संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या: Difference between revisions

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गणित में, संयुक्त [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या की शास्त्रीय धारणा का एक सामान्यीकरण है। हाल के वर्षों में इस धारणा को बड़ी संख्या में इंजीनियरिंग क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला है और यह अभी भी सक्रिय शोध का विषय है।
गणित में, संयुक्त [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या की शास्त्रीय धारणा का सामान्यीकरण है। हाल के वर्षों में इस धारणा को बड़ी संख्या में इंजीनियरिंग क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला है और यह अभी भी सक्रिय शोध का विषय है।


==सामान्य विवरण==
==सामान्य विवरण==


मैट्रिक्स के एक सेट की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस सेट में लिए गए मैट्रिक्स के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। मैट्रिक्स के एक सीमित (या अधिक सामान्यतः कॉम्पैक्ट) सेट के लिए <math>\mathcal M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^{n \times n},</math> संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
मैट्रिक्स के सेट की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस सेट में लिए गए मैट्रिक्स के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। मैट्रिक्स के सीमित (या अधिक सामान्यतः कॉम्पैक्ट) सेट के लिए <math>\mathcal M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^{n \times n},</math> संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


: <math>\rho (\mathcal M)= \lim_{k \to
: <math>\rho (\mathcal M)= \lim_{k \to
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===सन्निकटन एल्गोरिदम===
===सन्निकटन एल्गोरिदम===


संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर नकारात्मक सैद्धांतिक परिणामों के बावजूद, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में मनमानी सटीकता तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को एक विशेष वेक्टर मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है, जिसे चरम मानदंड कहा जाता है।<ref>N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i&ndash;iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.</ref> आम तौर पर ऐसे एल्गोरिदम के दो परिवारों के बीच अंतर किया जाता है: पहला परिवार, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके चरम मानदंड का निर्माण करता है।<ref>V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.</ref><ref>N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.</ref> इन तरीकों का एक फायदा यह है कि अनुकूल मामलों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है और एक प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह सटीक मान है।
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर नकारात्मक सैद्धांतिक परिणामों के बावजूद, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में मनमानी सटीकता तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष वेक्टर मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है, जिसे चरम मानदंड कहा जाता है।<ref>N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i&ndash;iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.</ref> आम तौर पर ऐसे एल्गोरिदम के दो परिवारों के बीच अंतर किया जाता है: पहला परिवार, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके चरम मानदंड का निर्माण करता है।<ref>V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.</ref><ref>N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.</ref> इन तरीकों का फायदा यह है कि अनुकूल मामलों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है और प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह सटीक मान है।


