संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या: Difference between revisions

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==सामान्य विवरण==
==सामान्य विवरण==


आव्यूह के समुच्चय की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस समुच्चय में लिए गए आव्यूह के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। आव्यूह के सीमित (या अधिक सामान्यतः सघन) समुच्चय के लिए <math>\mathcal M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^{n \times n},</math> संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
आव्यूह के समुच्चय की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस समुच्चय में लिए गए आव्यूह के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। इस प्रकार आव्यूह के सीमित (या अधिक सामान्यतः सघन) समुच्चय के लिए <math>\mathcal M=\{A_1,\dots, A_m\} \subset \mathbb R^{n \times n},</math> संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


: <math>\rho (\mathcal M)= \lim_{k \to
: <math>\rho (\mathcal M)= \lim_{k \to
\infty}\max{\{ \|A_{i_1}\cdots A_{i_k}\|^{1/k}:A_i\in\mathcal M\}}. \, </math>
\infty}\max{\{ \|A_{i_1}\cdots A_{i_k}\|^{1/k}:A_i\in\mathcal M\}}. \, </math>
यह प्रमाणित किया जा सकता है कि इसकी सीमा उपस्थित है और यह मात्रा वास्तव में चुने गए [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्यूह मानदंड]] पर निर्भर नहीं करती है, यह किसी भी मानक के लिए सच है किंतु यह देखना विशेष रूप से साधारण है कि क्या मानदंड आव्यूह मानदंड या उप-गुणक है। संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रारंभ 1960 में [[जियान-कार्लो रोटा]] और [[गिल्बर्ट स्ट्रैंग]] द्वारा की गई थी,<ref>G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [https://books.google.com/books?id=x7zKLGu3g9IC&dq=a%20note%20on%20the%20joint%20spectral%20radius%20rota%20strang&pg=PA74]</ref> [[मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था|मैसाचुसमुच्चय्स की तकनीकी संस्था]] के दो गणितज्ञ, किंतु [[इंग्रिड डौबेचीज़]] और [[जेफ़री लागरियास]] के काम से ध्यान आकर्षित करना प्रारंभ कर दिया था।<ref>Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.</ref> उन्होंने दिखाया कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का उपयोग कुछ वेवलेट फलन के समतल गुणक का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।<ref>I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.</ref> इस कारण उस समय से बड़ी संख्या में आवेदन प्रस्तावित किए गए हैं। यह ज्ञात है कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मात्रा एनपी-गणना या अनुमानित करने के लिए कठिन है, भले ही समुच्चय हो <math>\mathcal M</math> इसमें केवल दो आव्यूह होते हैं जिनमें दोनों की सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं। इस प्रकार आव्यूह जो समान होने के लिए बाध्य हैं।<ref>J. N. Tsitsiklis and V. D. Blondel. "Lyapunov Exponents of Pairs of Matrices, a Correction." ''[[Mathematics of Control, Signals, and Systems]]'', 10, p. 381, 1997.</ref> इसके अतिरिक्त, <math>\rho\leq 1 ?</math> [[अनिर्णीत समस्या]] है।<ref>Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable." Systems and Control Letters, 41:2, pp. 135&ndash;140, 2000.</ref> फिर भी, हाल के वर्षों में इसकी समझ पर बहुत प्रगति हुई है, और ऐसा प्रतीत होता है कि व्यवहार में संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की गणना अधिकांशतः संतोषजनक परिशुद्धता के साथ की जा सकती है, और यह इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं में अंतर्दृष्टि भी ला सकती है।
यह प्रमाणित किया जा सकता है कि इसकी सीमा उपस्थित है और यह मात्रा वास्तव में चुने गए [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्यूह मानदंड]] पर निर्भर नहीं करती है, यह किसी भी मानक के लिए सच है किंतु यह देखना विशेष रूप से साधारण है कि क्या मानदंड आव्यूह मानदंड या उप-गुणक है। संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रारंभ 1960 में [[जियान-कार्लो रोटा]] और [[गिल्बर्ट स्ट्रैंग]] द्वारा की गई थी,<ref>G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [https://books.google.com/books?id=x7zKLGu3g9IC&dq=a%20note%20on%20the%20joint%20spectral%20radius%20rota%20strang&pg=PA74]</ref> [[मैसाचुसेट्स की तकनीकी संस्था|मैसाचुसमुच्चय्स की तकनीकी संस्था]] के दो गणितज्ञ, किंतु [[इंग्रिड डौबेचीज़]] और [[जेफ़री लागरियास]] के काम से ध्यान आकर्षित करना प्रारंभ कर दिया था।<ref>Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.</ref> उन्होंने दिखाया कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का उपयोग कुछ वेवलेट फलन के समतल गुणक का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।<ref>I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.</ref> इस कारण उस समय से बड़ी संख्या में आवेदन प्रस्तावित किए गए हैं। यह ज्ञात है कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मात्रा एनपी-गणना या अनुमानित करने के लिए कठिन है, भले ही समुच्चय हो <math>\mathcal M</math> इसमें केवल दो आव्यूह होते हैं, जिनमें दोनों की सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं। इस प्रकार आव्यूह जो समान होने के लिए बाध्य हैं।<ref>J. N. Tsitsiklis and V. D. Blondel. "Lyapunov Exponents of Pairs of Matrices, a Correction." ''[[Mathematics of Control, Signals, and Systems]]'', 10, p. 381, 1997.</ref> इसके अतिरिक्त, <math>\rho\leq 1 ?</math> [[अनिर्णीत समस्या]] है।<ref>Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable." Systems and Control Letters, 41:2, pp. 135&ndash;140, 2000.</ref> फिर भी, हाल के वर्षों में इसकी समझ पर बहुत प्रगति हुई है, और ऐसा प्रतीत होता है कि व्यवहार में संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की गणना अधिकांशतः संतोषजनक परिशुद्धता के साथ की जा सकती है, और इस प्रकार यह इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं में अंतर्दृष्टि भी ला सकती है।


