math>'s और Ω<sup>0,1</sup> केवल युक्त प्रपत्रों का स्थान <math>d\bar{z}</math>'s हो। इस प्रकार कॉची-रीमैन समीकरणों द्वारा कोई यह दिखा सकता है कि रिक्त स्थान Ω<sup>1.0</sup>और Ω<sup>0,1</sup>होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर होता हैं। और दूसरे शब्दों में, यदि कि भि कि विकल्प चुनता है<sub>i</sub> तो होलोमोर्फिक समन्वय प्रणाली का एक अलग विकल्प चुनता हैं, तो Ω<sup>1,0</sup> के तत्व टेंसरीली रूपांतरित होते हैं जैसे Ω<sup>0,1</sup> के तत्वों की तरह करते रहते है| इस प्रकार रिक्त स्थान Ω<sup>0.1</sup>और Ω<sup>1,0</sup> जटिल मैनिफोल्ड पर जटिल [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] निर्धारित करते हैं ।
 === उच्च-डिग्री फॉर्म ===
 जटिल विभेदक रूपों के वेज उत्पाद को वास्तविक रूपों की तरह ही परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि ''p'' और ''q'' गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों ≤ n का युग्म होता है।
-(''p, q'')-रूपों का स्थान ''Ω<sup>p,q</sup> , Ω<sup>1,0</sup>'' से ''p'' तत्वों और ''Ω<sup>0,1</sup>''  से ''q'' तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।
+(''p, q'')-रूपों का स्थान ''Ω<sup>p,q</sup> , Ω<sup>1,0</sup>'' से ''p'' तत्वों और ''Ω<sup>0,1</sup>'' से ''q'' तत्वों के वेज उत्पादों के रैखिक संयोजनों को लेकर परिभाषित किया गया है।
 :<math>\Omega^{p,q}=\underbrace{\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}}_{p \text{ times}}\wedge\underbrace{\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}}_{q \text{ times}}</math>
-जहां  ''Ω<sup>1,0</sup>''  के ''p'' कारक और ''Ω<sup>0,1</sup>'' के ''q'' कारक होते  हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह, ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों के तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए वेक्टर बंडलों का निर्धारण करते हैं।
+जहां ''Ω<sup>1,0</sup>'' के ''p'' कारक और ''Ω<sup>0,1</sup>'' के ''q'' कारक होते हैं। 1-रूपों के दो स्थानों की तरह हैं, इस प्रकार ये निर्देशांक के होलोमोर्फिक परिवर्तनों की तहत स्थिर होते हैं, और इसलिए यह सदिश बंडलों का निर्धारण करते हैं।
-यदि E<sup>k</sup> कुल डिग्री k के सभी जटिल विभेदक रूपों का स्थान है, फिर E<sup>k</sup> का प्रत्येक तत्व को रिक्त स्थान Ω<sup>p,q</sup> के बीच से तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में p + q = k के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग अपघटन है
+यदि ''E<sup>k</sup>'' की कुल डिग्री ''k'' के सभी जटिल विभेदक रूपों का स्थान होता है, इस प्रकार फिर ''E<sup>k</sup>'' का प्रत्येक तत्व को रिक्त स्थान ''Ω<sup>p,q</sup>'' के बीच से तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में ''<u>p + q = k</u>'' के साथ एक अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। और ये अधिक संक्षेप में, प्रत्यक्ष योग का अपघटन है|
 :<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.</math>
-क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर है, यह वेक्टर बंडल अपघटन भी निर्धारित करता है।
+क्योंकि यह प्रत्यक्ष योग अपघटन होलोमोर्फिक समन्वय परिवर्तनों के तहत स्थिर होता है, और यह सदिश बंडल के अपघटन को भी निर्धारित करता है। इसलिए
-विशेष रूप से, प्रत्येक k और प्रत्येक p और q के लिए p + q = k के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है
+विशेष रूप से,यह प्रत्येक ''k'' और प्रत्येक ''p'' और ''q'' के लिए ''p + q = k'' के साथ, सदिश बंडलों का एक विहित प्रक्षेपण होता है|
 :<math>\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}.</math>
 === डॉल्बुल्ट ऑपरेटर्स ===
-सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है <math> d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}</math> के जरिए
+सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अनुभागों के मानचित्रण को परिभाषित करता है और इसके <math> d: \Omega^{r} \to \Omega^{r+1}</math> के जरिए
 :<math> d(\Omega^{p,q}) \subseteq \bigoplus_{r + s = p + q + 1} \Omega^{r,s}</math>
-बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
+बाहरी व्युत्पन्न अपने आप में मैनिफोल्ड की अधिक कठोर और जटिल संरचना को प्रतिबिंबित नहीं करता है।
-d और पिछले उपधारा में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव है:
+''d'' और पिछले उपधारा में परिभाषित अनुमानों का उपयोग करके, 'डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों' को परिभाषित करना संभव होता है:
 :<math>\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}</math>
 स्थानीय निर्देशांक में इन ऑपरेटरों का वर्णन करने के लिए, आइए
 :<math>\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}</math>
-जहां I और J बहु-सूचकांक|बहु-सूचकांक हैं। तब
+और जहां ''I'' और ''J'' बहु-सूचकांक|'''बहु-सूचकांक''' हैं। तब
 :<math>\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