तरीकों का दूसरा परिवार आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ चरम मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,<ref>Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.</ref> [[अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग]],<ref>T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.</ref><ref>V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.</ref> [[बहुपद एसओएस]],<ref>P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.</ref> और शंकु अनुकूलन.<ref>V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.</ref> इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना आसान है, और व्यवहार में, वे आम तौर पर संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।
तरीकों का दूसरा परिवार आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ चरम मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,<ref>Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.</ref> [[अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग]],<ref>T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.</ref><ref>V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.</ref> [[बहुपद एसओएस]],<ref>P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.</ref> और शंकु अनुकूलन.<ref>V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.</ref> इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना आसान है, और व्यवहार में, वे आम तौर पर संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।
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संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की संगणना से संबंधित निम्नलिखित अनुमान है:<ref>J. C. Lagarias and Y. Wang. "The finiteness conjecture for the generalized spectral radius of a set of matrices." Linear Algebra and its Applications, 214:17–42, 1995.</ref>
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की संगणना से संबंधित निम्नलिखित अनुमान है:<ref>J. C. Lagarias and Y. Wang. "The finiteness conjecture for the generalized spectral radius of a set of matrices." Linear Algebra and its Applications, 214:17–42, 1995.</ref>
मैट्रिक्स के किसी भी सीमित सेट के लिए <math>\mathcal M \subset \mathbb R^{n \times n},</math> एक उत्पाद है <math> A_1\dots A_t</math> इस सेट में मैट्रिक्स की संख्या इस प्रकार है
मैट्रिक्स के किसी भी सीमित सेट के लिए <math>\mathcal M \subset \mathbb R^{n \times n},</math> उत्पाद है <math> A_1\dots A_t</math> इस सेट में मैट्रिक्स की संख्या इस प्रकार है
:<math>\rho(\mathcal M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t}.</math>उपरोक्त समीकरण में<math> \rho(A_1 \dots A_t)</math>मैट्रिक्स की शास्त्रीय वर्णक्रमीय त्रिज्या को संदर्भित करता है <math>A_1 \dots A_t.</math>
:<math>\rho(\mathcal M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t}.</math>उपरोक्त समीकरण में<math> \rho(A_1 \dots A_t)</math>मैट्रिक्स की शास्त्रीय वर्णक्रमीय त्रिज्या को संदर्भित करता है <math>A_1 \dots A_t.</math>
1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत साबित हुआ।<ref>T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.</ref> उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें एक प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी शामिल है जो सरल संयोजन गुण मैट्रिक्स का उपयोग करता है <ref>V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.</ref> और गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित एक प्रति-उदाहरण।<ref>V. Kozyakin
1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत साबित हुआ।<ref>T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.</ref> उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी शामिल है जो सरल संयोजन गुण मैट्रिक्स का उपयोग करता है <ref>V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.</ref> और गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण।<ref>V. Kozyakin
Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/</ref> हाल ही में एक स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।<ref>Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, [[Advances in Mathematics]], 226, pp. 4667-4701, 2011.</ref> इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी खुले हैं, उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह [[बाइनरी मैट्रिक्स]] के जोड़े के लिए मान्य है।<ref>A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of
Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/</ref> हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।<ref>Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, [[Advances in Mathematics]], 226, pp. 4667-4701, 2011.</ref> इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी खुले हैं, उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह [[बाइनरी मैट्रिक्स]] के जोड़े के लिए मान्य है।<ref>A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of
2&nbsp;×&nbsp;2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.</ref><ref>R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.</ref>
2&nbsp;×&nbsp;2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.</ref><ref>R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.</ref>
==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==


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==संबंधित धारणाएँ==
==संबंधित धारणाएँ==


संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। हालाँकि, मैट्रिक्स के एक सेट पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर की विशेषता है <math>\mathcal M</math>.
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। हालाँकि, मैट्रिक्स के सेट पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर की विशेषता है <math>\mathcal M</math>.
पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर को दर्शाता है <math>L_p</math> अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत।
पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर को दर्शाता है <math>L_p</math> अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत।
मैट्रिक्स के सेट के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।
मैट्रिक्स के सेट के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।
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Revision as of 20:43, 26 September 2023

गणित में, संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या की शास्त्रीय धारणा का सामान्यीकरण है। हाल के वर्षों में इस धारणा को बड़ी संख्या में इंजीनियरिंग क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला है और यह अभी भी सक्रिय शोध का विषय है।

सामान्य विवरण

मैट्रिक्स के सेट की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस सेट में लिए गए मैट्रिक्स के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। मैट्रिक्स के सीमित (या अधिक सामान्यतः कॉम्पैक्ट) सेट के लिए संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

यह साबित किया जा सकता है कि सीमा मौजूद है और मात्रा वास्तव में चुने गए मैट्रिक्स मानदंड पर निर्भर नहीं करती है (यह किसी भी मानक के लिए सच है लेकिन यह देखना विशेष रूप से आसान है कि क्या मानदंड मैट्रिक्स मानदंड | उप-गुणक है)। संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की शुरुआत 1960 में जियान-कार्लो रोटा और गिल्बर्ट स्ट्रैंग द्वारा की गई थी,[1] मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था के दो गणितज्ञ, लेकिन इंग्रिड डौबेचीज़ और जेफ़री लागरियास के काम से ध्यान आकर्षित करना शुरू कर दिया।[2] उन्होंने दिखाया कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का उपयोग कुछ वेवलेट#वेवलेट फ़ंक्शन की चिकनाई गुणों का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।[3] तब से बड़ी संख्या में आवेदन प्रस्तावित किए गए हैं। यह ज्ञात है कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मात्रा एनपी-गणना या अनुमानित करने के लिए कठिन है, भले ही सेट हो इसमें केवल दो मैट्रिक्स होते हैं जिनमें दोनों की सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं आव्यूह जो समान होने के लिए बाध्य हैं।[4] इसके अलावा, सवालएक अनिर्णीत समस्या है.[5] फिर भी, हाल के वर्षों में इसकी समझ पर बहुत प्रगति हुई है, और ऐसा प्रतीत होता है कि व्यवहार में संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की गणना अक्सर संतोषजनक परिशुद्धता के साथ की जा सकती है, और यह इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं में दिलचस्प अंतर्दृष्टि भी ला सकती है।