==गणना==
==गणना==
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===अनुमानित एल्गोरिदम===
===अनुमानित एल्गोरिदम===


संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर ऋणात्मक सैद्धांतिक परिणामों के अतिरिक्त, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। इस कारण एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में इसके सही मान तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष सदिश मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने के प्रयास करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसे चरम मानदंड कहा जाता है।<ref>N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i&ndash;iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.</ref> सामान्यतः ऐसे एल्गोरिदम के दो समुच्चयों के बीच अंतर किया जाता है: पहला समुच्चय, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, इसके कारण बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके चरम मानदंड का निर्माण करता है।<ref>V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.</ref><ref>N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.</ref> इन तरीकों का लाभ यह है कि अनुकूल स्थितियों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है और प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह सटीक मान है।
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर ऋणात्मक सैद्धांतिक परिणामों के अतिरिक्त, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं, जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। इस कारण एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में इसके सही मान तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष सदिश मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने के प्रयास करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसे उच्च मानदंड कहा जाता है।<ref>N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i&ndash;iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.</ref> सामान्यतः ऐसे एल्गोरिदम के दो समुच्चयों के बीच अंतर किया जाता है: इस प्रकार पहला समुच्चय, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, इसके कारण बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके उच्च मानदंड का निर्माण करता है।<ref>V. Y. Protasov. "The joint spectral radius and invariant sets of linear operators." Fundamentalnaya i prikladnaya matematika, 2(1):205–231, 1996.</ref><ref>N. Guglielmi, F. Wirth, and M. Zennaro. "Complex polytope extremality results for families of matrices." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 27(3):721–743, 2005.</ref> इन तरीकों का लाभ यह है कि अनुकूल स्थितियों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है, और इस प्रकार यह प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह इसका सटीक मान है।