 :<math>\bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.</math>
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 :<math>d=\partial+\bar{\partial}</math>
 :<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.</math>
-ये ऑपरेटर और उनके गुण [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी]] और हॉज सिद्धांत के कई पहलुओं का आधार बनाते हैं।
+ये ऑपरेटर और उनके गुण [[डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी]] और हॉज सिद्धांत के कई पहलुओं का आधार बनाते रहते हैं।
-एक जटिल मैनिफोल्ड के [[स्टार डोमेन]]|स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> यह [[पोंकारे की लेम्मा]] के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है <math>d</math>.<ref name=":0" />यह जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री है।
+'''एक''' इस प्रकार जटिल मैनिफोल्ड के [[स्टार डोमेन]]| स्टार-आकार वाले डोमेन पर डॉल्बॉल्ट ऑपरेटरों के पास दोहरे होमोटॉपी ऑपरेटर होते हैं <ref name=":0">{{Cite journal|last=Kycia|first=Radosław Antoni|date=2020|others=Section 4|title=पोंकारे लेम्मा, एंटीएक्सएक्ट फॉर्म और फर्मियोनिक क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर|journal=Results in Mathematics|language=en|volume=75|issue=3|pages=122|doi=10.1007/s00025-020-01247-8|s2cid=199472766|issn=1422-6383|doi-access=free}}</ref> और यह [[पोंकारे की लेम्मा]] के विभाजन के परिणामस्वरूप होता है <math>d</math>.<ref name=":0" />और यह जटिल मैनिफोल्ड पर पॉइंकेयर लेम्मा की सामग्री होती है।
-पोंकारे लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> स्थानीय ddbar lemma|local में और सुधार किया जा सकता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि प्रत्येक <math>d</math>-सटीक जटिल विभेदक रूप वास्तव में है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही। कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से जाना जाता है|         <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम है, और बताता है कि जटिल विभेदक रूप जो विश्व स्तर पर है <math>d</math>-सटीक (दूसरे शब्दों में, जिसका [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] में वर्ग शून्य है) विश्व स्तर पर है <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही।
+पोंकारे लेम्मा के लिए <math>\bar \partial</math> और <math>\partial</math> को आंशिकऔर स्थानीय '''ddbar lemma|local''' में '''और''' सुधार किया जा सकता है और इस प्रकार <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, जो दर्शाता है कि यह प्रत्येक <math>d</math>-सटीक जटिल विभेदक रूप वास्तव में होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-बिल्कुल सही हैं। इस प्रकार कॉम्पैक्ट काहलर पर स्थानीय का वैश्विक रूप प्रकट होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा होल्ड हैं, जिसे डीडीबार लेम्मा के नाम से भी जाना जाता है| यह <math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा. यह हॉज सिद्धांत का परिणाम होता है, और इस प्रकार ये यह बताता है कि जटिल विभेदक रूप होता हैं जो विश्व स्तर पर होता है <math>d</math>-सटीक (दूसरे शब्दों में होता है , जिसका [[डॉ कहलमज गर्भाशय]] में वर्ग शून्य होता है) और यह विश्व स्तर पर होता है और यह <math>\partial \bar \partial</math>-एकदम सही होता हैं।
 ===होलोमोर्फिक रूप===
-प्रत्येक पी के लिए, 'होलोमोर्फिक पी-फॉर्म' बंडल Ω<sup>p,0</sup> का होलोमोर्फिक खंड है . स्थानीय निर्देशांक में, होलोमोर्फिक पी-फॉर्म को फॉर्म में लिखा जा सकता है
+प्रत्येक ''p'' के लिए, 'होलोमोर्फिक ''p''-रूप' बंडल Ω<sup>p,0</sup> का होलोमोर्फिक खंड होता है जिसे स्थानीय निर्देशांक में, होलोमोर्फिक ''p''-रूप को रूप में लिखा जा सकता है|
 :<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>
-जहां <math> f_I </math> होलोमोर्फिक फलन हैं। समान रूप से, और कॉची-रीमैन समीकरणों के कारण#जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि
+जहां <math> f_I </math> होलोमोर्फिक फलन होता हैं। और इस प्रकार समान रूप से, और जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता के कारण (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक होता है और यह केवल कॉची-रीमैन समीकरणों में होता है |'''के कारण या जटिल संयुग्म की स्वतंत्रता, (p, 0)-रूप α होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि'''
 :<math>\bar{\partial}\alpha=0.</math>
-होलोमोर्फिक  ''p''- रूप का शीफ (गणित) अक्सर Ω<sup>p</sup>,लिखा जाता है, हालांकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति पैदा हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की प्रवृत्ति रखते हैं।
+होलोमोर्फिक ''p''- रूप का शीफ (गणित) को अक्सर Ω<sup>p</sup>,लिखा जाता है, हालांकि इससे कभी-कभी भ्रम की स्थिति भी उत्पन्न हो सकती है, इसलिए कई लेखक वैकल्पिक संकेतन को अपनाने की भी प्रवृत्ति रखते हैं।
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