गणना

सन्निकटन एल्गोरिदम

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर नकारात्मक सैद्धांतिक परिणामों के बावजूद, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में मनमानी सटीकता तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष वेक्टर मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने की कोशिश के रूप में देखा जा सकता है, जिसे चरम मानदंड कहा जाता है।[6] आम तौर पर ऐसे एल्गोरिदम के दो परिवारों के बीच अंतर किया जाता है: पहला परिवार, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके चरम मानदंड का निर्माण करता है।[7][8] इन तरीकों का फायदा यह है कि अनुकूल मामलों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है और प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह सटीक मान है।

तरीकों का दूसरा परिवार आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ चरम मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,[9] अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग,[10][11] बहुपद एसओएस,[12] और शंकु अनुकूलन.[13] इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना आसान है, और व्यवहार में, वे आम तौर पर संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।

परिमितता अनुमान

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की संगणना से संबंधित निम्नलिखित अनुमान है:[14] मैट्रिक्स के किसी भी सीमित सेट के लिए उत्पाद है इस सेट में मैट्रिक्स की संख्या इस प्रकार है

उपरोक्त समीकरण मेंमैट्रिक्स की शास्त्रीय वर्णक्रमीय त्रिज्या को संदर्भित करता है

1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत साबित हुआ।[15] उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी शामिल है जो सरल संयोजन गुण मैट्रिक्स का उपयोग करता है [16] और गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण।[17] हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।[18] इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी खुले हैं, उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह बाइनरी मैट्रिक्स के जोड़े के लिए मान्य है।[19][20]

अनुप्रयोग

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को अलग-अलग समय स्विचिंग गतिशील प्रणालियों के लिए स्थिरता की स्थिति के रूप में इसकी व्याख्या के लिए पेश किया गया था। दरअसल, समीकरणों द्वारा परिभाषित प्रणाली

ल्यपुनोव स्थिरता है यदि और केवल यदि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या तब लोकप्रिय हो गई जब इंग्रिड ड्यूबेचिस और जेफरी लागरियास ने दिखाया कि यह कुछ तरंगिका कार्यों की निरंतरता को नियंत्रित करता है। तब से, इसे कई अनुप्रयोग मिले हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर सूचना सिद्धांत, स्वायत्त एजेंट सर्वसम्मति, शब्दों पर संयोजकता,... शामिल हैं।

संबंधित धारणाएँ

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई मैट्रिक्स के सेट के लिए मैट्रिक्स के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। हालाँकि, मैट्रिक्स के सेट पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर की विशेषता है . पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर को दर्शाता है अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत। मैट्रिक्स के सेट के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।

संदर्भ

  1. ↑ G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [1]
  2. ↑ Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.
  3. ↑ I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.
  4. ↑ J. N. Tsitsiklis and V. D. Blondel. "Lyapunov Exponents of Pairs of Matrices, a Correction." Mathematics of Control, Signals, and Systems, 10, p. 381, 1997.
  5. ↑ Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable." Systems and Control Letters, 41:2, pp. 135–140, 2000.
  6. ↑ N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i–iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.
  7. ↑ V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.
  8. ↑ N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.
  9. ↑ Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.
  10. ↑ T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.
  11. ↑ V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.
  12. ↑ P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.
  13. ↑ V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.
  14. ↑ J. C. Lagarias and Y. Wang. "The finiteness conjecture for the generalized spectral radius of a set of matrices." Linear Algebra and its Applications, 214:17–42, 1995.
  15. ↑ T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.
  16. ↑ V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.
  17. ↑ V. Kozyakin Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/
  18. ↑ Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, Advances in Mathematics, 226, pp. 4667-4701, 2011.
  19. ↑ A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of 2 × 2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.
  20. ↑ R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.


अग्रिम पठन

  • Raphael M. Jungers (2009). The joint spectral radius, Theory and applications. Springer. ISBN 978-3-540-95979-3.
  • Vincent D. Blondel; Michael Karow; Vladimir Protassov; Fabian R. Wirth, eds. (2008). "Linear Algebra and its Applications: special issue on the joint spectral radius". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier. 428 (10).
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