इन तरीकों का दूसरा समुच्चय आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ चरम मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,<ref>Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.</ref> [[अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग]],<ref>T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.</ref><ref>V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.</ref> [[बहुपद एसओएस]],<ref>P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.</ref> और शंकु अनुकूलन इत्यादि।<ref>V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.</ref> इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना साधारण है, और व्यवहारिक रूप से इसे सामान्यतः संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।
इन तरीकों का दूसरा समुच्चय आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ उच्च मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,<ref>Vincent D. Blondel, Yurii Nesterov and Jacques Theys, On the accuracy of the ellipsoid norm approximation of the joint spectral radius, Linear Algebra and its Applications, 394:1, pp. 91–107, 2005.</ref> [[अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग]],<ref>T. Ando and M.-H. Shih. "Simultaneous contractibility." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 19(2):487–498, 1998.</ref><ref>V. D. Blondel and Y. Nesterov. "Computationally efficient approximations of the joint spectral radius." SIAM Journal of Matrix Analysis, 27(1):256–272, 2005.</ref> [[बहुपद एसओएस]],<ref>P. Parrilo and A. Jadbabaie. "Approximation of the joint spectral radius using sum of squares." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2385–2402, 2008.</ref> और शंकु अनुकूलन इत्यादि।<ref>V. Protasov, R. M. Jungers, and V. D. Blondel. "Joint spectral characteristics of matrices: a conic programming approach." SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2008.</ref> इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना साधारण है, और इस प्रकार व्यवहारिक रूप से इसे सामान्यतः संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।


===परिमितता अनुमान===
===परिमितता अनुमान===
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:<math>\rho(\mathcal M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t}.</math>
:<math>\rho(\mathcal M) = \rho(A_1 \dots A_t)^{1/t}.</math>
:उपरोक्त समीकरण में <math> \rho(A_1 \dots A_t)</math> आव्यूह की मौलिक वर्णक्रमीय त्रिज्या <math>A_1 \dots A_t.</math> को संदर्भित करता है।
:उपरोक्त समीकरण में <math> \rho(A_1 \dots A_t)</math> आव्यूह की मौलिक वर्णक्रमीय त्रिज्या <math>A_1 \dots A_t.</math> को संदर्भित करता है।
1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत प्रमाणित हुआ था।<ref>T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.</ref> उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी सम्मिलित है जो सरल संयोजन गुण आव्यूह का उपयोग करता है <ref>V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.</ref> और गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण है।<ref>V. Kozyakin
1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत प्रमाणित हुआ था।<ref>T. Bousch and J. Mairesse. "Asymptotic height optimization for topical IFS, Tetris heaps, and the finiteness conjecture." Journal of the American Mathematical Society, 15(1):77–111, 2002.</ref> उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी सम्मिलित है जो सरल संयोजन गुण आव्यूह का उपयोग करता है <ref>V. D. Blondel, J. Theys and A. A. Vladimirov, An elementary counterexample to the finiteness conjecture, SIAM Journal on Matrix Analysis, 24:4, pp. 963–970, 2003.</ref> और इस प्रकार गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण है।<ref>V. Kozyakin
Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/</ref> हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।<ref>Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, [[Advances in Mathematics]], 226, pp. 4667-4701, 2011.</ref> इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी विवृत हैं, उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह [[बाइनरी मैट्रिक्स|बाइनरी आव्यूह]] के जोड़े के लिए मान्य है।<ref>A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of
Structure of Extremal Trajectories of Discrete Linear Systems and the Finiteness Conjecture, Automat. Remote Control, 68 (2007), no. 1, 174–209/</ref> हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।<ref>Kevin G. Hare, Ian D. Morris, Nikita Sidorov, Jacques Theys. An explicit counterexample to the Lagarias–Wang finiteness conjecture, [[Advances in Mathematics]], 226, pp. 4667-4701, 2011.</ref> इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी विवृत हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह [[बाइनरी मैट्रिक्स|बाइनरी आव्यूह]] के जोड़े के लिए मान्य है।<ref>A. Cicone, N. Guglielmi, S. Serra Capizzano, and M. Zennaro. "Finiteness property of pairs of
2&nbsp;×&nbsp;2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.</ref><ref>R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.</ref>
2&nbsp;×&nbsp;2 sign-matrices via real extremal polytope norms." Linear Algebra and its Applications, 2010.</ref><ref>R. M. Jungers and V. D. Blondel. "On the finiteness property for rational matrices." Linear Algebra and its Applications, 428(10):2283–2295, 2008.</ref>
==अनुप्रयोग==
==अनुप्रयोग==
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[[ल्यपुनोव स्थिरता]] है, जिसके लिए इसका मान केवल <math>\rho(\mathcal M)<1.</math> पर निर्भर करता हैं।
[[ल्यपुनोव स्थिरता]] है, जिसके लिए इसका मान केवल <math>\rho(\mathcal M)<1.</math> पर निर्भर करता हैं।


संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या तब लोकप्रिय हो गई जब इंग्रिड ड्यूबेचिस और जेफरी लागरियास ने दिखाया कि यह कुछ तरंगिका कार्यों की निरंतरता को नियंत्रित करता है। इस समय से इसके कई अनुप्रयोग मिले हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर सूचना सिद्धांत, [[स्वायत्त एजेंट]] सर्वसम्मति, शब्दों पर संयोजकता सम्मिलित हैं।
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या तब लोकप्रिय हो गई जब इंग्रिड ड्यूबेचिस और जेफरी लागरियास ने दिखाया कि यह कुछ वेवलेट फलन की निरंतरता को नियंत्रित करता है। इस समय से इसके कई अनुप्रयोग मिले हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर सूचना सिद्धांत, [[स्वायत्त एजेंट]] सर्वसम्मति, शब्दों पर संयोजकता सम्मिलित हैं।


==संबंधित धारणाएँ==
==संबंधित धारणाएँ==


संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई आव्यूह के समुच्चय के लिए आव्यूह के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। चूंकि, आव्यूह के समुच्चय पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर <math>\mathcal M</math> की विशेषता है। पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर <math>L_p</math> को दर्शाता है, इस प्रकार अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत हैं। आव्यूह के समुच्चय के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।
संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई आव्यूह के समुच्चय के लिए आव्यूह के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। चूंकि, आव्यूह के समुच्चय पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर <math>\mathcal M</math> की विशेषता है। इस प्रकार पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर <math>L_p</math> को दर्शाता है, इस प्रकार अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत हैं। आव्यूह के समुच्चय के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।


== संदर्भ ==
== संदर्भ ==

Revision as of 21:04, 26 September 2023

गणित में, संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या आव्यूह के समुच्चय के लिए आव्यूह के वर्णक्रमीय त्रिज्या की मौलिक धारणा का सामान्यीकरण है। हाल ही के वर्षों में इस धारणा को बड़ी संख्या में अभियांत्रिकी के क्षेत्रों में इसके विशेष अनुप्रयोग मिले है और यह अभी भी सक्रिय प्रक्रिया के लिए शोध का विषय है।

सामान्य विवरण

आव्यूह के समुच्चय की संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या उस समुच्चय में लिए गए आव्यूह के उत्पादों की अधिकतम स्पर्शोन्मुख वृद्धि दर है। इस प्रकार आव्यूह के सीमित (या अधिक सामान्यतः सघन) समुच्चय के लिए संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

यह प्रमाणित किया जा सकता है कि इसकी सीमा उपस्थित है और यह मात्रा वास्तव में चुने गए आव्यूह मानदंड पर निर्भर नहीं करती है, यह किसी भी मानक के लिए सच है किंतु यह देखना विशेष रूप से साधारण है कि क्या मानदंड आव्यूह मानदंड या उप-गुणक है। संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का प्रारंभ 1960 में जियान-कार्लो रोटा और गिल्बर्ट स्ट्रैंग द्वारा की गई थी,[1] मैसाचुसमुच्चय्स की तकनीकी संस्था के दो गणितज्ञ, किंतु इंग्रिड डौबेचीज़ और जेफ़री लागरियास के काम से ध्यान आकर्षित करना प्रारंभ कर दिया था।[2] उन्होंने दिखाया कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का उपयोग कुछ वेवलेट फलन के समतल गुणक का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।[3] इस कारण उस समय से बड़ी संख्या में आवेदन प्रस्तावित किए गए हैं। यह ज्ञात है कि संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या मात्रा एनपी-गणना या अनुमानित करने के लिए कठिन है, भले ही समुच्चय हो इसमें केवल दो आव्यूह होते हैं, जिनमें दोनों की सभी गैर-शून्य प्रविष्टियाँ होती हैं। इस प्रकार आव्यूह जो समान होने के लिए बाध्य हैं।[4] इसके अतिरिक्त, अनिर्णीत समस्या है।[5] फिर भी, हाल के वर्षों में इसकी समझ पर बहुत प्रगति हुई है, और ऐसा प्रतीत होता है कि व्यवहार में संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की गणना अधिकांशतः संतोषजनक परिशुद्धता के साथ की जा सकती है, और इस प्रकार यह इंजीनियरिंग और गणितीय समस्याओं में अंतर्दृष्टि भी ला सकती है।

गणना

अनुमानित एल्गोरिदम

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या संगणना पर ऋणात्मक सैद्धांतिक परिणामों के अतिरिक्त, ऐसे तरीके प्रस्तावित किए गए हैं, जो व्यवहार में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। इस कारण एल्गोरिदम भी ज्ञात हैं, जो प्रारंभिक गणना योग्य समय में इसके सही मान तक पहुंच सकते हैं। इन एल्गोरिदम को विशेष सदिश मानदंड की यूनिट बॉल का अनुमान लगाने के प्रयास करने के रूप में देखा जा सकता है, जिसे उच्च मानदंड कहा जाता है।[6] सामान्यतः ऐसे एल्गोरिदम के दो समुच्चयों के बीच अंतर किया जाता है: इस प्रकार पहला समुच्चय, जिसे पॉलीटोप मानक विधियां कहा जाता है, इसके कारण बिंदुओं के लंबे प्रक्षेपवक्र की गणना करके उच्च मानदंड का निर्माण करता है।[7][8] इन तरीकों का लाभ यह है कि अनुकूल स्थितियों में यह संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या का सटीक मान पा सकता है, और इस प्रकार यह प्रमाण पत्र प्रदान कर सकता है कि यह इसका सटीक मान है।

इन तरीकों का दूसरा समुच्चय आधुनिक अनुकूलन तकनीकों के साथ उच्च मानदंड का अनुमान लगाता है, जैसे कि दीर्घवृत्ताकार मानदंड सन्निकटन,[9] अर्धनिश्चित प्रोग्रामिंग,[10][11] बहुपद एसओएस,[12] और शंकु अनुकूलन इत्यादि।[13] इन विधियों का लाभ यह है कि इन्हें लागू करना साधारण है, और इस प्रकार व्यवहारिक रूप से इसे सामान्यतः संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या पर सर्वोत्तम सीमाएं प्रदान करते हैं।

परिमितता अनुमान

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या की संगणना से संबंधित निम्नलिखित अनुमान है:[14]

आव्यूह के किसी भी सीमित समुच्चय के लिए उत्पाद है इस समुच्चय में आव्यूह की संख्या इस प्रकार है-

उपरोक्त समीकरण में आव्यूह की मौलिक वर्णक्रमीय त्रिज्या को संदर्भित करता है।

1995 में प्रस्तावित यह अनुमान 2003 में ग़लत प्रमाणित हुआ था।[15] उस संदर्भ में प्रदान किया गया प्रति-उदाहरण उन्नत माप-सैद्धांतिक विचारों का उपयोग करता है। इसके बाद, कई अन्य प्रति-उदाहरण प्रदान किए गए हैं, जिसमें प्राथमिक प्रति-उदाहरण भी सम्मिलित है जो सरल संयोजन गुण आव्यूह का उपयोग करता है [16] और इस प्रकार गतिशील सिस्टम गुणों पर आधारित प्रति-उदाहरण है।[17] हाल ही में स्पष्ट प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया गया है।[18] इस अनुमान से संबंधित कई प्रश्न अभी भी विवृत हैं, इस प्रकार उदाहरण के लिए यह जानने का प्रश्न कि क्या यह बाइनरी आव्यूह के जोड़े के लिए मान्य है।[19][20]

अनुप्रयोग

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या को अलग-अलग समय स्विचिंग गतिशील प्रणालियों के लिए स्थिरता की स्थिति के रूप में इसकी व्याख्या के लिए प्रस्तुत किया गया था। चूंकि निम्नलिखित समीकरणों द्वारा परिभाषित प्रणाली

ल्यपुनोव स्थिरता है, जिसके लिए इसका मान केवल पर निर्भर करता हैं।

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या तब लोकप्रिय हो गई जब इंग्रिड ड्यूबेचिस और जेफरी लागरियास ने दिखाया कि यह कुछ वेवलेट फलन की निरंतरता को नियंत्रित करता है। इस समय से इसके कई अनुप्रयोग मिले हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत से लेकर सूचना सिद्धांत, स्वायत्त एजेंट सर्वसम्मति, शब्दों पर संयोजकता सम्मिलित हैं।

संबंधित धारणाएँ

संयुक्त वर्णक्रमीय त्रिज्या कई आव्यूह के समुच्चय के लिए आव्यूह के वर्णक्रमीय त्रिज्या का सामान्यीकरण है। चूंकि, आव्यूह के समुच्चय पर विचार करते समय बहुत अधिक मात्राएँ परिभाषित की जा सकती हैं: संयुक्त वर्णक्रमीय सबरेडियस द्वारा उत्पन्न अर्धसमूह में उत्पादों की वृद्धि की न्यूनतम दर की विशेषता है। इस प्रकार पी-त्रिज्या इसकी वृद्धि दर को दर्शाता है, इस प्रकार अर्धसमूह में उत्पादों के मानदंडों का औसत हैं। आव्यूह के समुच्चय के लायपुनोव प्रतिपादक ज्यामितीय औसत की वृद्धि दर की विशेषता बताते हैं।

संदर्भ

  1. ↑ G. C. Rota and G. Strang. "A note on the joint spectral radius." Proceedings of the Netherlands Academy, 22:379–381, 1960. [1]
  2. ↑ Vincent D. Blondel. The birth of the joint spectral radius: an interview with Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications, 428:10, pp. 2261–2264, 2008.
  3. ↑ I. Daubechies and J. C. Lagarias. "Two-scale difference equations. ii. local regularity, infinite products of matrices and fractals." SIAM Journal of Mathematical Analysis, 23, pp. 1031–1079, 1992.
  4. ↑ J. N. Tsitsiklis and V. D. Blondel. "Lyapunov Exponents of Pairs of Matrices, a Correction." Mathematics of Control, Signals, and Systems, 10, p. 381, 1997.
  5. ↑ Vincent D. Blondel, John N. Tsitsiklis. "The boundedness of all products of a pair of matrices is undecidable." Systems and Control Letters, 41:2, pp. 135–140, 2000.
  6. ↑ N. Barabanov. "Lyapunov indicators of discrete inclusions i–iii." Automation and Remote Control, 49:152–157, 283–287, 558–565, 1988.
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अग्रिम पठन

  • Raphael M. Jungers (2009). The joint spectral radius, Theory and applications. Springer. ISBN 978-3-540-95979-3.
  • Vincent D. Blondel; Michael Karow; Vladimir Protassov; Fabian R. Wirth, eds. (2008). "Linear Algebra and its Applications: special issue on the joint spectral radius". Linear Algebra and Its Applications. Elsevier. 428 (10).
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